Оценки Каплана Мейера при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тимонин В.И.

ОЦЕНКИ КАПЛАНА МЕЙЕРА ПРИ ПРОВЕРКЕ ГИПОТЕЗ В ИСПЫТАНИЯХ С ПЕРЕМЕННОЙ НАГРУЗКОЙ

Постановка задачи. Применение режима испытаний с переменной нагрузкой является главной особенностью предварительных исследований в теории форсированных испытаний [1]. Не вдаваясь в излишнюю детализацию описания стандартных процедур проведения этих исследований (они подробно изложены в [1,

2]), заметим, что они предназначены для определения функций пересчета # = р (#!) , ...,#0=Рк Ю между наработками на отказ изделий в нормальном £0 и форсированных б1,...,б1 режимах. Основным недостатком

применяемых схем является необходимость испытаний не только в переменном 8 , но и в постоянном (чаще всего ¿0 ) режиме, что приводит к большим временным и материальным затратам. В работе [3] для

случая одного форсированного режима была предложена статистика, позволяющая определять функцию связи по результатам испытаний только в переменном режиме. В настоящей работе обобщается этот метод для случая произвольного количества форсированных режимов, что позволяет значительно сократить затраты на проведение предварительных испытаний. Кроме того, предложены статистики типа Реньи, позволяющие решать аналогичные задачи для цензурированных справа выборок.

Пусть требуется проверить гипотезу о том, что наработки изделия # ,#*,...,1 1 в режимах

1 т-1

е0 ¿* ,...,£* соответственно связаны соотношением

Но : #0 = Р(£),...1 = Р™-11-1) , (1)

где р( X),..., Фт-\( х) - некоторые функции.

В [3] показано, что для проверки (1) испытания в переменном режиме ё(?) должны проводиться следующим образом. Изделия в количестве N = тп , разбитые случайным образом на п "т-ок", начинают испытываться в режиме ¿0 , и при отказе одного из т изделий оставшиеся (т-1) изделия переключаются

- одно в ¿1 , второе - в ¿1 , и т.д. Пусть 1 ,#2,...,1т - наработки до отказа в ¿ изделий 2 -ой "тки". Обозначим в лг ,...л(т- - времена работы 2 -ой "т-ки" в режимах ¿0¿^...¿т 1 соответственно. То-

гда, очевидно, в'2=тт |#2 ,...,#т}. Если справедливо (1), то в [2] доказано, что величины Г}1 = во +р(в*1) , ..., Т/(т-1) = во +Рт-1 (в*(т-1)) будут совпадать с оставшимися наработками # .

Обозначим через Q = (в0,ц1,...,ц1т_-[),...,@0 ,^1 ,...,^”т_1)) объединенную выборку всех величин и пусть

V < V <... < ^тп - ее вариационный ряд. Пусть также 0 = (в(5,...,вп) - выборка из минимумов. Тогда, как и в случае одного форсированного режима [3], можно оценить функцию надежности Р0 (I) по выборкам Q и 0 согласно следующим формулам:

' 1, ^(0 = 0.

ад-1-^. дм

ад/ , л

п 1—;—гт: . 1<^(0<(»-!), (2)

,.=1 ^ m(n —1 +1))

=1 ^ m(n - i +1) )

0, dx(t) = n,

где _ количество элементов выборок © и Q, меньших t . Оценка Pe(f) называется оценкой Каплана-Мейера функции Р0 (t) по цензурированным данным [4]. Очевидно, что d (t) < d2 (t) •

Для проверки (1) предлагается статистика вида

|- - I

Т„Ш = шах-------Z--------—77---^T'\Pe(t)-Pq(t)\ (3)

Статистика (3) является аналогом статистики Смирнова применительно к рассматриваемой проблеме. Здесь также проверяется "однородность" двух выборок, хотя одна из них является частью другой, рас-сматриваясь как прогрессивно цензурируемая выборка.

2. Точные распределения.

Прежде всего докажем, что распределение рангов элементов выборки © среди объединенной выборки Q не зависит от вида функции распределения F0(t) .

|1, если V. - одно из 60 J-, . -

Пусть z = i . 0 V = ^zj ,1 = 1,mn .

I 0, в противном случае, j=1

Определение 1. Вектор Z = ( Zj, z2zmn ) называется допустимым, если:

А. Z состоит из n единиц и (m — 1)n нулей;

i m + 2 - i s. ч

Б. ---------- +1 Zj<min{/,nj .

- m J j=1

Очевидно, что в результате испытаний могут появиться только допустимые векторы.

Лемма 1. Распределение вероятностей допустимых векторов дается следующим выражением:

mnn!

p(Z) =-------1 • ((m — 1) • r — m +1) •... • ((m — 1) • rn — (m — 1)n • m +1) =

(mn)!

П ((m -1) rj - mj +1) ,

( тп )! у=1

где Г - номер у -ого по счету нуля в векторе X .

Доказательство.

При справедливости (1) вероятность любой перестановки в объединенной выборке равна

'(m • n)!

. Ко-

личество перестановок, приводящих к появлению п единиц на фиксированных местах, равно тпп! . Так как появление на г. - ом месте j - ого нуля означает, что до г. места стоит ( г - ;]) единиц, то на

Г - ом месте может стоять любой из ((г - j) (т-1) - ^-1)) нулей. Лемма доказана.

Чтобы вычислить точные распределения статистики (3), введем следующую модель случайного блужда-2 _____________________________

ния. Обозначим =^, 2 = 1,тп .

у=1

Пусть {a} = A, i = 0,n; j = 0,(m - 1)i

двумерный массив ячеек (он имеет треугольный вид). Частица

начинает блуждание из ячейки а0 0 и на к -ом шаге переходит из а,

Vk =-\-Vk _!

ячейку а

vk,k

. На mn-ом

шаге она заканчивает

блуждание в ячейке ап(т-\)п. Траектории частицы будут находиться во взаимно однозначном соответствии с допустимыми векторами Z (появление "1" в Z соответствует скачку вниз, появление "О" -

зправо). Кроме того, так как значение функции

тя

зависит только от

^ и V., то каждой ячейке а^. соответствует определенное значение этой функции, независимо от того,

каким образом частица попала в данную ячейку.

Чтобы найти точное распределение статистики (3), докажем следующую теорему.

Теорема 1. Вероятность Р(Гтп <к) равна величине (т_\)п нением соотношения

1, 2 = у = 0

которую можно получить повторным приме-

ni-1,j -^i-j ,

(m -1)1 - j +1

j = 0

1+j

-- ni,j-1 -Xj,

j = (m - 1)i - к, к = 0,(m -1) (4)

(m 1)1 . j +1 - nij-1 + - ni-1j \-Xij, 0 <i < n,° < j < (m-1)(i -1)

i + j j i + j ) j

с начальными и граничными условиями ^оо = X00 ' жі,-1 = 0 i = 0n.

f1, av є A0

ЗДесь Xj =

индикатор массива А0 ,

] [о, ав* а

где А ={ау} , чьи индексы 2,] удовлетворяют условиям: 1. 2 = 0, у = 0 ;

тп {тп-2-]) тп-2-]

2

(rnn)m - m (mn - i - j) (i + j )m если 1 < i < n -1 , 0 < j < (m - 1)i

mn ((m - 1)n - j)

mn

-пі1 -

1

г (n - к +1)

< h\,

3.

Цmn)m - m((m -1)n - j)(n + j)m

(m - 1)n - j

< h > , i = n , 0 < j < (m - \)n .

Нетрудно видеть, что вероятность каждой траектории можно записать в следующем виде:

. (

р(о)=П

(m-vk -к +1)-z= vzk=

П\(о) (5) к=1

Пусть б)у - множество „частичных" траекторий, оканчивающихся в (соответствующие X имеет 2

2+

единиц и у нулей на первых (2 + у) местах). Обозначим Ру = ^^Дк (б) . Согласно (5) вероятность любой

к=1

траектории, совершающей скачок а,-і , ^ л, ( а,- ^ л, ), имеет множитель

2 1,] 2] 2,] 1 2и

i + j

(соответственно

(m - 1)i - j +1 i + j

). Пусть Жі] = р]] . Тогда (5) следует из того, что в а2] за один скачок можно попасть

a _і (при j = (m - 1)i -1 -

только из a,-

ai,(m-1)i

.¿.j , k = 0,(m -1) ). Множитель Xj (A0)

только из а или

граничные условия обеспечивают обращение в нуль вероятностей траекторий, не лежащих целиком в Д) . Теорема доказана.

j =

0J

V

Метод позволяет рассчитывать распределение Гтп для любых объемов выборок, встречающихся в реальных задачах. В таблице 1 помещены квантили точных распределений нормированной статистики Гтп для

некоторых значений т и аргумента h ( 10 <п< 1500 ). Причина введения нормирующего множителя будет объяснена ниже.

Таблица 1. Вероятности Р< т^п • Гтп < к } для т=4.

п 1.14 1.225 1.36 1.63

10 0.5221323 0.5308905 0.6245510 0.6247172

50 0.7466444 0.7856316 0.8469695 0.9152695

100 0.8056320 0.8576531 0.9132260 0.9649085

250 0.8505419 0.8984347 0.9463166 0.9869017

500 0.8576299 0.9046873 0.9519903 0.9898197

700 0.8585182 0.9049950 0.9526063 0.9901393

800 0.8579867 0.9050973 0.9526720 0.9901707

900 0.8576142 0.9048703 0.9525387 0.9902496

1000 0.8576912 0.9048897 0.9523864 0.9902299

1500 0.8568709 0.9041880 0.9523255 0.9903309

да 0,85 0,9 0,95 0,99

3. Предельное распределение

Для удобства записи элементы выборки £) будем обозначать через д. . Рассмотрим сначала случайный

процесс Хп(1;') = — Рд(]£) 5 0 < / < 1 . Нетрудно получить, что

Г^п+т Г(и -г/1(0 + 1)

Рв«) =

0 < (?) < п -1

Г(и + 1)Г[и + /и--,

0, ¿х (?) = п.

где г( х) - гамма-функция.

Ввиду чрезмерной громоздкости математических выкладок и того обстоятельства, что применяемый метод доказательств во всем подобен аналогичному методу для случая т = 2 в работе [3], приведем лишь окончательные результаты для асимптотического распределения.

Среднее и ковариация процесса Хп (?) равны:

ШГ„(0 = ЕРв(0 - ЕР,(0 = -(1 -1)1 х (п,—

^ т

где х = 1 - (1 - /)т .

Пусть 0 < э < 1: <1. Имеем

^„№(0 = ЕР,(5)Р,(/)-Еадр,(0-+Щ(5)Рд(?).

Обозначим . Тогда для каждого слагаемого можно получить:

Л("} ..^~У(П~1)-----------Л(И~1}

ЕРв(*)Рв(1) =

л( п )=И

В| п,1 -

В| п,1 -

-п( и+г)

;

где О -

(u, V')

1 - X I

-у'

0 < V <- 1п у

£ВДР,(О = (1-0-

1

В| п,1 -

1 - У

1 1-у

\п-1 “ , п - 1

ЕРв{г)Р^)=(\-г)-

В| п,1 --

| (1 - и )И 1 и mdu----5 | (1 - и )И 2 и mdu

) п о _

- ж _1 1 -1 _!

| (1 - и )И 1 и mdu - п 5 | (1 - и )И 2 и mdu

ЕР,(5)Р,(0 = (1-0(1-,*) 1 +

тп (1 - 5 )

Для вывода предельного распределения статистики Г нас интересует поведение моментов при п . Стандартными методами асимптотических разложений [5,6] получим:

ЕРв{*)Рв(1) * (1 - /)(1 - 5)|1 + -Ц.. -2- + .. 1 [ пт 1 - у )

В случаях Б, В разложения одинаковы, так как при одинаковых подынтегральных функциях асимптотика не зависит от ненулевого верхнего предела:

е

EPe(5)P(O*(l-0(l-*)|l + --^ +4

I nm(l-s) I

Для слагаемого ЕР (¿)Р (£) асимптотическое разложение не нужно - оно имеет простое точное значе-

Доказательство теоремы основано на использовании работы Бреслоу и Кроули [7].

Теорема 3. Предельным распределением статистики т^п • Т является стандартное распределение Колмогорова-Смирнова

Доказательство теоремы использует аппарат теории слабой сходимости вероятностных мер [8].

Таким образом, статистика (3) имеет известное предельное распределение, что значительно упрощает ее использование. Следует, однако, заметить, что точное распределение начинает удовлетворительно для практики аппроксимироваться асимптотическим начиная с п=50-55. Из таблицы 1 видно, что точные вероятности даже для п=1500 отличаются от предельных (помещенных в последней строке) на 0,002 -

0,006.

1. Карташов Г.Д. Основы теории форсированных испытаний. - М.: Знание, 1977. - 52с.

2. Карташов Г.Д. Установление связей между ненаблюдаемыми одновременно случайными величинами //

Применение теории вероятностей и математической статистики.- Вильнюс.- 1981- № 4.- с.18-29.

3. Тимонин В.И. Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. - 2004. - № 1. - С. 23-33.

4. Кокс Д., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни.- М.: Финансы и статистика, 1988. - 191с.

5. Брейн де Н.Г. Асимптотические методы в анализе.- М.: Изд-во Иностранной лит., 1961. - 248с.

6. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. - М.: Наука, 1990. - 528с.

7. Breslow N., Crowley J. A large sample study of the life table and product limit estimates un-

der random censorship // Annals of statist.- 1974. - № 2.- P. 437 -453.

8.Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. - М.: Наука, 1977. -352с.

ние

Для ЕХп(?) коэффициенты в асимптотическом разложении равны нулю, то есть

Обозначим Гп^) = т4п\Рц-Рв) .

Теорема 2. Распределение процесса Уп ) слабо сходится к распределению непрерывного гауссовского

случайного процесса

с характеристиками

, 0 < 5 < t < T < 1 .

k=-«

ЛИТЕРАТУРА