Научная статья на тему 'Оценка результатов предварительных испытаний в переменных режимах при цензурированных справа данных'

Оценка результатов предварительных испытаний в переменных режимах при цензурированных справа данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
112
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тимонин В. И., Тянникова Н. Д.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Оценка результатов предварительных испытаний в переменных режимах при цензурированных справа данных»

УДК 519.248

Тимонин В.И., Тянникова Н.Д.

Московский Государственный технический университет имени Н.Э.Баумана, Москва, Россия ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В ПЕРЕМЕННЫХ РЕЖИМАХ ПРИ ЦЕНЗУРИРОВАННЫХ СПРАВА ДАННЫХ

Форсированные испытания являются основным источником оценки показателей надежностей для высоконадежных изделий радиоэлектроники [1,2]. В случае нестабильного процесса производства, когда показатели надежности могут меняться от партии к партии идентичных изделий, широко применяются испытания в переменных режимах [3,4] . Такие испытания предназначены для определения инвариантных (одинаковых для всех партий) функций связи между наработками до отказа в нормальном и форсированных режимах. Основным недостатком использования таких испытаний является необходимость испытаний не только в переменном, но и в постоянном режиме, что приводит к большим временным и материальным затратам. В связи с этим в работах [5,6] был предложен новый метод проведения и обработки результатов предварительных исследований, который позволял определять функции пересчета только по испытаниям в переменном режиме, что значительно сокращает время на их проведение. Он был основан на применении новой статистики типа Колмогорова - Смирнова, для которой были получены предельное распределение и метод вычисления ее точных распределений. Вместе с тем применение этой статистики требовало проводить испытания в переменном режиме до отказа всех изделий, что не всегда является возможным. В данной работе предлагается критерий типа Реньи, позволяющий определять функции пересчета по цензурированным справа данным, что дает возможность прекращать испытания до наступления всех отказов.

Рассмотрим постановку задачи. Пусть наработки одного и того же изделия Хо, x,..,xr-1 в режимах „ Л „т-1

£о,£*,...,£* соответственно связаны соотношением

Н : Хо = j (Х ),...,Хо = jm-1 (ХМ) , (1)

где j( x),...,jm-i (x) - некоторые функции пересчёта.

Изделия в количестве N = mn , разбитые случайным образом на n групп по m изделий, начинают испытываться в режиме £о, и, при первом отказе изделия в группе, оставшиеся (m— 1) изделия переключаются - одно в £* , второе - в £* , и т.д. Пусть Х,Х2,...,Хт - теоретические наработки до отказа в режиме £о изделий і-ой группы. Обозначим q,@*1,...,0*(т—l) - реальные времена работы і -ой группы в режимах £о,£*1,...,£*т-1 соответственно. Тогда, очевидно, q = min {Хі ,...,Хт I . Как доказано в [7], при

соблюдении некоторых слабых ограничений на распределение наработок Х* , при справедливости (1)

величины h =q + j(q.i) , •••, hm-1) =q + j(m-1) (#*(т-1)) будут совпадать с наработками Xj . Назовем hj прогнозными наработками изделия в нормальном режиме.

Обозначим через Q = (q,h,...,hm-1),...,q7,hn ,...,h(m—i)) объединенную выборку из наработок изделий и

пусть 7 <72 < ... <7mn - ее вариационный ряд. Пусть 0 = (q,...qo) - выборка из минимумов. Тогда при

справедливости (1) можно оценить функцию надежности РУ) по выборкам Q и Q согласно следующим формулам [8]:

1, d1 {t) = о,

d1(t) ( , ^

Pq( t ) =

п

1 --

1

m (n - і +1)

о, d1 (t) = n,

Pq (t ) = 1 - Mil ,

1 £ d (t )£ (n -1),

где d1 (t), d2(t) - количество элементов выборок 0 и Q , меньших t . Оценка P$(t) называется

оценкой Каплана-Мейера функции Ро (t) по цензурированным данным [8] . Очевидно, что d1 (t )£ d2 (t) .

В [6] для проверки (1) использовалась статистика вида

T = m4n max-

(Pq (t)Г

1 - m ■(1 - Pq (t ))■( pq (t ))m

\Рв (t)- Pq (t)|

которая является аналогом статистики Колмогорова-Смирнова применительно к рассматриваемой проблеме .

Рассмотрим теперь случай, когда испытания проводят в течение времени То , за которое произошло

d^) = r отказов q <q2 < ...<er в нормальном режиме £о . Пусть выбраны некоторые функции

Хо = j(Х1),...,Хо = jm-1 (ї:-1 ). Обозначим через h(1) <...<% ) те из прогнозируемых отказов hj =q,+fj (hj),

для которых справедливо неравенство hj <Т, j = 1,т -1. . Обозначим d2(T) = r+V .

Для проверки справедливости (1) предлагается статистика типа Реньи, которая имеет вид

Rl = m

n(1 -1)

l

где y(x) = -

Pq- Pq

max —s—

y(Pq) >1-l Pq

, l =

, (2)

r + V

глубина цензурирования.

1-mxm *(1 -x) mn

Заметим, что вид статистики (2) похож на вид стандартной двухвыборочной статистики Реньи, за исключением нормирующего множителя и области, по которой вычисляется максимум.

Теорема 1. При n распределение статистики (2) сходится к стандартному распределению Реньи

4 ^ (-1)/

lim Pn (Ri< h)=L(h)=- X y—

exp

(2i + 1)2p2 8h2

В работе [4] был разработан общий метод вычисления точных распределений статистик типа Колмогорова - Смирнова. Он основан на методах теории случайных блужданий по ячейкам матрицы треугольного вида A и вероятности вида P(Ri< h)вычисляются аналогично, как вероятности невыхода траекторий случайного блуждания из некоторого подмножества A0 сА .

Пусть Z/ =

11, если g - одно из q0, 0, в противном случае,

V/ = XZj, і = 1...mn, Wo = 0.

J=1

n) называет

ся допустимым, если:

Вектор Z = ( Zp 1. Z состоит из n единиц и (m -1)n нулей; і -1

2.

+1 £ V/ £ min {і, n} .

Пусть A= {а,} - двумерный массив ячеек (он имеет треугольный вид). Частица на первом шаге вы-

ходит из ячейки a 00 и на

l -

ом шаге переходит из aV , l-V в ячейку a

. На mn-ом шаге она за-

00.......... ..............L“ "..............V,l~Vl ............" " Vl+1,l+1-Vi+1

канчивает блуждание в ячейке an n(m-1) . Траектории частицы будут находиться во взаимно однозначном соответствии с допустимыми векторами Z . Равенство zk = 1 , k = 1,.,mn в векторе Z соответствует скачку вниз, появление Zk = 0 , k = 1,.,mn - скачку вправо. Схематически массив ячеек, по которым происходит блуждание, показан на рисунке 1.

Рисунок 1. Случайное блуждание частицы по массиву ячеек.

Теорема 2. Вероятность Pn(Rq < h) равна величине Pnn(m-1) , которую можно получить повторным применением соотношения

' 1, і = J = 0;

Р-1, J -Xij(A0) , J = 0 , i =1 , n

m'm 1 ((m - 1)i - J +1)

і + J

i+J

p-1J+

P, ,-1 -Xi,(Ao),

m'm 1 ((m - 1)i - J +1)

і + J

J = (m - 1)i - (m - 2),(m - 1)i , і = 0, n

i,j-1

■Xi,(A0), J =1,(m- 1)i-(m-2)-1 ,i = 0,n

J

с начальными условиями p00 = X00(A0) Здесь Xi, (A) =

1 , aj Є A0

0, ai,Є A)

индикатор подмножества

A0 . А0 ~\ai j } ,

где индексы i, J удовлетворяют

условиям:

1. i = J =0 .

m

x

n ——

m

р, =

2 .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(mn - і - j)m

3. (■

(mn)m - m (mn - і - j)m 1(і + j)

________(mn - і - j)m_______

(mn)m - m (mn - і - j)m-l(i + j)

-< 1 -1

> 1 -l) П

(1 -1) n

П (1-

_____1_

mn - mk + m

)-

mn- і -j

1

< h

mn - і - j mn

В таблице 1 приведены значения точных вероятностей Pn(Rq < h) для случая m = 3 и

h = 1.78,1.96,2.24 ,

являющихся квантилями предельного распределения уровней

0.85,0.9,0.95

k=1

п

m

аргументов соответст-

венно. Полученные результаты говорят о том, что пользоваться асимптотическими значениями вероятностей можно только начиная с n = 150 . Учитывая, что таких объёмов выборок на практике не бывает, необходимо пользоваться точными значениями квантилей.

Таблица 1 - Точные квантили статистики R^ при 1= 0,75

n h

1 ,78 1 , 96 2,24

10 0.8589 0.8596 0.8637

50 0.8893 0.9139 0.9604

100 0.8778 0.9145 0.9577

150 0.8669 0.9151 0.9561

500 0.8613 0.9089 0.9538

1000 0.8571 0.9054 0.9522

2000 0.8552 0.9036 0.9519

3000 0.8538 0.9030 0.9515

4000 0.8538 0.9026 0.9513

ЛИТЕРАТУРА

1. Ишков А.С. Методы ускоренной оценки показателей надежности интегральных схем на основе форсированных испытаний // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

2. Тимонин В. И. Применение оценок Каплана-Мейера для оптимизации проведения предварительных испытаний // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2003.

3. Карташов Г. Д. Предварительные исследования в теории форсированных испытаний. М.: Знание,

1980. 51 с.

4. Nelson W. Accelerated Testing Statistical Models, Test Plans, and Data Analysis. New

Jersey: John Wiley & Sons, 2004. 601p.

5. Тимонин В.И. Оптимизация проведения предварительных исследований в теории форсированных испытаний // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. 2004. № 1. С. 23-33.

6. Тимонин В.И., Ермолаева М.А. Точные распределения статистик типа Колмогорова-Смирнова, применяемых для анализа остаточной надежности резервированных систем // Электромагнитные волны и

электронные системы. 2012. Т.17, №10. С. 66-72.

7. Карташов Г. Д. Установление связей между ненаблюдаемыми одновременно случайными величинами // Применение теории вероятностей и математической статистики.1981. №4.С.18-29.

8. Тимонин В. И., Ермолаева М. А. Оценки Каплана-Мейера в статистиках типа Колмогорова-Смирнова при проверке гипотез в испытаниях с переменной нагрузкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15, №7. С. 18-26.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.