CC BY
9
ОЦЕНКИ ДЛЯ ГРАНЕЙ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ТРЕХ ЧАСТИЦ НА РЕШЕТКЕ Умиркулова Г.Х. Email: [email protected]
Умиркулова Гулхаё Хусниддин кизи - магистр, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в данной работе изучается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на одномерной решетке. Этот модель рассматривается как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор в некотором комплексном гильбертовом пространстве. Найдено местоположение существенного спектра модельного оператора Н, т.е. выделены двухчастичные и трехчастичные ветви существенного спектра оператора Н. Построен аналог уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н. Получены оценки для нижней и верхней граней существенного спектра оператора Н.
Ключевые слова: модельный оператор, решетка, система трех частиц, нелокальный потенциал, существенный спектр, грань.
ESTIMATES FOR THE BOUNDS OF ESSENTIAL SPECTRUM OF A THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR ON A LATTICE
Umirkulova G.&
Umirkulova Gulhayo Husniddin qizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the present paper a model operator Н associated with the system of three particles on the one dimensional lattice is studied. This model is considered as a linear bounded and self-adjoint operator in some complex Hilbert space. The location of the essential spectrum of the model operator Н is find, that is, two-particle and three particle branches of the essential spectrum of the model operator Н are singled out. An analogue of the Faddeev equation for the eigenfunctions of the model operator Н is constructed. The estimates for the lower and upper bounds of the essential spectrum of the model operator Н is obtained.
Keywords: model operator, lattice, system of three particles, non-local potential, essential spectrum, bound.
УДК 517.984
Существенный спектр модельных операторов трех частиц на решетки изучен во многих работах, см., например, [1-14]. А в работах [15-23] исследованы спектральные свойства, в частности, местоположение и структура существенного спектра матричных операторов, одно из диагональных элементов является дискретными модельными операторами трех частиц. В настоящей работе изучен модельный оператор H , ассоциированный с оператором энергии системы трех квантовых частиц на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью нелокальных потенциалов. Такие потенциалы обычно возникает в модели на примесной решетке. При этом роль двухчастичного дискретного оператора Шредингера играет модель Фридрихса с одномерным возмущением. Заметим, что для периодического оператора нелокальные потенциалы представляют собой сумму локального потенциала и некоторого конечномерного оператора. Напомним, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. Подчеркнем, что для таких гамильтонианов в том случае, когда ядро частично-
интегрального оператора является невырожденным, получено очень мало результатов. Исследованы грани существенного спектра оператора H .
Пусть T1 - одномерный тор и T2 = T1 X T1 - декартово произведение. Через
L!,(T2) обозначим гильбертово пространство квадратично интегрируемых,
симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на T 2.
Рассмотрим модельный оператор H , действующий в гильбертовом пространстве
L2(T2) по формуле
(Hf )(x, y) = u(x, y)f (x, y) - цух (x)JT, v (i)f (t, y)dt (y)^ v (t)f (x, t)dt
- Hi JTi v2 (t)f (t, x + y - t)dt .
Здесь ¡ла, < = 1,2 положительные числа так называемые параметры взаимодействия,
v (•),< = 1,2 - вещественнозначные непрерывные функции на T1 и u(-,-) -
вещественнозначная симметричная непрерывная функция на T2. В этих предположениях используя инструменты функционального анализа можно показать, что оператор H является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве Ls2(T2).
Для формулировки основных результатов работы определим регулярную в C \ [m;M] функцию
а / \ 1 Г v2(t)dt
Ai(x; z) :=1 JT^—^-;
J1 u( x, t) - z
f. / \ л Г v2(t)dt
A2 (x; z) :=1 - ¡л2 JT. 2W-;
n u(t, x -1) - z
где числа m и M определяются равенствами m := min u(x, y), M := maxu(x, y).
x, yeT1 x, yeT1
Через <T< обозначим множество тех точек Z, для которых A< (x; z) = 0 хотя бы для одного p Е T1. Пусть LLH^ (T1) - гильбертово пространство двухкомпонентных вектор-функций (/1, /2) : f Е .¿^(T1), Z = 1,2, т.е.
L(2)(Tх):= {(/1,Л): f ЕL2(T'), г = 1,2}.
При каждом Z Е C \{[m; M] ^ 0~1 ^ ^2} вводим блочно-операторную
матрицу T ( z), действующую в гильбертовом пространстве L^ (T1) по формуле
fTn(z) Tl2(zf
Mz) 0 ;
Здесь операторы Ty (z) : L2 (T1) —> L2 (T1), г, J = 1,2 - интегральные операторы
(H^xx) = ^1^ j^MM;
A1(x; z) u(x, t) - z
T(z):=
(T12(z)p)(x) = Г, V'(t"(W ;
Aj (x; z)JT u(t, t - x) - z
(T21(¿ШХ) = ^ i 1 ^X - t)(v2(t) + V2(X - t)p1(t)dt . A2(x; z) T u(t, x -1) - z
Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями
операторов H и T (z).
Теорема 1. Число z Е C \ {[m; M] ^ (Tj ^ T2} является собственным
значением оператора H тогда и только тогда, когда оператор T (z ) имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.
Заметим, что матричное уравнение T(z)( = ( обычно называется аналогом
уравнения Фаддеева для собственных функций оператора H . Это уравнение играет важную роль при нахождении местоположения существенного спектра оператора H . А при помощи симметризованного варианта уравнения Фаддеева можно исследовать конечность или бесконечность числа собственных значений оператора H.
Теперь сформулируем результат, который описывает местоположение существенного спектра оператора H .
Теорема 2. Существенный спектр оператора H совпадает с множеством [m; M ] ^ T ^ T2, т е. имеет место равенство
Tes (H) = [m; M ]
Кроме того, множество Tess (H) представляет собой объединения не более чем трех отрезков.
Множества T1 ^ T2 и [m; M] называются двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора H , соответственно.
Отметим, что max Tess (H) = M . Пусть функция u(-,-) имеет единственный
невырожденный минимум в точке (x0, xQ ) Е T2. Если V1 (xQ ) Ф 0, то имеет место оценки min t(H) < min Tess (H) < m. Эти факты играет важную роль при исследовании дискретного спектра оператора H .
Список литературы /References
1. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. 26:2, 2012. C. 24-32.
2. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.
3. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.
4. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.
5. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Часть II. С. 19-22.
6. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23:2, 2011. С. 170-180.
7. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. С. 8-13.
8. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1, 2010. С. 34-44.
9. Умарова У.У.Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.
10. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1, 2014. С. 37.
11. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 6:2, 2015. С. 280-293.
12. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl. 25, 2014. С. 57-61.
13. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, 2014. С. 179-198.
14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3, 2014. С. 327-342.
15. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol. 17:1, 2011. С. 47-57.
16. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. С. 60-77.
17. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.
19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. С. 1-22.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. С. 369-393.
21. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1, 2016. С. 48-61.
22. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM. 5:2 (2016. С. 156-174.
23. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теоретическая и математическая физика. 164:1, 2010. С. 62-77.
