CC BY
4
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О СУЩЕСТВОВАНИИ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ОДНОГО
ДИСКРЕТНОГО ТРЕХЧАСТИЧНОГО МОДЕЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА 1 2 Расулов Т.Х. , Боймуродов С.И. Email: [email protected]
1Расулов Тулкин Хусенович - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Боймуродов Собир Иноятилло угли - студент, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная статья посвящена изучению существенного и дискретного
спектров одного модельного оператора H , где Ц> 0 параметр взаимодействия.
Оно ассоциировано с системой трех частиц на одномерной решетке. Модельный
оператор H рассматривается как линейный, ограниченный и самосопряженный
оператор в гильбертовом пространстве, состоящий из квадратично-интегрируемых
симметричных функций, определенных на двумерном торе T2. При всех значениях параметра взаимодействия f доказывается существование единственного
собственного значения данного модельного оператора
H.
1
Ключевые слова: модельный оператор, частица, решетка, тор, параметр взаимодействия, существенный спектр, собственное значение.
ON THE EXISTENCE OF THE EIGENVALUE OF A DISCRET THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR Rasulov T.&1, Boymurodov S.I.2
1Rasulov Tulkin Husenovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent;
2Boymurodov Sobir Inoyatillo ugli - Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
УДК 517.984
Abstract: рresent paper is devoted to the study of the essential and discrete spectrum of a model operator
H..
, where f> 0 is a coupling constant. It is associated with the system
of three particles on the one-dimensional lattice. A model operator H is considered as a
linear, bounded and self-adjoint operator acting in the Hilbert space, consisting of the
square-integrable symmetric functions defined on the two-dimensional torus T2. For all values of the coupling constant f we prove the existence of the unique eigenvalue of the
model operator
H.
1
Keywords: model operator, particle, lattice, torus, coupling constant, essential spectrum, eigenvalue.
Одним из важных вопросов в спектральном анализе модельных операторов, связанных с дискретными операторами Шредингера, является изучение собственных значений, лежащих вне существенного спектра [1 - 22]. Данная работа посвящена изучению существенного спектра и собственных значений одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на одномерной решетке.
Пусть -Ц,(Т2) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на Т2 .
В гильбертовом пространстве ^,(Т2) рассмотрим так называемый дискретный модельный оператор И.. , действующий по формуле
Ин = Ио(1)
где операторы
И и Ка , X = 1,2, определяются как
(Иof )(х,у) = (и(х) + и(y))f (X,у), / Е Ь\(Т2); (V/)(Х, у) = р(X) \ ()/(t, у^, / е ¿2(Т2);
(V/)(х,у) = р(у)()/(х,t)dt, /е 4(Т2).
Т1
При этом и(-) и р(•) - вещественнозначные аналитические функции на Т1. В этих предположениях оператор И , определенный по формуле (1), является
ограниченным и самосопряженным в 1^2 (Т 2 ) .
Для формулировки основного результат работы наряду с дискретным модельным оператором И , рассмотрим еще так называемую модель Фридрихса Н ,
действующую в гильбертовом пространстве ^ (Т1) по формуле
Нн := Н0 ,
где операторы Но и V определяются как
(Но я)(х) = и(х) я(x), я Е ^2(Т 1);
(vg)(x) = р( у) () я ^ )dt, я е ь2(т1).
Т1
Модель Фридрихса также является ограниченным и самосопряженным операторов в гильбертовом пространстве ^ (Т1) .
Очевидно, что по определению операторов
И,,
и Н модельного оператора
И можно представить как тензорную сумму
И, = И, ® I +1 ® Н„ . Здесь I
означает единичный оператор в (Т1).
В данной работе будем изучать существенный спектр и собственные значения дискретного модельного оператора И с помощью тензорной суммы операторов.
Т
Оператор возмущения V оператора ^ является самосопряженным оператором ранга 1. Согласно известной теореме Вейля о сохранении существенного спектра при конечномерных возмущениях вытекает, что существенный спектр )
оператора h^ совпадает с существенным спектром оператора h0 .
Известно, что Oess (h0) = [m, M] , где числа m и М определяются равенствами
m :— min u(x), M :— max u(x).
xeT1 xeT1
Из последних двух фактов следует, что Оess (h ) = [m, M]
Всюду предположим, что функция U (•) имеет минимум в точках Xk G T1,
к — 1 , П, где П - натуральное число (1 < n ). В качестве такой функции можно взять функцию вида
u( x) = 1 - cos(3x).
Тогда функция U (•) имеет минимум в точках
_ 0 _ 2л _ 2л x — о, x0 — , xQ — . 1 2 3 3
Описываем число и местонахождение собственных значений модели Фридрихса h'. _
Лемма 1. а) Если v(xk) ^ 0 , к — 1, П , то при всех значениях параметра взаимодействия LI > 0 модель Фридрихса h имеет единственное собственное значение E , лежащее левее m .
б) При всех значениях параметра взаимодействия Ц> 0 модель Фридрихса h^ не имеет собственных значений, лежащих правее
M .
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. а) Пусть v(xk ) ^ 0 , к — 1, П . Тогда для существенного спектра оператора И имеет место равенств.
Oess (И ) — [2m,2M ] u [m + Eß, M + EJ.
Кроме того, при всех значениях параметра взаимодействия Ц > 0 модельный оператор И,,
имеет единственное собственное значение
2E,,, т.е.
Odisc (Иц) — {2el }, причем El< m .
б) При всех значениях параметра взаимодействия L > 0 модельный оператор
И..
не имеет собственных значений, лежащих правее
2M.
При доказательстве теоремы 1 ключевой роль играет лемма 1 и тензорная
структура H,, — И„ ® I +1 ® h оператора H,,.
Ц Ц Ц Ц
Обычно множества [m + E^, M + E^ ] и [2m,2M ] называются соответственно двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра модельного оператора H .
Можно также показать, что спектр оператора H0 — цУх совпадает с существенным спектром оператора
H , т.е. <Tess(HЦ) — <j(Hо — ЦУ1) . Видно, что оператор H0 — цУх имеет более простую структуру, чем H.
Список литературы /References
1. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.
2. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.
3. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. 26:2, 2012. С. 24-32.
4. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.
5. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23:2, 2011. С. 170-180.
6. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1, 2010. С. 34-44.
7. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.
8. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Часть II. С. 19-22.
9. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. С. 8-13.
10. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1, 2014. С. 37-41.
11. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl. 25, 2014. С. 57-61.
12. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 6:2, 2015. С. 280-293.
13. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contemporary Anal. Appl. Mathematics. 2:2, 2014. С. 179-198.
14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3, 2014. С. 327-342.
15. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
16. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.
17. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol. 17:1, 2011. С. 47-57.
18. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. С. 60-77.
19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. С. 1-22.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. С. 369-393.
21. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1, 2016. С. 48-61.
22. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2, 2016. С. 156-174.
23. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3, 2010. С. 395-412.
