CC BY
77
СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА
УДК 69.032.22:69.059.14:551.55
ОЦЕНКА ВЕТРОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ
© 2014 г. О.А. Бурцева, В.А. Кабельков
Бурцева Ольга Александровна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Теоретическая механика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (8635)25-54-44. E-mail: kuzina-olga@andex.ru
Кабельков Виктор Александрович - ст. преподаватель кафедра «Теоретическая механика», Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. Тел. (8635)25-54-44.
Burtseva Olga Alexandrovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Theoretical Mechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. (8635)25-54-44. E-mail: kuzinaolga@yandex.ru
Kabelkov Victor Alexandrovich - senior lecturer, department «Theoretical Mechanics», Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI). Ph. (8635)25-54-44.
Рассмотрены факторы, которые необходимо учитывать при моделировании ветрового воздействия на высотное сооружение. Проанализированы современные подходы, используемые при моделировании ветрового потока. Составлены дифференциальные уравнения, описывающие изгибные колебания высотного сооружения в ветровом потоке. Проведена оценка основного состояния сооружения, моделируемого упругим стержнем. Выявлены значения критических параметров, влияющих на возбуждения параметрических колебаний.
Ключевые слова: ветровое воздействие; модель; области устойчивости; критические параметры.
Examines the factors that must be considered when modeling the wind influence on the high-rise construction. Analyzed modern approaches used in modeling of wind flow. The differential equations describing the bending oscillations of a high-rise construction in the wind flows are compiled. The estimation of the main state structures, modeled elastic rod is giving. Identified values of critical parameters, influence of parametric excitation of oscillations.
Keywords: wind impact; model; region of stability; critical parameters.
Введение
К основным факторам, определяющим взаимодействие ветра с высотными зданиями и сооружениями, можно отнести [1]:
- выбор расчетной величины скорости (модуля скорости) набегающего воздушного потока;
- определение суммарных аэродинамических нагрузок, действующих на здание при различных направлениях ветра;
- определение распределенных (местных) нагрузок, действующих на поверхность здания при различных углах набегающего воздушного потока;
- оценка нестационарных нагрузок, действующих на здание, обдуваемое ветром (резонансные явления, галлопирование, дивергенция, флаттер, бафтинг);
- обтекание различных конструкций, расположенных на зданиях или сооружениях;
- экологические проблемы, возникающие при обтекании ветром здания (допустимые скорости ветра в районе пешеходных зон, расположенных вблизи зда-
ния; допустимые ускорения верхних этажей здания при его колебаниях под действием ветра; акустическое излучение, возникающее при обтекании ветром отдельных внешних фрагментов здания).
В основу математических моделей воздушных потоков положены теоретические основы гидроаэродинамики Л. Эйлера, Д. Бернулли, М.В. Ломоносова, С.Д. Пуассона, П.С. Лапласа, Анри Навье, Д.Г. Сто-кса, Жан Луи Мари Пуазейля, О. Рейнольдса, Эрнста Маха, Кармана, Струхаля, Н.Е. Жуковского, С.А Чаплыгина, Л. Прандтля, Л.Г. Лойцянского и многих других ученых XIX - XX вв.
Теоретические основы аэродинамики зданий и практическое их использование в нашей стране основывались на работах академиков Н.М. Томсона, Ф.Л. Серебровского, Э.И. Реттера, проф. С.И. Стриженова. Опубликованные ими книги сочетают в себе великолепное знание предмета, талант исследователя, превосходное методическое изложение материала, глубокое понимание инженерных проблем. Это книги
«Аэрация городской застройки» Н.М. Томсона, изд. АМН СССР, 1947; «Аэродинамика зданий» Э.И. Рет-тера и С.И. Стриженова, М., Стройиздат, 1968; «Аэрация жилой застройки» Ф.Л. Серебровского, М., Стройиздат, 1971; «Архитектурно-строительная аэродинамика» Э.И. Реттера, М., Стройиздат, 1984.
Для технического применения математические модели сложны. Поэтому принято рассчитывать ветровую нагрузку, в частности на высотные сооружения, в двух видах: с использованием СНиП [2, 3], основанных на длительных физических наблюдениях, и с применением компьютерных моделей. Каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки.
К настоящему времени разработаны и распространяются разнообразные универсальные компьютерные CFD1-пакеты (FLUENT, STAR-CD, VP2/3, FLOW 3D, ANSYS-CFX) [4]. Пакеты основаны на численном решении систем уравнений, отражающих общие законы механики сплошной среды и предназначенные для решения широкого круга задач прикладной аэрогидродинамики и теплообмена [5 - 8].
Одна из главных трудностей моделирования ветровых воздействий в рамках полной трехмерной нестационарной постановки задачи вязкого турбулентного обтекания высотного здания связана с повышенными требованиями к мощности вычислительных платформ. Обычные персональные компьютеры обеспечивают адекватные ресурсы лишь при решении двумерных задач. Для проведения массовых нестационарных трехмерных расчетов с помощью перечисленных CFD-пакетов требуются дорогостоящие высокопроизводительные многопроцессорные системы кластерного уровня.
Известны также альтернативные, основанные на технологии дискретных вихревых элементов в идеальной жидкости методы быстрого трехмерного расчета [9, 10]. Однако неизбежные в этом случае упрощающие предположения о свойствах воздушной среды приводят к тому, что скорость ветрового потока должна быть принципиально постоянной по высоте. Поэтому наличие в реальном настилающем ветре сдвига средней скорости ставит большие трудности на пути корректного применения подобных методов.
Не моделируется изменение средней скорости ветра по высоте и в обычных аэродинамических трубах. Для создания достаточно толстого пограничного слоя необходимы специальные аэродинамические установки с длиной рабочей части порядка 50 - 100 м. В мире существует лишь несколько таких установок (метеорологических аэродинамических труб).
Механизмы нестационарного ветрового воздействия на фасады высокого здания. Наличие в настилающем ветровом потоке нестационарных порывов скорости является лишь одной из причин возникновения интенсивных колебаний ветрового давления на препятствиях. Даже в полностью стационарном потоке могут возбуждаться интенсивные продольные (в
1 Computational Fluid Dynamic.
направлении ветра) и поперечные аэродинамические нагрузки.
Нестационарный характер обтекания высотных зданий стационарным потоком обусловливается их неудовлетворительной с аэродинамической точки зрения формой (большой относительной толщиной поперечных сечений, существованием острых кромок и т. п.), что приводит к отрыву пограничного слоя, образованию интенсивных нестационарных струйно-вихревых течений и периодических вихревых следов. В результате аэродинамические нагрузки на поверхности фасадов оказываются зависящими не только от величины и направления ветра, но и от времени. Наличие в ветровом потоке сдвига и пульсаций скорости еще более усложняет ситуацию, приводя к дополнительным нестационарным воздействиям.
Аэродинамика высотных сооружений охватывает аэродинамику и аэроупругость. Влияние ветра на прочность и надежность гибких конструкций весьма велико. Аэроупругие явления обусловлены формой поперечного сечения тела, его конфигурацией и ориентацией относительно направления потока, упругими, инерционными и демпфирующими свойствами, структурой ветра и другими обстоятельствами.
Причины аэроупругих колебаний высотных конструкций в ветровом потоке следующие: порывы ветра; периодические аэродинамические силы, обусловленные срывом вихрей Кармана; отрицательное аэродинамическое демпфирование, приводящее к автоколебаниям; аэродинамическая связь между изгибной и крутильной формами деформаций; периодические изменения параметров системы. При поперечном обтекании ветровым потоком различных элементов образуются вихри правого и левого вращения, попеременно отрывающиеся от поверхности элементов, которые затем уносятся основным потоком. Совокупность отрывающихся вихрей образует вихревую дорожку Кармана. Эти вихри создают периодическую силу в направлении, перпендикулярном потоку.
Задачи аэромеханики ограничиваются определением стационарных аэродинамических сил лобового сопротивления, характеризующих основной вид статической ветровой нагрузки на сооружения, основанной на соответствующих нормативных документах. Вместе с тем характер обтекания элементов конструкций изучен столь недостаточно, что вопрос о достоверности назначения аэродинамических коэффициентов для определения ветровых нагрузок необходимо связать со специальными экспериментальными исследованиями в аэродинамических трубах. В отечественной и зарубежной проектной практике накоплен опыт экспериментального определения аэродинамических коэффициентов для разнообразных форм поперечных сечений конструкций.
Условно аэроупругую неустойчивость можно разделить на явления статической (дивергенция) и динамической аэроупругой неустойчивости (ветровой резонанс, автоколебания, галопирование, изгибно-крутильный (классический) флаттер, срывной флаттер, бафтинг).
Методологическая основа аэродинамического расчета гибких высотных конструкций состоит в проверке возможности возникновения одного из типов аэроупругой неустойчивости с помощью приближенных критериев, позволяющих определить соответствующее значение критической скорости ветра. Если такие аэроупругие явления, как изгибно-крутильный флаттер, галопирование, бафтинг или дивергенция, считаются недопустимыми, поскольку увеличение скорости потока и времени его действия приводят к неограниченному нарастанию амплитуд колебаний. Напротив, для параметрических колебаний, ветрового резонанса и флаттера, амплитуда которых в установившемся режиме ограничена максимальным значением в окрестности критических скоростей потока, аэродинамический расчет состоит в определении возможных установившихся режимов колебаний, соответствующих критических скоростей и амплитудно-частотных соотношений напряженно-деформированных состояний.
С учетом вышесказанного сформируем оценку ветрового воздействия на высотное сооружение.
Ветровая нагрузка.
Общие положения аэродинамики
При обтекании потоком воздуха сооружение испытывает силовое воздействие, которое, в соответствии с общими законами механики, может быть сведено к главному вектору аэродинамических сил и главному вектору момента этих сил относительно некоторого центра, обычно центра масс.
Далее воздушную среду считаем нестационарной и непрерывной (гипотеза сплошности), в которой проявляется свойство вязкости.
Для определения аэродинамических сил и моментов используем связанную и скоростную системы координат. Начало координат связанной системы совпадает с центром масс тела (конечного элемента) О, ось Oe1 направлена по продольной оси от центра масс к вершине; ось Oe2 перпендикулярна оси Oe1 и лежит в плоскости симметрии тела; ось Oe 3 образует с осями Oe1 и Oe 2 правую систему координат (рис. 1).
Начало скоростной системы координат помещаем также в центре масс элемента стержня. Ось Оха направлена по вектору скорости ветрового потока у0; ось Оуа лежит в плоскости симметрии тела и перпендикулярна оси Оха, а ось Oza дополняет оси Оха и Оуа до правой системы координат.
Взаимную ориентацию осей связанной и скоростной систем координат определяет угол атаки - ф. Он, кроме того, однозначно определяет положение вектора скорости центра масс по отношению к осям связанной системы координат. Угол ф расположен в плоскости симметрии и образован продольной осью тела и проекцией вектора скорости на эту плоскость.
Он считается положительным, если вектор скорости у 0 находится в области e 2 < 0 .
Рис. 1. Элемент стержня, находящийся в потоке воздуха произвольного направления
Аэродинамические силы обычно задают в скоростной системе координат при определении траектории движения тел. Связанную систему координат используют при проведении аэродинамических расчетов. В ней удобно исследовать вращательное движение, рассматривать вопросы устойчивости и управляемости [11].
При исследовании колебаний сооружения используют неподвижную систему координат Ox xx x 2 x3, связанную с землей. Угол а - угол между направлением потока v 0 и осью i 3 - также называют углом атаки.
Аэродинамические коэффициенты
Проекции главного вектора аэродинамических сил на оси связанной системы координат eje 2 e3,
соответственно, называют продольной (осевой), нормальной и поперечной силами, а проекции этого же вектора на оси скоростной системы координат - называют лобовым сопротивлением qn , подъемной силой
qL и боковой силой qT.
Проекции главного вектора момента аэродинамических сил на оси связанной и скоростной систем координат имеют одинаковое название: относительно осей e j и xa - моменты крена Mn, Mna, осей e 2 и ya - моменты рыскания ML, MLa и осей e 3 и za -моменты тангажа Mx, Mxa . Положительным считается момент, стремящийся повернуть тело против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора момента.
В аэродинамике используют безразмерные параметры, характеризующие силы и моменты - аэродинамические коэффициенты:
Cn = qJqS> cl = 4L/4s> Cx = qJqS >
Cna = 4na/qS > CLa = 4lJ 4S > Cxa = qxa M > (1)
mn = Mn/qSL, mL = ML/qSL, mT = Mx/qSL ,
= Mna/qSL> mLa = MLa/qSL >
= MTJqSL .
Эпюра давления зависит от режима обтекания, который характеризуется числом Рейнольдса. Re = v0l/к , где к - кинематическая вязкость воздуха, I - характерный размер тела (например, диаметр круглого сечения стержня).
Используя теорию размерностей, а также пренебрегая вязкостью и сжимаемостью среды, представим
qax2 в виде [12]
Здесь q = p0v0/2 - скоростной напор (р0 и vo - плотность и скорость набегающего потока); и I - характерная площадь и характерный размер.
Аэродинамические коэффициенты не зависят от размеров тела и для геометрически подобных тел при одинаковых условиях обтекания одноименные коэффициенты равны. Это позволяет находить аэродинамические коэффициенты в результате модельных экспериментов.
Диапазон изменения аэродинамических коэффициентов при изменении их аргументов невелик, так как главная часть изменения аэродинамических сил и моментов определяется величинами и qSL в выражениях (1).
Силы, действующие на покоящийся в потоке стержень (статика)
Рассмотрим стержень некруглого поперечного сечения, находящегося в однородном плоском потоке воздуха (газа), рис. 2. При обтекании контура на него действует распределенное (по периметру) давление Р. Поток образует угол ф с осью Ох3. В общем случае скорость потока не направлена по оси симметрии тела.
г-* a b ic
qax2 = С>0Р01 >
(2)
где v0 - скорость потока; р0 - плотность потока; I -характерный размер обтекаемого тела; Сп - безразмерный коэффициент лобового сопротивления сечения; а, Ь, с - неизвестные числа.
В результате сопоставления размерностей обеих частей выражения (2) получаем2
qax2 = С>0Р012 ,
где 12 - минимальная площадь сечения единицы длины стержня: круглое сечение - 12 = я-12; прямоугольное 12 = 1-Ь (Ь - сторона прямоугольника); эллипс - 12 = 1- Ь2 (рис. 2).
Аналогично получаем:
q
ax3
= Q vo2Pol 2;
Рис. 2. Аэродинамические силы, действующие на контур сечения некруглого стержня, находящегося в однородном плоском потоке воздуха (газа)
При скорости потока у0 = 0 давление Р становится равномерным, поэтому проекции равнодействующей аэродинамической силы на неподвижную декар-тову систему координат qax2, qaxз и момент ц ,
действующие на единицу длины стержня, равны нулю.
М-ax1 = C>02P0l2 .
Коэффициенты Сп, Сх, Ст зависят от характера
обтекания (числа Рейнольдса) и от угла атаки для сечений, имеющих оси симметрии. Эти коэффициенты определяются экспериментально. Для стержней круглого сечения при обтекании его потоком аэродинамический момент ц ^ не возникает, а аэродинамические коэффициенты Сп и Ст в определенных интервалах изменения числа Рейнольдса сохраняют постоянные значения [13 - 15].
Из экспериментальных исследований обтекания стержней следует, что вектор ^ а может быть представлен в виде
^а = СтР0^12ех ,
где vn - нормальная к осевой линии стержня составляющая скорости потока.
Опуская промежуточные выкладки, выражения для аэродинамических сил приобретают вид [16, 17]:
- проекции лобовой силы на оси неподвижной системы координат (см. рис. 3):
2
Экспериментально подтверждено, что аэродинамические силы зависят от плотности потока и квадрата скорости.
m
m
qn2 = qn0
-2ß0 (U3 cosa+U2 sin a)+ß0 (u| +^2 )]2 x <(sina-u'2 (u3' cosa+u2 sina)+ß0 (-U2 (l-(u2)2 )+U3и3и2));
-2ß0 (U3 cosa+U2 sin a)+ß2 (uf +U^ )J 2 x
qn3 = qn0
x(cosa-w3' (« cosa+w2 sin a)+P0 (-U3 (1-(«) 2 )+U2 и3' и2 )),
(3)
где a - угол, который составляет скорость v0 набегающего потока с осью Ox3. Проекции силы Кармана на оси неподвижной системы координат следующие:
qk2 = qk0 (1 - 2Ро («3 c0s a+ u2sin a) + P2 (u32 + «2 ))2 x
x(cos a-p0M3) sin (ro0x); (4)
qk 3 = qk 0 (1 - 2P0 (u3cos a+u2sin a)+P2 (u32 + «2))2 x x(sin a -р0м2 ) sin (ю0 x).
Xi
Vo J u3
-А
0 h
/ lb Л"з
4}
Рис. 3. Расчетная схема высотного сооружения
Полагая, что изгибная жесткость стержня (высотного сооружения) одинакова в обоих направлениях, уравнения изгибных колебаний имеют вид:
д и2 п д
де4 де
ди2 \ д2 и
+ ^1(1 1 +
2
де J дг
2
де4 де ^ де J дг2
\ ди3
о 2 \0U3 а ■ ди2
+9„оРо I1 + cos + q„oPosinacos+
v ' OI OI
+qk 0P0 sin a cos a sin (ю0i)""3 +
+Gkopo I1 + sin2 a)sin(roo= = qn0 cos a- qk 0 sin a sin (ю0 i) + N2 .
В формулах (3) - (5) введены безразмерные величины:
s = el; u3 = u3/1; u2 = u2/l;
„ pgl2 2 EJ EJ mJ
P2l
®0 = ®/P0; ß0 =—;
g
_ CnP0dv20l2 . „ _CkP0dv0l2 4n0- „^r ; "k0 - '
2EJ
2EJ
где p - плотность стержня; m0 - масса единицы длины стрежня; EJ - изгибная жесткость; l - характерный размер обтекаемого тела (для симметричных тел одинаков в обоих направлениях); d - диаметр стержня; g - гравитационная постоянная; р0 - плотность воздуха; ю0 - частота срыва вихрей; ю - частота ветрового воздействия; p0 - первая собственная частота колебаний стержня; Cn и Ck - безразмерные постоянные, определяемые опытным путем; N1 и N2 - слагаемые, содержащие нелинейные члены (подробнее см. в работе [17]).
Полагая u}- (е, т) = 1 fj (х)(1 - cos ле), j := 2, 3, и
используя метод Бубнова - Галеркина, однородные уравнения в частных производных (5) сводим к линеаризованной системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которую далее преобразуем к системе дифференциальных уравнений первого порядка
X = A(v,т)x + N(v,x,т),
+qn0ß0 (l + sin2 a)^ + qn0ß0 sin a cos a-^ + гДе x 6 R 2 - вектоР состояний; A (vг) - шргодте
дг дг
ди
дг
дг
ди
+qk 0ß0 sin a cos a sin (ю0 +
í 2 \ / \ ди3
+qk0ß0 (1+cos a)sin(ю0г)~дг~ =
= qn0 sin a + qk0 cos a sin (ю0г) + Nx .
ская матрица 2п х 2п, зависящая от вектора параметров V = [С„,Ск,р,Р1,л]т; Р1 ^(2л2 +р);
?иоро = СпЛ , Чк0р0 = скП ; N(V,x,т) - нелинейная , 2л
(5) относительно х вектор-функция и — - периодиче-
юо
ская относительно т.
+
На основе линейной системы уравнений
X = ( A0 + A^V Aje^»^
(6)
решаем задачу выявления условий возбуждения параметрических колебаний. Здесь обозначено:
: = [/2, /з, /2, /з ] ;
A о =
-ßj 0 -С„^(1 + cos а) -Cn-q sin а cos а 0 -ß1 -Cnq sin а cos а -Cnq(1 + sin2 а)
Ai = 0,5iCk q
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 sin а cos а ! + sin2 а
0 0 ! + cos2 а sin а cos а
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 sin а cos а ! + sin2 а
0 0 ! + cos2 а sin а cos а
Ai =-0,5iCk q
Решение уравнения (6) разыскиваем в виде:
x = El xke2
k=0
1 i®0kx _ - Jiffl0kT + xke 2
(7)
В результате подстановки (7) в (6) и приравнива-
1 г®о кт
ния членов при одинаковых е2 для последовательностей к = 0, 2, 4... и к = 1, 3, 5..., получаем системы алгебраических уравнений:
A 0 +/ю0Е Aj 0
Aj
A0 Aj
I ... I 0
Aj
A0-/ю0Е
2xn
= 0; (8)
гю0 ^
A0 + —E 0 2
A
Aj
A 0 - ^ E 02
= 0. (9)
Приравнивая нулю определители уравнений (8) и (9), получаем выражения для нахождения критических параметров V и частоты колебаний ю0. Считаем параметр ^ изменяющимся в заданном диапазоне, а ю0 переменным, относительно которого решается уравнение. В результате численных экспериментов построены области неустойчивости, зависящие от параметров Сп, Ск, р1, р, ^. На рис. 4 - 6 представлены характерные граничные кривые, разделяющие области устойчивости и неустойчивости.
0 115 4 5
■з :с г; i:s ^ и- >s; )äi -:t ss q
Рис. 4. Зависимость расположения области неустойчивости от значений параметров р, Ск, Сп : р = 5, Ск = 0,3, Сп = 0,005 (сплошная линия); р = 0,5, Ск = 0,3, Сп = 0,005 (пунктирная линия)
®о
г --
__— ~
—- ^ — ~ — "t —' ~ ^
—£ -------
-ч
..... ... : —----.... . 1
Рис. 5. Зависимость расположения области неустойчивости от значений параметров р, Ск, Сп р = 2, Ск = 1,5, Сп = 0,005 (сплошная линия); р = 2, Ск = 0,55, Сп = 0,005 (пунктирная линия)
2
X
2
X
О 1 2 3 4 5 6 7 е 9 10 11 12 13 14 15 « 17 1» И »
Рис. 6. Зависимость расположения области неустойчивости от значений параметров р, Ск, Сп : Р = 5, Ск = 0,3, Сп = 0,005 (сплошная линия); Р = 5, Ск = 0,3, Сп = 0,05 (пунктирная линия)
Выводы
В результате численных экспериментов можно сделать следующие выводы:
- при малых параметрах Сп, Ск наблюдается пропорциональная зависимость частоты ю0 параметрических колебаний от критических значений параметра "л, характеризующего скорость вихревого потока, что согласуется с известными результатами;
- с увеличением Сп, Ск области неустойчивости
расширяются, а пропорциональная зависимость ю0 (л) нарушается;
- при возрастании жесткости стержня наблюдается рост частоты параметрических колебаний.
Результаты работы получены при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на проведение НИОКР, шифр заявки 7.2142.2011.
Литература
1. Ганин С.М., Гузеев А.С., Лебедев А.О., Короткин А.И., Пустотный А.В. О воздействии ветра на высотные монолитные здания [Электронный ресурс] // «СтройПро-
Поступила в редакцию
филь», 2007. № 8. Режим доступа: http://stroyprofile. com/archive/2427 (доступ свободный) - Загл. с экрана. -Яз. рус.
2. СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия.
3. МГСН 4.19-0.5. Многофункциональные высотные здания и комплексы.
4. Гувернюк С.В., Гагарин В.Г. Компьютерное моделирование аэродинамических воздействий на элементы ограждений высотных зданий // АВОК. 2006. № 8. C. 18 - 24.
5. Wind Engineering - Building Aerodynamics. Force Technology. www.force.dk.
6. Бедаш С.Н., Борисов А.В., Гагарин В.Г., Гувернюк С.В., Козлов В.В., Петров Д.Н. Расчет аэродинамики и дождевого увлажнения стен высотных зданий // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. М., 2005. C. 4 - 8.
7. Исаев С.А., Судаков А.Г., Харченко В.Б., Усачов А.Е. Численное моделирование турбулентных отрывных течений в задачах внешней аэродинамики с помощью многоблочных вычислительных технологий // Модели и методы аэродинамикил Материалы Шестой Международной школы-семинара, Евпатория, 5-14 июня 2006 г. М., 2006. C. 41 - 44.
8. Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к летательным аппаратам интегральной компоновки (численное и физическое моделирование) /под ред. А.В. Ермишина, С.А. Исаева. М., 2003. 360 c.
9. Гутников В.А., Кирякин В.Ю., Лифанов И.К., Сетуха А.В. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки. М., 2002. 220 с.
10. Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н. Управление и стабилизация в аэродинамике. М., 1978. 480 с.
11. Светлицкий В.А. Механика стержней: в 2 ч. Ч. 2: Динамика. М., 1987. 304 с.
12. Графский И.Ю., Казакевич М.И. Аэродинамика плохо-обтекаемых тел. Днепропетровск, 1983. 116 с.
13. Девин С.И. Гидроупругость конструкций при отрывном обтекании. Л., 1975. 194 с.
14. Казакевич М.И. Аэродинамическая устойчивость надземных и висячих трубопроводов. М., 1977. 200 с.
15. Бурцева О.А., Кабельков В.А. Параметрические колебания упругого стрежня в потоке воздуха // Тр. XV между-нар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 4 - 7 декабря 2011г. / Ростовский гос. ун-т, НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича. Ростов н/Д., 2011. С. 42 - 46.
16. Бурцева О.А., Кабельков В.А., Чипко СА. Устойчивости и параметрические колебания упругого стержня в ветровом потоке // Аналитическая механика, устойчивость и управление: тр. X междунар. Четаевской конф. Т. 2. Секция 2: Устойчивость. Казань, 12 - 16 июня 2012 г. Казань, 2012. С. 136 - 143.
2 октября 2013 г.
