Оценка вероятности разрушения вала с обнаруженной усталостной трещиной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.431

А. В. Неменко, к.т.н., доцент , М. М. Никитин, инженер Севастопольский государственный университет ул. Университетская 33, г. Севастополь, , 299053 E-mail : [email protected] , [email protected]

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ВАЛА С ОБНАРУЖЕННОЙ УСТАЛОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ

Аннотация

Рассмотрена математическая модель развития усталостной трещины в нагруженной детали типа вал на основании цепи Маркова. Предложен метод сокращенного возведения в степень полученной матрицы вероятностей переходов с трудоемкостью алгоритма O(n). Проведено численное моделирование и получены количественные результаты.

Ключевые слова

Усталостная трещина, прогноз, цепь Маркова, вероятность разрушения

Введение. Актуальность задачи. Валы являются необходимыми элементами любой зубчатой передачи. С увеличением времени эксплуатации трансмиссии повышается вероятность усталостного отказа ее элементов. Наличие усталостной трещины при дальнейшей эксплуатации вызывает необратимый процесс, завершающийся разрушением вала. В промышленности, энергетике и на транспорте возможны ситуации, когда немедленная остановка машины для предотвращения усталостного разрушения способна привести к аварии с теми же последствиями, что и при вынужденной остановке вследствие произошедшего разрушения. Поэтому часто необходимо знать, в течение какого времени подверженный усталости вал еще может работать без разрушения и что можно предпринять в эксплуатационном плане для увеличения этого времени.

Наличие трещины в остановленном валу может быть установлено различными методами неразрушающей дефектоскопии, которых здесь мы касаться не будем, прогноз же дальнейшего её развития с достаточной достоверностью представляет собой нерешенную эксплуатационную проблему.

Анализ последних исследований и литературы. Согласно исследованиям [1],[2] при действии циклических напряжений, существенно меньших пределов прочности по статическим нагрузкам (многоцикловая усталость), можно выделить следующие стадии развития усталости. В начальной фазе имеет место рост дислокаций в объеме детали с образованием множественных микротрещин. Математически этот процесс адекватно описывается уменьшением пределов прочности, так как геометрические характеристики вала - моменты инерции при сопротивлении изгибу и кручению остаются неизменными и диссипация энергии носит распределенный характер.

На следующем этапе выделяется одна или несколько магистральных трещин, возникающих в области опасного сечения, на которых преимущественно и происходит вся диссипация передаваемой через деталь энергии. Согласно [2], механизм развития трещин существенно зависит от вида сплава, характера нагрузки, температурных условий. В частности, для легированных сталей отмечена комбинация вязкого и хрупкого разрушения, при котором сменяются этапы относительно длительного накопления дислокаций перед вершиной трещины, и собственно её роста, при котором область дислокаций разрушается в пределах одного цикла.

Конечной фазой является стадия долома, при которой трещина ослабляет моменты инерции и сопротивления настолько, что разрушение происходит как только очередной максимум циклического напряжения превысит предел прочности для статической нагрузки.

Очевидно, что фаза 1 при типичном для ответственных деталей запасе прочности в несколько раз не грозит непосредственным разрушением, а фаза 3 делает его неизбежным. С точки зрения рассматриваемой

проблематики представляет интерес только фаза 2, когда основная трещина уже имеется, но разрушение еще не произошло. Непосредственная экстраполяция на эту область данных из фазы 1 недопустима вследствие принципиально разной динамики ухудшения прочностных характеристик, поэтому общего решения задачи о росте трещины в произвольном материале к настоящему времени не существует.

Случай дискретного роста трещин в сочетании с циклическим характером приложения нагрузки позволяет оперировать характеристиками, учитывающими физический характер их распространения. Математическим аппаратом такого подхода являются цепи Маркова дискретного времени, что в общем виде и применительно к зубчатой передаче было рассмотрено в работе [3].

Основным препятствием применимости марковских процессов дискретного времени к рассматриваемой проблематике является трудоемкость вычислений при обработке получаемой на входе метода матрицы вероятностей переходов имеющей высокую размерность [4]. В [3] эта проблема для фазы 1 разрушения зуба была решена при использовании дальнего прогноза с помощью асимптотических методов. Специфика фазы 2 предполагает работу материала в упруго-пластической области вследствие чего меняется структура графа состояний трещины: «перескакивание» её через несколько состояний обладает крайне низкой вероятностью осуществления и практически может не рассматриваться. В этих условиях трудоемкость вычислений может быть значительно снижена, что и будет продемонстрировано в настоящей работе.

Постановка задачи. Известны текущее значение h и критическое значение (при котором наступает стадия долома) hmax характерного размера трещины. Шаг марковского процесса принимаем совпадающим с полным оборотом вала. Трещина распространяется скачкообразно. За один шаг процесса возможны два исхода: характерный размер остается в текущем состоянии или характерный размер увеличивается на величину скачка Д?.

Известны параметры распространения трещины: величина скачка и вероятности исходов. Для конкретного шага требуется найти вероятность нахождения вала в разрушенном состоянии за счет этого и всех предыдущих шагов и вероятность разрушения его именно на этом шаге.

Материал исследования. Для текущих условий работы вала Итлк можно определить аналитически из условий его работы либо визуально по результатам фрактограмм разрушения, на которых поверхность трещины работавшей в фазе 2 существенно глаже поверхности вала на участке долома за счет длительной пришлифовки стенок друг об друга взвешенными в смазке продуктами износа. В частности, если характерный размер представляет собой неработающую часть диаметра вала, то в первом приближении можно положить

¿шах ^ 0,5 • 4 (1)

Уровни дискретизации характерного размера обозначим в виде

?0,$\,...$т . (2)

Тогда общее количество уровней составит

h

т = (3)

Д . (3)

Обозначим вероятность нахождения трещины в текущем состоянии (переход отсутствует) через ро, а вероятность перехода в следующее состояние через р1. Из необходимости перекрытия всех возможных исходов шага следует условие нормировки

Р0 + Р1 = 1. (4)

При достижении состояния процесс заканчивается - наступает разрушение и вероятность нахождения системы в этом состоянии на следующем шаге равна 1.

Согласно теории марковских цепей [3, с.10] вероятность нахождения трещины в состоянии в] через п последовательных шагов будет равна элементу] - 1 (нумерация от нуля) вектора состояния V , полученного в результате умножения вектора начальных условий

V = [о 0 . 1 . 0 0], (5)

на матрицу вероятностей переходов, которая в данном случае принимает вид

P(s) =

Po Pl 0 0 Po Pi

0 0

0 0

0 0

P1 1

(6)

возведенную в степень п.

Согласно правилам операций над матрицами, искомая вероятность перехода трещины в состояние Sm будет равна элементу строки] - 1 столбца т - 1 полученной матрицы.

Индекс состоянияопределяющий номер единичного элемента в векторе начальных условий (5), получим, разделив текущую глубину трещины на величину скачка между уровнями Д?

h

j =

As •

(7)

По данным [1, c.66], величина Д для большинства сталей лежит в пределах 3 10-4 м. Величина hmax для мощных малооборотных двигателей достигает 5 10-1 м. Соответственно размерность m матрицы (6) может составить несколько тысяч, а сама матрица - содержать несколько миллионов элементов, непосредственное перемножение которых с сохранением точности представляет серьезную вычислительную проблему. Кроме того, трудоемкость существующих алгоритмов возведения произвольной матрицы в степень, большую её порядка, имеет нижнюю оценку О(т3,5), что для матрицы размерности 4000 при производительности 1 млрд операций с плавающей запятой в секунду дает характерное время получения результата более часа. Специфика асимптотической оценки допускает разброс в пределах порядка, но в любом случае для системы реального времени, связанной с безопасностью транспорта или производства, это недопустимо много. Поэтому рассмотрим возможность сокращенного возведения в степень матрицы (6).

Формулы сокращенного возведения матрицы вероятностей переходов в заданную степень. Обозначим результирующую матрицу (P(s) )п = Q. Докажем, что при (n > m) элементы её последнего столбца могут быть получены по формулам

n - m+1

Ôm-1 Х-*

0, m-1 = Pl • X

i=0

m - 2 + i ^

• P0

Ôm-1- i

j, m-1 = Pl

Qm-1,m-1 = 1

n-m+1+ j / t ■

1- j I m - 2 - j +

X

i=0

P0

(8)

где | | - биномиальный коэффициент степени a порядка b

V b J

a!

b!(a - b)'

(9)

Доказательство формул. Непосредственной подстановкой убеждаемся в справедливости (8) для (п = т) и (п = m +1). Пусть формулы (8) также справедливы для произвольного п. Обозначим матрицу

(P(s) )п+! = R.

Тогда относительно элементов последнего столбца R должны выполняться равенства (10)

n - m+2

п m-1 Vi I "

R0,m-1 = Pl

Rj,m-1 = p1

m - 2 + i

Л

• Po

m-1-- m£+j Im - 2 - j + Л

i=0 vi

'Po

(10)

Rm-1,m-1 = 1

Вычислим элементы последнего столбца R исходя из определения умножения матриц. Как известно, в общем случае операция произведения матриц некоммутативна. Исключение [5] составляет произведение матриц, для каждой из которых определена операция нахождения обратной. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является не равенство нулю её определителя, что для нижнетреугольных матриц Р(в) и Q выполняется автоматически. Поэтому последовательности операций умножения Р(в) на Q и Q на Р(в) эквивалентны.

Рассмотрим произведение Р(в) на Q. Запишем

m-1

Rj,m-1 = 2 j,i ^ Qi,m-1

(11)

i=0

Из структуры матрицы (10) следует, что строка р(в)у содержит ненулевые элементы ро и р\ только на позициях у и ]+1, поэтому преобразуем (11) к виду

К],т-1 = р0 • ОутА + р1 • +1,т-1. Учитывая (10) и справедливость (8) по допущению, получим

Я/,m-1 = P1

-„m-1-jn-£+j I m - 2 - j + i

i=0 v1

i+1 , m-1- /

• P0 + P1

n-m+2+] I m - 3 - j + i

v;

• P0

В первом слагаемом правой части введем индекс (к = г -1), так что

т-1-у

P1

n-m+1+j I m - 2 - j + Л

• X I

=0 V

i+1 m-1- j

• P0 = P1

n-m+1+j I m - 3 - j + k 1

2 L-1

k=1 \Л

(12)

(13)

Заменим обозначение к на г, и учитываем, что | ^ | = 1 вне зависимости от а

I „^^ IIm -з - j + Л Im -3 - j + i11 г 1

1 + 2 i -1 +i • P0

/V JJ J

Rj,m-1 = P1m-1-j ^ 1 +; ■ , ^ , i -1

i=1

( а 1

Учитывая тождество , +

IЬ )

п - р т-1-у

I а 1 I а +11

vb - 1J

vb J

vv

запишем

(14)

n-m+2+j I m - 2 - j + i i=1

P0 .

(15)

Формула (15) совпадает со второй формулой (10), следовательно утверждение в виде второй формулы (8) доказано. Аналогично доказываются первая и третья формулы. Пример 1. Определить элементы последнего столбца матрицы (6) размерности 4 в степени ! Исходная матрица:

(Р0 Р1 0 0 ^ 0 Р0 Р1 0 0 0 Р0 Р1

Ps =

v 0 0 0 1 J

(16)

Результирующая матрица

Q = (Р )8. (17)

Используя (6), получим искомые соотношения:

0о,3 = р1 -(1 + 3 • Ро + 6 • Ро2 +10 • Ро3 +15 • Ро4 + 21 • Ро5),

0\3 = Р12 ^ + 2 • Ро + 3 • Ро2 + 4 • Ро3 + 5 • Ро4 + 6 • Ро5 + 7 • Ро6),

п 11 I , 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 |

02,3 = Р1 •? + Ро + Ро + Ро + Ро + Ро + Ро + Ро )

03,3 = 1 . (18)

При заранее вычисленных коэффициентах и степенях Ро трудоемкость алгоритма нахождения элементов (8) составит 0(п), в результате характерное время решения рассмотренной выше задачи на том

же оборудовании составит 4 •Ю"6 с

Взаимосвязь с функциями распределения. Из формул (8) можно получить также вероятность разрушения вала при неограниченном возрастании времени. Отметив, что степень матрицы п присутствует в формулах только в качестве верхнего предела суммы, получим

Г (р\п Г п т-1-. V(т " 2 " 1 + '1

11т (р ) т-1 = 11т 0Д т-1 = Р1 • XI .

1=о \ )

Сумма в правой части (19) является формальным разложением функции

1

f (Ро ) =

• Ро . (19)

(20)

и \m-1-1

(1" Ро) '

в ряд Маклорена по степеням Ро. Радиус сходимости суммы составляет 1, при выполнении условия

Ро <1 (21)

согласно теореме Абеля и сумма сходится к функции (2о). Согласно условию нормировки (4), (21) выполняется автоматически, что дает нам право записать

т-1-; ( \т-1-и

11т Р )"лт-1 = Р1 -!-= Р , 1. (22)

п^да (1 - Ро )т 1 ; IР1 )

Для фиксированных т, Ро и . формулы (8) определяют вероятность Р(п) нахождения вала в разрушенном состоянии за счет текущего и всех предыдущих шагов, что является определением интегральной функции распределения [6]. Вероятность собственно разрушения на конкретном шаге (аналог дифференциальной функции распределения) для дискретных величин может быть получена из интегральной функции с помощью соотношения

р(п)=Р(п)-Р(п-1). (23)

Учитывая (8), запишем

(п -1 ^ ч п - т +1+и)

Математическое ожидание разрушения вала на фиксированном цикле (24) с высокой (до цикла) точностью определяется эмпирической формулой

^ т

Е = —. (25)

Р1

m-1- j n-m+1+ j П)= pi Ро

(24)

Определение параметров модели по результатам испытаний на выносливость. Формулы (24) и (25) позволяют определить параметры рассмотренной модели: величину уровня дискретизации и вероятность нахождения трещины в прежнем состоянии на следующем шаге ро по результатам испытаний серии образцов с соответствующим уровнем напряжений.

Исходя из сходства формы огибающей точек (24) и графика дифференциальной функции нормального распределения введем альтернативную запись формулы (24) в виде

p(n) =

1

л/2п • D

• e

(n - e )2 2D

(26)

где D - дисперсия, Е - математическое ожидание, определим эти параметры по результатам статистического ряда испытаний. Запишем

N

E «I nrf

(27)

i=0

N

D «1(П - E Г f,

(28)

t=0

где п! - количество циклов до разрушения образца I, / - частота события, равная отношению количества образцов, разрушившихся через п циклов к общему количеству испытаний. С достаточной для практики точностью

г 1

f t = — = const

1 N

(29)

Используя (26) и (27) запишем максимальное значение функции (26):

Ртах = Р(Е ) = -Т7=Г. (30)

л/2п D '

Положив в (24) (/=0) (трещина отсутствует) и учитывая (25), получим следующее алгебраическое уравнение относительно количества уровней дискретизации распространения трещины в образце т:

( \ m

V E у

m-1

1 -

m

E

\E-m+1 fß -1

E - m +1

= Pm

(31)

где результат - округление решения до ближайшего целого числа.

Решив (31) одним из численных методов, получим количество уровней дискретизации при испытаниях, откуда запишем оценку уровня для данного сплава при данной величине напряжений. Учитывая (5), получим

4 0,5- d

А ~-, (32)

т

где d - диаметр образца, м.

Вероятность нахождения трещины в прежнем состоянии на следующем шаге определим из (29) и найденной величины т

Po = 1 -

m

E

(33)

Пример 2. По результатам испытаний трех образцов из стали 30ХГСА [7,с.17-18] при уровне напряжений 549 МПа разрушение наступило через 24 103, 60 103 и 100 103 циклов. Определить параметры А? и ро при условии, что диаметр шейки опасного сечения каждого образца составлял 7,52 мм.

V

По формулам (25) и (27) получим E = 61333, d = 9,64 • 108 .По формуле (32) Pmax = 1,28 • 10"5. Используя найденные значения E и pmax в уравнении (31) и решив его с помощью системы символьной математики Maple 14, получим количество уровней дискретизации m = 6. Учитывая (32) и (33), д = 6,2 10 4м,

р0 = 0,999902.

Выводы. Предложена математическая модель развития усталостной трещины как марковского процесса, в рамках которой получены следующие закономерности. Вероятность разрушения вала, имеющего трещину глубиной h при критической глубине трещины /?,Т1;|Х через п циклов определяется формулами (8), перед использованием которых необходимо вычислить размерность матрицы вероятностей переходов т по формуле (3) и индекс начального вектора по формуле (7). Вероятность этого же события на заданном цикле определяется формулой (24). Полученные зависимости демонстрируют сходный характер изменения с интегральной и дифференциальной функцией нормального распределения, что может быть использовано для нормировки этих формул по результатам усталостных испытаний. В ходе численного моделирования на матрицах размерности от 100 до 10000 был установлен качественный характер процесса: количество циклов в пределах размерности матрицы (10) и в течение некоторой области после неё характеризуется крайне низкой (1 на несколько сотен и тысяч порядков) вероятностью разрушения. Эта область может практически считаться безопасной. Затем вероятность разрушения повышается до единицы, причем с уменьшением цикловой вероятности перехода трещины в следующее состояние вероятность повышается более плавно. Математическое ожидание вероятности разрушения вала на фиксированном цикле (24) определяется эмпирической формулой (25). Вероятность нахождения вала в разрушенном состоянии через количество циклов, равное (25), принимает значения, близкие 0,5.

Для использования модели необходимо знать текущую глубину трещины и параметры марковского процесса: количество уровней дискретизации и вероятность нахождения трещины в текущем состоянии на следующем шаге. При принятии ряда допущений эти параметры могут быть получены по результатам испытаний на выносливость образцов из материала, соответствующего материалу детали, при нагрузке, соответствующей эксплуатационной. В ходе проверки модели на экспериментальных данных [7] было получено совпадение порядка рассчитанного на её основе микроструктурного параметра - величины дискретизации распространения трещины Д? - с порядком значений, указанных в [1] на основании непосредственных измерений.

Список использованной литературы:

1. Иванова В. С. Природа усталости металлов/ В.С. Иванова, В.Ф. Терентьев//М.: Металлургия, 1975. - 456 с.

2. Трощенко В.Т. Сопротивление усталости металлов и сплавов. Справочник. Часть 1./В.Т. Трощенко, Л.А.Сосновский//К.: Наукова Думка, 1987 - 346 с.

3. Неменко А.В. Прогнозная оценка технического состояния зубчатой передачи/А.В. Неменко, М.М. Никитин// Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Проблемы механического привода. - Х.: НТУ "ХПИ", 2014. -№31(1074). - С.125-131. - Библиогр.: 7 назв. - ISSN 2079-0791

4. Соколов Г.А. Управляемые цепи Маркова в экономике/Г.А. Соколов, Н.А. Чистякова//М.: Физматлит,2005. - 248 с.

5.Маркус М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств/М. Маркус, Х. Минк//М.: Наука,1972 - 232с.

6. Вентцель Е. С. Теория вероятностей//М.: Высшая школа, 2001 - 575с.

7. Почтенный Е.К. Кинетика усталости машиностроительных конструкций/ Е. К. Почтенный//Минск: Арти-Фекс, 2002. - 188 с.

Evaluation of destruction probability of the shaft with fatigue crack discovered/ A.V. Nemenko, M.M. Nikitin

// Bulletin of NTU "KhPI". Series: Problem of mechanical drive. - Kharkiv: NTU "KhPI", 2015. - №31(1124). -P.139-143. - Bibliogr.: 7. - ISSN 2079-0791.

We consider mathematical model of fatigue crack progress in loaded shaft using Markov chain apparatus. We propose the way of fast power calculation for matrix resulted with number of operations O(n). We show numerical examples for results obtained.

Keywords: fatigue crack, forecast, Markov chain, destruction probability

©А. В. Неменко, М. М. Никитин, 2015

УДК 621.774

А. В. Неменко, канд. техн. наук, доц, М. М. Никитин, инженер Севастопольский государственный университет ул. Университетская 33, г. Севастополь, 299053 E-mail : [email protected] , [email protected]

ОПТИМИЗАЦИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО УРАВНОВЕШИВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА СТАНА ХОЛОДНОЙ ПРОКАТКИ ТРУБ

Аннотация

Рассмотрено влияние диаметра цилиндра пневматического уравновешивающего устройства (ПУУ) стана холодной прокатки труб на амплитуду остаточной не скомпенсированной силы и температурных напряжений за цикл. Приведены рекомендации для снижения этих величин. Обоснована возможность применения ПУУ только с одной рабочей полостью.

Ключевые слова

холодная прокатка труб, пневматическое уравновешивающее устройство, трубопрокатный стан,

уравновешивание, пневмоцилиндр

Введение. Повышение производительности прокатного стана в сочетании с безопасностью его работы является актуальной задачей современности. В частности, для стана холодной прокатки труб производительность ограничивается его быстроходностью (количеством двойных ходов клети в единицу времени) и долей используемого рабочего хода. При производстве тонкостенных и особо тонкостенных труб невозможно использовать весь ход рабочей клети за цикл, что для равной производительности с трубами остальных сортаментов требует повышения быстроходности стана.

Для этого используются специальные конструктивные решения по уравновешиванию механизма главного привода.

Полное динамическое уравновешивание с размещением дополнительных масс на звеньях механизма практически оказывается неприемлемым по конструктивным соображениям, поэтому применяется частичное уравновешивание отдельных звеньев.

В настоящее время эта задача решается с помощью систем грузового (SMS-Demag, ЭЗТМ (стан ХПТ 2-40б)) и пневматического (ЭЗТМ (стан ХПТ-32)) уравновешивания. В первом случае разгружается вал привода, что требует установки дополнительного кривошипно-ползунного механизма, перемещающего уравновешивающие звенья. Система отличается надежностью в работе, но не позволяет принципиально увеличить быстроходность вследствие инерционных нагрузок от присоединенных масс значительной величины [1]. Во втором случае разгружается сама клеть, к которой присоединяются штоки поршней пневмоцилиндров, сжимающих воздух до рассчитанного значения. В этом случае присоединенные массы значительно меньше, но надежность системы ниже [2] вследствие нагрева воздуха при сжатии, что вызывает необходимость постоянного охлаждения пневмоцилиндра. В работе [3] на основании осциллографирования нагрузок на двигатель стана ХПТ-32-2 при включенном и отключенном пневматическом уравновешивающем устройстве сделан вывод также о недостаточной эффективности ПУУ в области демпфирования высокочастотных колебаний крутящего момента. Отмеченные недостатки в ряде случаев [4, c.46] со временем привели к демонтажу изготовленных ПУУ со станов 3-й серии ЭЗТМ.