Оценка снизу мощности 7-дизайна на сфере S2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 15-23

= Математика

УДК 517.5

Оценка снизу мощности 7-дизайна на сфере £2 *

Д.В. Горбачев

Аннотация. В работе показывается, что чебышевский 7-дизайн на сфере Б2 содержит не менее 22 точек. При этом известен 7-дизайн из 24 точек.

Ключевые слова: сфера, дизайн, код, многочлены Гегенбауэра, задача Дельсарта, полуопределенное программирование.

В работе рассматривается в основном случай единичной сферы 52 пространства М3. Однако приводимые результаты обобщаются на произвольные компактные римановы симметричные пространства ранга 1.

Сферическим (чебышевским) дизайном порядка в (в-дизайном) называется множество узлов С = {хи}^=1 С £га_1 (Ы = \С|), называемое также кодом, для которого кубатурная формула с равными весами

1 Г 1 "

|5“-Ч Л- -к=1

точна для любого многочлена / степени в.

Минимальным называется в-дизайн С, который при заданном порядке точности в имеет наименьшее число точек (мощность) Жга(в). Очевидно, что N■0,(0) = 1 (любая точка).

Рассмотрим случай п = 3. Известны значения N3(1) = 2 (две противоположные точки), N3(2) = 4 (вершины правильного тетраэдра), N3(3) = 6 (вершины октаэдра) и N3(5) = 12 (вершины икосаэдра). В этих случаях правильную оценку снизу мощности N3^) дает известная граница Дельсарта-Геталса-Зейделя [1]:

чс+1£+2), в=£+, (1)

Ее вывод опирается на решение при п = 3 экстремальной задачи, нар (а’а) (*) _ 3

зываемой сейчас задачей Дельсарта. Пусть Р0(і) = \аа)—, а = 0-3, —

Рк (1)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-00564).

многочлены Гегенбауэра (при n = 3 это многочлены Лежандра). В задаче Дельсарта требуется найти величину

Am(s) = f (1)

f K (s)

где m ^ s, K'm(s) — класс алгебраических многочленов вида

s m

f(t) = 1 + ^ akPfn(t) - ^ Pfc(t),

k=1 k=s+1

удовлетворяющих условиям:

f (t) ^ 0, t e [-1,1], ak ^ 0, k ^ s + 1. (2)

(при m = s последнее условие отсутствует). Справедлива оценка (LP-оценка Дельсарта)

Nn(s) > \Am(s)l (3)

где [a] — ближайшее к a целое число, не меньшее a.

Приведем вывод этой оценки. Он опирается на два известных свойства многочленов Гегенбауэра [2]:

1) неотрицательная определенность

£ Pi(cc') > 0, k > 1 (4)

c,cJEC

(cc1 — скалярное произведение векторов c, c e Sn-1, cc = 1), при k = 0 сумма равна \C|2;

2) код C будет s-дизайном тогда и только тогда, когда

£ Pn(ec)=0, £ Pf(cc')=0, 1 « k « s, (5)

cEC c,dEC

где e e Sn-1 — произвольная точка.

Пусть f e Km(s). Тогда

1 = £ f(cc') = £f(1) + £f(cc') > \C\f(1) c,C EC c=c' c=d

(здесь используется неотрицательность многочлена f, в силу которого сумму для c = d можно отбросить),

sm

I = £ 1 + £a„Y, Pk(cc’) - £ a„Y, Pn(cc') « \C\2.

c,c’EC k=1 c,c EC k=s+1 c,d EC

(здесь использовались свойства (4), (5) и неотрицательность коэффициентов ak при k ^ s + 1). Таким образом, \C\ ^ f (1) и осталось учесть, что Nn(s)

целое число.

В работе [1] найдена величина АП (в). Экстремальными в этой задаче являются многочлены

'(г +1)4 )2. в = 2г,

fs(t) = < ;P'\ ,,.,,(,) ч 2 fs e Ks!(s). (6)

(г + 1)(r + 2) ^ ) , s = 2r + 1,

Если в задаче Дельсарта степень многочленов m устремить в бесконечность, то в пределе получим соответствующую задачу An(s) для функций. Она исследовалась В. А. Юдиным [3]. Он построил пример допустимой функции с достаточно большим значением в единице. В случае n = 3 она дает оценку A3(s) ^ 2/(1 — t]), где t] — ближайший к единице нуль многочлена

Ps(1,1)(t), откуда

N3(s) > [г—^. (7)

Эта оценка улучшает границу (1) при больших s, а при s = 2, 3, 5 также дает правильную нижнюю оценку мощности N;3(s).

Границы (1) и (7) неточные уже при s = 4. Они дают оценку N3(s) ^ 9, хотя, как будет показано далее N3(4) ^ 10. Правда и последняя оценка скорее всего неточна для случая чебышевских дизайнов, а верно равенство N3(4) = 12. Отметим, что оценка (3) справедлива для дизайнов с произвольными положительными весами, а экспериментально можно показать существование 4-дизайна с неравными весами из 10 точек.

Рассмотрим случай n = 3, s = 7. Границы (1) и (7) дают оценку N3(7) ^ ^ 20. При этом известен 7-дизайн [4], состоящий из 24 точек. Следовательно, N3(7) < 24.

В [5] приведена оценка N3(7) ^ 21. Она получается, если решать, например, задачу A11 (7). Ее приближенное решение легко получить методом, описанным в книге [6, с. 430], где рассматриваются аналогичные задачи для случая оценки мощности кодов. Этот метод заключается в замене условия неотрицательности многочлена f e Kmn (s) на целом отрезке [—1, 1] (непрерывное условие), условием неотрицательности f (ti) ^ 0 в узлах густой равномерной сетки {ti = —1 + i/M}2=0 С [—1,1] (дискретное условие). Это приводит к обычной задаче линейного программирования. Из ее решения находятся приближенные значения коэффициентов экстремального многочлена и соответствующий им многочлен f. Далее находится оценка снизу ц минимального значения многочлена f на [—1,1]. Значение ц должно быть отрицательным и близким к нулю. Тогда многочлен f *(t) = (f(t) — i)/(1 — i) e Km(s) и его применение дает оценку Am(s) ^ f *(1). Для случая n = 3, s = 7, m = 11, M = 300 (Maple, Digits равно 100) имеем fi = —0.0001573 и A31(7) ^ f *(1) > 20.282581. Отсюда и из (3) следует, что N3(7) ^ 21. Отметим, что действуя по этой схеме в случае s = 4, m = 7 получаем ц = —0.00002 и A!(4) ^ 9.282, откуда N3(4) ^ 10.

В [5] для решения задачи А^(в) предлагается более прямой метод, основанный на сведении задачи Дельсарта к некоторой задаче полуопределенного программирования (ЯБР-задаче). Этот способ приводит к тем же оценкам А3!(7) и, соответственно, N3(7). При этом увеличение степени т > 11 лишь чуть уточняет оценку величины А^(7), что дает основания предположить, что А3(7) < 21. Для доказательства этой гипотезы можно пробовать применить оригинальную методику работы [7], где исследуется задача Дельсарта для кодов.

Таким образом, для получения лучших границ необходимо усовершенствовать сам метод Дельсарта. Для случая сферических кодов это сделано в [8], где схема Дельсарта обобщается за счет использования трехточечного распределения кода и неотрицательной определенности на нем некоторых матричных функций, выражаемых через многочлены Гегенбауэра. При этом возникает экстремальная задача для многочленов от трех переменных, также сводящаяся к ЯБР-задаче. Это позволило авторам работы [8] получить существенное продвижение в оценке мощности сферических кодов, в частности, контактных чисел. В работе [9] ЯБР-метод [8] обобщается на случай оценки энергии электронов на сфере (задачи Томсона).

Далее кратко приведем модификацию ЯБР-метода [8] на случай сферических в-дизайнов, являющихся т-кодами. В итоге она позволяет получить следующий главный результат работы.

Теорема. Справедлива оценка

N3(7) ^ 22.

При выводе ЯБР-оценки будем использовать обозначения и результаты из работ [8-10]. Конечное множество С С Би-1 называется т-кодом, если шахс=с/ес сс' = т. Рассмотрим трехточечное распределение С:

х(и, V, £) = -1 | {с, с', с'' Е С: сс' = и, сс!' = V, с'с'' = |.

СI

Здесь —1 ^ и^,1 ^ 1. При этом матрица Грама (и 1 * ) ^ 0 (неотрицательно

V V г 1 /

определенная), что дает условие

1 + 2uvt — и2 — V2 — Ь2 ^ 0.

Величина х(и,и, 1) = Щ |{с, с' Е С: сс' = и}| является двухточечным распределением кода С.

Для т-кода С имеем: х(и^,Ь) = 0 при т < и, V ,Ь < 1, х(и,и, 1) = 0 при т < и < 1.

Справедливы равенства (и,,и,Ь пробегают все допустимые значения):

, 2

|2 - ^ -Л\v,^) = ( х(

Свойства многочленов Гегенбауэра (4) и (5) (второе равенство) можно записать в виде

'^2/х(и,и, 1)Р?(и) ^ 0, к ^ 1, ^х(и,и, 1)Р?(и) = 0, 1 ^ к ^ в.

ии

В [8, 10] вводятся симметричные матрицы

= {(БП)-(u,v,t)}d~=0, к = 0,l,%...,

где ! ^ 0 — некоторое целое число, задаваемое как и т произвольно. Элементы этих матриц (Б?)-(и,и^) являются симметричными многочленами степени, не большей 2!, и выражаются через многочлены Гегенбауэра:

(Бп)-(и,'о^) = 6 [(уп)-(и,и^) + (уп)-+ (уп)-+

+ (Ук)гз (v, t, и) + (Уи)г- ^, и ^ + (У?)ц^, v, и)] ,

(У?)-(и, V, ^ = иV[(1 — и2)(1 — V2)]к/2Р?-1( —и—2и11===^). (8)

Для к ^ 1 значения Б?(1,1,1) = 0.

Матрицы Б?(и,и^) обладают следующим свойством неотрицательной определенности

Б?(сс',сс'',с'с'') £= 0,

с,с/,с//еС

откуда

^ х(и^^)Б'П(и^^) £= 0, к ^ 0.

и,у,г

Кратко отметим идею получения этого свойства. Пусть е Е С — произвольная точка кода С, Б?-2 — большой круг с направляющим вектором е (это сфера Бп-2). Точки кода с Е С проецируются на Б?-2 продолжением до пересечения с БП-2 геодезических линий ес. На Б?-2 проекции образуют сферический код, для которого верно свойство неотрицательной определенности (4), только с заменой п на п — 1 (это объясняет появление в (8) для многочлена Гегенбауэра индекса п — 1).

Положим I = [—1, т], Б0 = {(и, и, 1): и Е I},

Б = {(и, v,t): — 1 ^ и ^ V ^ ^ т, 1 + 2uvt — и2 — V2 — Ь2 ^ 0}, (9)

и введем новые переменные

х'(и, v,t) = т(и^^)х(и^^) ^ 0, (и^^) Е Б и Б0, (10)

где т(и, V, ^ = 1 при и = V = t, т(и, V, {) = 3 при и = V = t, и = V = t, и = t = V

и т(и, V, {) = 6 при и = V = t.

В новых переменных имеем: 2

ICI2 = 1I Е x'(u,v,t) = (і I 1 Еx'(u,u, їЛ , (11)

(n,v,t)£DUD0 иЄІ

1 З

s^2/x'(u,u, l)Pn(u) ^ —1, k ^ 1, (12)

иЄІ

1 З

s^2/x'(u,u, 1)P'n(u) = —1, 1 ^ k ^ s, (13)

иЄІ

Sn(1,1,1) I E x'(u,v,t)Sn (u,v,t) ^ 0, k ^ 0. (14)

(n,v,t)ЄDUDo Из (11) следует, что а I а' — а2 = 0, где 1

З

а =~Е x'(u,u, 1) = IC I — 1, а' = Е x' (u,v,t).

иЄІ (n,v,t)ЄD

Это означает, что матрица (* ст+ст/) ^ 0 или

(о 0) + 1 Е г) (° I Е x'(u,v,t)(0 0) > О (15)

' ' иЄІ ' ' (n,v,t)ЄD ' '

Выведем усовершенствованную SDP-оценку Дельсарта для s-дизайнов, являющихся т-кодами. Необходимо минимизировать количество точек ICI. Используя выписанные выше соотношения, приходим к следующей экстремальной задаче. Найти

lImin^E x'(u,u, 1)| (16)

ив1

при выполнении условий (10), (15), (14), (13) и (12) (это условие пересекается с (13) и поэтому выписывается только при к ^ в + 1) .

Переменные х' принимают дискретные значения, поэтому удобно перейти к двойственной задаче, которая оценивает решение задачи (16) и, как следствие, мощность в-дизайна, являющегося т-кодом, снизу: найти

sm

вml,d(s, т) =11 max| Е ak— Е ak— bn—tr(FoSo(1, l, о)и (1Т)

k=1 k=1 '

при условиях: для u Є I

m s d

g(u) = E akP'k(u) — E a'kPk^I b12 I b211 b22 IЗ tr(FkSl(u,u, 1)) ^ 1;

k=1 k=1 k=0

для (и, V, £) € Б

й

Н(и, V, ^) = 622 + Е ^(Гк^(и, V, ^) ^ о к=0

(в силу симметричности многочленов (Б'П)] (и,,и,Ь) теперь в определении (9) области Б можно считать, что —1 ^ и,,и,Ь ^ т);

ак ,ак > 0, В = * 0, Гк € 6’+_к+1-

Здесь 5+ — множество неотрицательно определенных матриц размера г х г. Для т-кода С, являющегося 8-дизайном, имеем

\С\ ^ \В'т,й(8,т)1-

Следуя [8, 10] задачу В'П^(8,т) можно свести к конечномерной ЯБР-за-даче. Неотрицательный на всей оси многочлен /(и) степени 2г представляется в виде неотрицательно определенной квадратичной формы (иг, г), где г = (1,и,и2,... ,иг) и и € 5+1. Аналогично можно записывать неотрицательные многочлены от большего числа переменных.

Пусть ро(и) = 1. Введем неотрицательный на I = [—1, т] многочлен

Р1 (и) = (и + 1)(т — и). Тогда условие g(и) ^ 1, и € I, эквивалентно тождеству

1

g(и) + ЕРг(и)(Сгг,г) = 1, Сг € 5++1, г = т&х[\т/21,й}. (18)

г=0

Аналогично, полагая ро(и^,1) = 1, р-\_(и^,Ь) = р1(и), р2(u,v,^) = p2(v), р3(и, V, ^ = pз(t), р4(и, V, ^ = 1 + 2uvt — и2 — V2 — ^,

г = {uгvj^: 0 ^ г^,к ^ d, г + ] + к ^ (!} = (г1, г2,..., гп),

условие Ь(и,и^) ^ 0, (и,и^) € Б можно записать в виде

4

Ь(и^^) — ЕРг(и^^)(Щг, г) = 0, Нг € Б+. (19)

г=0

Введем матрицу переменных

X = А ® А ® Г ® В ® С ® Н, (20)

где А = ®т=1ак и А = ®к=1 ак (диагональные матрицы), Г = ®к=0Гк, С = = ®1=оСг, Н = ®4=оНг. Здесь и ® V обозначает блочную матрицу (0 V). Из приведенных выше условий следует, что X £= 0.

Выписывая в тождествах (18) и (19) коэффициенты многочленов при переменных и, V, t, получаем соотношения вида 1г(К^X) = 5о], где ] =0,1,... ..., 2г + п, В,] — некоторые симметричные матрицы, Ьтп — символ Кроне-кера.

Таким образом, окончательно приходим к следующей SDP-задаче. Найти

B'mtd(s) = 1 + maxtr(QX), tr(RjX) = 50j, j = 0,1, ■ ■ ■, 2r + n,

где X £= 0 и имеет блочную структуру вида (20). Здесь матрица Q определяется из (17).

Теперь докажем основной результат, n = 3, s = 7. Имеем оценку N3(7) ^ ^ [А3! (7)1 = 21. Из нее следует, что 7-дизайн C содержит не менее 21 точки. Предположим, что он содержит N = 21 точку и является т-кодом. Пусть fs(t) = 1 + s k=l ak Pfc(t) — многочлен из (6), s = 7. Для него fs(1) = 20. Пусть e — произвольная тока кода C, e' — ближайшая к ней точка из C, ee' = т. Используя свойства многочлена fs и (5) получаем

1 = Е fs(ec) = fs(1) + fs(T) + Е fs(ec) ^ fs(1) + fs(T),

ceC c=e, ej

s

I = £1 + £ a„Y, P'k(ec) = N.

cec k=1 cec

Таким образом, N ^ fs(1) + fs(T) и fs(T) ^ N — fs(1). В рассматриваемом случае fj(T) ^ 21 — 20 = 1. Уравнение fj(T) = 1 имеет единственное решение на отрезке [—1,1], равное 0.776. ■ ■ Можно считать, что T = 0.777. Решая задачу Б^ 8(7, 0.777) (использовался online SDP-солвер [11]), получаем Б32 8(7, 0.777) > 21.012. Таким образом,

N3(7) ^ 22.

Отметим, что значение 22 в оценке таким методом, по-видимому, улучшить нельзя, поскольку существует экспериментальный 7-дизайн с неравными весами из 22 точек.

Тем не менее, выдвинем следующее предположение.

ГИПОТЕЗА. Минимальный чебышевский 7-дизайн на сфере S2 содержит, 24 точки.

Список литературы

1. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and design // Geom. Dedi-cata. 1977. V. 6. P. 363-388.

2. Андреев Н.Н. Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере // Матем. заметки. 2000. Т. 67, №4. С. 489-497.

3. Юдин В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61, №3. С. 213-223.

4. Hardin R.H., Sloane N.J.A. McLaren’s improved snub cube and other new spherical designs in three dimensions // Discr. Comp. Geometry. 1996. V. 15. P. 429-441; www.research.att.com/~njas/doc/snub.ps

5. Горбачев Д.В., Перов И.Н. Метод решения экстремальных задач Дельсарта при помощи SDP // Матер. Межд. научн. конф. «Современные проблемы матема-

тики, механики, информатики», Тула, 17-21 ноября 2008. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С. 43-46.

6. Конвей Дж, Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т. 2. — М.: Мир, 1990.

7. Арестов В.В., Бабенко А.Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44-73.

8. Bachoc C, Vallentin F. New upper bounds for kissing numbers from semidefinite programming // J. Amer. Math. Soc. 2008. V. 21. P. 909-924; arXiv:math/0608426v4 [math.MG].

9. Горбачев Д.В., Филиппов Д.В. Оценка энергии зарядов на сфере при помощи SDP // Труды Межд. летней матем. Школы С. Б. Стечкина по теории функций, Алексин Тульской обл., 1-9 августа, 2007. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 70-78.

10. Mittelmann H.D., Vallentin F. High accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers // arXiv:0902.1105v3 [math.OC].

11. sdpa.indsys.chuo-u.ac.jp/portal/

Горбачев Дмитрий Викторович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

A lower estimate for the cardinality of a 7-design on the sphere S2

D.V. Gorbachev

Abstract. In this paper we show that Chebychev 7-design on the sphere S2 contains no less than 22 points. In this case 7-design of 24 points is known.

Keywords: sphere, design, code, Gegenbauer polynomials, Delsarte problem, semidefinite programming.

Gorbachev Dmitry ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.06.2010