CC BY
10Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып.13.2011
УДК 621.391.1:519.27
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ КОНТАКТНЫХ ЧИСЕЛ
Даётся обзор методов оценивания контактных чисел, основанных на линейном программировании. Проведены расчёты в МаЙаЬ. Приводится таблица наилучших известных до сих пор границ для оценки контактных чисел сверху.
Ключевые слова: верхняя граница, контактное число, Дельсарт, линейное программирование
1. Обозначения и предварительные сведения
В Мп используем скалярное произведение ху — Х\у\ + ... + хпуп векторов х и у, а также норму \х\ = л/хх. Рассмотрим шар В(хо,г) = {х Є Мп: \х — хо\ ^ г} радиуса г > 0. Будем искать шары В{хі,г), г Є 1 : т, касающиеся шара В(хо, г), но при этом В{х^ г) и В{х^^ г) при 1 ^ г < і ^ т не имеют общих внутренних точек. Эти условия можно записать так:
Через Мп обозначим максимальное количество шаров, которые можно приклеить к данному шару так, чтобы выполнялись условия (0.1) и (0.2). Число Мп зависит только от п и называется контактным числом. Используется также английский термин “kissing number”. Известны контактные числа М2 = 6, М3 = 12, М4 = 24. О них имеется обширная литература (см. ссылки в [3], [2], [3]). Число М3 = 12 правильно указано Ньютоном в 1694 г., из многочисленных доказательств отметим работу [4]. Равенство М4 = 24 очень сложным образом доказал О. Мусин [3]. Также известно, что М24 = 196560 [3].
Сферическим кодом называется любое конечное множество С на сфере 5П_1 = {х е Мп: \х\ = 1}. Рассмотрим случай, когда угол между
Н. О. Котелина
xi — хо\ = 2г, г = 1, 2,..., т,
Xi — Xj\ ^ 2r, 1 ^ г < j ^ т.
(0.1)
(0.2)
(с) Котелина Н. О., 2011.
векторами кода не меньше 60°, т. е. выполнено неравенство
ху ^ \ У х, у е С, хфу. (0.3)
Такой код С будем называть | - кодом. Условие (0.3) равносильно неравенству
\х - у\2 = \х\2 - 2ху + \у\2 = 2(1 - ху) ^ 2(1 - ±) = 1,
т. е. расстояние между точками кода не меньше 1.
Через Ап обозначим максимальное количество векторов | - кода. Справедливо равенство
Ап = Мп. (0.4)
Действительно, возьмем | - КОД С = {х\, ...,хт} С й'”-1, тп = Ап,
основной шар В (О, |) и приклеим к нему шары В{х^, |), г £ 1 : т.
Условия (0.1) и (0.2) выполнены при х^ = О и г = поэтому Ап ^ Мп. Обратное неравенство столь же очевидно.
Многочисленные примеры | - кодов можно получить, рассматривая минимальные векторы решеток (см. об этом в [5]), а оценку сверху для Ап = Мп дает теорема Дельсарта [6].
2. Оценка Дельсарта для мощности | - кода
В начале 1970-х годов Ф. Дельсарт предложил замечательный метод оценки Ап сверху, использующий полиномы Гегенбауэра {С^(£)}^0. Эти полиномы обладают свойствами:
1. Сг^(£) — алгебраический полином степени к;
2. полиномы {С^(£)}^0 образуют ортогональную систему на [—1,1] С весом иип(£) — (1 — £2)^;
3. выполнено условие нормировки £7*^(1) = 1;
4. для любых е Бп~1 матрица неотрица-
тельно определена, в частности
т
]££<п)(ад) ^0, А: = 1,2,.... (0.5)
*,7=1
ТЕОРЕМА 1. (Дельсарт). Пусть f(t) — полином степени с1, удовлетворяющий условиям:
1. /(1) ^ 0 при £ £ [—1, |];
2. коэффициенты разложения f(t) по полиномам Гегенбауэра
т = 't^Kn)w
k=О
неотрицательны: /^ ^ О, k G 0 : d, и /^ > 0. Тогда Ап ограничивается неравенством
Ап ^ /(1)//о(п) (0-6)
3. Сеточная задача линейного программирования
Для данного п, используя оценку Дельсарта (0.6), оценим Мп. Выберем d и равномерную сетку на [—1, . Положим
i
U = — 1 + 1.5 • —, г = 0,..., т. т
Задача оценивания Мп сводится к нахождению полинома f(t) степени d, имеющего вид
/ (t) — /о + ^ fkG^ (t), к=1
где Д ^ 0 при ^ ^ 0 : б! и /о > 0, минимизирующего /(1), при этом /0 будем фиксировать, взяв равным 1. Запишем соответствующую задачу линейного программирования. Тогда
Д/(Ь • • • ^ ЛО = /(1) = /о + * * * + 1(1 т1гц (1
№ = ^ 1кО^\и) ^ 0, г е 0 : т,
/о = 1,
Л ^ 0, к е 1 : с1.
Если (/0*, - - -, /^) — оптимальное решение (0.7), то /*(£) = ^=о
— оптимальный полином, для которого, из-за возникающей при решении задачи (0.7) погрешности, на отрезке [—1, |] может нарушаться условие неположительности, требуемое теоремой (0.6). Для того, чтобы это исправить, введем
£ = max{/*(t), t Є [-1, !]}.
Если е > 0, то рассмотрим полином
Ш =
Заметим, что /(£) ^ 0 на [—1, . Коэффициенты / и /* связаны соот-
ношениями
л = /г, к = 1: л» = /о -£-
По оценке Дельсарта (0.6)
Мп * М=
/о
4. Решение задачи линейного программирования в среде Ма11аЬ
Будем решать задачу (0.7) в среде МаШЬ 7.4.0 (112007а). Как показано в докладе [7], задачи линейного программирования в среде МаШЬ решаются с помощью функции Ипргс^.
Функция Ипргс^ решает задачу линейного программирования в форме
/т • х —>> шт,
\ А (0.8)
А • х ^ 6, Аед • х = Ьед, 1Ь ^ х ^ иЬ.
На выходе linprog даёт оптимальный план х задачи (0.8) и экстремальное значение целевой функции :£уа1. В задаче (0.7) зададим входные данные для программы. Введем индексные множества В — 1 : (1+1, М = 1 : т + 1 и зададим вектор-строку коэффициентов целевой функции /т[£)], матрицу ограничений-неравенств А[М, £)], вектор-столбец правых частей ограничений-неравенств Ь[М], матрицу ограничений-равенств Аед[ 1,1)], вектор-столбец ограничений-равенств вектор-столбец ограничений снизу /&[£)]:
/гр] = (1 •••!);
А[г, А:] = <3^п)(^), г е М, к £ Б;
Ъ[М] = (0 ... 0)т;
Ае^[1, 0] = 1; ^4ед[1, /с] = 0, к £ 2 : (1 + 1;
5е<?[£>] = (1,0,... ,0)т;
ВД = (0,...,0)т
Далее зададим название используемого для решения задачи метода, например, simplex, и максимальное количество итераций:
options = optimset(/LargeScale/, 'off', 'Simplex', 'on', 'Maxlter', 100);
Применим функцию linprog таким образом:
[x, fval, exitf lag, output] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, [],[], options);
5. Верхние границы для контактных чисел
Далее приведем верхние границы линейного программирования для Мп, полученные с помощью программы в среде MATLAB. В эту же таблицу для сравнения поместим верхние границы для Мп, полученные в книге Дж. Конвея, Н. Слоэна [1, с. 42].
Верхние границы для Мп
п d m /*(1) є 1—є L^J Г раница из [3]
2 4 50 6.00 2.97е-04 6.00 6 6
3 10 100 13.16 2.26е-05 13.16 13 12
4 9 100 25.56 5.90е-04 25.57 25 25і
5 10 100 46.33 5.35е-04 46.36 46 46
6 10 100 82.62 5.89е-04 82.67 82 82
7 10 100 140.15 2.88е-04 140.19 140 140
8 6 100 239.88 7.35е-04 240.06 240 240
9 11 100 380.04 2.17е-03 380.87 380 380
10 11 400 595.82 1.47е-04 595.91 595 595
11 11 200 915.31 1.65е-04 915.46 915 915
12 11 200 1416.07 6.29е-04 1416.96 1416 1416
13 12 300 2233.41 2.24е-04 2233.91 2233 2233
14 12 400 3492.10 9.72е-05 3492.44 3492 3492
15 12 400 5430.68 1.73е-04 5431.62 5431 5431
16 13 490 8313.59 6.73е-05 8314.14 8314 8313
17 13 400 12218.16 1.43е-04 12219.91 12219 12215
18 13 450 17876.67 1.12е-04 17878.68 17878 17877
19 13 450 25899.87 1.64е-04 25904.12 25904 25901
20 13 490 37972.01 2.29е-04 37980.69 37980 37974
10. Мусин доказал, что М4 = 24 [3].
21 13 470 56851.15 2.45е-004 56865.07 56865 56852
22 14 490 86531.38 2.58е-04 86553.69 86553 86537
23 14 490 128086.15 3.70е-04 128133.57 128133 128096
24 10 420 196563.94 -1.72е-05 196563.94 196563 196560
6. Еще одна задача линейного программирования для оценки контактных чисел
В [1] был предложен еще один вариант задачи линейного программирования для оценки сверху контактных чисел Мп. С его помощью данной задачи в [1] показано, что М9 ^ 379.
Для данного п зафиксируем с1. Тогда задача линейного программирования будет выглядеть следующим образом:
(1
^(1) — /к + /<г+1 + 2/^+2 —тт,
к=1
(1
- /<г+1 - 2/^+2 ^ -1, t е [-1,-^= ~ л/З],
/с=1
Л^п)(*) - /й+1 - и+2 < -1, г е - л/3, ^ ^
— /**+2 ^ -Ме
/с=1
^2?к°кП)(г) < -1’ ге
/с=1
Л^о, к Е 1 : (1 + 2.
Рассмотрим полином
сI
/(<) = 1 + Елс1”,М' <0'10)
/С = 1
Справедлива следующая теорема [1] (её доказательство приводится в статье А. Б. Певного и М. Н. Истоминой в этом выпуске “Вестника”).
ТЕОРЕМА. Если полином (0.10) удовлетворяет, ограничениям
/(t) ^ fd+i + Vd+2, t е [—1, — Щ,
f(t) ^ fd+l + fd+2, t € — л/з,
fit) < fd+2, t е
/(*) ^ 0, t G /jfc ^ 0, k G 1 : d + 2,
mo контактное число Мп удовлетворяет неравенству
Мп ^ /(1) + /d+i + 2fd+2- (0-11)
При п = 9, с/ = 11 задача (0.9) была решена нами в Matlab и были получены следующие результаты: / = [7.42462352, 26.30767740, 58.52329993,89.07308012, 93.98656791, 65.61602353, 22.96950787, О, О, 7.78466193 6.43507227, 0.32044787, 0.20518516],
d
bmin = 1 + S* = 1 + fk + fd+i + 2/d+2 = 379.8513.
k=1
С учётом погрешности e 2.54e —4 окончательный результат выглядит так
М9 ^ bmin ~ g = 379.9476.
1-е
7. Верхние границы для контактных чисел, полученные с помощью полуопределённого программирования
С. Bachoc и F. Vallentin [10] разработали метод для нахождения верхних границ для контактных чисел, основанный на полуопределённом программировании. Приведём таблицу верхних границ, полученных с помощью полуопределённого программирования (ПП) в статье [9]. Для сравнения приведём также лучшие верхние границы для контактных чисел.
Верхний границы для] МП} полученные а помощьщ ПП
п лучшая верхняя гpaницaJ известная ранее ПП граница
3 П (ЭсЬШ^е] VJ <и WaerdenJ 1953 [11]] 5142=12.38...
4 24 Мизш] 2008 [3] гм =■ 24.06 ]..
5 45 ВасЬос, УаПепИп] 2008 [10] 5П 44.99 ]..
0 78 ВасЬос, УаПепйп] 2008 [ТО] 514 = 78.24]..
7 135 ВасЬос, УаПепйп] 2008 [ТО] =■ 134.44 ]..
а 240 ОсПугко, 81оапе, 1979 [Т2] - 240.00]..
э 360 ВасЬос, УаПепйп] 2008 [ТО] 5Д =■ 304.09 ]..
ти 567 ВасЬос, УаПепйп] 2008 [ТО] зд = 554.50]..
11 915 ОсПугко, 81оапе, 1979 [Т2] в14 = 870.88]..
12 1410 ОсПугко, 81оапе, 1979 [Т2] = 1357.88]..
13 2233 ОсПугко, 81оапе, 1979 [Т2] в14 = 2069.58]..
и 3492 ОсПугко, ЭЬапе, 1979 [Т2] в14 = 3183.13]..
19 5431 ОсПугко, 81оапе, 1979 [Т2] 314 = 4866.24]..
16 8312 РГепс1ег] 2007 [13] 314 = 7355.80]..
Т7\ 12210 РГепс1ег] 2007 [13] зы = 11072.37...
18 17877 ОсПугко, 81оапе, 1979 [12] = 16572.26...
19 25900 Воууа1епкоу, 1994 [14] в14 = 24812.30...
2 нижний индекс соответствует значению параметру 3
20 37974 Odlyzko, Sloane, 1979 [12] s14 = 36764.40 ...
21 56871 Boyvalenkov, 1994 [14] Su = 54584.76 ...
22 86537 Odlyzko, Sloane, 1979 [12] si4 = 82340.08 ...
23 128095 Boyvalenkov, 1994 [14] si4 = 124416.97...
24 196560 Odlyzko, Sloane, 1979 [12] sn = 196560.00...
Литература
1. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решётки и группы. Т.
1, 2. М.: Мир, 1990.
2. Pfender F., Ziegler G. М. Kissing numbers, sphere packings and some unexpected proofs // Notices AMS. September 2004■ P- 873-883.
3. Musin O. R. The kissing number in four dimensions Preprint (http://arXiv.org/abs/math/0309430v3).
4. Maehara H. The problem of thirteen spheres — a proof for undergraduates // Europ. J. Combinatorics. 2007. V. 28. P. 1770-1778.
5. Андреев H. H., Юдин В. А. Арифметический минимум квадратичной формы и сферические коды //Mam. Просвещение. Сер. 3. 1998. Вып. 2. С. 133-ЦО.
6. Delsarte P., Goetals J. М., Seidel J. J. Spherical codes and designs //Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363-388.
7. Сергеев A. H., Соловьёва H. А., Чернэуцану E. К. Решение задач линейного программирования в среде MATLAB// Семинар «DHA & CAGD». Программы на языке MATLAB. 12 февраля 2011 г. (http://dha.spb.ru/programs.shtml).
8. Всемирное М. А., Ржевский М. Г. Верхняя оценка контактного числа в размерности 9// У МН. 2002. Т. 57 Вып. 5. С. 14 9-150.
9. Mittelman Н. D., Vallentin F. High accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers (http://arxiv.org/abs/0902.1105).
10. Bachoc C., Vallentin F. New upper bounds for kissing numbers from semidefinite programming (http://arxiv.org/abs/math/0608426)).
11. Schiitte K., van der Waerden B. L. Das Problem der dreizehn Kugeln //Math. Ann. 1953. 125. S. 325-334-
12. Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1979. V. 26. P. 210-214.
13. Pfender F. Improved Delsarte bounds for spherical codes in small dimensions //J. Combin. Theory Ser. A. 2007. V. 114- P. 1133-1147.
14. Boyvalenkov P. Small improvements of the upper bounds of the kissing numbers in dimensions 19, 21 and 23//Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. 1994. V. 42. P. 159-163.
Summary
Kotelina N. O. Methods of estimating kissing numbers
Methods for estimating of kissing numbers based on linear programming, corresponding grid problems of linear programming and results of calculations in Matlab are given. The table of best known upper bounds for kissing numbers is also given.
Keywords: upper bound, kissing number, Delsarte, linear programming, Matlab
Сыктывкарский государственный университет
Поступила 20.04-11
