ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ ГИБКОГО СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.048

А. В. Мищенко, И. В. Ромадинов

Оценка прочности гибкого слоисто-неоднородного стержня

^ *

при термосиловом воздействии

Поступила 23.12.2019

Рецензирование 17.02.2020 Принята к печати 19.03.2020

Рассмотрена задача расчета напряжений в гибком слоисто-неоднородном стержне Бернулли при продольно-поперечном изгибе в сочетании с неоднородным тепловым воздействием. Распределение температуры выявляется решением стационарной задачи теплопроводности. В качестве граничных условий использованы условия первого рода на верхней и нижней поверхностях стержня с переменными температурами в направлении продольной оси. Физические соотношения для интегральных силовых факторов содержат температурные усилия: продольную силу и изгибающий момент, для которых при решении краевой задачи применена степенная аппроксимация пятого порядка. Решение задачи получено в форме метода начальных параметров. В частных случаях однородного, линейного и квадратичного распределения поверхностной температуры в решении присутствуют члены нулевого, первого и второго порядков. Выполнены численные расчеты нормальных напряжений в неоднородном призматическом стержне с использованием в слоях материалов: стали С245, сплавов АД31Т5 и ВТ1. В качестве внешних воздействий приняты четыре варианта: силовое и три варианта теплового воздействия - с однородными и неоднородными по поперечной координате температурными полями.

Показано, что в структурно-неоднородных стержнях, обладающих внутренней статической неопределимостью, тепловое воздействие существенным образом влияет на напряженно-деформированное состояние, приводит к изменению положения расчетных опасных сечений и точек. В ряде случаев наличие однородного и неоднородного теплового поля может приводить к нарушению условий прочности не только на внешних, но и на внутренних границах слоев. Наличие подобных эффектов внутреннего разрушения слоистых структур при определенных температурах показано в рассмотренных вариантах воздействий.

Ключевые слова: слоистый стержень, тепловое воздействие, метод начальных параметров, жесткостные характеристики, прочность слоистого стержня.

Принцип структурной неоднородности в сочетании с методами рационального и оптимального проектирования позволяет существенно улучшить эксплуатационные характеристики строительных конструкций [1-7]. Полученные в результате их применения проектные решения характеризуются повышенной прочностью, жесткостью, устойчивостью в сравнении с физически однородными системами [6, 7]. Особенностью неоднородных конструкций является их повышенная чувствительность к тепловому воздействию, что сказывается как на локальных параметрах (напряжениях и деформациях), так и на состо-

янии системы в целом, в частности ее деформированном состоянии, устойчивости, различных критических и предельных состояниях [8-10].

В данной статье исследуется влияние неравномерного по поперечной координате температурного поля на напряженное состояние гибкого линейно-упругого слоистого стержня.

Рассмотрим поперечно-слоистый призматический стержень (рис. 1), в котором 5 слоев выполнены из различных однородных материалов. Ось х системы координат xyz имеет продольное направление, а у (ось симметрии) - поперечное в плоскости изгиба стержня. к-й слой характе-

А У

Кх,у)

Т

а:

у8+1

х

, У! ^z

Рис. 1. Схема поперечно-слоистого стержня

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 19-01-00038 А.

У

5

1

ризуется параметрами: шириной Ък в направлении г, высотой Нк в направлении у, координатами границ ук, ук+1, модулем упругости Ек, коэффициентами температурного расширения ак и теплопроводности Хк, не зависящими от температуры. При стационарном тепловом воздействии в слоях стержня создается температурное поле ¿к(х, у) (к = 1, ..., 5).

Принимая в отношении продольных, поперечных деформаций (вх, 8у) и деформаций сдвига (ту*) соотношения

8Х (X, у) = Во (х) - к(X)у, 8у (X, у) = 0,

Тух (X У) = 0,

представим интегральные физические соотношения, связывающие обобщенные деформации (8о, к) с усилиями (М, N в виде [11]

N - N уп М - М, ,„ч

Во -Уок = —-, к- —Во =---, (2)

(1)

D

A

D,

du d v D„ 2 D,

во = ~r, к = ~T, Уо =TT' iz = 77-' (3)

dx dx D D„

yt+1

A A

yt+1

DA = Z Ek J bk dy, DS = Z Ek J bkydy,

(4)

s st-n

D, = Z Ek J bky2dy,

k=1 Ук. s Ук-1

Nt(x) = ZakEk J bA(x,y) dy>

k=* yk

s yk-1

Mt(x) = ~ZakEk J bA(x, y) ydy>

(5)

где N1, М — температурные силовые факторы, представляющие собой усилия в слоистом сечении, возникающие при полном стеснении (отсутствии) деформаций; уо, 1г — координата центра жесткости и радиус жесткости слоистого сечения, являющиеся обобщениями известных понятий: центра тяжести и радиуса инерции на случай неоднородного сечения; Дл, Д, Д — интегральные жесткостные характеристики слоистого сечения; и, V — перемещения точек продольной оси в направлении осей х, у.

Функция распределения внутренней температуры 1к(х, у) выявляется решением задачи теплопроводности при соответствующих условиях и постановках [12]. В случае призматических слоистых стержней прямоугольного сечения при задании на верхней (ир) и нижней

(dn) его поверхностях условий 1-го рода (по температуре) полилинейное распределение

tk(x,y) = P0k(x) + Pik(x)y, k = 1, •••, 5 (6)

хорошо отражает действительное поле температур в основной части слоистого стержня (рок, pik - параметры распределения, определяемые из системы граничных условий и условий сопряжения на межслойных границах). Далее температурные силовые факторы (5), записанные с учетом (6):

Mt (x) = Z Ek ak

k=1

Jk+1

Pok(x) J bkydy

+

7 k+1

+Pik(x) J bky2

Nt (x) = -Z Ekk

k=1

(7)

k+1

Pok (x) J bkdy

+

k+1

+P1k(x) J bkydy

для возможности учета произвольных функций распределения температуры на поверхностях стержня 1п(х) и ^р(х) аппроксимируем алгебраическими полиномами

т п

М (х) = X Ъ (X - а,)\ N (х) = X П,■ (X - а,)\ (8)

j=o }=0

С учетом (2), (3) дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба стержня в произвольной системе координат примут вид

d 2v M -M,

dx1

1

N-N

Уо

du N -N.

dx

DI 1 -y2/ i2z DI 1 -y02/ i2 M -Mt Уо / iz

1

(9)

D

- +

а 1 -у0 / % вА 1 -у2 / ;г2

Выполнение перехода к центральным осям, для которых Д? = 0, что удобно при рассмотрении призматических стержней, дает разделение системы (9) на независимые уравнения изгиба и продольного деформирования:

dx2

(10)

dx ДА

Решение дифференциального уравнения изгиба (10) в форме метода начальных параметров (в соответствии со схемой на рис. 2) при учете факторов силового и аппроксимированного температурного воздействия (8) имеет вид [13]:

Рис. 2. Схема нагрузок и температурных воздействий на стержень

8т к1х

+ ■

М° (1 - ^ кх) + 0

/

к2 А

к2 А

8Шкгх I ^

х--Г~ + Е

т

V

к,2 А

[1 - 008 к (х - ат )] +

+

Е

Р

к,2 А

(х - аР) -

8т к[ (х - аР)

+

Е

я

к,2 В,

(х - ач )2

1 008 к (х - а)

4 £

+ЕТ2{(х - а,)7 -

'к 2П

] =0

йз 008 к (х - а) 1

ёх*^ к ^ '

2к2 ](]' - 1)(] - 4)]-2 +

I "ч

(] - 2)7 (] - 3) 7 (] - 4)

] (] -1)

[(х - а,)7-2 -

(]' - 2)^.7' - 3)

к^ к^

(1 - 008к (х - а))]}, к

V

р

х

А

(11)

В соответствии с первым уравнением (10), полученные на основе (11) выражения усилий содержат температурный момент (7):

ё 2у

М = В, — +м,, е = А —

ё^ ёМ>

ёх.

ёх^ ёх

2 ^3

Нормальное напряжение в произвольной точке к-го слоя линейно-деформируемого стержня определяется зависимостью [14]

^)(х, у) = Ек

ёи ё2у / ч

ёи " ^ у-(^- Р1кУ К

. (12)

Здесь первые два компонента в скобках отражают полную деформацию, а два последних -свободную температурную деформацию, соответствующую распределению температуры (6).

Численные результаты. Рассмотрим пример расчета напряжений в трехслойном стержне, загруженном осевой силой А и поперечной нагрузкой ду при задании однородного распределения температуры ^(х, z) - на нижней поверхности и и(х, ¿) - на верхней (рис. 3).

Первый (нижний) слой, выполненный из стали С245, имеет характеристики: Е = 206 ГПа; X = 45,4 Вт/м • °С; а = 11,9 • 10-6 1/°С; Я = = 245 МПа; второй - из алюминиевого сплава АД31Т5: Е = 70 ГПа; X = 188,0 Вт/м • °С; а = 23,0 • 10-6 1/°С; Я = 100 МПа; третий (верхний) - из титанового сплава ВТ1 : Е = 112 ГПа; X = 18,85 Вт/м-°С, а = 8,2 • 10-6 1/°С; Я = 375 МПа. Размеры слоев указаны на рис. 3, а данные о вариантах воздействия - в таблице.

Продольная нагрузка А приложена в центре жесткости правого торца, координата которого у0 = 55,2 мм получена из условия А = 0. Анализ продольных нормальных напряжений производился в шести расчетных точках, взятых на границах трех слоев сечения (см. рис. 3).

Решение краевой задачи выполнено в форме (11) при условиях

у(0) = у(/) = 0(0) = 0,

М (/) = "(/) + М, (/) = 0.

V = V +

I

Рис. 3. Расчетная схема стержня Данные о нагрузках и температуре по вариантам воздействий

Вариант Силовое воздействие Тепловое воздействие, °С

¿ир ¿йи

1 Рх,Яу 0 0

2 Рх,Цу 120 120

3 Рх, Чу -90 -90

4 Рх,Цу 150 -240

На рис. 4 для первого варианта воздействия показаны графики зависимости безразмерных нормальных напряжений (12) при £

ир

, = 0 в

шести расчетных точках сх(х, у^ /Д0 (/ = 1, • • •, 6), где До = шах(^1, Л2, Rз) - максимальное значение расчетного сопротивления материала слоев. Здесь же для контроля прочности отражены уровни безразмерных расчетных сопротивлений материалов Гк = Дк/До (к = 1, 2, 3), [Г1, Г2, гз] = [0,653; 0,267; 1].

На рис. 5 приведены эпюры безразмерных нормальных напряжений (12), в поперечных сечениях стержня х = 0 и х = I. В силу различия модулей упругости материалов слоев на эпюрах наблюдаются разрывы первого рода на межслойных границах. В соответствии с кинематическими гипотезами (1) продолжения участков эпюр за пределы слоя проходят через точку на нейтральной оси.

Рис. 4. Зависимости безразмерного нормального напряжения стх(х, у)/Д0 в расчетных точках] = 1, от продольной координаты х при отсутствии теплового воздействия (4р = й = 0)

Контроль прочности может быть выполнен по условию

~rk (X У, )/R ^ rk

(13)

(k = 1, j = 1, 2), (k = 2, j = 3, 4), (k = 3, j = 5, 6), при соблюдении соответствия номеров расчетных точек j и слоев k. Учитывая линейность функции напряжений (12), заключаем, что прочность слоистого стержня при заданном силовом воздействии и tup = tdn = 0 обеспечена.

Исследуем влияние теплового воздействия. На рис. 6 изображены графики распределения температуры t(y) по (6) для 2, 3 и 4-го

вариантов (см. таблицу). Во втором и третьем вариантах (tup = tdn) поле температур однородно. В четвертом при задании tup Ф tdn, в силу различия коэффициентов теплопроводности материалов в смежных слоях, получен график t(y) с изломами на границах.

Для первых трех вариантов воздействий на рис. 7 показаны расчетные эпюры нормальных напряжений оЛу) в наиболее опасном сечении стержня х = 0. Для четвертого варианта воздействия опасное сечение смещается в пролет стержня (х = 3,6 м). Эпюра напряжений

Рис. 5. Эпюра безразмерных нормальных напряжений стх(х, у)/Яо в двух сечениях стержня х = 0 и х = I при отсутствии теплового воздействия (4Р = = 0)

Рис. 6. Графики распределения температуры /(у) в сечениях стержня в 1, 2, 3 и 4-м вариантах воздействий

оЛу) для него отражена на рис. 8. Их анализ напряжений позволяет выявить следующие особенности.

Во-первых, в силу того что тепловое воздействие дает самоуравновешенные по сечениям дополнительные температурные напряжения [14], имеем трансформацию форм эпюр при изменении температурного поля. В частности, во втором варианте по сравнению с первым наблюдаем на схеме смещение фрагмента эпюры во втором слое вниз, а в первом

и третьем - вверх. В третьем варианте, при воздействии температуры противоположного знака, указанные смещения участков происходят в противоположные стороны. В результате, в отличие от первого варианта, здесь (во втором, третьем и четвертом вариантах) продолжения участков эпюр за пределы слоев уже не проходят через точку на нейтральной оси.

Во-вторых, следует отметить, что тепловое воздействие в структурно-неоднородных стержнях активно влияет на напряженное со-

Рис. 7. Эпюры безразмерных нормальных напряжений ох(у) в сечении стержня х = 0 для 1, 2 и 3-го вариантов воздействий

ах Ко

\ V

\

\

у

\

\ \

пй -П (14 \ -1) (11 0 П 11 Г) 14 Г) К- 1

\

\

N

\

\

\

\

Рис. 8. Эпюра безразмерных нормальных напряжений ох(у) в сечении стержня х = 3,6 м

для 4-го варианта воздействия

стояние. Если в однородных системах это происходит только в силу наличия реакций лишних связей, то в неоднородных, кроме этого, в силу внутренней статической неопределимости появляются дополнительные самоуравновешенные температурные напряжения, что может привести к более раннему нарушению условий прочности.

В-третьих, при повышении интенсивности и неоднородности теплового воздействия возможно изменение координаты опасного сечения, что наблюдалось в 4-м варианте воздействия (см. рис. 8).

В первом варианте условия прочности (13) выполнены во всех расчетных точках, а именно: в первом слое из стали (г = ±Г1, ] = 1, 2), во втором из алюминия (г = ±Г2, ] = 3, 4) и в третьем из титана (г = ±гз, ] = 5, 6). Во втором варианте равномерный нагрев привел к нарушению прочности при сжатии в точке 3 второго слоя, в то время как в других точках запас прочности еще не был исчерпан. Данный факт можно трактовать как начало скрытого (внутреннего) разрушения неоднородного стержня.

Равномерное охлаждение стержня в третьем варианте привело к нарушению прочности в двух локальных областях: при сжатии в точке 1 на наружной поверхности первого слоя и при растяжении в точке 4 - второго.

В четвертом варианте наличие неравномерного температурного поля привело к смещению опасного сечения стержня и к локальным нарушениям прочности растянутой и сжатой зон: в наружных точках 1 и 6 первого и третьего слоев и в точке 3 промежуточного слоя, что также является началом скрытого разрушения.

Выводы

1. Приведенные зависимости (6), (7), (11), (12) позволяют выявлять напряженно-деформированное состояние неоднородного гибкого стержня Бернулли при силовом и тепловом воздействиях.

2. Тепловое воздействие в слоисто-неоднородных стержнях приводит к существенному, не всегда заранее предсказуемому перераспределению напряжений. Изменение напряженного состояния связано как с наличием усилий в стержнях с лишними внешними связями, так и, главным образом, с неоднородностью внутренней структуры.

3. Исчерпание прочности неоднородных стержней при воздействии нагрузок и температурного поля наблюдается в областях, расположенных в окрестности как наружных, так и внутренних границ слоев. Локализация таких зон определяется параметрами внешнего воздействия - силового и теплового, а также структурными и геометрическими параметрами стержня. В отличие от однородных стержней в рассмотренных слоистых системах может наблюдаться скрытое (внутреннее) разрушение. Для его надежной оценки необходимо учитывать также и касательные напряжения на межслойных границах, которые могут быть найдены по полученным в [14] формулам.

4. Несмотря на то что температура, как правило, является заданным внешним воздействием, отметим наличие специфической особенности неоднородных систем: целенаправленное изменение температуры на наружных поверхностях таких систем позволяет выполнять регулирование напряженного состояния, подчиняя его заданным критериям.

Библиографический список

1. Тетерс Г. А. Многоцелевое оптимальное проектирование композитных конструкций. Обзор // Механика композитных материалов. 1996. Т. 32, № 3. С. 363-376.

2. Андреев В. И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел. М. : АСВ, 2002. 288 с.

3. Баничук Н. В. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. Л. : Машиностроение, 1988. 224 с.

4. Васильев В. В. Механика конструкций из композитных материалов. М. : Машиностроение, 1988. 272 с.

5. Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В. Деформирование трехслойного стержня в температурном поле // Механика машин, механизмов и материалов. 2013. № 1 (22). С. 31-35.

6. Геренштейн А. В., Бездетнов А. Л. Температурное поле неоднородного стержня // Сервис технических систем - основа безопасного функционирования машин и оборудования предприятий АПК : материалы Междунар. науч.-практ. конф. Института агроинженерии / Южно-Урал. гос. аграр. ун-т. Челябинск, 2018. С. 102-108.

7. Янковский А. П. Влияние теплового воздействия на эффект упрочнения образцов с тонкими усиливающими покрытиями // Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14, № 1. С. 43-53.

8. Мищенко А. В., Немировский Ю. В. Подклассы равнопрочных композитных рамных систем // Изв. вузов. Стр-во. 1998. № 7 (475). С. 15-21.

9. Мищенко А. В., Немировский Ю. В. Проектирование и анализ эффективности равнопрочных слоистых рам различных типов // Изв. вузов. Стр-во. 1999. № 9 (489). С. 12-20.

10. TurusovR. A. Elastic and Thermal Behavior of a Layered Structure I. Experiment and Theory // Mechanics of Composite Materials. 2015. Vol. 50, № 6. P. 801-808. URL: https://doi.org/10.1007/s11029-015-9469-8_(дата обращения: 16.10.19).

11. Старовойтов Э. И., Леоненко Д. В. Деформирование трехслойного стержня в температурном поле // Механика машин, механизмов и материалов. 2013. № 1 (22). С. 31-35. URL: http://mmmm.by/ru/readers/36-arkhiv-nomerov1/1-2013-s/207-1-2013-s-4 (дата обращения: 16.10.19).

12. Кудинов В. А., Кудинов И. В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. М. : ЛИБРОКОМ, 2015. 280 с.

13. Мищенко А. В., Ромадинов И. В. Продольно--поперечный изгиб слоистого стержня при термосиловом воздействии // Труды НГАСУ. Новосибирск : НГАСУ, 2019. Т. 22, № 4 (74). С. 6-18.

14. Мищенко А. В. Напряжения в слоистых стержнях переменного сечения // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13, № 4. С. 537-547.

A. V. Mischenko, I. V. Romadinov

Strength Assessment of a Flexible Layered-Inhomogeneous Rod with Thermal and Force Influence

Abstract. The problem of calculating stresses in a flexible layered-inhomogeneous Bernoulli rod under longitudinal-transverse bending in combination with inhomogeneous thermal effects is considered. The temperature distribution is detected by solving the stationary problem of thermal conductivity. The first kinds of conditions on the upper and lower surfaces of the rod with variable temperatures in the direction of the longitudinal axis are used as boundary conditions. The physical relations for integral force factors contain the temperature forces: the longitudinal force and the bending moment, for which the power approximation of the fifth order is applied when solving the boundary value problem. The solution of the problem is obtained in the form of a method of initial parameters. In particular cases of a homogeneous, linear, and quadratic distribution of the surface temperature, this solution contains members of the zeroth, first, and second orders. Numerical calculations of normal stresses in an inhomogeneous prismatic rod are performed using materials in layers: C245 steel, AD31T5 and VT1 alloys. As external influences, four variants are accepted, including force and three variants of thermal influence - with homogeneous and inhomogeneous temperature fields along the transverse coordinate.

It is shown that in structurally inhomogeneous rods with internal static indeterminability, the thermal effect significantly affects the stress-strain state and leads to a change in the position of the calculated dangerous sections and points. In some cases, the presence of a homogeneous and inhomogeneous thermal field can lead to a violation of the strength conditions not only on the external but also on the internal boundaries of the layers. At appropriate temperatures, these effects of internal destruction of materials are observed in all the considered variations of impacts.

Key words: layered rod; thermal influence; initial parameter method; rigidity characteristics; layered rod strength.

Мищенко Андрей Викторович - доктор технических наук, доцент, профессор кафедры «Строительная механика» НГАСУ (Сибстрин). E-mail: [email protected]

Ромадинов Иван Витальевич - аспирант кафедры «Строительная механика» НГАСУ (Сибстрин). E-mail: [email protected]