Оценка положения равновесия в модели Неймана при интервальной неопределенности исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 330.45:519.8

А.В.ПАНЮКОВ, А.Т.ЛАТИПОВА

ОЦЕНКА ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ НЕЙМАНА ПРИ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Рассмотрена проблема нахождения равновесия в модели Неймана (Л, .В), когда известны лишь интервалы, которым принадлежат элементы матриц модели. Показано, что в случае мультипликативной неопределенности как прямой, так и двойственный лучи Неймана определяются моделью Неймана с матрицами центров интервалов, а интервал числа Фробениуса модели — двумя задачами Неймана с матрицами верхних и нижних границ интервалов. Модель Неймана ; положение равновесия ; прямой луч Неймана ; двойственный луч Неймана ; число Фробениуса; интервальная неопределенность

Многоотраслевая модель экономики Дж. Фон Неймана оказала большое влияние на теорию экономического роста и накопления капитала, дала толчок интенсивному развитию современной математической экономики [1-3]. Следует заметить, что общность модели Неймана состоит в ее применимости не только к анализу многоотраслевой экономики, но и к другим проблемам, в частности, к проблеме формирования бюджета продаж в условиях ценовой диверсификации [4-7].

Численные значения элементов матриц затрат и выпуска в фоннеймановских моделях получают на основе статистики и экспертных оценок, поэтому они могут иметь неопределенность, которая, скорее всего, будет интервальной.

В статье рассмотрена проблема нахождения равновесия в модели Неймана (А, В), когда известны лишь интервалы, которым принадлежат элементы матриц модели. Показано, что в случае мультипликативной неопределенности как прямой, так и двойственный лучи Неймана определяются моделью Неймана с матрицами центров интервалов, а интервал числа Фробениуса модели — двумя задачами Неймана с матрицами верхних и нижних границ интервалов.

ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ

НЕЙМАНА ПРИ ТОЧЕЧНЫХ МАТРИЦАХ ЗАТРАТ И ВЫПУСКА

Общим положением равновесия для модели Неймана (А, В), где А и В — заданные т х

матрицы затрат и выпуска с неотрицательными элементами , называют

решение системы билинейных нера-

венств и уравнений

(А^ХВ)х<0, (х,ет) = 1, ж>0, (1)

(А^ХВ)Тр>0., (р,еп) = 1, р> 0. (2)

Невырожденным положением равновесия рассматриваемой модели называют положение равновесия (А, ж, р), удовлетворяющее дополнительному условию

рТАх>0. (3)

В данной работе мы ограничимся алгоритмами нахождения общего положения равновесия, т. е. решения (А, ж, р) системы (1-2).

Экстремальные допустимые значения А могут быть найдены с помощью решения задач билинейной оптимизации

А = тіп{А : {А — А В) ж < 0 ,

(ж, ет) = 1, х > 0} , (4)

А = тах {А : {А — А В)1 р > 0 ,

(р,еп) = 1, р>0} . (5)

Числа А и А называют соответственно числом Неймана и числом Фробениуса модели Неймана. При этом число Неймана А определяет максимальный темп сбалансированного роста, а число Фробениуса А — минимальный темп сбалансированного роста и продуктивность модели [1, 2]. Векторы х, р в положении равновесия называют соот-

ветственно прямым и двойственным лучами Неймана, соответствующими значению .

Исходя из равенств (1), (2) и (5), для оценки продуктивности модели, т. е. нахождения числа Фробениуса А, а также характеристик устойчивого равновесия, можно использовать следующую задачу билинейного программирования

(А,ж, йУ) = аге тах А, (6)

\..г.«ч т. к/л

ЩА,В) =

' (A - XB)x < 0,

(.4 - XBfw > 0 ,

(A, x, w) (x, ew) = 1,

(го, e") = 1,

x > 0 , го > 0 , A > 0 ,

(7)

Численные методы решения задачи (6)-(7) рассмотрены в работе [9].

Они базируются на вычислении корней монотонной функции и( А) =

min max V (a.jj

х-.(х,ет) = l,x>Q *=1,2,...и j=i

или

Ab{j) tcj

v(X) = max min V (ciu

w: (w ,e ")=1 ,«> >0 j=1,2,.. .m ,;=

при различных значениях А. При фиксированном значении А значения функций и(А) и v(A) равны значениям следующих взаимно двойственных задач линейного программирования:

min {и : (А — А В) х < и . (х, ет) = 1. х > 0} . max ju : (А — AВ)Т w > v , (w, еп) = 1. w > 0 j .

(8)

Таким образом, упомянутый алгоритм требует решения последовательности задач линейного программирования (7) и/или (8).

Легко заметить, что при значениях А, близких к искомым, т. е. когда и(Х), v(X) —> 0 , соответствующие задачи становятся вырожденными, что влечет невозможность их решения с помощью традиционных средств, использующих вычисления с плавающей точкой. Для устойчивого нахождения корней функций и можно применить методы теории матричных игр.

ОЦЕНКА ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

ПРИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ ЗАТРАТ И ВЫПУСКА

Далее обозначим через и матрицы затрат и выпуска, элементами которых являются числовые интервалы. Через midA и

обозначим точечные матрицы, элементами которых являются центры интервальных элементов матриц и соответственно. Через А и В обозначим точечные матрицы, состоящие из нижних границ интервальных элементов матриц А и В соответственно; а через А и В — точечные матрицы, состоящие из верхних границ интервальных элементов матриц А и В соответственно [8].

Теорема 1. Пусть /За и /Зв удовлетворяют условиям А = Ра • midA е А, В = [Зв • ш-idH £ В; пусть также

(A*,ж*,го*) = arg max А. Тогда

X,x,w£D (midA .micffi) x*, го*) = arg max A.

' в ' > \-XM-, />' \.l!)

Доказательство. Задача определения параметров равновесия для модели имеет

вид

(А*. х, го) = arg max A.

\,x,weD(A,B)

D{A,B) = <

(A. x, w)

(A - XB)x < 0, '

(A - XBf w > 0 (x, el") = 1 ,

(го, e") = 1, x > 0 , w > 0 ,

A > 0

> .

(9)

Сделав в задаче (9) замену переменной А = = Х/За//Зв, получим:

(А*, х, w) = arg max_ _ А.

X,x,w£D(A,B)

(і - \дЛ/двВ)х < о,

(А - ХЗл/ЗвВ)Тш > о, (х,ет) = 1, («•.«•") = 1

X > 0. w > 0. А > 0

(10)

d(A,B) =

(X.x.w)

Переписав задачу (lO) с учетом условия теоремы в терминах матриц midA и midB, будем иметь равносильную задачу

(А*. х*\ го*) = arg max А.

A,x,«ie_D(midA,midB)

D(midA, midB) =

(midA — AmidB).-r < 0 ,

(midA — AmidB)J w > 0

= (A, x, го)

(x, em) = 1, (го, e”) = 1, x > 0, w > 0, A > 0

> .

(ll)

Полученная задача совпадает с задачей нахождения параметров (А*, ж*, го*) для точечной модели Неймана (гшс1А, гшс1В). Учитывая сделанную замену переменных, приходим к заключению, что кортеж (А*/Зл//Зв,ж*,го*) является положением равновесия для модели Неймана (4, В). Теорема доказана.

Таким образом, если неопределенность является мультипликативной и состоит в незнании коэффициентов пропорциональности /За и , то как прямой, так и двойственный луч Неймана могут быть найдены по матрицам центров интервалов.

Теорема 2. Пусть точечные матрицы удовлетворяют условию

4 е А, В € В

пусть также

(А, ж, го) = ащ-

(12)

тах А:

\,х,и>еО(А,В)

(А, ж, го) = ащ тах_ А; (13)

Л,1,«.е1)(А,В)

(А,ж,;ш) = ащ тах _ А. (14)

\,х,шеи(А,В)

Тогда А < А < А.

Доказательство. Из условия (12) следует, что для любых г = 1,2,... , п; ] = 1,2,... , т выполняется

— Йу ; Ьц > Ьу* , йц < йц, Ьц < Ьу* .

(15)

Откуда следует возможность представления А = А + А' = А — А", I? = В + В' = = В I?", где А' = (^) = (й,у - йу), В1 =

= \ = —-ч)’ = (°'у) = —

, причем все элементы матриц , , и неотрицательны.

Сделав замену матриц А = А — .4" и В = = В + В' в задаче (12) будем иметь эквивалентную задачу

(А. х, го) = arg тах А .

(А ,х,ш)еи(А,В)

ЩА,в) =

' (А - 4" - А(В + В'))х < 0 , '

(А, ж, го) (А - 4" - А(В + ЬЭ '3 IV о

(ж,ет) = = 1, (го, е") = 1,

ж > 0, го > 0, А > 0

Из неотрицательности матриц и второго неравенства в (16) следует справедливость неравенства

(А - АВ)тго > 0 .

Откуда следует, что для любого j = = 1,2,... , т

А <

г=1

<

г=1

— п — п

Е Е

г=1 г=1

(17)

Последнее неравенство в данной цепочке следует из условия (13) теоремы, в соответствии с которым

п

Е аг]^г

г=1

тт

го = ащ- тах _____

■«>:(■«>,е")=1,и>>0 ,/=1,2.т

1=1

Поскольку Л = тах

тт

О'гз'Мг

г=1_____

■«>:(■«> ,е")=1,и>>0 ./=1,2.т >;

.. _ ;=1~и

то имеем: А < А.

Неравенство А > А доказывается аналогично. Действительно, после замены матриц А = А + А' и В = В — В" в задаче (12) получим задачу

(А. х, го) = arg тах А.

(А,х,«.)е-0(.;1,-В)

ЩА,в) =

= (А, ж, го)

(А + А' — А(В — В"))х < 0,

(А + А' - А(В - В"))Ти; > 0, (ж, ет) = 1, (го, е”) = 1, ж > 0 .

ш > 0, А > О

(18)

Из неотрицательности матриц 4' и В" Ь и первого неравенства в (18) следует (А — ^АВ)ж < 0, поэтому для любого * = 1,2,... ,п имеет место неравенство:

Ш Ш

Е Е —47 — 7

А >

.7=1

>

.7=1

— т _ — т _

Е 'чк/ Е Ъцщ

^•=1 ^=1

(19)

Последнее неравенство в данной цепочке следует из того, что

т

Е

.7=1

х = arg тт тах —------.

ж:(ж.ет)=1.ж>0 *=1,‘2.и ^ т

Е ’‘.'г1'.!

.7=1

Поскольку

т

Е

\ ■ •7=1 А = тт тах —------,

ж:(ж.ет)=1.ж>0 *=1,‘2.и т

Е >чгп

J=l

то А > А. Теорема доказана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Модель Неймана (midA, 1шс1В) определяет как прямой, так и двойственный луч Неймана для модели Неймана с мультипликативной неопределенностью в элементах матриц затрат и выпуска .

Число Фробениуса модели Неймана (А, В) с интервальными матрицами затрат и выпуска ограничено сверху числом Фробениуса для модели Неймана (А. В), снизу — числом Фробениуса для модели Неймана (А, В), где А, В — точечные матрицы верхних границ интервалов матриц А и В соответственно, А, В — точечные матрицы нижних границ интервалов этих же матриц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику : учеб. пособие для спец. «Прикл. математика» / С. А. Ашманов. М. : Наука, 1984. 293 с.

2. Альсевич, В. В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория / В. В. Альсевич. М : Едиториал УРСС, 2005. 256 с.

3. Цисарь, И. Ф. Компьютерное моделирование экономики / И. Ф. Цисарь, В. Г. Нейман. М. : Диалог-МИФИ, 2002. 304 с.

4. Латипова, А. Т. Модель оптимизации бюджетирования для предприятий минерально-сырьевого комплекса / А. Т. Латипова // Стра-

тегия развития минерально-сырьевого комплекса в XXI в : матер. междунар. конф. М.-Бишкек. М.: РУДН, 2004. С. 206-208.

5. Латипова А. Т. Модель оптимизации ценовой стратегии для задач бюджетирования / А. Т. Латипова // Дискретный анализ и исследование операций : матер. Рос. конф. (Новосибирск, 28 июня - 2 июля 2004). Новосибирск : Изд-во Ин-та математики, 2004. С. 206.

6. Латипова, А. Т. Ценовая диверсификация в бюджетировании / А. Т. Латипова // Экономика и менеджмент: проблемы и перспективы : тр. Междунар. науч.-практ. конф. 611 июня 2005 г. СПб. : изд-во Политехн. унта, 2005. С. 562-566.

7. Латипова, А. Т. Оптимизация бюджета продаж / А. Т. Латипова, А. В. Панюков // Вестник Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Рынок: Теория и практика. Челяб. : ЮУрГУ, 2006. Вып. 4, № 15(170). С. 116-120.

8. Жолен, Л. Прикладной интервальный анализ /Л. Жолен, М. Кифер, О. Дидри, Э. Вальтер. М.; Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2005.468 с.

9. Латипова, А. Т. Математическая модель бюджетирования / А. Т. Латипова // Проблемы теоретической и прикладной математики: тр. 37-й рег. молодежн. конф. Екб. : УрО РАН, 2006. С. 391-397.

ОБ АВТОРАХ

Панюков Анатолий Васильевич, зав. каф. экон.-мат. методов и стат. Ю.-Уральск. гос. ун-та. Дипл. инж.-мат. (ЧелПИ, 1980). Д-р физ.-мат. наук по мат. моделир. (ВЦ РАН, 1999). Иссл. в обл. комп. технол. и мат. моделир.

Латипова Алина Таиховна,

асс. той же каф. Дипл. экон. по инф. сист. в экономике (ЮУрГУ, 2003). Иссл. в обл. комп. технол., мат. моделир.