О равновесии в модели Леонтьева при ограничениях и нечетких исходных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

очередь отразится в росте акций на фондовых рынках, является следствием использования новейших технологий на всех этапах процесса воспроизводства и передачи электроэнергии. Следовательно, можно говорить и о перспективной дивидендной привлекательности компании, как неотъемлемой части роста технических, а, как следствие, и финансовых результатов предприятия. Список использованной литературы:

1. Официальный сайт ПАО «МРСК Волги» [Электронный ресурс]. URL:http://www.mrsk-volgi.ru/ru/o_kompanii/filiali/filial_oao_mrsk_volgi_mordovenergo_/ (дата обращения: 11.03.2015);

2. Техническая политика ПАО «Россети» [Электронный ресурс]. URL: http://www.mrsk-volgi.ru/ru/o_kompanii/tehnichesk/tehnichesk/ (дата обращения: 11.03.2015).

3. Инвестиционный портал Invest funds [Электронный ресурс]. URL: http://stocks.investfunds.ru/stocks/761/ (дата обращения: 11.03.2015).

© Филичкина Ю. Ю., Ковалев А. Э., 2016

УДК 519.86

Я.И.Козловская

магистрант ФГБОУ ВПО ПНИПУ г. Пермь, Российская Федерация

О РАВНОВЕСИИ В МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ И НЕЧЕТКИХ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Аннотация

В данной статье исследуется положение равновесия модели Леонтьева при ограничениях на векторы производства, заданных выпуклым конусом, а также при нечеткости входных данных. Приводится доказательство существования равновесия, описывается переход к задачам оптимизации, дается оценка положения равновесия для интервальных моделей.

Ключевые слова

Выпуклый конус, интервальная неопределенность, модель Леонтьева, положение равновесия,

производственное множество.

Главной задачей ([1]-[3]) при выборе равновесного состояния экономики считается определение соответствующих параметров экономической системы.

В данной работе исследуется влияние на равновесие ограничений на технологическое множество, которые берутся в виде выпуклого конуса. При этом векторы цен тоже ограничиваются конусом, в некотором смысле симметричным к конусу, в котором лежат векторы интенсивностей производственных процессов. В более ранних исследованиях [5] этот момент не учитывался. Кроме того, в статье оценивается положение равновесия при интервальном описании матрицы модели [4]. Такая оценка проводится с помощью перехода к задачам оптимизации.

Модель Леонтьева определяется матрицей А = (а Л [2], [5]. Пусть А > 0 - неразложима и

V у ' пхп

примитивна. Динамическое равновесие находится из соотношений

г (Е-уА)> 0, (Е-уА) рт < 0, г (Е-уА) рт = 0. (1)

Здесь г = (г1,...,гп) - вектор интенсивностей, р = (р1,...,рп) - вектор цен, Е - единичная матрица, У - положительное число.

Предположим, что Z принадлежат не всему R" , а некоторому подмножеству R" множеству Tz. Пусть [3], T = jz е R" | z = wQ, w е R" j - выпуклый многогранный конус с матрицей Qnn, причем q > 0

, и матрицы A и Q коммутативны. Пусть Q имеет обратную матрицу Q_1. Обозначим через Tp конус,

причем Tp = |p: Q 1 pT > 0 j. Имеетместо

Теорема 1. Пусть в неотрицательной матрице A нет нулевых строк. Тогда существует решение системы (1) z е Tz, p е Tp.

Доказательство теоремы основано на сведении неравенства z (E — yA)> 0, z е Tz к неравенству

(E — yA) pT < 0, p е T [2] и переходу к системе вида

w(AQ — XQ) < 0, w е R"+, (2)

(AQ — XQ)qT > 0, q е R+".

Система (2) имеет решение [2] и эквивалентна первым двум неравенствам из (1), значит они имеют решение. Справедливость третьего соотношения в (1) доказывается аналогично.

Общим положением равновесия модели Леонтьева с производственной матрицей A и матрицей ограничений Q назовем решение (X, z, p) системы (2) , соответствующее решению системы (1).

Частные положения равновесия с соответствующими экстремальными значениями X можно найти, перейдя к оптимизационным задачам [1]:

X* = mm{X: z(A — XE) < 0, (z,e") = 1, z е Tz} (3)

Xn= max{X: (A — XE)pT >0, (p,e") = 1, p eTp} (4)

Заметим, что все элементы матрицы Q неотрицательны (q > 0). Векторы w и q принадлежат

У

симплексам, что следует из однородности задачи. При введении в систему матрицы Q однородность сохраняется, поэтому по-прежнему (z, e" ) = 1, z eTz и (p, en ) = 1, p е Tp. Здесь

en = (e )T, ei = 1, i = 1..". Тогда из (3) и (4) следует, что для нахождения параметров продуктивности

(X , z , p )(A, Q) модели с производственной матрицей A и матрицей ограничений Q и ее положения равновесия следует решить оптимизационную задачу вида [4]:

(X , z , p )T = arg max X (5)

(X ,z, p )T eD ( A,Q )

Yi Л

D( A, Q) =

X z

V p J

(6)

г (А - ХЕ) < 0, (А - ХЕ)рт > 0,

(г, е") = 1, (р, е") = 1, г е Т2, р е Тр, Х > 0] Интервальной назовем модель Леонтьева (2) с матрицей затрат А = [а } = [а,а }, ¡,7 = (1.."), midA=(A+A)/2. Здесь midA - матрица центров интервалов матрицы А ;

А, А - матрицы точных верхних и нижних граней соответственно [4].

международный научный журнал «инновационная наука»

№1/2016

issn 2410-6070

Теорема 2. Если в модели Леонтьева с интервальной матрицей А и ограничением в виде выпуклого конуса с матрицей ^ , матрица А0 принадлежит классу средних матриц с Л е (Л, Л ), и точечная матрица

'"л А ГЪ А А И« >Н >Н ^ ^ >|!

А удовлетворяет условию А = рА-А0 еА, тогда (Л ,г ,р )(А0,()) = (А ,р )(Д0.

Доказательство. Из (5) и (6) с использованием замены А, = Л./?, следует, что задача нахождения

параметров равновесия модели с точечной матрицей А :

г(А - ХрАЕ) < 0,

D(A,Q) =

z

V р )

{Ä-\ßAE)pT> 0,

(z, en) = 1, (p, en) = 1, z e Tz, p e T , X> 0

Используем условие А = ßA ■ A(). Тогда:

D( Ao, Q) =

V P )

z( A - XE) < 0, (Ao -XE) pT > 0,

(z, en) = 1, (p, en) = 1, z e Tz, p e Tp, X> 0

(7)

Задача (7) позволяет найти параметры равновесия точечной модели с матрицей А0 . Учитывая замену переменных, делаем вывод, что набор (Л [3А, г , р ) определяет положение равновесия модели с матрицей А.

*

Теорема 2 показывает, что если неопределенность матрицы А исходит из незнания [3А, то Л можно найти, используя матрицу центров интервалов.

Теорема 3. Пусть модель Леонтьева задана интервальной матрицей А и ограничением в виде выпуклого конуса с матрицей 011/п ■ Пусть также для точечной матрицы А выполнены условия: А^ А

(Ä,~z,p) = (Ä\z\p)(A,Q),

(X, z, p) = (X, z-, p*)( A, Q), (X, z, p) = (X*, z\/)(A, Q).

Тогда X<X<X.

(8)

(9)

(10)

Доказательство проводится аналогично [4] и строится на основе замен А = А+А' = А—А" и подстановок в (8), а также использования условий (9) и (10).

Список использованной литературы:

1. Альсевич В. В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. / Альсевич В. В. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 256 с.

2. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике / Ашманов С.А. - М. ОНИКС, 2012. - 199 с.

3. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика / Никайдо Х. - М.: Мир, 1972. - 519 с.

4. Панюков А. В., Латипова А. Т. Оценка положения равновесия в модели Неймана при интервальной неопределенности исходных данных//Вестник УГАТУ.-2008, - т.10, №2(27), - С. 150-153.

5. СеводинМ. А. Динамические системы леонтьевского типа с ограничениями на интенсивности технологических процессов // Наука и бизнес: пути развития.- 2013,- № 8, - С. 66-70.

© Козловская Я. И., 2016