Оценка показателей вибрационной безопасности автомобиля в частотной области Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Машиностроение к компьютерные технологии

Сетевое научное издание

http://www.technomagelpub.ru

Ссылка на статью:

// Машиностроение и компьютерные технологии. 2017. № 12. С. 1-21.

Представлена в редакцию: 06.11.2017

© НП «НЭИКОН»

УДК 629.113.(075.8)

Оценка показателей вибрационной безопасности автомобиля в частотной области

Жеглов Л.Ф.1'", Фоминых А.Б.1

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В настоящей работе рассматриваются вопросы математического моделирования нелинейной системы виброизоляции автомобиля. Алгоритм решения данной задачи построен на основе процедуры статистической линеаризации для примера пространственной динамической модели, эквивалентной первичной и вторичной системам виброизоляции двухосного автомобиля. В этом случае рассматриваются особенности применения четырех известных способов статистической линеаризации при двух вариантах интенсивности возмущающего воздействия. Такой подход дает возможность определить степень влияния нелинейных характеристик элементов системы виброизоляции на выходные интегральный и раздельно-частотный показатели с учетом критерия безопасности движения автомобиля.

Ключевые слова: линейная система, нелинейная система, вибросигнал, нелинейная характеристика, способ статистической линеаризации, эквивалентный коэффициент, итерация, амплитудно-частотная характеристика, резонансная частота, спектральная плотность мощности, октавный спектр

Введение

С учетом особенности определения показателей вибрационной безопасности автомобиля, полученных на основе математического моделировании рядной двухмассовой динамической системы с нелинейными элементами [1], рассматривается пространственная задача динамики нелинейной системы виброизоляции. Решение этой задачи осуществляется в частотной области при использовании различных способов статистической линеаризации [2-6]. При моделировании условий эксплуатации автомобиля в данном случае необходимо обеспечивать возможность его безопасного движения. Последнее может оказать существенное влияние на степень нелинейности анализируемой системы. Это обстоятельство позволит дать более корректную сравнительную оценку результатов расчета соответствующих показателей в частотной и временной областях [7]. В тоже время, конечные результаты представляются в виде частотных или частотно-скорректированных показателей. Кроме того, качественное тестирование решаемой задачи возможно только в частотной области. Отметим еще одно обстоятельство, связывающее временную и частотную

область: определение характеристик формирующего фильтра для моделирования возмущения от дорожной поверхности. Рассмотрим достаточно простой пример.

Для вывода уравнения формирующего фильтра будем исходить из выражения его частотной характеристики Н, и (у ш )

2 6,(6))

\Hqu(jM)\ =

СиОО'

где £,(&)), - спектральная плотность возмущения q(t) и «белого шума» соот-

ветственно; ш- круговая частота.

Спектральную плотность ш ) определим по наиболее простому аппроксимирующему выражению корреляционной функции возмущения

Я, (т) = Б,е~ а 1 т I ,

где Б, - дисперсия возмущения; а- коэффициент аппроксимации; т- сдвиг независимой переменной.

Так как [8]

Gq(.<o) = 4 I Rq(j) cosiordr, 'о

то

irr nI2 4Daa

I V о ш) | ■ (1)

С учетом равенства (ш ) = ( 0 ) = с о ns t определим ( ш ) по выражению для «белого шума»:

1 ГШв Gu(ü))

Du=^-\ Gu(co) dco = —-(<ув - <u0).

2л }Шо 2л

При ю о = 0 имеем

GuO) =

2nDu

При частотном разрешении Д ш и временной дискретизации Д t

2лк

Шв=Ш'

гд е к и N — число дискретных значений функций в частотной и временной областях соответственно.

Так как при спектральном анализе случайных вибросигналов [9] принимают

к = 0,5 N,

имеем

Си{ш) = 2DuAt. Записывая выражение (1) в операторном виде

„ , , Ч(Р) ]2Dqa 1

u(p) DuAt a + p'

где р = }о - комплексное число, получаем дифференциальное уравнение формирующего фильтра

С использованием данного подхода определены аналогичные характеристики формирующего фильтра для используемых в практике расчетов аппроксимирующих выражений корреляционной функции возмущения [8, 10].

Наряду с этим, в частотной области достаточно удобно и эффективно проводится оценка влияние различных параметров [11] динамической системы на анализируемой выходные вибросигналы с последующим определением показателей вибрационной безопасности. Изложенное дает право выбора области исследования данных нелинейных динамических систем. В нашем случае на первом этапе рассматривается процедура математического моделирования систем виброизоляции в частотной области с последующим определением и анализом плавности хода и безопасности движения автомобиля.

1. Математическая модель нелинейной системы виброизоляции

Для решения данной задачи рассмотрим схему динамической системы, эквивалентную первичной и вторичной системам виброизоляции автомобиля (рис.1).

Данная динамическая система имеет семнадцать степеней свободы:

- несущая система, кабина, силовой агрегат, кузов - имеют по три степени свободы (обобщенные координаты - вертикальные перемещения центра масс и угловые перемещения в продольной и поперечной плоскостях, проходящих через центр масс представленных блоков);

- шины (неподрессоренная масса) и сиденье - имеют по одной степени свободы (обобщенная координата - вертикальные перемещения центра масс).

1.1. Алгоритм построения математической модели

Решение поставленной задачи состоит в определении спектральной плотности мощности Сес ( о) анализируемого вибросигнала. Согласно соотношениям, характеризующим преобразование стационарного случайного вибросигнала линейной многомерной динамической системой с постоянными параметрами [9] и допущениям, накладываемым на характеристики возмущения от дорожной поверхности [12], имеем выражение для определения искомой функции [8]:

Свс(<о) = {Шсо)\2 + Шсо)\2 + [Я*л(<о)Яп(<о) + Нл(йОН*п(йОК(й>)Кс(й>), где Нл (о) , Нп ( о) , Н *л ( о ) , Н * п ( о ) — частотные и комплексно-сопряженные с ними частотные характеристики динамической системы при возмущении по левой и правой колее автомобиля соответственно; рч ( о ) — эмпирический коэффициент корреляции, характеризующий статистическую взаимосвязь возмущений по левой и правой колее; С^ с ( о) — заданная спектральная плотность возмущения от дорожной поверхности с учетом сглаживающей способности шины.

Рис.1 Схема динамической системы, эквивалентная системе виброизоляции автомобиля: 1, 2, 3, 4, 5, 6 -элементы (упругий и демпфирующий) структуры виброизоляции соответственно кузова, силового агрегата,

кабины, сиденья, несущей системы и шины

Для определения искомых частотных характеристик запишем систему дифференциальных уравнений второго порядка, представляющую динамику анализируемой системы [13, 14], в операторном виде

А (р) ■ Y(р) = В (р) , (2)

где А (р) , В (р) - квадратная матрицы коэффициентов левой части и матрица-столбец свободных членов системы алгебраических уравнений; Y (р) — матрица-столбец преобразований Лапласа обобщенных координат.

Свободные члены в матрице-столбце В (р) включают преобразования Лапласа возмущений по левой и правой колее. Так как в данном случае интерес представляют непосредственно частотные характеристики

ялО),япО),

матричное уравнение преобразуется в систему двух уравнений

Л(р) ■ К(р) = Вл(р)(7л(р); Л(р) ■ К(р) = fin(p)qn(p), позволяющих определить искомые частотные характеристики:

„ , , У<Р> „ , , У<Р)

Поскольку анализируемая система имеет блоки 5 и 6 с типовыми нелинейными характеристиками [8, 12] упругого и демпфирующего элементов, то для предлагаемого ре-

шения задачи требуется линеаризовать данную систему. С этой целью рассмотрим процедуру статистической линеаризации различными способами [3, 8, 12] и получаемые в этом случае интегральные и раздельно-частотные оценки вибрационной безопасности.

1.2. Эквивалентные коэффициенты статистической линеаризации

Для эквивалентных коэффициентов жесткости и демпфирования рассматриваемых элементов при первом ( с1 экв, к 1 экв) и втором (с2 экв, к2 экв) способах статистической линеаризации [8, 12] имеем следующие выражения соответственно:

1 С Г°° 1 9 {-(Ь-тп)2\

С1°™="ти) ехрI )м

1 Г

с2экв =-з - тп) ехр I-—-) йк;

/г;—~ т ¿ — оо \

0,5

л/м/'-00 4 2°ь

1 г°° /~Р2\

к2жв =-з рк(у)у ехр —— (XV,

л/2^дЛ °° К ^

где Дп и Д, - дисперсии прогиба и скорости прогиба упругого элемента; Рс( К) и Рк(V) -нагрузочные характеристики упругого и демпфирующего элементов; Л и V - прогиб и скорость прогиба упругого элемента; тЛ - математическое ожидание прогиба упругого элемента.

Не зависимо от способа статистической линеаризации, при расчете обозначенных коэффициентов требуется нахождение математического ожидания составляющих блоков 5 и 6. Для этого определяют математическое ожидание сил упругого ш Рс и демпфирующего шРк элементов

-(Л. - тп)

2\

трк = ~р== I Рк(. ^)ехр(—— Ытл

1 _ , . 1-У

Для оценки безопасности движения автомобиля проводится расчет вероятности отрыва колеса от дорожной поверхности

РПш = 0,5(1 - Ф(д)). Здесь Ф (д) — интеграл вероятностей, равный

Лш — статический прогиб шины; — дисперсия прогиба шины .

При третьем способе коэффициенты статистической линеаризации для упругого и демпфирующего элементов вычисляются по аналогичным формулам [3, 8]. Здесь и далее

приведены в качестве примера выражения для определения эквивалентного коэффициента жесткости упругого элемента

_ 1

'-Зэкв /-—— / <

где ап- коэффициенты (в данном случае принято п=5), равные

^ ^ 00

^ 00

а2 = -== -Л/27Г2! 7_оо

^ 00

аз = ] Рс((М)((3 - зо л(оа(,

^ 00

а4 = -= Рс(^)(3 - + О л/27Г4! 7_оо

^ 00

а5=—= Рс((^)((5-10(3 + 15ОА(Оа(, л/27Г5! 7-оо

при

Ч2 Л Л(0 = е—; £ =

М'

При четвертом способе определяем статистически эквивалентную амплитудно — частотную характеристику ск { с(ш)} упругого элемента [ 3 ] , учитывая ранее записанные коэффициенты

1 V ,

с1к — г— / ап гпк ■

Коэффициент rnк вычисляем по формуле

2000

rnk = V-lk ^ Phiп cos шктк1 > ¿=0

гд е ргк = ; рh. , дh — нормированные корреляционная функция и спектральная

дцк

плотность [8] прогиба упругого элемента;со-круговая частота; т-сдвиг пезависимой переменной; Дт-интервал дискретности, Дт=0,01; ^./'-номера частотного и временного интервалов.

Вычислить с к возможно также, используя соотношение

_ С2» С2"= Ч/

где СЛ и С2с - спектральные плотности прогиба упругого элемента и выходного сигна-ла,равные

2000

5 2000

С2к = 4Ат,

¿ = 0

¿СОБ й)кТк

1'ги — ^ ^ а-п р^2-

71=1 1 = 0

1.3. Тестовое решение задачи

На основе предложенного алгоритма на первом этапе решения рассматриваемой задачи было проведено тестирование созданной программы (универсальная математическая система МаШсаё 14.0) для расчета анализируемых спектральных функций и показателей. Тестовыми показателем и функцией являются собственные частоты консервативной динамической системы (табл.1, рис.2) и амплитудно-частотная характеристика данной системы (рис.2).

Таблица 1. Собственные частоты консервативной динамической системы

ю, 1/с 6,82 10,2 12,40 18,53 22,49 35,66 39,72 61,14

61,22 61,32 62,08 100,06 100,66 116,25 151,96 183,02 204,76

Условием второго теста является оценка адекватности процессов вибрации динамической системы при двух видах возмущения - раздельно по левой и правой колее автомобиля. В качестве примера показаны амплитудно-частотные характеристики прогибов подвески колес (рис.3).

Рис.2. Спектральные характеристики динамической системы: амплитудно-частотная характеристика по виброускорению на сиденье водителя; 2- спектр собственных частот

О

2 /

(\

3 \ ^

О

50

100

О), с

-I

Н}2ы(<*)

Нд2/тз(<0) Ндгкп^ю)

7

-

о

/3

Ж \

Ш 2

о

50

б

100

о>, с

У

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики прогибов подвески колес: а - возмущение по левой колее; б - возмущение по правой колее; 1и 2- первое и второе колесо левого борта; 3 и 4 - первое и второе колесо

правого борта

а

Отойдем немного в сторону от рассматриваемых вопросов и покажем на примере целесообразность спектрального анализа при оценке эффективности систем виброизоляции автомобиля. На рис. 4 показаны рассчитанные характеристики динамической системы. Анализ данных результатов позволяет показать частотную область концентрации основой мощности анализируемого вибросигнала и причины этого эффекта. Кроме этого, в данном случае имеем возможность определения параметров динамической системы, оказывающих основное влияние на вид и значения амплитудно-частотной характеристики.

ОуС (СО)ХН),

М2 /с3

ИуС(со),

с

Счс(щ)х106> м /с

240 120 0

Рис.4. Частотные характеристики динамической системы, входного и выходного сигналов: 1, 3 -спектральные плотности Сус (ш ) выходного и Счс (ш ) входного сигналов;

2 — а м п л и туд н о — ч а сто тн ая хар актер и сти ка Ячус (ш ) по виброускорению на сиденье водителя

Результаты проведенного тестирования позволяют далее провести соответствующую оценку выходных показателей вибрационной безопасности при рассмотренных выше способах статистической линеаризации.

Отметим одну особенность решения данной задачи - определение математического ожидания прогиба упругого устройства подвески ткп и шины ткш . Для этого запишем аппроксимирующие выражения соответственно математических ожиданий

тР сп силы упругого устройства и тР сш упругой составляющей шины в виде

таРсп = а1тЫ

п и таР с ш _ а 2 1т к ш ,

где и коэффициенты аппроксимации

На рис. 5 показано соответствие аппроксимации исходным функциям.

'"/'СП,

н

ШаРс п,

И

2х! О4

1x10" О

-1 х 104

О 0,02

0.04

б

1 ч

1

1

0,06

тнщМ

Рис. 5. Исходные и аппроксимирующие функции математических ожиданий: а - силы упругого устройства подвески тРсп (1) и таР сп (2); б - силы упругой составляющей шины тРсш (1) и таР сш (2)

а

При условиях [ 1 2 ] шарсп + т = 0 и таРсш + т = 0 , вычисляем искомые т^п и ( тР кп и тР кш - математические ожидания демпфирующих составляющих подвески и шины).

1.4. Спектральные характеристики статистически линеаризованной динамической

системы

При сравнении эффективности рассматриваемых методов линеаризации обратим внимание на изменчивость спектральных характеристик и параметров динамической системы, сопоставляя их с исходной линейной системой виброизоляции. На рис. 6 в качестве примера представлены частотные характеристики динамической системы, входного и выходного вибросигналов, при втором способе линеаризации системы.

с (со)}

м /с

Н\сШ>

■Л

с*

ОаеШхКг, ...

м2/с

1x10' -

о ^

о

Рис.6. Частотные характеристики динамической системы, входного и выходного сигналов: 1 и 3 -спектральные плотности выходного Сус (о ) и входного Счс (о ) сигналов;

2 — а м п л и туд н о — ч а сто тн ая хар актер и сти ка Нчус (о ) по виброускорению на сиденье водителя

Согласно представленным характеристикам основная мощность оцениваемого вибросигнала сосредоточена в области низких частот, определяемых первичной системой виброизоляции. Это в данном случае связано главным образом со значительным увеличением коэффициента жесткости упругого устройства подвески (до 100%), снижением коэффициента сопротивления демпфирующего устройства подвески (до 65%) и коэффициента жесткости шины (до 35%).

При применении четвертого способа линеаризации имеет место резонансное явление (рис. 7) на частоте кратной первой собственной частоте динамической системе.

Рис.7. Ам п л и тудн о — ч астотн ая хар актер и сти ка Ячус (о ) по виброускорению на сиденье водителя: 1 и 2 - третий и четвертый способы статистической линеаризации

Это явление характеризует нелинейную систему, трансформирующую исходный гармонический вибросигнал в периодический. Явление дополнительного резонанса определено в основном амплитудно-частотными характеристиками коэффициентов жесткости упругого устройства подвески и жесткости шины (рис.8).

а

С1ы(о>), И/м

Н/м

5x105

О

10 20 30 40 ш, с1

б

Рис.8. Амплидудно-частотные характеристики коэффициентов жесткости упругого устройства подвески (а) и упругой составляющей шины (б), расчитанные как сх к ( 1 ) и с2 к (2 )

Однако на мощность выходного вибросигнала данный эффект оказывает слабое влияние (рис. 9).

Сзус (со), Л/ /с С4ус (О)),

м /с лГ /с

2x10"

1x10"

0

I

_к) V 2

о 10 20 со, с

Рис.9. Спектральные характеристики динамической системы: 1 и 2 - спектральные плотности виброускорения на сиденье водителя при третьем и четвертом способах статистической

линеаризации; 3 - спектральная плотность Счс (о ) входного вибросигнала

1.5. Результаты расчета анализируемых показателей безопасности

Рассмотрев некоторые особенности расчета данной нелинейной динамической системы, перейдем к анализу показателей безопасности при движении автомобиля с постоянной скоростью по грунтовой дороге в удовлетворительном состоянии. В первом случае рассматриваются интегральная и раздельно-частотные оценки виброускорения на сиденье водителя (рис. 10 а, б) и во втором - вероятность потери контакта шины с опорной поверхностью (рис. 10 в).

а

■ линейная система

■ 1-й способ 12-й способ

■ 3-Й способ

■ 4-й способ

I II III IV V

Номер октавной полосы частот

б

/1II _

ч и "

т Л ■ ■

31.) "

я Л Л .

Й ■ 1-е колесо

10 ■ ■ 2-е колесо

т 3-е колесо

о J

■ линейная 1-й 2-й 3-й 4-й ■ 4-е колесо

система Способ линеаризации

в

Рис. 10 Зависимости определяемых показателей от способов статистической линеаризации: а - интегральная оценка (1 и 2- скорректированное и скорректированное среднее квадратическое отклонение виброускорения); б - среднее квадратическое отклонение виброускорения в октавных полосах частот; в - вероятность потери контакта шины с опорной поверхностью

Согласно приведенным данным показатели вибрационной безопасности при данных условиях движения автомобиля значительно превышают их нормативные значения [6]. Кроме того вероятность отрыва колеса от дорожной поверхности имеет недопустимые значения с позиции безопасности движения автомобиля.

Учитывая высокое значение вероятности отрыва колес от дорожной поверхности, были проведены аналогичные расчеты данной системы при движении автомобиля по булыжной дороге (рис. 11).

■ 1

2

а

б

20

линейная 1-й 2-й 3-й 4-й 14-е колесо

система Спо соб линеаризации

в

Рис. 11 Зависимости определяемых показателей от способов статистической линеаризации: а - интегральная оценка (1 и 2 - скорректированное и скорректированное среднее квадратическое отклонение виброускорения); б - среднее квадратическое отклонение виброускорения в октавных полосах частот; в - вероятность потери контакта шины с опорной поверхностью

Как и в предыдущем случае, полученные данные не соответствуют нормативным показателям при повышении вероятности безотрывного качения колеса по опорной поверхности. При снижении уровня возмущения на динамическую систему, естественно, приведенные показатели безопасности имеют меньшие значения. Так как представленные данные будут использованы для оценки адекватности исследования нелинейных систем

виброизоляции автомобиля в частотной и временной областях, то дальнейшее снижение уровня возмущения является нецелесообразным.

Заключение

Результаты математического моделирования нелинейной системы виброизоляции автомобиля дают:

- адекватную оценку применяемым методам статистической линеаризации по отношению к линейной системе;

- наибольшее различие рассчитываемых показателей при сопоставлении способов линеаризации в первых двух октавных полосах независимо от уровня возмущающего воздействия;

- равнозначные оцениваемые показатели при втором типе возмущения, полученные вторым, третьим и четвертым способами статистической линеаризации;

- возможность провести сопоставление с результатами математического моделирования данной динамической системы во временной области с целью рекомендации способа статистической линеаризации.

Список литературы

1. Жеглов Л.Ф., Фоминых А.Б. Статистическая линеаризация при оценке эффективности систем виброизоляции автомобиля // Инженерный вестник. 2016. № 12. С.133-138. Режим доступа: http://engsi.ru/doc/853653.html (дата обращения 20.12.2017).

2. Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

3. Теория автоматического регулирования. Кн. 3. Ч. II: Теория нестационарных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирования / П.В.Бромберг, А.Н.Дмитриев, Н.Д.Егупов и др.; под ред. В.В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1969. 368 с.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 2: Статистическая динамика и идентификация систем автоматического управления: учебник. 2-е изд. / К.А.Пупков, Н.Д.Егупов, А.И. Баркин и др.; Под ред. К.А.Пупкова, Н.Д.Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 638 с.

5. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / Коваленко С.К., Колывагин М.А., Медведев В.С. и др.; Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, 1993. 575 с.

6. Гусев А.С., Щербаков А.И., Чуканин Ю.П., Стародубцева С.А. Метод статистической линеаризации в динамике нелинейных систем мобильных машин // Изв. МГТУ МА-МИ. 2014. Т. 1. №1(19). С. 84-86.

7. Spanos P.D., Evangelatos G.I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-Time domain simulation and statistical linearization solution

// Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2010. Vol. 30. No. 9. Pp. 811-821. DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.01.013

8. Жеглов Л.Ф. Спектральный метод расчета систем подрессоривания колесных машин: учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 212 с.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с. [Bendat J.S., Piersol A.G. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1986. 566 p.].

10. Фурунжиев Р.И. Проектирование оптимальных виброзащитных систем. Минск: Вы-шэйшая школа, 1971. 318 с.

11. Elbeheiry E.M., Karnopp D.C. Optimal control of vehicle random vibration with constrained suspension deflection // J. of Sound and Vibration. 1996. Vol. 189. No. 5. Pp. 547-564. DOI: 10.1006/jsvi.1996.0036

12. Динамика системы дорога-шина-автомобиль-водитель / А.А.Хачатуров, В.Л.Афанасьев, В.С.Васильев и др.; под общ. ред. А.А.Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976. 535 с.

13. Редько С.Ф., Ушкалов В.Ф., Яковлев В.П. Идентификация механических систем. Киев.: Наукова думка, 1985. 215 с.

14. Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров / Пупков К.А., Егупов Н.Д., Лукашенко Ю.Л. и др.; под ред. К.А.Пупкова, Н.Д.Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 661 с.

Mechanical Engineering & Computer Science

Mechanical Engineering and Computer Science, 2017, no. 12, pp. 1-21.

Received: 06.11.2017

Electronic journal

http://www.technomagelpub.ru © NP "NEICON"

Performance Evaluation of the Vehicle Vibration Safety in the Frequency Domain

L.F. Zheglov1'*, A.B. Fominykh1 ^vjJM^

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: linear system, nonlinear system, vibration, non-linear characteristics, method of statistical linearization, equivalent ratio, iteration, frequency response, resonance frequency, spectral power density, octave range

The article deals with mathematical modelling of the nonlinear system of vehicle vibration isolation. It is known that this problem can be solved both in the frequency and in the time domains. To assess the adequacy of the results obtained, a computation algorithm for evaluated performances in the frequency domain is considered at the first stage of the study. In this case, a statistical linearization procedure is used through the example of a spatial dynamic model equivalent to the primary and secondary vibration isolation systems of a two-axle vehicle (a dynamical system with seventeen degrees of freedom). A matrix method for determining the frequency characteristics of a given dynamical system is used, and the adaptation features of four known methods of statistical linearization are shown. The article focuses attention on advantages of the system frequency representation when testing it and determining the main parameters. In order to generalize the conclusions when comparing the calculation results in the frequency and time domains, computations were performed for two variations of the intensity of the disturbing action. Such a "hard-line" approach enables us to determine the impact of the nonlinear characteristics of the vibration isolation system components on the output integral and separate-frequency performance estimates, taking into account a vehicle's safety criterion.

The simulation results of this system show different values of the integral and separate-frequency estimates for all four methods of statistical linearization, regardless of the intensity of disturbing action and the loss probability of contact between the tire and the wearing surface from 5% to 30%. The calculation data obtained allow comparing with the mathematical modelling results of the given dynamical system in the time domain and defining position according to recommendation of the statistical linearization method.

References

1. Zheglov L.F., Fominykh A.B. Statistical linearization in assessing the effectiveness of vibration isolation systems of the car. Inzhenernyj vestnik [Engineering Bulletin], 2016, no. 12, pp. 133-138. Available at: http://engsi.ru/doc/853653.html, accessed 20.12.2017 (in Russian).

2. Kazakov I.E., Dostupov B.G. Statisticheskaia dinamika nelinejnykh avtomaticheskikh system [Statistical dynamics of nonlinear automatic systems]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1962. 332 p. (in Russian).

3. Teoriia avtomaticheskogo regulirovaniia. Kniga 3. Chast' II: Teoriia nestatsionarnykh, nelinejnykh i samonastraivayushchikhsia sistem avtomaticheskogo regurirovaniia [The theory of automatic control. Vol. 3. Pt. 2: Theory of nonstationary, nonlinear and self-adjusting automatic control systems] / P.V. Bromberg, A.N. Dmitriev, N.D. Egupov a.o.; ed. by V.V. Solodovnikov. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1969. 368 p. (in Russian).

4. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravleniia. Tom 2: Statisticheskaia dinamika i identifikatsiia system avtomaticheskogo upravleniia [Methods of classical and modern automatic control theory. Vol. 2: Statistical dynamics and identification of automatic control systems]: a textbook. 2nd ed. / K.A. Pupkov, N.D.Egupov, A.I. Barkin a.o.; ed. by K.A. Pupkov, N.D. Egupov. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2004. 638 p. (in Russian).

5. Metody avtomatizirovannogo proektirovaniia nelinejnykh system [Methods of computer-aided design of nonlinear systems] / Kovalenko S.K., Kolyvagin M.A., Medvedev V.S. a.o.; ed. by Yu.I. Topcheev. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1993. 575 p. (in Russian).

6. Gusev A.S., Shcherbakov V.I., Chukanin Yu.P., Starodubtseva S.A. Method of statistical linearization of nonlinear dynamics in systems of mobile machines. Izvestiia MGTU MAMI [Proc. of MSTU MAMI], 2014, vol. 1, no. 1(19), pp. 84-86 (in Russian).

7. Spanos P.D., Evangelatos G.I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-Time domain simulation and statistical linearization solution. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, vol. 30, no. 9, pp. 811-821.

DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.01.013

8. Zheglov L.F. Spektral'nyj metod rascheta sistem podressorivaniia kolesnykh mashin [Spectral method of calculation of the suspension systems of wheeled vehicles]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2013. 212 p. (in Russian).

9. Bendat J.S., Piersol A.G. Random data: analysis and measurement procedures. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1986. 566 p. (Russ. ed.: Bendat J.S., Piersol A.G. Prikladnoj analiz sluchajnykh dannykh. Moscow: Mir Publ., 1989. 540 p.).

10. Furunzhiev R.I. Proektirovanie optimalnykh vibrozashchitnykh system [Designing an optimal vibration isolation systems]. Minsk: Vyshejshaia Shkola Publ., 1971. 318 p. (in Russian).

11. Elbeheiry E.M., Karnopp D.C. Optimal control of vehicle random vibration with constrained suspension deflection. J. of Sound and Vibration, 1996, vol. 189, no. 5,

pp. 547-564. DOI: 10.1006/jsvi.1996.0036

12. Dinamika sistemy doroga-shina-avtomobil'-voditel'[The dynamics of the system road-tyre-vehicle-driver] / A.A. Khachaturov, V.L. Afanas'ev, V.S. Vasil'ev a.o.; ed. by

A.A. Khachaturov. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1976. 535 p. (in Russian).

13. Red'ko S.F., Ushkalov V.F., Iakovlev V.P. Identifikatsiia mekhanicheskikh sistem [Identification of mechanical systems]. Kiev: Naukova Dumka Publ., 1985. 215 p. (in Russian).

14. Matrichnye metody rascheta i proektirovaniia slozhnykh sistem avtomaticheskogo upravleniia dlia inzhenerov [Matrix methods of calculation and design of complex automatic control systems for engineers] / Pupkov K.A., Egupov N.D., Lukashenko Yu.L. a.o.; ed. by K.A. Pupkov, N.D. Egupov. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2007. 661 p. (in Russian).