Оценка параметров динамико-стохастической модели океанографических полей на основе спутниковых измерений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ГЕОГРАФИЯ

УДК 551.46 В. Р. Фукс

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ДИНАМИКО-СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОКЕАНОГРАФИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Предлагаемый подход к анализу и интерпретации спутниковых измерений океанологических полей (температура поверхности океана, мутность, концентрация хлорофилла, альтиметрические измерения) назван для краткости «динамико-стохастическим анализом». Более полное содержательное определение предлагаемого метода можно в общем виде сформулировать так: во-первых, представление пространственно-временной изменчивости измеряемой характеристики в виде дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего основным законам сохранения и разрешенного относительно скорости изменения этой характеристики; во-вторых, интерпретация этого дифференциального уравнения как уравнения множественной регрессии, где скорость изменения характеристики — предиктант, а все остальные пространственные и пространственно-временные производные — предикторы; в третьих, путем множественного регрессионного анализа переменных оцениваются коэффициенты регрессии этого уравнения, которые имеют вполне определенный физический смысл. Этот подход восходит как к методам технической кибернетики, когда процесс описывается дифференциальными уравнениями, а вклад отдельных слагаемых этих уравнений оценивается статистическими методами, так и к динамико-стохастическим моделям.

Двумерные модели широкого круга различных термодинамических и биотических процессов в море могут быть представлены в следующем виде:

д0 50 50 _ _2

— — а-----+ а2---+ а3 Д0 + 00+ а50 + а6 П, (1)

дt д х д у

где 0 — 0 (х , у , t) - измеряемая характеристика, П — П ( х , у , t) - внешнее воздействие

л д2 д2

на систему, а1 , а2 , ... а6 — параметры системы, Д —---\------ плоский оператор

дх2 д у2

Лапласа.

Уравнение (1) рассматривается как уравнение множественной линейной регрессии. Множественный регрессионный анализ основывается на уравнении множественной линейной регрессии вида

м

у — а0 + X а1(хи - х) + — у (2)

------------------ ]—1

© В. Р. Фукс, 2008

ной регрессии; x j— среднее значение j-й переменной

значение г-го

где г — номер наблюдения из выборки значений длиной N ( г = 1 ,. .., N) ; j — номер независимой переменной x- (j = 1, ... , M) ; а0 а1 a2 ..., aM — коэффициенты линей-

f ’ N \

X j = 1/ N У x j

г=1

наблюдения зависимой переменной, восстановленное с помощью регрессионного уравнения; е. — отклонение восстановленного значения у. от наблюденного уг.

Проверяется общая адекватность модели множественной линейной регрессии для исходных данных путем расчета эмпирического критерия Фишера:

F * = S D / S R ,

1 N 1 N

где sD =------У (у . - у)2 , s R =------"У (у ■ - У. ) 2 .

D N -1 h ' R N - M -1 j-Г' '

Если рассчитанная величина соотношения F* превышает табличное значение FT при заданном уровне значимости и степенях свободы j = M и j = N - M - 1 , то гипотеза об адекватности модели принимается.

Рассмотрим далее отдельные модели для океанологических характеристик, измеряемых со спутников.

Температура поверхности океана (ТПО)

Пространственно-временная изменчивость ТПО может быть описана интегральным для верхнего квазиоднородного слоя океана уравнением теплопроводности.

Для характерных пространственно-временных масштабов синоптической изменчивости распространение теплоты в поверхностном слое океана целесообразно представить с помощью уравнения теплопроводности, проинтегрированного для верхнего квазиоднород-ного слоя с учетом граничных условий на его верхней и нижней границах. в приближении полуэмпирической теории турбулентности:

d T д T д T . _ q

----+ u-----+ v — — A j A T +— ,

dt д x д у h

где Aj = const — коэффициент горизонтальной турбулентной теплопроводности; q = q0 - qh , q0 = q0 (x, у, t)—поток теплоты через поверхность океана; qh = qh (x, у, t) — поток теплоты через нижнюю границу верхнего квазиоднородного слоя; h — глубина верхнего квазиоднородного слоя, ыиу— зональная и меридиональная составляющие вектора скорости течения.

Для уравнения теплопроводности регрессионное уравнение (1) может быть записано в виде: де де де ло 0 (3)

— = а,-----+ а2-+ а3 Ае + а6 П, (3)

дt 1 дx 2 ду 3 6

q

где е = T , а. = -u , а2 = -v , а3 = A, а6 П = —

h

Концентрация хлорофилла

Подобные уравнения (3) могут быть записаны и для первичной продукции P, и для приблизительно пропорциональной ей величине концентрации хлорофилла [1].

Учитывая пространственное распределение хлорофилла, можно записать следующее уравнение:

д Р д Р дР дР дР д дР 2

-----+ и------+ V---+'№-+ п’п— — — (к —) + АДР + аР+ ЬР . (4)

дt дх ду д7 п д7 д7 д7^

Это уравнение — комбинированная математическая модель переноса диффузии и биотической модели для концентрации хлорофилла или первичной продукции. Здесь х, у, z — декартовы координаты, ось 02 направлена вертикально вниз, пп — скорость гравитационного осаждения, к — коэффициент вертикальной турбулентной диффузии, А — коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, и, V, щ — соответственно проекции скоростей течения на координатные оси, а и Ь — биотические параметры.

Упростив это уравнение, не учитывая вертикальные составляющие, получим:

д Р д Р д Р . , 2

----+ и------+ V--- — АД Р + аР+ ЬР (5)

дt дх ду • (5)

Уравнение (5) можно рассматривать как уравнение множественной регрессии,

дР дР дР 2

в котором предиктантом является------, предикторами ,-------------, АР, Р Р , причем

дt дх ду

д Р д Р д Р п2

— — ай + а1 — + а2 — + а3 Д Р + а4 Р + а5Р , (6)

дt д х д у

где а1 и а2 — составляющие вектора скорости на параллель и меридиан, а3 — коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, а4 — коэффициент роста биомассы, а5 — коэффициент внутривидовой конкуренции, а в а0 войдут все неучтенные члены (вертикальная турбулентная диффузия, выедание). Таким образом, имея данные по пространственновременному распределению хлорофилла, можно рассчитать с помощью аппарата множественного регрессионного анализа коэффициенты, входящие в уравнение (6).

Для реализации модели использовались спутниковые данные о концентрации хлорофилла полученные спектрорадиометром АquaMODIS [2]. Массив данных включал поля концентрации хлорофилла в Белом море за период с 14 марта по 7 октября 2005 г. с дискретностью по времени — 8 суток и по пространству — 4 км. Используя конечноразностную аппроксимацию, в каждой точке области были рассчитаны значения всех предикторов, входящих в уравнение регрессии. Для каждого предиктора также рассчитаны основные статистические характеристики. Значения составляющих горизонтального градиентов, в среднем, колеблются от -2 до 2 мг/м3^км, причем максимальные средние значения приходится на прибрежные районы и закрытые области моря. Значения среднеквадратических отклонений этих предикторов имеют схожий характер распределения в пространстве, и в большинстве своем не превышают 1-1,5 мг/м3^км. Величины лапласиана также распределены неравномерно, достигая максимальных средних значений до 0,2 - 0,3 мг/м3^км2 и среднеквадратических отклонений до 0,3 - 0,4 мг/м3^км2 в горле и заливах Белого моря. Значения концентрации хлорофилла, в среднем, лежат в пределах в пределах 10 -20 мг/м3 и за сутки изменяются не более 0,5 мг/м3.

По полученному массиву предикторов был произведен регрессионный анализ и получены значения коэффициентов, входящих в уравнение (6). Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что предлагаемая модель, при всех ее допущениях, дает удовлетворительные результаты. Прежде всего, об этом говорят высокие значения коэффициентов множественной регрессии. На всей акватории преобладают значения

коэффициентов множественной регрессии 0,7 - 0,8, превышая в некоторых местах значения - 0,95. Также необходимо отметить, что минимальные значения практически везде превышают - 0,5, за исключением Горла Белого моря, где коэффициенты — не ниже 0,7. Несмотря на то, что временной ряд, по которому был проведен анализ, недостаточно продолжителен, тот факт, что в большинстве точек значения коэффициентов множественной регрессии были высокие, дает основания полагать, что модель вполне работоспособна. Об этом также говорит согласование значений коэффициентов регрессии с их физическими оценками по натурным наблюдениям.

Проведем анализ и динамико-биотическую интерпретацию пространственного распределения каждого коэффициента регрессии по отдельности:

A) Адвекция. Смысл адвекции в рассматриваемом уравнении имеют два члена а1 (проекция вектора на параллель) и а2 (проекция вектора на меридиан). Значения этих коэффициентов в среднем не превышают 10 -15 см/с, причем разброс их примерно одинаков относительно нуля как в сторону положительных, так и в сторону отрицательных значений. В обоих составляющих проявляется минимум дисперсии в горле Белого моря, а максимумы в западной части воронки, в северной части бассейна, а также в Мезенском и северо-западной части Двинского залива. Необходимо отметить, в целом, большую дисперсию составляющей на параллель по сравнению с меридиональной составляющей.

B) Горизонтальная турбулентная диффузия. В качестве коэффициента горизонтальной турбулентной диффузии в уравнении выступает член а3. Значение а3, имеющего смысл коэффициента горизонтальной турбулентной диффузии, не превышает 2^106 см /с. Значения его имеют как отрицательные, так и положительные значения. Среднее по пространству значение близко к нулю. Минимум дисперсии значений а3 наблюдается в Горле Белого моря.

C) Рост биомассы. Коэффициент а4, отражающий в уравнении рост биомассы имеет размерность сутки-1, его значения распределены по пространству крайне неравномерно. Ярко выражены два минимума — в Горле и в Мезенском заливе, а также менее заметные, но также значительные минимумы в остальных заливах. Коэффициент имеет как отрицательные так и положительные значения, с некторым преобладанием положительных значений. Большая часть положительных значений коэффициента расположена в центральной части моря, а также в северной части воронки. Необходимо отметить несколько локальных максимумов на границе трех районов Белого моря — Горла, Воронки и Мезенского залива, расположенной к северу от острова Моржовец.

D) Коэффициент, отражающий внутривидовую конкуренцию. Пространственное распределение коэффициента а5, отражающего внутривидовую конкуренцию, имеет схожий характер с распределением коэффициента, характеризующего неограниченный рост биомассы. Существенно, что в местах максимума коэффициента роста выражены минимумы коэффициента внутривидовой конкуренции и наоборот. Также остается выраженной зона локальных минимумов и максимумов в южной части воронки (на границы с Горлом и Мезенским заливом), но уже несколько смещенная к западу, по сравнению с описанной для коэффициента а4.

E) Остаточный член уравнения регрессии. Свободный член а0 уравнения регрессии содержит все неучтенные факторы, влияющие на изменение концентрации хлорофилла во времени. В среднем по пространству коэффициент принимает положительные значения. Минимумы выражены слабо, в основном на юге воронки в виде локальных образований. Максимумы можно наблюдать в Горле, а также Онежском, Двинском и Мезенском заливах. В центральных же областях Белого моря значения коэффициентов близки к нулю.

В целом, предложенный подход дал вполне адекватные результаты. Коэффициенты множественной корреляции на всей площади акватории высоки, а коэффициенты регрессии при предикторах не противоречат теоретическим представлениям и практическим измерениям. Представляется перспективным дальнейшее развитие модели, с включением данных о первичной продукции, рассчитанной по концентрации хлорофилла, добавление уравнений для более высоких трофических уровней и использование спутниковых измерений температуры и уровня моря.

Альтиметрия

Развитие спутниковой альтиметрии открывает принципиально новые возможности в океанологических исследованиях. Основная задача альтиметрических измерений — геодезическая, уточнение формы морского геоида и гравитационной модели Земли. Однако спутниковые альтиметрические съемки открыли широчайшие перспективы и в исследовании динамики морей и океанов.

Первые спутники, несущие альтиметры, были запущены в США в 1970-х годах ^ку1аЬ, (1973); Geos-3, (1975); Seasat (1978)). В 90-х годах с запуском европейских спутников ERS-1 с 1991 г. и ERS-2 с 1995 г., американского спутника Topex/Poseidon (Т/Р) с 1992 г., российских спутников ГЕОИК началось широкое внедрение альтиметрических методов в океанографию и метеорологию. Космические аппараты Topex/Poseidon разработаны и запущены в рамках французско-американского проекта по долговременному изучению глобальной циркуляции и топографии поверхности океана. Первый космический аппарат этой серии был запущен 10 августа 1992 г. Орбита спутника — 1331-1332 км с наклоном 66,05 и периодом обращения 112 мин 26 сек. С периодом 127 витков (около 9,9 суток) трасса ИСЗ проходит на расстоянии не более 1 км от некоторой точки на поверхности Земли. Два радиолокационных высотомера (АЦТ и SSАLT) обеспечивают точность измерения высоты спутника над поверхностью океана в 2-5 см. В 2001 г. был запущен спутник Ясон-1. Главная его цель продолжить миссию Т/Р, обеспечить продолжение изучения изменчивости океана и его роли в климате, гидрологических и биогеохимических циклах Земли. Сегодня спутниковые альтиметрические измерения достигают точности 2-3 см, дают пространственное вдольтрековое разрешение — 5-7 км с периодичностью 3-35 суток. Это дает возможность картировать динамическую топографию поверхности моря. Уже реализуются перспективы расчета по уклонам уровня моря полей течений, зон дивергенций и конвергенций, а также усвоения альтиметрической информации в гидродинамических моделях. Еще только начинается совместное использование спутниковой альтиметрической информации с дистанционным зондированием океана в различных диапазонах спектра излучения океана, прежде всего с данными микроволновых и ИК — радиометрических съемок.

Опыт использования альтиметрии для изучения океана обобщен в многочисленных публикациях, в том числе в [3, 4, 5, 6].

Оценка основных факторов, определяющих колебания уровня моря, может быть дана на основе уравнения неразрывности массы, представленном в следующем виде:

1* + XVV + дп — П, (7)

р dt д г

где р — плотность воды, V — вектор горизонтальной скорости течения, щ — верти-

С

кальная составляющая скорости течения, пресный баланс П = О - И +--, где О — осадки,

И — испарение, С — сток, S — площадь акватории. S

Пренебрегая для интересующих нас масштабов времени пресным балансом и интегрируя это уравнение от поверхности моря до дна при приближенном кинематическом

0 (ь

условии на поверхности моря при ъ = 0, w ~---------— (ь - превышение уровня моря над

дґ

средним уровнем) и условии непротекания на дне моря (при г = Н (х , у)), w = 0, получим

— = —<1Іу V Н -Г—^ аг, (8)

дґ * р аґ

где V - средний по глубине моря вектор горизонтальной составляющей скорости течения, Н - глубина моря, VН- полный поток (далее знак операции осреднения «-» будем опускать).

Первое слагаемое в правой части уравнения (8) имеет смысл скорости «динамического» изменения уровня, а второе слагаемое характеризует скорость стерического изменения уровня моря.

В условиях, когда стерические эффекты малы,

ді = -сМуІЇН = -Н д ґ

ґди ду Л

д х д у

V “У

дН дН (9)

— и----у

д х д у ’

где и и V - зональная и меридиональная составляющие скорости течения.

Далее будем исходить из линеаризированных уравнений движения теории «мелкой

воды»

диН

дґ д уН дґ

— /уН = ТхН + гиН, + /иН = ТуН + гуН,

(10)

где

д^ 1 д Ра Т х

Т = — р — +--------- +

х дх р дх рк ’

Т = — ё ^ +1дР^ + ^-. ду р ду р к

(11)

Здесь г — линеаризированный коэффициент донного трения; g — ускорение силы тяжести ветра; Т (т х , Ту) — вектор тангенциального напряжения; Ра — атмосферное давление; к - экмановская глубина трения, /— параметр Кориолиса. д

Рассматривая задачу в квазигеострофическом приближении ( — << / или

1 дt

Т >> Тг — 7 , т — характерный време„но» „ Тр — „ерИ°д И„ер„ИоннЫХ коле6а-

ний), найдем из (10) значения составляющих полного потока иН и vH:

а(Ту - ЬТх ) иН = у х) = В (Ту - ЬТх),

1+Ь2

а (Тх + ЬТу )

1+Ь2

:- В (Тх + ЬТу ),

vH = -где а = Н , Ь = г , В = —^у,

/ / 1 + ь2 ’

или при отсутствии трения г = 0, Ь = 0

иН = а Ту , vH = - аТх .

Тогда дивергенцию полного потока можно представить в следующем виде:

(13)

диН дvH

а1угн = —— +

д х

д у

дВ - Ь

д х

дВ ,

— + Ь д у

Тх + Вго1;Т - ЬВ&уТ, (14)

где го 1 Т = го^Г , <!1у Т = - g АС + — АРа + (НуТТ,

р к р р к

л- Т 1 л „ 1 4• т дВ 1 да 1 дН

ё1уТ = - g Ас +—АРа +--------(ут , — =-----------г-— =-----------------;-,

р р к д х 1+Ь д х /(1 + Ь ) д х

д а 2В 1 д Н дЬ 2В

^ = -Т2Н + ТЗ- , 3“ = -Т2-г .

д у / / д у д у Н

В более простом случае отсутствия донного трения (г = 0 , Ь = 0 , В = а = —)

&уШ = — — Ту + / д х

1 дН / д у

Тх + Н—го1Т. х / р к

/

(15)

При этом на в-плоскости в море постоянной глубины получаем известную формулу [7, 8, 9]:

ё1у V Н =

-в vH + го1Г

р / /

где/ - параметр Кориолиса, т - тангенциальное напряжение ветра, в = — .

Ш

Предполагая дополнительно, что отсутствуют анемобарические возмущения

Т х =(Т у = 0, Ра = 0), получим:

Нугн =- * дН дс + * дН 35- gн дс.

/ д х д у / д у д х / д х

Подставляя в (9) значения divVH из (14), получим

(16)

§ = -В[Ю1 Т - ЬШу Т + Тх | - Ту |] - (Т. - ЬТх)дВ +<Тх + ЬТ,.)| . С

- а да да

где го1 Т =---------го1т + Ту-------Тх —

р Н уду хдх;

<Цу Т = а (-g АС + АР + —Шут) + Тх— + Т—.

4 ё Ь р рк 7 хдх уду

Уравнение множественной регрессии, определяющее скорость изменения уровня можно тогда представить в виде

дС _ дС дС дРа дРа

— = а0 + а,----+ а2----+ а3-----+ а4-----+

дt 0 1 дх 2ду 3 дх 4 ду

+а5т х + а6т у + а7 rotТ + а8 АН + а9 AРа + а10 divf ,

(18)

дН - - дРа дРа Ап дН, дН, Ай

где —-----предиктант, а Т x , Т у , diVT , rotТ , ——, ——, А Ра , — , — , АН — предика-

д/ дх ду дх ду

торы.

Соответственно а0 , а1 ,... , а6 — коэффициенты регрессии.

С помощью регрессионного анализа можно оценить коэффициенты регрессии и относительный вклад различных механизмов в изменчивость уровня моря.

Без учета анемобарических эффектов уравнение (18) значительно упрощается.

дН _ дН дН Л.

а0 + а1 + а2 ^ + а8АН. (19)

дt дх ду

В (18) и (19) коэфициенты регрессии имеют вполне определенный физический смысл и могут быть идентифицированы по приведенным выше соотношениям. Очевидно, что коэффициент регрессии a1 обусловлен, главным образом, дивергенцией полного потока, связанной с зональными уклонами дна, а также зависит от параметра Кориолиса и коэффициента донного трения, коэффициент регрессии а2 связан с меридиональными уклонами дна и теми же параметрами, а также с „в-эффектом“. Коэффициент а8 определяется дивергенцией полного потока, обусловленной донным трением, и также зависит от параметра Кориолиса и коэффициента донного трения.

Подобный динамико-стохастический анализ спутниковых альтиметрических измерений уровня дал положительные результаты при анализе механизмов пространственновременной изменчивости уровня Японского и Охотского морей [4, 5, 6, 10, 11].

Представляется перспективным применение подобных методов к анализу изменчивости океанографических полей в других районах Мирового океана.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 06-05-64908.

Summary

Foux V. R. The estimation of dynamic-stochastic model parameters for oceanographic fields on the basis of satellite information.

A method for studying and interpreting the remote measurements of ocean fields — SST, turbidity, chlorophyll concentration and altimeter data is proposed under the brief name Dynamic-Stochastic Analysis. The method consists of three steps: (1) the spatial-temporal variability of a measured characteristic is described by a partial differential equation that satisfies the main conservation principles and is resolved with respect to this characteristic change rate; (2) the partial differential equation is interpreted as a multiple regression equation considering the characteristic change rate as a predictand while all the remaining, spatial and spatial-temporary derivatives as predictors; (3) with the latter equation, regression coefficients are estimated

and physical interpretation of them is provided. The application of the method is discussed by using satellite-born altimeter measurements and primary production data for the Japan sea and the White sea.

Литература

1. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б.. Биофизическая динамика продукционных процессов. Москва-Ижевск, 2004. 2. AVISO Altimetry Newsletter 6, 1998; 8, 2001. 3. Фукс В. Р., Белоненко Т. В. Проблемы использования спутниковой информации о концентрации хлорофилла для оценки биотических условий промысла нагульной рыбы // Вопросы промысловой океанографии. Москва, 2006. 4. Фукс В. Р. Гидродинамические основы интерпретации спутниковой альтиметрической информации // Колебания уровня морей. СПб, 2003. 5. Satellite altimetry and earth sciences / Ed. by Lee-Lueng Fu, Anny Cazenava — Internathional geophysics series. 2001. Vol. 69. 6. Фукс В. Р. Спутниковая альтиметрия в промысловой океанологии // Вопросы промысловой океанологии. Москва, 2004, вып. 1. 7.ДеминЮ. Л., ТрухачевД. И. Гидродинамический диагноз течений в морских бассейнах // Моделирование гидрофизических процессов и полей в замкнутых водоемах и морях. М., 1989. 8. Мамаев О. И. Морские течения. М, 1986. 9. Старицын Д. К., Фукс В. Р. Сезонная изменчивость уровня Японского моря (по данным альтиметрических измерений) // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 7. 2004. Вып. 4 (№ 31). 10. Фукс В. Р, Блошкина Е. В. Кинематический анализ спутниковых альтиметрических измерений // Исследование океанов и морей / Под ред. ВМ Грузинова // Труды ГОИН. М, 2007. Вып. 210. 11. Фукс В. Р., Колдунов А. Н. Динамико-стохастический анализ первичной продукции Белого моря на основе спутниковой информации // Тез. докл. X Международной конференции «Проблемы изучения, рационального использования и охраны природных ресурсов Белого моря» 18-20.09.2007 г. Архангельск. 2007.