CC BY
190
Оценка недвижимости для налогообложения1
С.В. Грибовский
заместитель начальника ГУ «Городское управление инвентаризации и оценки недвижимости» (Санкт-Петербург), профессор, доктор экономических наук
Н.П. Баринов
генеральный директор ООО «Оценочная фирма «БОСИ» (Санкт-Петербург), старший научный сотрудник, кандидат технических наук
2. Выбор модели оценки стоимости
Для оценки недвижимости для целей налогообложения на активных рынках рекомендуется использовать мультипликативную модель следующего вида:
В дальнейшем для упрощения изложения параметр «площадь» временно опустим, то есть под ценой будем понимать удельную стоимость единицы площади, а вместо переменной «стоимость объекта» будем использовать ее математический аналог - переменную.
В рамках сформулированной постановки задачи рассмотрим алгоритмы построения трех мультипликативных моделей оценки стоимости:
• модели, основанной на методе регрессионного анализа;
• кластерной модели, основанной на методе параллельных сечений;
• кластерной модели, основанной на методе последовательных сечений;
2.1. Модель, основанная на методе регрессионного анализа
Практика оценки недвижимости показывает, что в классе моделей (1) достаточно хорошими аппроксимирующими свойствами обладает регрессионная мультипликативная2 модель следующего вида:
Параметры а0, а1,...,ат этой модели определяются методом наименьших квадратов. Основная задача модели оценки стоимости - моделирование зависимости цены от ценообразующих факторов х1, х2, ..., хт.
Для построения модели (2) одно из значений каждого ценообразующего фактора, которые представлены в таблице 2, выберем в качестве базового, и исключим из таблицы. Иначе говоря, для этих значений не будем выделять отдельные переменные. При этом объект недвижимости, имеющий базовые значения ценообразующих факторов, определим как эталонный объект. В качестве эталонного объекта недвижимости может быть выбран объект, обладающий любыми характеристиками, например наиболее типичный
1 Продолжение. Начало см.: // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2006. № 5.
2 Выбор моделей возможен также и в классе аддитивных моделей, алгоритм построения которых подобен рассматриваемому, но не включает процедуры логарифмирования исходных данных и восстановления (потенцирования) значений коэффициентов модели из значений их логарифмов (см. п. 2.1.1).
СТОИМОСТЬ ОБЪЕКТА = СБ х К1 х ... х Кп х ПЛОЩАДЬ.
(1)
у = а0 ха? ха2?2 х... хат.
(2)
или наиболее распространенный объект недвижимости. Выберем в оцениваемом поселении в качестве эталонного объекта 1-комнатную квартиру в кирпичном доме, находящуюся в 1-й зоне. С учетом этого составим таблицу обозначений и значений ценообразующих факторов (табл. 4).
Таблица 4
Описание ценообразующих факторов
Наименование ценообразующего фактора Обозначение ценообразующего фактора Значение ценообразующего фактора
Зона 1 отсутствует Базовое
Зона 2 Х1 Наличие: х, = 1, отсутствие: х, = 0
Кирпичный дом отсутствует Базовое
Блочный дом Х2 Наличие: х2 = 1, отсутствие: х2 = 0
Деревянный дом Х3 Наличие: х3 = 1, отсутствие: х3 = 0
1-комнатная квартира отсутствует Базовое
2-комнатная квартира Х4 Наличие: х4 = 1, отсутствие: х4 = 0
3-комнатная квартира Х5 Наличие: х5 = 1, отсутствие: х5 = 0
4-комнатная квартира Х6 Наличие: х6 = 1, отсутствие: х6 = 0
Реальная цена У Реальное
Оцениваемая стоимость Вычисляемое
В соответствии с таблицей 4 на базе таблицы 3 составим усеченную (без базовых значений ценообразующих факторов) таблицу наблюдений (табл. 5). В этой таблице присутствуют значения всех факторов, за исключением базовых, характерных для эталонного объекта.
С учетом данных, представленных в таблице 5, модель оценки стоимости будет иметь следующий вид:
у = а0 х аХ1 х aX2 х a%3 х aX4 х ag5 х ag1, (3)
где у - оценка рыночной стоимости одного квадратного метра квартиры;
а0 - свободный параметр модели, представляющий собой стоимость одного квадратного метра общей площади эталонной квартиры (однокомнатной квартиры, находящейся в кирпичном доме в 1-й ценовой зоне);
а1, а2, ..., а6 - параметры модели, позволяющие скорректировать стоимость квартиры на местоположение, материал стен и количество комнат.
Если значения всех ценообразующих факторов в модели (3) будут равны нулю (х1 = х2 = ... = хт = 0), то оценка рыночной стоимости будет соответствовать стоимости эталонного объекта: у = a0, то есть однокомнатной квартиры с кирпичными стенами, расположенной в 1-й ценовой зоне.
2.1.1. Расчет параметров модели оценки стоимости
Для расчета параметров модели (3) преобразуем ее в аддитивный вид путем логарифмирования:
Ln(у) = Ln(a0) + x1 х Ln(a1) + x2 хLn(a2) +... + x6х Ln(a6). (4)
Для того чтобы с использованием компьютера рассчитать коэффициенты модели (4), необходимо предварительно заполнить таблицу значений наблюдений в обозначениях этой модели (табл. 6). Таблица 6 отличается от таблицы 5 тем, что в ней в соответствии с моделью (4) вместо цен используются их логарифмы.
Таблица 5
Кодировка ценообразующих факторов
Номер «ч те ї о со Дом Квартира Цена (у) Номер «ч те н о со Дом Квартира Цена (у)
2 '5 1 о '5 І 3 1 3 Е і 2 § «ч 3 Е і 2 § со 3 Е і з § 4 2 '5 1 о '5 і 3 е( Дере ( 3 тна і 2 § «ч 3 тна і з § со 3 тна і з §
1 0 0 0 0 0 0 800 55 0 0 1 0 0 1 840
2 0 0 0 0 0 0 802 56 0 0 1 0 0 1 860
3 0 0 0 0 0 0 750 57 1 0 0 0 0 0 960
4 0 0 0 0 0 0 760 58 1 0 0 0 0 0 962
5 0 0 0 0 0 0 798 59 1 0 0 0 0 0 912
6 0 0 0 0 0 0 804 60 1 0 0 0 0 0 958
7 0 0 0 1 0 0 880 61 1 0 0 0 0 0 966
8 0 0 0 1 0 0 805 62 1 0 0 1 0 0 850
9 0 0 0 1 0 0 860 63 1 0 0 1 0 0 1033
10 0 0 0 1 0 0 880 64 1 0 0 1 0 0 1050
11 0 0 0 0 1 0 965 65 1 0 0 0 1 0 1158
12 0 0 0 0 1 0 989 66 1 0 0 0 1 0 1166
13 0 0 0 0 1 0 910 67 1 0 0 0 1 0 1188
14 0 0 0 0 1 0 990 68 1 0 0 0 1 0 1122
15 0 0 0 0 1 0 960 69 1 0 0 0 1 0 1133
16 0 0 0 0 1 0 969 70 1 0 0 0 0 1 1280
17 0 0 0 0 0 1 1050 71 1 0 0 0 0 1 1270
18 0 0 0 0 0 1 1068 72 1 0 0 0 0 1 1260
19 0 0 0 0 0 1 1058 73 1 0 0 0 0 1 1200
20 0 0 0 0 0 1 1050 74 1 0 0 0 0 1 1260
21 0 1 0 0 0 0 713 75 1 1 0 0 0 0 870
22 0 1 0 0 0 0 715 76 1 1 0 0 0 0 840
23 0 1 0 0 0 0 727 77 1 1 0 0 0 0 850
24 0 1 0 0 0 0 740 78 1 1 0 0 0 0 880
25 0 1 0 1 0 0 780 79 1 1 0 1 0 0 970
26 0 1 0 1 0 0 810 80 1 1 0 1 0 0 960
27 0 1 0 1 0 0 788 81 1 1 0 1 0 0 930
28 0 1 0 0 1 0 880 82 1 1 0 1 0 0 955
29 0 1 0 0 1 0 870 83 1 1 0 0 1 0 1020
30 0 1 0 0 1 0 850 84 1 1 0 0 1 0 1044
31 0 1 0 0 1 0 900 85 1 1 0 0 1 0 1025
32 0 1 0 0 1 0 860 86 1 1 0 0 1 0 1045
33 0 1 0 0 0 1 905 87 1 1 0 0 1 0 1000
34 0 1 0 0 0 1 945 88 1 1 0 0 0 1 1144
35 0 1 0 0 0 1 1000 89 1 1 0 0 0 1 1177
36 0 1 0 0 0 1 920 90 1 1 0 0 0 1 1188
37 0 1 0 0 0 1 940 91 1 1 0 0 0 1 1057
38 0 0 1 0 0 0 635 92 1 1 0 0 0 1 1111
39 0 0 1 0 0 0 600 93 1 0 1 0 0 0 777
40 0 0 1 0 0 0 640 94 1 0 1 0 0 0 780
41 0 0 1 0 0 0 620 95 1 0 1 0 0 0 1000
42 0 0 1 0 0 0 650 96 1 0 1 1 0 0 850
43 0 0 1 0 0 0 642 97 1 0 1 1 0 0 860
44 0 0 1 1 0 0 900 98 1 0 1 1 0 0 866
45 0 0 1 1 0 0 740 99 1 0 1 1 0 0 840
46 0 0 1 1 0 0 700 100 1 0 1 1 0 0 830
47 0 0 1 0 1 0 789 101 1 0 1 0 1 0 900
48 0 0 1 0 1 0 780 102 1 0 1 0 1 0 1160
49 0 0 1 0 1 0 760 103 1 0 1 0 1 0 930
50 0 0 1 0 1 0 830 104 1 0 1 0 1 0 940
51 0 0 1 0 1 0 750 105 1 0 1 0 0 1 1050
52 0 0 1 0 0 1 810 106 1 0 1 0 0 1 800
53 0 0 1 0 0 1 840 107 1 0 1 0 0 1 900
54 0 0 1 0 0 1 870 108 1 0 1 0 0 1 1000
Таблица 6
Кодировка факторов для аддитивной «логарифмической» модели
Номер «ч Ї <8 Дом Квартира іп (цена) іп у Номер «ч Ї <8 Дом Квартира іп (цена) іп у
2 ’5 І о '5 1 3 1 3 Е 12 § «ч 3 Е 12 § со 3 Е 12 § 2 ’5 Л о Деревянный (Хз) ая тна 1 2 § сч ая тна 1 з § со ая тна 1 з §
1 0 0 0 0 0 0 6,685 55 0 0 1 0 0 1 6,733
2 0 0 0 0 0 0 6,687 56 0 0 1 0 0 1 6,757
3 0 0 0 0 0 0 6,620 57 1 0 0 0 0 0 6,867
4 0 0 0 0 0 0 6,633 58 1 0 0 0 0 0 6,869
5 0 0 0 0 0 0 6,682 59 1 0 0 0 0 0 6,816
6 0 0 0 0 0 0 6,690 60 1 0 0 0 0 0 6,865
7 0 0 0 1 0 0 6,780 61 1 0 0 0 0 0 6,873
8 0 0 0 1 0 0 6,691 62 1 0 0 1 0 0 6,745
9 0 0 0 1 0 0 6,757 63 1 0 0 1 0 0 6,940
10 0 0 0 1 0 0 6,780 64 1 0 0 1 0 0 6,957
11 0 0 0 0 1 0 6,872 65 1 0 0 0 1 0 7,054
12 0 0 0 0 1 0 6,897 66 1 0 0 0 1 0 7,061
13 0 0 0 0 1 0 6,813 67 1 0 0 0 1 0 7,080
14 0 0 0 0 1 0 6,898 68 1 0 0 0 1 0 7,023
15 0 0 0 0 1 0 6,867 69 1 0 0 0 1 0 7,033
16 0 0 0 0 1 0 6,876 70 1 0 0 0 0 1 7,155
17 0 0 0 0 0 1 6,957 71 1 0 0 0 0 1 7,147
18 0 0 0 0 0 1 6,974 72 1 0 0 0 0 1 7,139
19 0 0 0 0 0 1 6,964 73 1 0 0 0 0 1 7,090
20 0 0 0 0 0 1 6,957 74 1 0 0 0 0 1 7,139
21 0 1 0 0 0 0 6,569 75 1 1 0 0 0 0 6,768
22 0 1 0 0 0 0 6,572 76 1 1 0 0 0 0 6,733
23 0 1 0 0 0 0 6,589 77 1 1 0 0 0 0 6,745
24 0 1 0 0 0 0 6,607 78 1 1 0 0 0 0 6,780
25 0 1 0 1 0 0 6,659 79 1 1 0 1 0 0 6,877
26 0 1 0 1 0 0 6,697 80 1 1 0 1 0 0 6,867
27 0 1 0 1 0 0 6,669 81 1 1 0 1 0 0 6,835
28 0 1 0 0 1 0 6,780 82 1 1 0 1 0 0 6,862
29 0 1 0 0 1 0 6,768 83 1 1 0 0 1 0 6,928
30 0 1 0 0 1 0 6,745 84 1 1 0 0 1 0 6,951
31 0 1 0 0 1 0 6,802 85 1 1 0 0 1 0 6,932
32 0 1 0 0 1 0 6,757 86 1 1 0 0 1 0 6,952
33 0 1 0 0 0 1 6,808 87 1 1 0 0 1 0 6,908
34 0 1 0 0 0 1 6,851 88 1 1 0 0 0 1 7,042
35 0 1 0 0 0 1 6,908 89 1 1 0 0 0 1 7,071
36 0 1 0 0 0 1 6,824 90 1 1 0 0 0 1 7,080
37 0 1 0 0 0 1 6,846 91 1 1 0 0 0 1 6,963
38 0 0 1 0 0 0 6,454 92 1 1 0 0 0 1 7,013
39 0 0 1 0 0 0 6,397 93 1 0 1 0 0 0 6,655
40 0 0 1 0 0 0 6,461 94 1 0 1 0 0 0 6,659
41 0 0 1 0 0 0 6,430 95 1 0 1 0 0 0 6,908
42 0 0 1 0 0 0 6,477 96 1 0 1 1 0 0 6,745
43 0 0 1 0 0 0 6,465 97 1 0 1 1 0 0 6,757
44 0 0 1 1 0 0 6,802 98 1 0 1 1 0 0 6,764
45 0 0 1 1 0 0 6,607 99 1 0 1 1 0 0 6,733
46 0 0 1 1 0 0 6,551 100 1 0 1 1 0 0 6,721
47 0 0 1 0 1 0 6,671 101 1 0 1 0 1 0 6,802
48 0 0 1 0 1 0 6,659 102 1 0 1 0 1 0 7,056
49 0 0 1 0 1 0 6,633 103 1 0 1 0 1 0 6,835
50 0 0 1 0 1 0 6,721 104 1 0 1 0 1 0 6,846
51 0 0 1 0 1 0 6,620 105 1 0 1 0 0 1 6,957
52 0 0 1 0 0 1 6,697 106 1 0 1 0 0 1 6,685
53 0 0 1 0 0 1 6,733 107 1 0 1 0 0 1 6,802
54 0 0 1 0 0 1 6,768 108 1 0 1 0 0 1 6,908
2.1.2. Расчет коэффициентов логарифмической (линеаризованной) модели Расчет коэффициентов модели (4) осуществляется на компьютере с помощью пакета прикладных программ. Так, например, в среде MS EXCEL в пакете Анализ данных3 имеется функция Регрессия, позволяющая получить значения коэффициентов модели (4)4.
Для расчета коэффициентов модели в качестве входного интервала Y нужно указать столбец, содержащий данные о логарифмах цен, а в качестве входного интервала X Таблица 7
- указать массив данных обо всех ценообразующих факторах таблицы 6. После на- Регрессионная статистика
жатия кнопки ОК на экране под рубрикой ВЫВОД ИТОГОВ выводится информация о показателях статистической надежности модели (4) и значениях ее коэффициентов в виде трех таблиц (таблицы 7-9).
Таблица 8
Дисперсионный анализ5
(вариация результата у) df (число степеней свободы) ss (сумма квадратов отклонений) MS (дисперсия на одну степень свободы) F (расчетное значение F критерия) Значимость F (уровень значимости)
Регрессия (факторная) б 2,б74528704 0,445754784 129,5905971 3,84798E-45
Остаток (остаточная) 101 0,3474112б4 0,003439715
Итого (общая) 107 3,0219399б8
Таблица 9
Параметры (коэффициенты) модели и их статистические характеристики
Переменная Коэффициенты Стандартная ошибка t- статистика P- значение Нижние 95 % Верхние 95 %
У-пересечение б,б7512101 0,0140б81 474,484487 6,438E-171 6,647213 6,7030284
Переменная Х1 0,177б4388 0,01134б1 15,б5б8170 9,082E-29 0,1551362 0,2001515
Переменная Х2 -0,0917277б 0,0137750 -б,б589795 1,462E-09 -0,1190537 -0,0644017
Переменная Х3 -0,19385414 0,0137б47 -14,08341б 1,438E-25 -0,2211596 -0,1665486
Переменная Х4 0,09118724 0,01б7850 5,432бб185 3,852E-07 0,0578903 0,1244841
Переменная Х5 0,19212105 0,0154272 12,4533179 3,979E-22 0,1615174 0,2227246
Переменная Х6 0,25851б85 0,0157248 1б,43997б9 2,599E-30 0,2273229 0,2897108
3 Прежде чем воспользоваться этим программным обеспечением, необходимо проверить доступ к нему. Для этого в главном меню надо последовательно выбрать Сервис/Надстройки и установить флажок Пакет анализа. Если при установке офиса была использована конфигурация по умолчанию, то Excel потребует установочный диск.
4 Необходимо помнить, что MS Excel имеет ограничения по количеству входных данных. Так, например, он позволяет строить регрессионные модели с количеством независимых входных переменных, не превышающим число 16. Если количество переменных больше 16, необходимо задействовать другие стандартные пакеты прикладных программ, например ППП Manugistics StatGraphics Plus 5.1 Enterprise. Другим выходом является переход к моделям с количественными и квазиколичественными факторами, рассмотрение которых выходит за рамки настоящих рекомендаций.
5 Светлым курсивным шрифтом в скобках даны принятые в отечественной литературе наименования параметров.
Множественный R 0,940764055
R-квадрат 0,885037007
Нормированный R-квадрат 0,878207522
Стандартная ошибка 0,058649088
Наблюдения 108
7G
Для удобства восприятия результатов расчета представим таблицу 9 в измененном виде, раскрыв конкретные названия факторов модели и сократив количество значащих цифр.
Таблица 10
Параметры (коэффициенты) модели и их статистические характеристики
Переменная Коэффициенты Стандартная ошибка t- статистика P- значение Нижние Об % Верхние Об %
Свободный член б,б751 0,0141 474,4845 6,438E-171 6,6472 6,6751
Х1 = зона 2 0,1776 0,0113 15,6568 9,082E-29 0,1551 0,1776
Х2 = блочный дом -0,0917 0,0138 -6,6590 1,462E-09 -0,1191 -0,0917
Х3 = деревянный дом -0,1939 0,0138 -14,0834 1,438E-25 -0,2212 -0,1939
Х4 = 2-комнатная квартира 0,0912 0,0168 5,4327 3,852E-07 0,0579 0,0912
Х5 = 3-комнатная квартира 0,1921 0,0154 12,4533 3,979E-22 0,1615 0,1921
Х6 = 4-комнатная квартира 0,2585 0,0157 16,4400 2,599E-30 0,2273 0,2585
В третьей строке таблицы 7 для логарифмической модели представлено значение нормированного коэффициента детерминации R-квадрат = 0,878, скорректированного на число степеней свободы (учитывающее объем выборки и количество независимых переменных). Этот коэффициент говорит о том, что модель (4) объясняет приблизительно 88 процентов вариации логарифмов цен на рынке жилой недвижимости конкретного поселения при вариации по всей выборке логарифмов учтенных в модели факторов. По величине этого показателя нельзя напрямую сравнивать качество линейных и линеаризованных (как в нашем случае) регрессионных моделей, поэтому в дальнейшем (см. п. 2.1.5) значение коэффициента детерминации рассчитывается в исходных координатах рыночных цен и их модельных оценок. На практике в качестве минимального (критического) значения этого коэффициента обычно принимают значение, равное 0,7.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи (множественный R - первая строка таблицы 7) проводят с помощью F-критерия Фишера. Его расчетное значение должно быть больше критического (табличного)6. Обычно критическое значение F-критерия для объема выборки более чем 100 наблюдений находится на уровне 2-3 единиц7. Расчетное значение критерия Фишера для логарифмической модели (4) представлено в 5-м столбце таблицы 8: F-расчетное = 129,59. Оно на порядки больше критического значения. Вероятность случайно получить такое значение F-критерия (см. 6-й столбец таблицы 8: значимость F) составляет бесконечно малую величину 3,848 х 10-45. Уровень вероятности, с которой модель можно считать статистически значимой, определяется вычитанием из единицы значения значимости F. В общем случае для того чтобы модель (4) считалась статистически надежной, например с не менее чем 95-процентной вероятностью, необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
6 Применение F-критерия Фишера предполагает нормальность распределения исследуемой величины (в данном случае - рыночных цен), что приводит к необходимости проверки хотя бы приблизительного выполнения этого условия в случаях близости расчетного и критического значений критерия. Уверенное использование критерия возможно при больших объемах выборки.
7 Точное значение F-критерия Фишера можно определить по справочной таблице критических значений F-распределения Фишера или с помощью встроенной функции ФРАСПОБР Мастера функций MS Excel при следующих входных данных: вероятность = 0,05, степени свободы 1 = числу независимых переменных, степени свободы 2 = объем выборки минус число независимых переменных и минус единица. В рассматриваемом случае Fкрит (0,05, 6, 101) = 2,18.
Значимость Р < 0,05.
Если принять статистическую значимость на уровне 90 процентов, то нужно добиваться выполнения неравенства:
Значимость Р < 0,1.
Кроме проверки значимости регрессионного уравнения в целом, целесообразно выполнить оценку надежности получения отдельных коэффициентов модели. Другим словами, необходимо проверить статистическую надежность выявленной связи между моделируемой величиной (средней ценой объекта) и конкретным влияющим фактором. В таблицах 9 и 10 представлена информация о значимости коэффициентов рассматриваемой модели, оцененной с помощью 1-критерия Стьюдента8. Для того чтобы каждый коэффициент модели считался значимым, необходимо, чтобы абсолютное значение 1-статистики для этого коэффициента (столбец 4 таблиц 9 и 10) превышало критическое значение9. В столбце 5 таблицы 9 представлен уровень значимости значений коэффициентов модели в долях единицы (Р-значение). Если этот показатель меньше принятого уровня (обычно 0,05; это соответствует надежности принятия решения с 5-процентной вероятностью ошибки), делают вывод о неслучайной природе данного значения коэффициента, то есть о том, что он статистически значим и надежен. Для того чтобы коэффициент, например с не менее чем 90-процентной вероятностью, считался статистически надежным, необходимо, чтобы уровень значимости Р-значение < 0,1.
Следует обращать внимание на совпадение знаков оценок границ доверительного интервала для значений коэффициентов регрессионной модели (столбцы 6 и 7 таблиц 9 и 10). Если знаки величин Нижние 95 % и Верхние 95 %, являющихся границами доверительного интервала для коэффициента модели, различаются, это означает, что доверительный интервал включает в себя нулевое значение проверяемого коэффициента. Такой случай необходимо рассматривать как необоснованное включение факторного признака в состав основных влияющих факторов модели и проводить объединение данной группы (или градации) с ближайшей к ней по величине коэффициента модели. При этом расчет коэффициентов модели необходимо провести заново.
В рассматриваемом примере значимость всех влияющих факторов не вызывает сомнений, однако практика показывает, что в условиях ограниченного объема рыночной информации, надежность которой также не абсолютна, получить высокие показатели надежности иногда бывает достаточно сложно. Поэтому при построении моделей оценки стоимости недвижимости статистическую надежность уравнения регрессии в целом и отдельных его коэффициентов на уровне 80 процентов можно считать приемлемой.
Соответствие перечисленным критериям является необходимым условием построения корректных регрессионных моделей оценки стоимости. Несоответствие может быть следствием многих причин, главными из которых являются следующие: неправильный выбор ценообразующих факторов, недостоверность информации, недостаточность объема экспериментальной выборки. В любом случае, если соответствие критериям не обеспечивается, перед тем как рассчиты-
8 Критерий Стьюдента также предполагает нормальное распределение исследуемой случайной величины. Уверенно им можно пользоваться при существенных объемах выборки (более 100) или хотя бы приблизительно нормальном распределении остатков модели (см. п. 2.1.5). При невыполнении этих требований, вместо t-критерия рекомендуется использовать непараметрический критерий Крамера-Уэлча (см., например [1], а также п. 3).
9 Точное значение t-статистики можно определить по справочной таблице критических значений t-статистики (критерии Стьюдента) или с помощью встроенной функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР (вероятность = 0,05, степени свободы = объем выборки минус число независимых переменных и минус единица). В рассматриваемом случае tкрит (0,05, 101) = 1,98.
вать коэффициенты, нужно попытаться устранить эти причины. В частности, корректность выбора экспертами ценообразующих факторов и представление их в цифровом виде можно попытаться проверить с использованием формальных математических подходов (см. п. 3).
2.1.3. Расчет коэффициентов исходной мультипликативной модели регрессии
В таблицах 9 и 10 показаны результаты оценок коэффициентов модели (4): Ы а0,Хп а1, Ы а2, ...,Хп а6. Для того чтобы перейти собственно к параметрам а0, а1, а2, ..., а6 модели (3) необходимо полученные значения преобразовать (потенцировать), взяв от них экспоненту.
После такого преобразования получим следующее выражение для оценки стоимости недвижимости методом массовой оценки:
У = 79£44х1,194я'х0>912*х0,824*х1,095*,х1,212*х1,295* . (5)
2.1.4. Расчет стоимости квартир с помощью регрессионной модели оценки
Из уравнения (5) модели следует, что стоимость одного квадратного метра эталонной квартиры (однокомнатной квартиры, находящейся в кирпичном доме в первой ценовой зоне) равна 792,44 денежных единиц (д. е.)
Квартиры, находящиеся во второй ценовой зоне, дороже эталонной на 19 процентов (параметр 1,194). Квартиры, расположенные в блочном доме, на 9 процентов дешевле таких же квартир, расположенных в кирпичных домах (параметр 0,912). Квартиры, расположенные в деревянном доме, на 18 процентов дешевле аналогичных квартир, расположенных в кирпичных домах (параметр 0,824). Четырехкомнатные квартиры дороже одно-, двух- и трехкомнатных квартир10 и т. д.
Расчетные значения стоимости единицы общей площади оцениваемых квартир получены по формуле (5) с использованием значений переменных, представленных в таблице 6.
Так, например, для объекта № 7 (зона 2, кирпичный дом, 1-комнатная квартира) х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 1, х5 = 0, х6 = 0.
у = 792,44x1,194°х0,912°х0,824°х1,0951х1,212°х1,295° = 792,44 х 1,095 = 868 д. е.
Для объекта № 55 (зона 1, деревянный дом, 4-комнатная квартира) х1 = 0, х2 = 0, х3 = 1, х4 = 0, х5 = 0, х6 = 1.
у = 792,44 х 1,194° х 0,912° х 0,8241 х 1,095° х 1,212° х 1,2951 = 792,44 х 0,824 х 1,295 = 846 д. е.
Для объекта № 87 (зона 2, блочный дом, 3-комнатная квартира) х1 = 1, х2 = 1, х3 = 0, х4 = 0, х5 = 1, х6 = 0.
У = 792144х111941х0,9121х0,8240х11095°х1,2121х1,2950 = 792,44 х 1,194 х 0,912 х 1,212 = 1 046 д. е.
Результаты расчета рыночных стоимостей оцениваемых квартир представлены в таблице 11. В этой же таблице приведены значения отношения вычисленной оценки стоимости к цене объекта на рынке, необходимые для дальнейшего рассмотрения.
10 С экономической точки зрения последнее может быть объяснено тем, что на рынке оцениваемых квартир рассматриваемого поселения спрос на четырехкомнатные квартиры выше спроса на квартиры с меньшим количеством комнат. Следует заметить, что сегодня во многих крупных городах наблюдается противоположная ситуация. Самую высокую стоимость одного квадратного метра площади имеют однокомнатные квартиры. Связано это с тем, что в больших городах квартиры становятся предметом бизнеса. Люди сдают их в аренду либо покупают с целью дальнейшей перепродажи по более высокой цене. Однокомнатные квартиры удобнее для организации такого бизнеса с позиции их более высокой ликвидности.
Таблица 11
Рыночные цены и рассчитанные по регрессионной модели стоимости квартир экспериментальной выборки
& 2 ас <\і & со Дом Квартира Цена (у) ! <ъ Отношение оценка/цена Номер <\і & со Дом Квартира Цена (у) ! е еа И 11 тне о ї
>5 і! з |§ 1а & ч £ Е І 2 Гч £ Е і 2 С! £ Е | 3 >5 Із ь е( ере ч £ Е і 2 Гч £ Е і 2 С! £ Е | 3
1 0 0 0 0 0 0 800 792 0,99 55 0 0 1 0 0 1 840 846 1,01
2 0 0 0 0 0 0 802 792 0,99 56 0 0 1 0 0 1 860 846 0,98
3 0 0 0 0 0 0 750 792 1,06 57 1 0 0 0 0 0 960 946 0,99
4 0 0 0 0 0 0 760 792 1,04 58 1 0 0 0 0 0 962 946 0,98
5 0 0 0 0 0 0 798 792 0,99 59 1 0 0 0 0 0 912 946 1,04
6 0 0 0 0 0 0 804 792 0,99 60 1 0 0 0 0 0 958 946 0,99
7 0 0 0 1 0 0 880 868 0,99 61 1 0 0 0 0 0 966 946 0,98
8 0 0 0 1 0 0 805 868 1,08 62 1 0 0 1 0 0 850 1036 1,22
9 0 0 0 1 0 0 860 868 1,01 63 1 0 0 1 0 0 1033 1036 1,00
10 0 0 0 1 0 0 880 868 0,99 64 1 0 0 1 0 0 1050 1036 0,99
11 0 0 0 0 1 0 965 960 0,99 65 1 0 0 0 1 0 1158 1147 0,99
12 0 0 0 0 1 0 989 960 0,97 66 1 0 0 0 1 0 1166 1147 0,98
13 0 0 0 0 1 0 910 960 1,05 67 1 0 0 0 1 0 1188 1147 0,97
14 0 0 0 0 1 0 990 960 0,97 68 1 0 0 0 1 0 1122 1147 1,02
15 0 0 0 0 1 0 960 960 1,00 69 1 0 0 0 1 0 1133 1147 1,01
16 0 0 0 0 1 0 969 960 0,99 70 1 0 0 0 0 1 1280 1225 0,96
17 0 0 0 0 0 1 1050 1026 0,98 71 1 0 0 0 0 1 1270 1225 0,96
18 0 0 0 0 0 1 1068 1026 0,96 72 1 0 0 0 0 1 1260 1225 0,97
19 0 0 0 0 0 1 1058 1026 0,97 73 1 0 0 0 0 1 1200 1225 1,02
20 0 0 0 0 0 1 1050 1026 0,98 74 1 0 0 0 0 1 1260 1225 0,97
21 0 1 0 0 0 0 713 723 1,01 75 1 1 0 0 0 0 870 863 0,99
22 0 1 0 0 0 0 715 723 1,01 76 1 1 0 0 0 0 840 863 1,03
23 0 1 0 0 0 0 727 723 0,99 77 1 1 0 0 0 0 850 863 1,02
24 0 1 0 0 0 0 740 723 0,98 78 1 1 0 0 0 0 880 863 0,98
25 0 1 0 1 0 0 780 791 1,01 79 1 1 0 1 0 0 970 945 0,97
26 0 1 0 1 0 0 810 791 0,98 80 1 1 0 1 0 0 960 945 0,98
27 0 1 0 1 0 0 788 791 1,00 81 1 1 0 1 0 0 930 945 1,02
28 0 1 0 0 1 0 880 876 1,00 82 1 1 0 1 0 0 955 945 0,99
29 0 1 0 0 1 0 870 876 1,01 83 1 1 0 0 1 0 1020 1046 1,03
30 0 1 0 0 1 0 850 876 1,03 84 1 1 0 0 1 0 1044 1046 1,00
31 0 1 0 0 1 0 900 876 0,97 85 1 1 0 0 1 0 1025 1046 1,02
32 0 1 0 0 1 0 860 876 1,02 86 1 1 0 0 1 0 1045 1046 1,00
33 0 1 0 0 0 1 905 936 1,03 87 1 1 0 0 1 0 1000 1046 1,05
34 0 1 0 0 0 1 945 936 0,99 88 1 1 0 0 0 1 1144 1117 0,98
35 0 1 0 0 0 1 1000 936 0,94 89 1 1 0 0 0 1 1177 1117 0,95
36 0 1 0 0 0 1 920 936 1,02 90 1 1 0 0 0 1 1188 1117 0,94
37 0 1 0 0 0 1 940 936 1,00 91 1 1 0 0 0 1 1057 1117 1,06
38 0 0 1 0 0 0 635 653 1,03 92 1 1 0 0 0 1 1111 1117 1,01
39 0 0 1 0 0 0 600 653 1,09 93 1 0 1 0 0 0 777 780 1,00
40 0 0 1 0 0 0 640 653 1,02 94 1 0 1 0 0 0 780 780 1,00
41 0 0 1 0 0 0 620 653 1,05 95 1 0 1 0 0 0 1000 780 0,78
42 0 0 1 0 0 0 650 653 1,00 96 1 0 1 1 0 0 850 854 1,00
43 0 0 1 0 0 0 642 653 1,02 97 1 0 1 1 0 0 860 854 0,99
44 0 0 1 1 0 0 900 715 0,79 98 1 0 1 1 0 0 866 854 0,99
45 0 0 1 1 0 0 740 715 0,97 99 1 0 1 1 0 0 840 854 1,02
46 0 0 1 1 0 0 700 715 1,02 100 1 0 1 1 0 0 830 854 1,03
47 0 0 1 0 1 0 789 791 1,00 101 1 0 1 0 1 0 900 945 1,05
48 0 0 1 0 1 0 780 791 1,01 102 1 0 1 0 1 0 1160 945 0,81
49 0 0 1 0 1 0 760 791 1,04 103 1 0 1 0 1 0 930 945 1,02
50 0 0 1 0 1 0 830 791 0,95 104 1 0 1 0 1 0 940 945 1,01
51 0 0 1 0 1 0 750 791 1,05 105 1 0 1 0 0 1 1050 1010 0,96
52 0 0 1 0 0 1 810 846 1,04 106 1 0 1 0 0 1 800 1010 1,26
53 0 0 1 0 0 1 840 846 1,01 107 1 0 1 0 0 1 900 1010 1,12
54 0 0 1 0 0 1 870 846 0,97 108 1 0 1 0 0 1 1000 1010 1,01
Как следует из анализа полученных расчетных данных, среднее по всей выборке значение отношения «оценка/цена» составляет 1,00, минимальное значение - 0,78 (объект № 95), максимальное - 1,26 (объект № 106). Из 108 объектов выборки оценка превышает цену у 54 объектов и не превышает (равна и ниже) ее - также у 54 объектов.
2.1.5. Оценка качества регрессионной модели оценки
Оценку качества модели (5) выполним на основе данных о разности реальных значений цен и их оценок (в терминах статистики - остатков) по модели (5) с помощью следующих показателей11:
• коэффициент детерминации;
• обобщенная ошибка модели оценки;
• средняя ошибка аппроксимации;
• результаты анализа распределения остатков модели.
Оценка коэффициента детерминации
Коэффициент детерминации является одной из обобщенных мер качества модели оценки. Он показывает, какую долю изменения рыночных цен объясняют факторы, включенные в модель оценки, и рассчитывается по формуле:
X (у - у , )2
*2 = 1 -Мп-----------------------------------------------------------------------Г , (6)
ЪУ -у)
I=1
где у) - реальное значение удельной цены;
у, - вычисленное по модели значение удельной цены (расчетная цена продажи, то есть оценка рыночной стоимости);
у - среднее значение реальных цен;
п - количество наблюдений реальных цен.
На основе данных таблицы 11 рассчитаем значение коэффициента детерминации:
108 2 108 _ о 291 988
Ъ(У1 - У )2 = 293558 ; £(у, - у) = 2528676 . Отсюда & = 1 - 2У,У88 = 0,885.
,=1 ,=1 2 528 676
Для корректного сравнения оценок качества различных моделей целесообразно использовать нормированный коэффициент детерминации, скорректированный на число степеней свободы (конечного объема выборки п и числа независимых переменных в уравнении регрессии т). В данном случае п = 108, т = 6 (1 зона + 2 типа стен + 3 типа квартир), отсюда:
^корр2 =1 - 0 - Я2) X (п 1) = 1- (1- 0,885) х 108 1 = 0,87812 .
корр (п - т -1) 108 - 6 -1
Это означает, что регрессионная модель (5) оценки стоимости примерно на 88 процентов объясняет изменение цен в экспериментальной выборке. Оставшиеся 12 процентов вариации цен выборки обусловлены не учитываемыми моделью факторами.
На практике в качестве минимального (критического) значения данного коэффициента принимают значение, равное 0,7.
11 Отдельная оценка качества модели (5) обусловлена тем, что полученные критерии оценки (см. п. 2.1.2) справедливы только для модели (4) и в общем случае не могут быть напрямую использованы для оценки качества модели (5).
12 Совпадение значений коэффициентов детерминации для исходной (5) и линеаризованной (4) моделей следует рассматривать как случайное. При других объемах выборки и наборах исходных данных различия могут быть существенными.
Обобщенная оценка ошибки модели
Обобщенная ошибка регрессионной модели вида (3), позволяющая проводить сравнение с другими моделями, рассчитывается как выборочное среднеквадратическое отклонение (СКО) по формуле:
Sy = V SOCT , (7)
X( у - у )2
где S2CT = i--выборочная дисперсия ошибки регрессионной модели;
n - общее количество наблюдений в экспериментальной выборке;
— - число независимых переменных в уравнении регрессии.
В рассматриваемом случае n = 108, m = 6. Отметим, что данные о числе степеней свободы модели приведены в таблице 8, сформированной функцией Регрессия MS Excel.
На основе данных таблицы 11 рассчитаем значение выборочной дисперсии:
X ( у — у )2
SC =i__ = 291988 = 2891. ост n - m -1 108 - 6 -1
Отсюда следует, что ошибка оценки Sy = %/2891 = 53,8 д. е.
Более удобным для сравнения моделей является показатель относительной ошибки модели - коэффициент вариации:
5у = iх 100% = 538х 100% = 5,9% . у у 917
Оценка средней ошибки аппроксимации
Средняя ошибка аппроксимации13 отражает свойства модели по воспроизведению исходных рыночных данных и рассчитывается по формуле:
— 1 n У - y.l
А = Лотн = ~У' 1X100%. (8)
ntt Уi
В таблице 12 приведена принятая в отечественной литературе характеристика точности модели оценки в зависимости от значения данного показателя.
Таблица 12
Характеристики точности эконометрических моделей по уровню средней ошибки аппроксимации
Значение ошибки A отн Характеристика точности модели
до 7 % Высокая точность
7-12 % Хорошая точность
12-15 % Удовлетворительная точность
свыше 15 % Неудовлетворительная точность
Средняя ошибка аппроксимации модели оценки, реализующей метод множественной регрессии, рассчитанная на основе данных таблицы 11 по формуле (8), равна 3,3 процента, что, как следует из таблицы 12, соответствует высокой точности оценки.
13 В отечественной литературе часто обозначается прописной буквой «А».
Анализ распределения остатков модели
На основе данных таблицы 11 с помощью Мастера диаграмм ППП MS Excel построим гистограмму частот отношений «оценка/цена» в исходных координатах (рис. 1) и в стандартизованных (сдвинутых на величину среднего значения и выраженного в долях СКО) координатах (рис. 2).
Рис. 1. Гистограмма частот отношений «оценка/цена» многомерной регрессионной модели
Рис. 2. Стандартизованная гистограмма частот отношений «оценка/цена» многомерной регрессионной модели
Из рисунков видно, что распределение частот отношений «оценка/цена» является одномодальным и имеет близкие к симметричным затухающие «крылья». Величина моды (значение переменной, соответствующее максимуму кривой распределения)14 незначительно отличается от среднего по выборке отношения (1,00). Это свидетельствует о том,
14 Грубая оценка моды может быть получена (см., например, [2]) по формуле: й = и +---------------и——-----хЬ ,
2^и Г--1 ^и+1
где и - нижняя граница класса (кармана на рис.1), к которому относится наибольшее число значений; іи - число значений в этом классе;
4_ і и іи + , - число значений в соседних классах;
Ь- ширина класса.
В нашем случае (рис.1) D = 0,97 + (65 - 10) / (130 - 10 - 25) х 0,04 = 0,97 + 0,023 = 0,993.
что оцениваемые моделью средние значения цен хорошо соответствуют наиболее вероятным значениям, то есть рыночным стоимостям объектов.
Сравнивая вид огибающей гистограммы распределения ошибок модели в стандартизованных координатах (рис. 2) с кривой плотности стандартного нормального распределения, можно сделать выводе о приемлемой близости этих кривых. Это означает, что предпосылки регрессии можно считать выполненными и можно в полной мере доверять построенной модели.
Необходимо отметить и отличие - присутствие в выборке значений, отстоящих более чем на ± 3,5 СКО от центра группирования. В таблице 11 к таким выделяющимся объектам можно отнести цены на квартиры с номерами наблюдений 62, 106, с одной стороны, и 95, 44 - с другой.
На такие объекты необходимо обращать дополнительное внимание с целью уточнения исходных данных по ним. В ряде случаев после уточнения информации о таких объектах, они выводятся из состава выборки как включенные в нее ошибочно из-за неучета характеристик, резко выделяющих их из группы оцениваемых объектов. Такими объектами могут быть, например, квартиры с недавно выполненным ремонтом с использованием современных материалов, существенно повышающим стоимость, или, наоборот, квартиры в чрезвычайно плохом состоянии или в ветхих домах.
На практике необходимо либо уточнить информацию об этих квартирах и отнести их в иную, соответствующую их параметрам группу, либо оценивать такие квартиры для налогообложения индивидуальным образом (методами индивидуальной оценки). В любом из этих случаев следует пересчитать коэффициенты рассматриваемой модели.
2.1.6. Определение величины коэффициента налоговой оценки Кн
Как уже отмечалось, для минимизации рисков апелляций со стороны налогоплательщиков налоговую стоимость целесообразно сделать меньше рыночной путем умножения последней на некий понижающий (налоговый) коэффициент.
Предлагается следующее правило определения величины этого коэффициента: налоговый коэффициент должен иметь такое значение, при котором обеспечивается заранее заданный р-процентный уровень превышения налоговой стоимости над рыночными ценами на исследуемом рынке недвижимости.
Под р-процентным уровнем превышения здесь понимается такое количество существенных превышений оценок над соответствующими рыночными ценами, которое соответствует заранее заданной в процентном отношении величине. Например, 3-процентный уровень превышения означает, что в выборке должно быть около 3-х процентов расчетных стоимостей, величины которых существенно больше соответствующих им рыночных цен. Иначе говоря, количество отношений «оценка/цена», превышающих существенный уровень, должно быть на уровне 3-х процентов от объема обрабатываемой выборки. Нестрогое равенство применяется здесь в силу конечных объемов обрабатываемых на практике выборок, вследствие чего отношение целых чисел может быть не кратно одному проценту.
При этом под существенным превышением стоимости над ценой будем понимать такое превышение, при котором отношение «оценка/цена» не меньше заранее заданной величины. Например, 5-процентное существенное превышение расчетных значений стоимостей над соответствующими значениями рыночных цен означает, что существенным превышением считается такое превышение, при котором стоимость на 5 и более процентов больше соответствующей рыночной цены. То есть отношение «оценка/цена» для существенного превышения составляет не меньше чем 1,05.
Использование понятия существенного превышения целесообразно в связи с тем, что незначительные превышения модельных значений над соответствующими рыночными ценами, скорее всего, не будут служить основанием для апелляций налогоплательщиков
(в том числе и в связи с конечной точностью альтернативной индивидуальной оценки), и контролировать необходимо количество тех превышений, при которых угроза апелляции расценивается как реальная.
Сформированная выборка объектов недвижимости является по определению репрезентативной, поэтому выборочная функция распределения исследуемой случайной величины (рыночных цен) должна быть близка аналогичной функции распределения по генеральной совокупности. Отсюда, налагая ограничения на уровень (относительное количество) и существенность «выбросов» модельных значений в выборке, можно ожидать сохранения заданных параметров и для генеральной совокупности.
Р-процентный уровень существенных превышений рекомендуется устанавливать в диапазоне 1-3 процента от общего объема экспериментальной выборки15. Существенными рекомендуется считать 5-процентные превышения (оценка/цена > 1,05).
Алгоритм расчета налогового коэффициента при этом выглядит следующим образом:
1) полученные по выборке значения отношений «оценка/цена» сортируются по убыванию (возможно использование инструмента Данные, Сортировка пакета MS Excel);
2) анализируется наличие и количество существенных превышений («оценка/цена» > 1,05);
3) рассчитывается фактический уровень существенных превышений как отношение числа таких превышений к объему выборки, затем полученное значение сопоставляется с заранее заданным р-процентным уровнем превышений.
Если фактический уровень существенных превышений больше заданного, проводится расчет понижающего коэффициента налоговой оценки, в противном случае налоговый коэффициент принимается равным Кн = 1.
Для расчета коэффициента налоговой оценки Кн меньшего единицы:
4) анализируются объекты со значениями отношения «оценка/цена», входящими в группу с р-процентным уровнем превышений. Отбирается минимальное значение превышения «оценка/цена» (Knpmin) в данной группе существенных превышений;
5) фиксируется максимальное значение превышения «оценка/цена» (Кпр—ах) в остальной выборке;
6) рассчитывается значение налогового коэффициента Кнр% из соотношения: Кнр% х
КпР—ах = 1;
7) проводится анализ уровня превышений модельных значений, полученных с учетом понижающего коэффициента, над рыночными ценами. Проверяется выполнение заданного р-процентного уровня превышений (условие Кнр% х Кпр—!П > 1,05). При необходимости значение налогового коэффициента уточняется.
Аналогом рассмотренной задачи в классическом построении регрессионных и других моделей может служить расчет границ доверительного интервала для рыночной стоимости объекта недвижимости как среднего значения цены единицы генеральной совокупности. Интервал, в пределах которого гарантируется нахождение оцененного по выборке среднего значения (стоимости), определяется для заданной доверительной вероятности. Таким образом, всегда предполагается некоторая вероятность выхода за пределы интервала, численно равная дополнению доверительной вероятности до 1 (100 %). Задавая уровень этой вероятности выхода, и зная закон распределении ошибок измерения рыночной стоимости, можно количественно определить границы доверительного интервала для ее значения.
Если, например, данные, на которых строится модель, подчинены нормальному закону распределения, то можно говорить, что ошибка модели с 95-процентной вероятностью не превышает границ ±1,96cy, а с вероятностью 99 процентов - ±2,58cy. В экономических за-
15 Для малых выборок (меньше 30 объектов) целесообразно р-процентный уровень превышения устанавливать таким, чтобы в выборке количество отношений «оценка/цена», относящихся к разряду существенных превышений, было по крайней мере равно единице.
дачах принято ориентироваться на 95-процентный доверительный интервал, соответствующий 5-процентному уровню превышений «оценка/цена», включая несущественные превышения. Учитывая это обстоятельство, налоговый коэффициент можно определить по нижней границе доверительного интервала на основе значения относительной ошибки модели (см. п. 2.1.5) : Кн23 = 1 - 1,96 х 8у.
Для рассматриваемого примера анализ данных расчета стоимости оцениваемых объектов (табл. 11) показывает, что в выборке имеется 12 объектов, отношение «оценка/цена» которых позволяет отнести их к категории объектов, имеющих существенное превышение стоимостей над ценами (значения стоимости превышают соответствующие значения цен в 1,05 и более раз). Максимальное значение превышения составляет 1,26 (объект № 106), предыдущие по величине значения превышения - 1,22 (объект № 62), 1,12 (объект № 107) и 1,09 (объект № 39).
При общем объеме выборки, равном 108 объектам, фактический уровень существенных превышений составляет 12/108 = 11 %, поэтому для выполнения рекомендаций по заранее заданному р-процентному уровню существенных превышений из диапазона 1-3 процента необходимо применить понижающий налоговый коэффициент16.
В рамках рекомендуемого диапазона (1-3 %) установим р-процентный уровень превышения в размере 2-х процентов (2-процентный уровень превышения). Тогда налоговый коэффициент, соответствующий этому уровню (Кн2%), необходимо рассчитать следующим образом.
Два процента от 108 объектов составляет 2 % х 108 = 2 объекта. Это значит, что после умножения на налоговый коэффициент модельных значений стоимости в числе существенных превышений должны остаться два объекта: объекты № 106 и № 62 с максимальными значениями отношения «оценка/цена», равными 1,26 и 1,22 соответственно. Отсюда следует, что расчет налогового коэффициента необходимо выполнять, ориентируясь на следующий за этими двумя объектами объект № 107, имеющий третье по величине отношение «оценка/цена» - 1,12.
Очевидно, что искомый налоговый коэффициент может быть найден из уравнения17:
1,12 х Кн2% = 1.
Отсюда следует, что Кн2% = 1/1,12 = 0,89 = 0,9.
Проверим выполнение заданного (2-процентного) уровня превышений. С учетом применения налогового коэффициента минимальное значение отношения «оценка/цена» в группе превышения должно быть не менее 1,05. Для объекта № 62 (1,22 х Кн2% = 1,22 х
0,9 = 1,098) условие выполняется, следовательно, оно выполняется и для объекта № 106. Имеем два объекта с существенными превышениями оценок над ценами, остальные отношения не достигают порогового значения (1,05), то есть заданный 2-процентный уровень превышения обеспечивается.
Значение налогового коэффициента, рассчитанное на основе удвоенного значения относительной ошибки модели (в предположении о нормальности распределения) составляет Кн2е = 1 - 1,96 х 0,059 = 0,88. Мы видим, что полученные двумя различными подходами оценки налогового коэффициента близки. Учитывая отклонения реального распределения от нормального (в частности, наличие маловероятных для данного объема выбор-
16 Здесь предполагается, что объекты с крайними значениями отношения «оценка/цена» сохраняются в обрабатываемой выборке наблюдений после дополнительной проверки информации о них.
17 Максимальное значение в правой части уравнения может быть равно 1,04. При этом отношение «оценка/цена» для объекта № 107 приблизится к пороговому для признания его существенным превышением, но не достигнет его. Однако, учитывая конечный объем экспериментальной выборки, необходим некоторый запас.
Таблица 13
Рыночные цены и налоговые стоимости квартир по регрессионной модели
Номер <\1 & СО Дом Квартира § ! е :г § £2 0 <5 1 Ї о еа 1 ^ § 1 е І о ? Номер <\і & со Дом Квартира § е =г Налоговая стоимость Отношение оценка/цена
3 ‘5 о |§ 1а ере Де £ Е ■? э г сч Е I С! Е г 3 ‘5 ї ї о иЗ и ере Де £ Е г сч Е I С! Е г
1 0 0 0 0 0 0 800 713 0,89 55 0 0 1 0 0 1 840 761 0,91
2 0 0 0 0 0 0 802 713 0,89 56 0 0 1 0 0 1 860 761 0,88
3 0 0 0 0 0 0 750 713 0,95 57 1 0 0 0 0 0 960 851 0,89
4 0 0 0 0 0 0 760 713 0,94 58 1 0 0 0 0 0 962 851 0,88
5 0 0 0 0 0 0 798 713 0,89 59 1 0 0 0 0 0 912 851 0,93
6 0 0 0 0 0 0 804 713 0,89 60 1 0 0 0 0 0 958 851 0,89
7 0 0 0 1 0 0 880 781 0,89 61 1 0 0 0 0 0 966 851 0,88
8 0 0 0 1 0 0 805 781 0,97 62 1 0 0 1 0 0 850 932 1,10
9 0 0 0 1 0 0 860 781 0,91 63 1 0 0 1 0 0 1033 932 0,90
10 0 0 0 1 0 0 880 781 0,89 64 1 0 0 1 0 0 1050 932 0,89
11 0 0 0 0 1 0 965 864 0,90 65 1 0 0 0 1 0 1158 1 032 0,89
12 0 0 0 0 1 0 989 864 0,87 66 1 0 0 0 1 0 1166 1 032 0,89
13 0 0 0 0 1 0 910 864 0,95 67 1 0 0 0 1 0 1188 1 032 0,87
14 0 0 0 0 1 0 990 864 0,87 68 1 0 0 0 1 0 1122 1 032 0,92
15 0 0 0 0 1 0 960 864 0,90 69 1 0 0 0 1 0 1133 1 032 0,91
16 0 0 0 0 1 0 969 864 0,89 70 1 0 0 0 0 1 1280 1 103 0,86
17 0 0 0 0 0 1 1050 923 0,88 71 1 0 0 0 0 1 1270 1 103 0,87
18 0 0 0 0 0 1 1068 923 0,86 72 1 0 0 0 0 1 1260 1 103 0,88
19 0 0 0 0 0 1 1058 923 0,87 73 1 0 0 0 0 1 1200 1 103 0,92
20 0 0 0 0 0 1 1050 923 0,88 74 1 0 0 0 0 1 1260 1 103 0,88
21 0 1 0 0 0 0 713 651 0,91 75 1 1 0 0 0 0 870 777 0,89
22 0 1 0 0 0 0 715 651 0,91 76 1 1 0 0 0 0 840 777 0,93
23 0 1 0 0 0 0 727 651 0,90 77 1 1 0 0 0 0 850 777 0,91
24 0 1 0 0 0 0 740 651 0,88 78 1 1 0 0 0 0 880 777 0,88
25 0 1 0 1 0 0 780 712 0,91 79 1 1 0 1 0 0 970 851 0,88
26 0 1 0 1 0 0 810 712 0,88 80 1 1 0 1 0 0 960 851 0,89
27 0 1 0 1 0 0 788 712 0,90 81 1 1 0 1 0 0 930 851 0,92
28 0 1 0 0 1 0 880 788 0,90 82 1 1 0 1 0 0 955 851 0,89
29 0 1 0 0 1 0 870 788 0,91 83 1 1 0 0 1 0 1020 941 0,92
30 0 1 0 0 1 0 850 788 0,93 84 1 1 0 0 1 0 1044 941 0,90
31 0 1 0 0 1 0 900 788 0,88 85 1 1 0 0 1 0 1025 941 0,92
32 0 1 0 0 1 0 860 788 0,92 86 1 1 0 0 1 0 1045 941 0,90
33 0 1 0 0 0 1 905 842 0,93 87 1 1 0 0 1 0 1000 941 0,94
34 0 1 0 0 0 1 945 842 0,89 88 1 1 0 0 0 1 1144 1 005 0,88
35 0 1 0 0 0 1 1000 842 0,84 89 1 1 0 0 0 1 1177 1 005 0,85
36 0 1 0 0 0 1 920 842 0,92 90 1 1 0 0 0 1 1188 1 005 0,85
37 0 1 0 0 0 1 940 842 0,90 91 1 1 0 0 0 1 1057 1 005 0,95
38 0 0 1 0 0 0 635 588 0,93 92 1 1 0 0 0 1 1111 1 005 0,90
39 0 0 1 0 0 0 600 588 0,98 93 1 0 1 0 0 0 777 702 0,90
40 0 0 1 0 0 0 640 588 0,92 94 1 0 1 0 0 0 780 702 0,90
41 0 0 1 0 0 0 620 588 0,95 95 1 0 1 0 0 0 1000 702 0,70
42 0 0 1 0 0 0 650 588 0,90 96 1 0 1 1 0 0 850 769 0,90
43 0 0 1 0 0 0 642 588 0,92 97 1 0 1 1 0 0 860 769 0,89
44 0 0 1 1 0 0 900 644 0,72 98 1 0 1 1 0 0 866 769 0,89
45 0 0 1 1 0 0 740 644 0,87 99 1 0 1 1 0 0 840 769 0,92
46 0 0 1 1 0 0 700 644 0,92 100 1 0 1 1 0 0 830 769 0,93
47 0 0 1 0 1 0 789 712 0,90 101 1 0 1 0 1 0 900 851 0,95
48 0 0 1 0 1 0 780 712 0,91 102 1 0 1 0 1 0 1160 851 0,73
49 0 0 1 0 1 0 760 712 0,94 103 1 0 1 0 1 0 930 851 0,92
50 0 0 1 0 1 0 830 712 0,86 104 1 0 1 0 1 0 940 851 0,91
51 0 0 1 0 1 0 750 712 0,95 105 1 0 1 0 0 1 1050 909 0,87
52 0 0 1 0 0 1 810 761 0,94 106 1 0 1 0 0 1 800 909 1,14
53 0 0 1 0 0 1 840 761 0,91 107 1 0 1 0 0 1 900 909 1,01
54 0 0 1 0 0 1 870 761 0,87 108 1 0 1 0 0 1 1000 909 0,91
ки значений, превышающих ±3,5 СКО), а также некоторую неопределенность заданного уровня существенных превышений во втором случае, указанную близость оценок можно считать вполне удовлетворительной.
В таблице 13 представлена информация о рыночных ценах на квартиры и соответствующих им налоговых стоимостях, полученных путем умножения расчетных значений рыночной стоимости на налоговый коэффициент 0,9. В этой же таблице приведены значения отношений налоговой стоимости и рыночной цены каждого объекта.
Как и ожидалось, в выборке рыночных цен и соответствующих им смоделированных значений налоговой стоимости имеются два объекта со значениями отношения «налоговая стоимость/цена», превышающими пороговое значение 1,05 (объекты № 106 - 1,14 и № 62 - 1,10). Еще один объект - № 107 имеет значение отношения 1,01. Значения налоговой стоимости для остальных объектов лежат ниже соответствующих им рыночных цен. Среднее по всей выборке значение отношения «налоговая стоимость/цена» составляет 0,901, минимальное значение - 0,70.
Расчеты показывают, что при применении значения налогового коэффициента Кн% = 0,88 в выборке также остаются 2 объекта, для которых отношение «налоговая стоимость/цена» превышает пороговое значение (№106 и № 62). Налоговые стоимости остальных объектов ниже рыночных. Среднее по всей выборке значение отношения «налоговая стоимость/цена» составляет 0,883, минимальное значение - 0,68.
2.1.7. Порядок определения базовых ставок и коэффициентов регрессионной модели
Ориентируясь на выражение (5), введем следующие обозначения:
СБ = 792,44 д. е.; K1 = 1,194x ; K2 = 0,912x2 х0,824Хз; K3 = 1, 095x4 х 1,212*5 х 1,295Хв.
Тогда выражение (5) мультипликативной регрессионной модели можно представить в виде произведения обычных коэффициентов модели вида (1):
у = СБ х К1 х К2 х К 3 .
Заметим, что каждый из коэффициентов К1-К3 формируется сомножителями, количество которых численно равно количеству градаций соответствующего признака, уменьшенному на единицу. При этом свободный член уравнения - СБ определен для базового объекта, у которого зафиксированы по одной из «недостающих» градаций каждого признака.
Литература
1. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов. М.: Экзамен, 2002.
2. Закс Л. Статистическое оценивание / Пер. с нем. В.Н. Варыгина/ Под ред. Ю.П. Адлера, В.Г. Горского. М.: Статистика, 1976.
Окончание следует
