CC BY
34
УДК 624.01-19 + 531.16:624.041
И.Ю. Майстренко - кандидат технических наук, ассистент
Казанский государственный архитектурно-строительный университет (КазГАСУ)
ОЦЕНКА НАДЁЖНОСТИ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТОВ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
АНОТАЦИЯ
В работе представлены результаты оценки прочности стальной главной балки пролётного строения моста, полученные детерминированными методами и с использованием статистического моделирования процесса нагружения. Для физического генерирования определяющих параметров оценки использована многофункциональная вычислительная система MathCAD.
I.J. Maystrenko - candidate of the technical sciences, assistant Kazan State University of Architecture and Engineering (KSUAE)
RELIABILITY ESTIMATION OF BEARING DESIGNS OF METAL BRIDGES BY STATISTICAL MODELING METHOD
ABSTRACT
The results of an estimation of durability of main steel beam of bridge’s flying structure, received by the determined methods and statistical modeling of fraught process are presented. For physical generating of estimation defining parameters the multifunctional computing system MathCAD is used.
Для определения работоспособности эксплуатируемых мостовых сооружений возникает необходимость в оценке надёжности несущих конструкций пролётных строений. Одним из направлений методологии решения этой задачи является оценка технического состояния несущих конструкций с использованием статистических методов расчета, например, Монте-Карло [1].
Принципиальный алгоритм решения рассматриваемой задачи методом Монте-Карло сводится, по существу, к статистическому моделированию. На ПЭВМ путем физического генерирования вырабатываются случайные числа - значения параметров нагрузок, геометрических параметров, прочности, параметров, учитывающих конструктивные и эксплуатационные особенности конструкции - с заданным законом распределения. Далее определяется вероятность достижения предельного состояния как вероятность выброса стационарного случайного процесса за допустимый уровень.
В работе рассматривается пример оценки надежности элемента конструкции методом статистического моделирования. В качестве примера выбрана стальная главная балка пролётного строения моста. Статическая схема моста разрезная, с ездой поверху.
Исходные данные для расчета: пролет I = 33 м; тип поперечного сечения главной балки - сварной
составной двутавр; материал конструкции - сталь марки 15ХСНД по ГОСТ 6713-91 [2] с расчётным
сопротивлением по пределу текучести Яу = 295 МПа ;
геометрические характеристики приведенного сечения
главной балки: А0 = 0,083 м2; 3 х=0,099 м4; Жх = 0,058 м3.
На одну главную балку в середине пролета действуют расчетные усилия (по моменту): от
постоянной нагрузки - 11516,2 кН ■ м; от временной
нагрузки А11 - 6439,2 кН ■ м; от временной нагрузки
А11+толпа - 5535,1 кН ■ м; от временной нагрузки
НК80 - 4302,8 кН ■ м.
Оценим прочность балки по нормальным напряжениям в сечении с максимальным изгибающим
моментом Мтах = 17955,4 кН ■ м. Расчетное нормальное напряжение в сечении с учетом ограниченного действия пластических деформаций (С =1,16) составит
Ох = Мт^ = 268,33 МПа, (1)
СК
а расчетное сопротивление стали с учетом коэффициента условий работы т=0,9
Яу • о =265,501 1а. (2)
Таким образом, несущая способность балки по рассмотренному предельному состоянию не обеспечена. Перегруз составляет 1,1%.
Решим эту же задачу методом статистического моделирования.
Выберем первичные параметры, число циклов изменения нагрузок или объемы выборки, параметры функций распределения. За один цикл нагружения будем считать воздействие единицы временной
нагрузки на достаточно малую область к -го звена расчетного элемента.
За один год эксплуатации моста (8760 часов) и расчетной интенсивности движения 15 транспортных средств за 1 час [3] - число циклов изменения нагрузок
будет соответствовать / = 8760*15= 1,314 *105 случайных реализаций статистического моделирования.
Статистические исходные данные для рассматриваемого примера сведены в таблицу 1. Так как допуски на толщину проката [4] сопоставимы с глубиной коррозионного поражения, последние учтены в расчетах и заданы распределенными по
равномерному закону. Нестационарность силовых воздействий и прочностных свойств учитывается в расчетах соответствующими параметрами функций с нормальным законом распределения.
На рисунке 1 показана область пересечения функций плотности распределения нормальных
напряжений p(s) и удельной прочности p(R) рассматриваемой в качестве примера главной балки пролетного строения моста. Эта область представляет наибольший интерес с позиции оценки показателей надёжности конструктивного элемента.
Проведем процедуру статистического моделирования комбинации «нагрузка-прочность». Для этого выполним генерирование случайных чисел с параметрами распределения, принятыми по таблице 1, в объеме выборки соответствующему числу циклов изменения нагрузок за один год эксплуатации. Для вычислений используем программную оболочку MathCAD с встроенными генераторами случайных чисел и разработанные автором программные модули для обработки массивов случайных реализаций расчетных параметров.
Таблица 1
Г еометрические размеры сечения (начальные)
Первичный параметр и функция распределения Параметры функций распределения
Нижняя граница Верхняя граница
Толщина верхнего пояса главной балки, 8()=/ [ ,,Ъ81 ] as 1 = 17,6 мм bs 1 = 22,4 мм
Толщина нижнего пояса главной балки, 82(і) = / [і, а 8 2, Ъ8 2 ] as 2= 17,6 мм bs 2 = 22,4 мм
Толщина вертикальной стенки главной балки, 83(і ) = / [ а8 3, Ъ8 3 ] as 3= 13,6 мм bs 3= 18,4 мм
Силовые воздействия
Первичный параметр и функция распределения Параметры функции распределения
Математическое ожидание Стандарт
Изгибающий момент в середине пролета от постоянной нагрузки, М„ о) = / ( тмп,А м„ ) тм„ = 9596,8 Ш ■м Ам„ = 239,9 Ш ■м
Изгибающий момент в середине пролета от временной нагрузки, Му (0 = / ( тмг, АМу ) цму = 5425,7 Ш ■ м Ам = 825,9 ^ ■ м
Прочностные характеристики
Первичный параметр и функция распределения Параметры функции распределения
Математическое ожидание Стандарт
Удельная прочность стали (по пределу текучести), о о (0 = / ( то о, \ о) тмп = 321,4 МПа Ам„ = 16,1 МПа
Рис. 1. Область пересечения функций плотности распределения напряжений р(гр и удельной прочности р(К)
Рис. 2. Частотная гистограмма массива случайных реализаций нормального напряжения
Рис. 3. Частотная гистограмма массива случайных реализаций удельной прочности (по пределу текучести)
Рис. 4. Визуализация численных значений массивов случайных реализаций нормального напряжения и предела текучести стали (обозначены соответственно Г хР) и (]) )
Таблица 2
Конечные параметры для принятия решений Функции взаимодействия между начальными и конечными параметрами
Момент сопротивления сечения, Кх(1) ЖХ(1)=Г [г [),г #),г £),-]
Нормальное напряжение в сечении с учетом ограниченного действия пластических деформаций, г хр1) Мп(1)+М() х^у ТТ7- у. > С * Кх(1)
Для наглядности на рисунках 2 и 3 показаны частотные гистограммы массивов случайных реализаций нормального напряжения от изгиба главной балки и предела текучести стали.
Введем событие - факт отказа конструктивного элемента. Под таким «событием» будем понимать превышение случайной реализации нормального
напряжения в расчетном сечении Ох (1) случайной реализации предела текучести стали Оо (1) в области
к -го звена сжатой зоны расчетного элемента.
Используя функции взаимодействия между начальными и конечными параметрами (таблица 2), определим ожидаемое число отказов.
Для рассматриваемого примера площадь одного
звена расчетного элемента sk принята равной 0,1 м2.
В этом случае общее количество отдельных звеньев и, соответственно, число необходимых процедур статистического моделирования составит
I • Ь
к = —„- »172, (3)
%
где Ь„ - ширина сжатого пояса главной балки.
Фрагменты вычислений числа отказов и вероятности отказов для времени эксплуатации главной балки 8760 часов показаны на рисунках 4 и 5.
По результатам проведенных процедур статистического моделирования отказов главной балки выявлено не было, то есть вероятность отказа равна нулю. Таким образом, несущую способность элемента конструкции, принятого в качестве примера, по рассмотренному предельному состоянию для заданной интенсивности движения транспортных средств и времени эксплуатации 8760 часов можно считать обеспеченной.
Полученные выше результаты свидетельствуют в большей степени о начальных показателях надежности элемента конструкции, взятого в качестве примера.
Для практики представляет также интерес возможность оценки надежности элементов конструкции через t лет эксплуатации. Рассмотрим поставленную задачу с учетом данных натурного обследования технического состояния пролетного
строения моста через t =20 лет его эксплуатации.
Установлено, что фактическая интенсивность движения увеличилась до 25 транспортных средств за 1 час. В процессе обследования были выполнены инструментальные измерения толщин элементов сечения главной балки ультразвуковым методом. Объем контроля составил по 10 точек измерений каждого элемента по длине пролета. Для статистической обработки результатов измерений толщин использованы известные соотношения Стьюдента между доверительными интервалами и доверительной вероятностью для нормального распределения [5]. Уровень достоверности интервальной оценки принят равным 0,95. Геометрические размеры сечения на момент обследования приведены в таблице 3.
Итак, выполним статистическое моделирование для объема выборки, который соответствует числу циклов изменения нагрузок за 20 лет эксплуатации при фактической интенсивности движения транспортных средств к моменту обследования. Фрагменты вычислений числа отказов и вероятности отказов для времени эксплуатации главной балки 175200 часов показаны на рисунках 6 и 7.
Расчетами установлено, что число случаев превышения случайной реализации нормального
напряжения в расчетном сечении главной балки Ох (1)
над случайной реализацией предела текучести стали
Оо (1) в области к -го звена расчетного элемента в
сжатой зоне варьируется от 115 до 130.
Используя вариационный принцип Лагранжа-Гамильтона [5], отбираем из всех полученных значений
числа отказов „1,„2,•••,„к экстремальное (в данном случае максимальное) значение
„Ко = тах(„1„2,-, „к) = 130. (4)
Обращаясь к теории распределения крайних членов
выборки [5], определим вероятность отказа QRa «слабых» звеньев цепи расчетного элемента при числе статистических испытаний 1 ® ¥ по формуле
„
QRо = „О . (5)
1
Рис. 5. Фрагмент статистического моделирования комбинации “нагрузка-прочность” -флуктуации генерированных случайных процессов напряжения и предела текучести
Таблица 3
Г еометрические размеры сечения на момент обследования, і = 20 лет
Исходный параметр и функция распределения Параметры функций распределения
Нижняя граница Верхняя граница
Толщина верхнего пояса главной балки, 81( (і) = / [/, а8 и, Ь8 и ] а81 і = 16,8 мм Ъ81 і = 20,2 мм
Толщина нижнего пояса главной балки, 32,і (і) = / [і, а&2,і , Ъ82,і ] а3 2і = 16,9 мм Ъ3 2 і = 20,7 мм
Толщина вертикальной стенки главной балки, 33,і (і) = / Iі, а83,і > Ъ33,і ] а8 3і = 14,3 мм = мм
0.001
© 8-Ю
со 6-Ю
4-Ю
2-10
73 . г і \ \ \ а /
1Й II <5 8%
\
3 Q. X *>
\
! І 1 11 N Ці \ ЇК j И N
1 і! .1111 III. і і І І і ! і і! і ! І ' ’ V ! Тії .. .... УГр ^
260
265
270
275
280
285
290
МПа
Рис. 6. Область пересечения функций плотности распределения напряжений р(с) и удельной прочности р(К)
через 20 лет эксплуатации
программный модуль определения числа "выбросов" за допустимый уровень
стх1 > Ку1
1. Преобразование структуры параметров случайного процесса из векторной формы в функциональную зависимость
а) ввод вспомогательной переменной, ]
б) функция нормальных напряжений, егх^)
в) функция удельной прочности
(по пределу текучести),
Ryi(j)
j := 0.. (і - l) := ^xij
Ryi(i) := Ryi:
2. Вспомогательная функция для проверки граничного условия
^ (j) -= Ryj(j) —
3. Программный модуль проверки соблюдения граничного условия,Q(j) < о nR<j:=
k<- 0
for j є 0.. і - !
і k <- k+ 1 if Q(j) < 0
I j<-j+ 1
k
4. Число "выбросов" за допустимый уровень (число отказов), nRcr = 150
По .. , ч с
5. Частота отказов (вероятность отказа), QR(J :=......... QR(_ = 2.968 х 10
Рис. 7. Программный модуль обработки массивов случайных реализаций и определения числа «выбросов» за допустимый уровень
Для последнего случая статистических испытаний получим, что вероятность разрушения сжатого пояса главной балки составляет
О*
130
= 2,968-10"
Выводы:
1. Метод статистического моделирования позволяет исключать «избыточность» при проектировании элементов конструкции, а также дает возможность определять вероятность отказа как численную меру оценки эксплуатационной надежности.
2. Эффективность использования метода статистических испытаний при расчетах эксплуатационной надежности во многом зависит от рационального распределения функций, связанных с формированием реализаций случайных параметров и внешних воздействий.
Литература
1. Болотин В .В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1981. - 351 с.
2. ГОСТ 6713-91. Прокат низколегированный конструкционный для мостостроения. Технические условия.
3. СТ СЭВ 4940-84. Стандарт СЭВ. Дороги автомобильные международные. Учет интенсивности движения.
4. ГОСТ 21779-82*. Система обеспечения точности геометрических параметров в строительстве. Технологические допуски.
5. Беленький Д.М., Ханукаев М.Г. Теория надежности машин и металлоконструкций. - Ростов н/Д: «Феникс», 2004. - 608 с.
