Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 511.36

ОЦЕНКА МЕР ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЛОГАРИФМА "ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ" 1

М. Г. Башмакова (г. Брянск)

Аннотация

В работе получены новые оценки меры иррациональности и меры квадратичной иррациональности числа л/Ъ 1п .

Введение. Исследование арифметических свойств значенй логарифмической функции есть классическая задача теории диофантовых приближений. Для любого иррационального числа а можно рассматривать количественную характеристику, определяющую, насколько это число отличается от рациональных, Эта характеристика называется мерой иррациональности числа — ^(а) и определяется как точная верхняя грань множества чисел є, таких что неравенство

Р

а----

Я

имеет бесконечно много решений в рациональных числах

Строя совместные приближения для \да2 + р\\ ъ \да + р2\ при д,р\,р2 £ мы можем аналогично определить меру квадратичной иррациональности ^2(а) числа а, которая фактически описывает приближение а корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами,

С середины 80-х годов прошлого века одним из способов получения таких приближений стало построение на основе интегральных конструкций линейных форм с "хорошими" оценками знаменателей коэффициентов, В 2000-м г, в работе М, Хата [1] был приведён способ построения таких линейных форм и оценок их совместных приближений с помощью двойного комплексного интеграла, Аналогичная интегральная конструкция была использована в 2009 г.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант N 09-01-00743.

Р. Марковеккио [2] для получения оценок меры иррациональности и меры квадратичной иррациональности чисел вида, In Q), где х = £ N, и позволила

улучшить некоторые известные результаты, В частности, была получена новая оценка: ^(1п2) < 3.5745..., усиливавшая результат Е, А. Рухадзе 1987 г., ^(1п2) < 3.893..

Небольшая модификация интеграла Р. Марковеккио, симметризующая под-ыптегральпую функцию относительно замены ./• на позволила применить его также и для некоторых иррациональных х. В данной работе приводятся новые оценки, полученные с помощью этого метода, а также другой, более простой способ построения этих оценок, использующий интеграл Ю. В. Нестеренко.

1. Интегральная конструкция Р. Марковеккио

Рассмотрим интеграл:

irc> —ic© и | _ - ,

т(х) = [ Г ________________________________sH-x^^dsdt___________

^ * J У (1 g'jh+k—m+l^g k-\-l^j- ^k-\-m—h-\-1 7 ' *

s=0 t=0

где x £ R, 0 < x < 1; h,k,m £ Z+ и удовлетворяют условиям:

h + k — m > 0,m + k — h > 0,m + h — k > 0,k + m — h - нечётно. Определим

некоторые свойства данного интеграла. Обозначим dn = HOK{1, 2, ...n}.

Утверждение 1. Имеет место равенство:

т(1)=т<,) (2)

Данное равенство можно получить сделав в интеграле замену переменных s = I,i=I. “ “

а т

Лемма 1. Справедливо следующее представление:

Т(х) = Р(х)^ In2 Q - Q(x) In ^ + R(x) + m (p(x) In Q - Q(x)^j , (3) где P(x), Q(x), R(x) £ Q(x), причём

Z[x]

P(x), dMQ(x), dMdNR(x) £ _ x^k+m+h+l (4)

при

M = max{k, m, h, k + h — m, h + m — k, m + k — h},

I i \

N = max{ [“] , max'jfc, m,h,k + h — m,h + m — k,m + к — h}} ’

где max' означает второй член в последовательности, упорядоченной по убыванию.

Эта лемма была доказана и использовалась в работе Р, Марковеккио [2] (Утв. 2.1).

Поскольку функция 1п х трансцендентна, а 1п х и 1п2(х) -линейно независимы над 0(ж), то сравнивая равенства (3) и (2), можем видеть, что Р(х) = Р , Я(х) = Я (^). Это свойство позволяет уточнить вил функций.

Лемма 2. Пусть Я(х) Е 10>(х), Я(х) = Я (^). Тогда Я(х) = Я [х + ^), где я(г) е 0>(г).

Доказательство данной леммы достаточно просто, поэтому опустим его. Теперь мы можем заключить, что

Р(х) = Р ^х Н—^ , (^(х) = ^х----^ <5 Н—^ , Д(ж) = Д ^х Н—^ (6)

гдеР^ш^ад е <ад.

Из представления (3) получаем линейные формы

/т№)) = Р(х) 1п 1 - <?(*); 1т(Т(х)) 1п 1 - Де(ГМ) = - ДМ,

п х п х 2 х

(7)

исследование которых позволяет оценить меры иррациональности и квадратичной иррациональности значений логарифмической функции, а свойство (6) функций Р(х), ^(х), Я(х) даёт возможность использовать как параметр х и некоторые алгебраические числа. Так, рассматривая в интеграле х = а = 3~^ получим следующие результаты.

Теорема 1. Справедлива оценка меры, иррациональности:

ц < 3.713...

Теорема 2. Справедлива оценка меры квадратичной иррациональности:

< 33.0094..

Первая из приведённых оценок улучшает предыдущие, полученные М.Хата [3] . . . .

/1 < 4.4937... и Е. С. Сальниковой [4] /1 (>/51с^ < 4.456....

Мера квадратичной иррациональности этого числа ранее не оценивалась. Остановимся подробнее именно на способе получения второго результата.

Выберем в (1) параметры к = 71, к = 61, т = 81 и п е N. Рассмотрим интеграл

—ІЖ 71 +1

^ [ [ 871п181пХ~^~ (1з(й

Тп{х) =

7 7 (1 - 5)51га+1(5 - і)91^1^ - ж)71п+Г

«=0 4=0

Обозначим

^71*81

= (1 - з)51(з - г)91(г - X)71 = а = 3~у^ имеем - = ( -

2 х \

Тогда

Приж = о; = ^ имеем ± = (^)2,ж+^ = 3, (ж-£) = -у/5, 1-х =

Тп(а) = рп^ 1п2 1 +2^ - дпл/51п 1 + гп + т ^рп 1п 1 - л/5д„

где рп, Яп, Гп е О-

Для получения оценок воспользуемся леммой М, Хата [1](см. лемма 2,3),

Лемма 3. Пусть 7-вещественное иррациональное число, рп, дп, гп е Ъ, дп = 0 для любо го п е N Обозначим £п = дп72 — рп, 5п = дп72 — гп. Пусть

Ит — 1п\дп\ = <т, тах ( Итвир — 1п |ега|,Ит8ир — 1п |£га| ] < — г,

п^ж П \ п^оо П п^оо П У

прм а, т > 0. Предположим, далее, что существует бесконечно м,ного натуральных чисел п, таких что —-не является рациональным, числом.

Тогда /х2(т) < 1 + 7-

Применим лемму 3 к линейным формам (7), С учётом неравенства

Рп{х) 1п2 - - Шп(х)

X

< ( 1гД + 2 ) \Тп(х)\,

для построения оценки необходимо исследовать асимптотику Рп(х) и Тп(х) при п ^ то. Согласно выводам Р, Марковеккио, использовавшего для этой цели метод перевала в С2 [5]:

Ит — 1пРп(х) = 111/(51,^1) + ^ т—-\пх,

п^ж п 2

и

1 , , Ч| , , Ч| к + т — Н

Итэир -1п\1п{х)\ < т 1/(^2,^2)| Н-------------тх,

п^ж п 2

где ^-вещественныЙ, а 52-любой ИЗ двух комплексных корней уравнения

Нкв3 — (т — Н)((т — к)х + Н + 2к)в2 + (т — Н)(т — к + (Н + 2к)х)в — Нкх = 0,

а соответствующее значение £ выражается как £ =

В нашем случае уравнение примет вил:

433153 — 2006.39352 + 937.19445 — 1654.2947 = 0, тогда

51 = 0.79519, *1 = 0.52620.., 1п / (вь^) = 269.5589..,

52 = -0.165966 + 0.672903І, Ь2 = -0.28095 - 0.44534І, 1п |/(в2, і2)| = -87.82804.. Применяя процедуру сокращения простых, описанную у Р. Марковеккио, получим также:

Р (ж)

Ап

Здесь М, N -из равенств (5), I),, = ^2г-, Ага-произведение всех простых чисел р > у/Мп, таких что € П.

Множество П при данных значениях параметров состоит из 69 интервалов, укажем только некоторые из них:

11

8І’5ЇІи

24 81’ 91

31

—, — и... и 61 ’ 17

60 90 61’91

Обозначим М0 = Ит \ВГ

где ф(г) =

Со = — 1п|/(в2,*2)| - = 121.994

Сі = 1п/(8і,іі) + ^-1пж = 235.392..

с3 = N + М0 = 111.16727..

Тогда

' 1 + >/5

М-^ф{г) - М —{ф (і) - ф (І) + ф (^) - ф (|[) + п

л/51:

п ■

< 1 +

СЛ + Сз с0 - с3

33.0094.

что и требовалось.

Все вычисления и выбор параметров к, т, к, разумеется, проводились с помощью компьютерной программы.

Для получения оценки приведённой в теореме 1 необходимо взять к = 5, т = 6, к = 4 и провести аналогичные расчёты. Заметим, что эти параметры полностью совпадают с параметрами Р. Марковеккио, использованными им для получения оценки ^(1п2).

Интегральная конструкция Р. Марковеккио, использующая метод перевала в С2, довольно сложна. Результаты, полученные Р. Марковеккио, спустя небольшое время были подтверждены Ю. В. Нестеренко [6] более простым способом, не использующим групповой метод, при помощи однократного комплексного интеграла. Покажем как оценки, заявленные в теоремах 1,2, можно получить применив интеграл Ю. В. Нестеренко.

2. Интегральная конструкция Ю. В. Нестеренко

Расмотрим интеграл:

,{х) = їй

п

вт(пя)

(-ж) Яdя

3

где /-прямая вида Яе^ = а, 0 < а < 1, проходимая снизу вверх, х Е Е+,х = 0,х =1.

Лемма 4. Имеет место следующее представление:

. Мп2ж 7гг1пж 1{х) = г 1

(8)

1 — х 1 — х Обозначим /(ж)М =

Применим к обеим частям равенства (8) последовательное дифференциро-х

т

x

E4

x

Е2 I ±\П2Х 1 —X

7Гг In х 1—х

[El]

[E3]

Р(ж)|1п2 х — Q(x) In Ж + R(ж) + 7ri(P(x) In ж — Q(x))

(9)

Подобное равенство было доказано у Р, Марковеккио [2], использовавшего в своей работе этот способ.

Обозначим теперь

| [ЕэЦ [Е5

Y(x) = xE4 [xE21(x)[El]]

(10)

Тогда, с учётом (9), получаем для Y(x) выражение аналогичное (3),

Выберем параметры вида Ei = (k + m — h)n = 51n, E2 = hn = 71n,

E3 = (h + m — k)n = 91n, E4 = mn = 81n, E5 = (m + k — h)n = 71n,

n G Z+ и проведём преобразования (Ю). По еле замены я на я — 20n — 1 и

„ / \ _ 9п + !

умн0жения на симметри3ующии множитель (—х) 2 ; приходим к равенству;

Y(ж) = Р(ж) - In2 ж — Q(ж) In ж + Д(ж) + тгг(Р(х) In ж — Q(x)),

(Н)

где

п

втпя

X (—x)-

91п + 1

dq,

A(x)

(x + 20n + 1)...(x + 71n) (x + 1)...(x + 91n) (x + 10n + 1)...(x + 81n)

(51п)! (91п)! (71п)!

При этом У (^) = Т(ж), так что для построения оценок снова используются линейные формы (7), но способ исследования асимптотик здесь будет значительно проще. Приведём результаты, полученные по методу Ю, В, Нестеренко, Обозначим /3 = 3+2л/^.

Утверждение 2. Имеет место равенство

91

515171719191(С — 20)20(С- Ю)10) + 2 П/^

235.3928.

где £ = 269.0173.. — вещественный корень уравнения = /3.

Утверждение 3. При n ^ то справедлива асимптотическая формула

г -*-1 \<п а\\^ 1 о 1 АП/1 1 \V0 + 7inm + 91\91\V0 + Sir ,91

1,т8ир-1п|У03)| < -121.994... = I»51И71п91М,„ + + 10|и» + Т 1“Л

где По = —52.8119 + 18.9364*- комплексный корень многочлена 1.618034x3 + 606.18226x2 + 51068.959x + 1370124.53 = 0 с условием Im(n0) > 0.

Доказательство обоих утверждений повторяет аналогичные выводы работы [6]. Учтя сокращение простых, получим:

( /=Л 1 + л/5 Л 235.3928 + 111.1672 ,

а2 V5 п-----------— < 1 +-----------------= 33.0094...

2 )- 121.994- 111.1672

Отметим, что сокращения простых были в данном случае сделаны с помощью метода Р. Марковеккио.

В заключении автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В. X. Салихову за помощь и Ю. В. Нестеренко за предоставленную возможность воспользоваться результатами его работы до её опубликования.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] М. Hata, C2-saddle method and Beukers' integral. // Trans. Amer, Math. Soc. 2000. V.352 no. 1-2, P. 183-202.

[2] R, Mareoveeehio, The Rhin-Viola method for ln2. // Acta Aritm, 2009. V. 139.2 P.147-184.

[3] M. Hata. Irrationality measures of the values of hvpergeometric functions. // Acta Arithm. 1992. V. LX.4 , P. 335-349.

[4] E. С. Сальникова. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса. // Чебышевекий сборник. 2007. Т.8:2 С. 88-96.

[5] М. В. Федорюк. Метод перевала. // М. Наука. 1977.

ln 2

Брянский Государственный технический университет.

Получено 15.05.2010