Оценка характеристик работы контакт центра с использованием итерационных методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оценка характеристик работы контакт-центра с использованием итерационных методов

Ключевые слова: контакт-центры, математические модели, планирование контакт-центров, итерационный метод Гаусса-Зейделя

Проведен анализ функционирования действующих и перспективных контакт-центров. Показано, что существен-ными особенностями, влияющими на качество работы контакт-центров, являются: наличие системы интерактивного речевого ответа (^); возможность постановки заявок на ожидание освобождения оператора; разделение операторов на группы по квалификации. Для анализа этих особенностей, после проведения процедуры формализации, построена соответствующая математическая модель. Сделаны предположения

о выборе модели взаимодействия абонента с контакт-центром. Рассмотрены такие основные ее параметры, как: функция распределения интервалов времени между последовательными повторными вызовами, дисциплина ожидания обслуживания, формирование потока первичных вызовов и функция распределения длительности выдачи информации. Характеристики качества функционирования модели приводятся через значения стационарных вероятностей пребывания модели в различных состояниях.

Приведено краткое описание основных функциональных составляющих модели. Указан перечень событий, которые меняют состояние системы. Введены компоненты случайного процесса, описывающего функционирование модели. На основе построенной модели составлена и решена итерационным методом Гаусса-Зейделя система уравнений статистического равновесия при числе групп консультантов, равным трем. Приведён анализ полученных численных результатов.

Степанов М.С.,

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра автоматической электросвязи

Введение

Согласно статистике, 60% операционных затрат контакт-центра составляет заработная плата операторов [1]. Поэтому одной из ключевых задач при планировании контакт-центра является оптимизация численности операторов, которая невозможна без анализа математической модели современного контакт-центра и оценки ее основных характеристик. В силу сложности исследуемого объекта решение сформулированной задачи возможно только на основе составления и последующего решения системы уравнений равновесия каким-либо численным методом. Наиболее эффективным подходом является использование итерационной схемы Гаусса-Зейделя. В данной работе, основанной на результатах [2], будет приведено описание модели контакт-центра, найдено выражение для записи системы уравнений равновесия в виде удобном для реализации итерационной схемы и рассмотрен численный пример, иллюстрирующий использование предлагаемого метода.

2. Математическое описание модели

На рис. I приведена математическая модель современного контакт-центра, учитывающая такие особенности его функционирования, как наличие системы интерактивного речевого ответа (IVR - Interactive Voice Response) и разделение операторов по квалификации, которое выражается в наличии консультантов. Число групп консультантов для расчета, приводимого в данной работе, берется равным

трем. В рассматриваемой модели предусмотрены следующие причины отказа в обслуживании:

• недостаточное количество устройств в I УК,

• занятость всех операторов и мест ожидания освобождения оператора,

• превышение максимально возможного времени ожидания освобождения оператора,

• занятость консультантов выбранной группы и мест ожидания освобождения консультанта.

• превышение максимально возможного времени ожидания освобождения консультанта.

После получения отказа в обслуживании клиент с определенной вероятностью может повторить попытку соединения или отказаться от обслуживания.

Ниже приводится описание параметров рассматриваемой модели по этапам установления соединения. Операторы, группы консультантов и ІУИ:

П - число линий доступа,

V - число операторов,

I)ь - число консультантов в к-ой группе, к = 1,2,3,

XV — число мест ожидания освобождения оператора,

- число мест ожидания освобождения консультанта к-ой группы, к = г 1,2,3.

Поступление первичных заявок

Л - интенсивность поступления первичных заявок.

Этапы обслуживания заявки

\/0 \ — среднее время обслуживания заявки на ІУИ,

1 / о э - среднее время обслуживания заявки у оператора, \//}к - СР- время обслуживания заявки у консультанта £-ой группы, к =1,2,3.

п

Повторные заявки

і *1 і і 2| ... | W,

Места ожидания

Линии доступа

н

Рз

Свободные конс-ты или м.о.

Да

L±j I_2j... ,w3,

Места ожидания

©і

©I

• С

• Z

©J

н

1-Н ,, 1-Н

Рис. 1. Математическая модель контакт-центра с тремя группами консультантов

1-Н

Вероятности переходов между этапами обслуживания заявок

С{ - вероятность продолжения обслуживания у оператора,

р - вероятность продолжения обслуживания у консультанта,

Рк - вероятность продолжения обслуживания у консультанта к-ой группы, к =1,2,3,

Ожидание начала обслуживания

1/с — среднее время, ограничивающее ожидание у оператора,

1/С/. - среднее время, ограничивающий ожидание у

консультанта

к-ой группы, к =1,2,3.

Поведение пользователя после получения отказа в обслуживании

// - вероятность повторения заявки после отказа в обслуживании,

1 / V — среднее время повторения заявки, получившей отказ в обслуживании.

Предположим, что длительности интервалов времени между осуществлением событий в построенной модели имеют экспоненциальное время с соответствующим параметром, введенным выше.

Функционирование модели описывается случайным процессом г(/) = 0'(ОДО,/(О>/|(О,/2('Уз(О).

где j(t) - число клиентов, находящихся в момент времени t в состоянии повторения заблокированной заявки, /(/) - число занятых в момент времени I линий доступа, /(/) - число занятых в момент времени t мест ожидания и операторов, 4(/) - число занятых в момент времени t

мест ожидания и консультантов для к -ой группы консультантов, к =1,2,3.

Обозначим через S множество возможных состояний исследуемой модели.

В пространство состояний S входят вектора (y,/,/,/i,/?,/з), с компонентами удовлетворяющими неравенствам:

У = 0,1,./ = 0,1,...,и; / = 0,1,...,У- w;

/* =0,1,...,У* - щ, £ = 1,2,3; i>l-l\-h-ly

где /•„, - максимально возможное число клиентов контакт-центра, одновременно находящихся в состоянии повторения вызова

Построенный процесс будет марковским, поскольку все случайные величины, определяющие длительности времени пребывания модели в различных состояниях, имеют экспоненциальное распределение и не зависят друг от друга, как и вероятность перехода из состояния в состояние.

3. Система уравнений равновесия

Стандартным образом выписывается система уравнений, статистического равновесия, связывающую стационарные вероятности /*(_/,/',/,/.,Л,/з)- Обозначив через

С = I- А - /л - /3 и приравняв интенсивности выхода и входа для всех состояний (/',/,/,/|,/2,/3)е 5 исследуемого марковского процесса /*(/)> получаем:

2>^з)х

х[Л/(/</7)+ЛЯ/(/ = и)+у>/(/<я)-уЧ'(1- //)/(/ = я)+

+ (/■- с)0, + (/- и)б/(1> у)+ /о2/(0</<к)+уаг2/(/> у) +

1^, )£Г,/(/, > у,)- /,Д/(0</| <У,)- У,Д/(/,>У,)-

- (/2 - 1Ь)б2^(^2 ^ ^2 )" (0 < /2 ^ 1>2)" ^2^2/(/2 > ^2)"

+ (/3 - У, )сг3/(/3 > У3) + /3Д/(О < /3 £ у3 ) - ы3Д/(/3 > у,)]= =Д/(/> 0,1- 1>с)Р(у,/- 1,/,/,,72,/з)+

- ЯЯ/(> > 0,/ = и)ДУ- 1,/2,/3)+

+ (/+ 1)у/(|- ^с^О.усг^ДУ+М- 1,/,/|,/2,/3)+ + (У+ 1)^(1- //)/(/ = /7,у < гт)Р(] + 1,/2,/3) +

- (/- с- \)а^1(1>0)Ри,1,1- 1,/ь/2,/з)-

- (/- 1- с)0,(1- 9)/(/- 1<«)Р(У,/- 1,/,/ь/2,/3)-

- (/- 1- с)о,<уЯ/(/- 1 < л?,у > 0,/ =

= У+н’)Я(у —1,1 +1,/ +1,/3) +

-(/-1- с)о,^(1- Я)/(/ + 1< п,у< /•„,,/ =

= у+ и’)/>(У,/+1,/3) +

+ (/- 1- с)А,д/(/ + 1</?,у = гя,/ =

= У+н^)Р(у,/ + 1,/,/1,/2,/3) +

+(/-1- и)сН1(и<1+ К к+ и\у> 0,; + \йп)Ри- М+1./+ 1,/]./2,/3)-

- (/- I- ь)вН1(ь<1- \<и- и-,у = гт,/- 1^«)Я(у,1- 1,/- 1,/|,/2,/3)-+ (/+1- У)(Г(1- //)/(ы</+1£ы + и',/+Ки)Р(у,|+1>/+1,/|,/2,/з)+

+ (/ + 1)о2рр,/(/+ 1< у,/, > 0)/>(У,/,/ + 1,/, - 1,/2,/3)+

- (/- 1)о2/>/>2/(/- 1<У,/2>0)Р(У,/,/- 1,/,,/2- 1,/3)-+ (/+ 1)а2/?/?3/(/ + 1 ^ у,/3 > 0)P(j,i,l+ 1,/|,/2,/3 - 1) +

- (/- 1)а2/7/7|(1- #)/(/- 1 </?,/- 1 < У,/] = У) - )х хД/,/- 1,/- 1,/ь/2,/3)-

- (/- 1)а2рр2(1- Я)/(|- 1<>7,/- 1 <у,/2 = 1Ь~ ^2)х хДУ./' + и + 1,/|,/2,/3) +

+ (/ + 1 )<32Р/?3(1 - //)/(/ + 1 5 77,/ + 1 < у,/3 = У3 + И^)Х

х/>(у,/- 1,/- 1,/Ь/2,/3)-

+ (/+ \ )02РР\Н1(] > 0,/+ 1<Я,/ + 1 < У,/( = У) + IV))X х ДУ — 1,/ + 1,/ +1,/| ,/2,/3) +

- (/- 1)о2/зр2Я/(У > 0,/- \<п,1- 1 <у,/2=у2- и»2)х ХДУ-1,/ +1,/ +1 ,/],/2,/3) +

- (/- 1)о2/?/?3Я/(У > 0,/- 1 </?,/+1 < у,/3 = Уз + »у3)х ХР(у-1,/ + 1,/ + 1,/],/2,/3) +

- (/- \)о2рр\Н/и = гт,1- 1<и,/ + 1<у,/| =у, +и^|)х х Р(У,| +1,/ +1,/|,/2,/3) +

+ (/ + \)01рр2Н1( / — Гщ,/ + 1 ^ А7,/ + 1 ^ ^,/2 = У? + И^)Х

х ДУ.» + и/ + М|,/2,/3) +

- (/- \)а2ррзН1 и=гт,1 - 1 <«,/ +1: у,/3 = уз + нз)х хР(у,/+1,/-ь 1,/( ,/2 ,/3) +

- (/- 1)о,(1- /?)///(/- 1 <п,1-

+ 1 < у)/>(у,/+1,/ + 1>А»^2»^з) +

+ у«2/?/?|/(и</+ 1 < у- /1 > О)Р(у,/,/+ 1,/| - 1 ,/2,/3) +

+ ма;2/?/?2/(у < 1+ 1 ^ у+ и»,/2 > 0)/>(У,/,/+ 1,/],/2 - 1,/3) +

- 1)а2РРт,1(1><1 - 1<и- м\/3 > 0)/5(у,/,/+ 1,/],/2,/3 - 1) +

- У«2рр1(1- Я)/(/- 1 <и,у </ +1 < у+ и»,/] = У) + и?|)х

х ДУ./+1,/ +1,/|,/2,/3) +

- УОГ2/7/72( 1- //)/(/* 1 < /7,У </+ 1 < У + И\/2 = 1»2 + И'2)х X Р(У,7 + 1,/ + 1,/|,/2,/3) +

- уа2/7/?3(1- Я)/(/- 1 <и,у</+1< у+н’,/3 = Уз + и>з)х хДУ,*’ +1,/ +1,/|,/2,/3) +

+ 1)(Х2РР\Н1(У >0,7+ 1 </7,У < / + 1 < У + IV,/| = У| + *У| )х

ХР(У —1,7 + 1,/ + 1,/|,/2,/3) +

4 УОГ2/?/?2Я/(У > 0,/+ 1 < И, У</+1<У + IV,/2 = 1>2 + ^2)х X Д /— 1,7 + 1,/ + 1,/|,/2,/3) +

+ уа2р/>3Я/(У > 0,/+ 1 < /?, у < / +1 < у + н»,/3 = г>з + и’з) х

Х/>(у-1,/+1,/ + 1,/1,/2,/3) +

+ У«2/у?1Я/(У = гот,/+ 1< /7,У < / + 1< У + >У,/| = У| + И>1)х +1,/|,/2,/3)+

+ У«2рр2Я/(У = Гт,1+ 1 < /7,У < /+ 1 < У+ IV,/2 = + >у2)

х ДУ,/ +1,/ +1,/|,/2,/3) +

+ у «2 Доз Я/ (/ = /■„,, / + 1<м,у</+1<у + IV,/3 = Уз + н'3): хР(у,/ +1,/ +1,/|,/2,/3) +

- уа20' /’Ж»* 1^и,у</- 1 ^У+и,)/>(у,7 +1,/+ 1,/|,/2,/3)-1

+ (/| - 1- У1)£Г|Я/(У > 0,7+ 1 <77,У1 </1 + 1 < У| + И’])х ХДУ-1,7 + 1,/,/| +1 ,/2,/3) +

+ (/2 + 1 - 1>2)СГ2Я/(У > 0,7+ 1 < 77,У2 </2 + 1 < Уг -Г 11>2)X

хР(у-1,| + 1,/,/|,/2 + 1,/3) +

+ (/3 + 1- Уз)(Г3Я/(У > 0,7+ 1 < И, Уз </3 + 1 < Уз + ^3)х

хР(у-1,/ + 1,/,/,,/2,/3+1) +

+ (/| - 1- У|)<Г|Я/(У = Гт,/+ 1<Л,У1 </| + 1<У| + У^|)х

хду,/+и/, + 1,/2,/3)+

X Р( /,/ + 1,/,/),/2 + 1,/з) +

н (/3+1- 1>зк3Я/(У = /•„,,/ + 1 <«,1>з </3 + 1 < I/} -г и>})Х

х ДУ,*+ + 0+

+ (/] + 1 - Ц )с 1 (1 - Н )/(/ + 1 < /7, У] < /| + 1 < У] + IV! ) х

х +1././1 + М2»(з) +

+ (/2 + !- 1ъ)^20” Я )/(/ + 1 5г 77,1>2 < /2 + 1 — + и2)х

х Р(У,/ + 1,/,/] ,/2 + Мз) +

+ (/3 + 1* 1>3 )<5"3(1 _ Я)/(/+ 1 ^ 77,</3 + 1 < 1>3 — И'з)х

Х/Ч/,/ + 1,/,/|,/2,/з + 1) +

- (/,- 1)Д/(/- 1 — 77,/, ~ 1>У,)Р(У,7- 1,/,/,- 1,/2,/3)-

- (/2- 1)уб2/(/- 1<И,/2- 1>У2)РС/',<- 1,/./|,/2- 1,/з)-

+ (/3 + 1)уб3/(/- 1 < 77,/3 + 1 > 1>3 )/>(./,/+ 1,/,/,,/2,/3 - 1) +

- уД/(/- 1^и,ь»,</|- *•'!)/’(./,I- 1,/,/|- 1,/г,/з)-

- ир2/(/ — 1 ^ И, 1>2 < /2 - I ^ 171 — Н’2 )/*(./, 7 - 1,/,/] ,/2 - I, /3 ) -

- 17Д3/ (/— 1 £ 77,1>з < /3 — 1 ^ У3 — Н'з)Р(У,/— 1,/,/| ,/2 ,/3 ~ 1).

Для Р(у,/,/,/|,/2,/3) выполнено условие нормировки

] Р(У,/,/,/,,/2,/3) = г

(7,/,/,/„/2,/з)б5

4. Характеристики модели

В исследуемой модели можно выделить три типа характеристик. Приведем примеры для каждой группы:

Первая группа. Интенсивности поступающих, потерянных и обслуженных заявок, дифференцированные по этапам обслуживания:

• Интенсивность первичных и повторных заявок

А0 = ] Р(у,/,/,/,,/2,/3)(Д- у».

(У,/,/,/|,/2^3)б5

• Интенсивность первичных и повторных заявок, получивших отказ из-за занятости линий доступа

Ла,ы= ] Р(У,/,/,/ь/2,/з)(^- у>)-

(У,/,/,/,,/2,/3)е5|/=77 Интенсивность заявок, направленных от IV!* к операторам

Ао= 2 ДММь^зХ*’ !- 1\ - 12 - 13 )°\Ч

(У,/,/,/],Л,/з)б5 Вторая группа. Средние значения переменных функциональных компонент

• Среднее число заявок, обслуживаемых на IVК

М, = ^ Р(У,/,/,/|,/2,/з)(/- /- /] - /2- /3)’

(У,/,/,/|,/2У3)е5

• Среднее число абонентов, повторяющих заявку

М] = 5 Р(У,/,/,/,,/2,/3)У•

(У,7,/,/1,/2,/3)б5

• Среднее число абонентов, ожидающих освобождения оператора

мп, = 5 Р(у,/,/,/],/2,/3х/- у)-

(У,/,/,/|,/2,/3)б5|/>у

Третья группа. Потери заявок по этапам обслуживания

• Доля первичных и повторных заявок, потерянных из-за занятости линий доступа

] />(у,/,/,/1,/2,/зХЛ'+У»')

п _ (У,7,/,/|,/2,/3)е5|/=/7_____________________.

я Х/>(У,/,/,/1,/2,/ з)(/1 + Уи)

(У,/,/,/| ,/2У3)е5

Доля заявок, потерянных из-за отсутствия свободных операторов

} /Чу.;./,/,./2,/3)«!</+ 5 рШ’1,11,/2./зХ/—«О

_ < j.iJJl.l:.l}■цS\l=l>+^^■___(7'.)У^./:./3)е5|/>Ц________

^/>(7,/,/,/1,/2,/зХ<-с)в|?

5. Алгоритм расчета.

Построенная система уравнений равновесия не обладает какими-либо специальными свойствами, поэтому ее приходится решать одним из стандартных методов линейной алгебры. Для выбора алгоритма проанализируем свойства системы уравнений равновесия. Полученная матрица системы уравнений имеет большую размерность, достигающую нескольких миллионов строк и столбцов; большое количество нулевых элементов (обычно число ненулевых элементов в строке фиксировано и не зависит от значений структурных параметров модели, приводящих к росту числа состояний); рекурсивные формулы для оценки ненулевых коэффициентов матрицы в соответствии с компонентами состояния.

Отмеченные свойства позволяют рекомендовать для решения построенной системы уравнений равновесия итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя, основанный на реализации принципа последовательных подстановок. Общая формулировка метода приводится в литературе по линейной алгебре [3].

Число итераций зависит от значений входных параметров и величины £, задающей относительную разницу между двумя последовательными приближениями. Обычно число итераций меняется от нескольких десятков до нескольких сотен. Время счёта определяется значениями структурных параметров модели и быстротой используемой вычислительной среды. Обыкновенно оно лежит в интервале от нескольких секунд до нескольких минут. Число неизвестных в системе уравнений равновесия (число состояний в модели) зависит от числа потоков заявок и объёма канального ресурса. Максимально возможное число неизвестных, для которых возможен счёт, определяется языком программирования. В большинстве случаев оно ограничено несколькими миллионами. Этого значения достаточно для исследования основных зависимостей показателей обслуживания заявок от входных параметров.

6. Численный пример

В качестве примера рассмотрим зависимость интенсивностей поступающих заявок от величины первичной загрузки Л■ Расчет проводился для следующих значений

T-Comm, #7-2012

191

входных параметров: Я = 0.5, 0\ = 1, 0~> — 1, /5| = 0.2, />, =0.2, =0.7, р = 0.6, р, =0.4, р2 =0.2, ^3 = 0.4,

С = 0.2, с , = 0.2, с 2= 0-2, С з = 0.2, п = 50, V = 20, Ц =

3, = 2, У} = 3, и> = 5, = I, = 1, И$ == 11, гт =

35, //= 0.9, V =25. В качестве единицы времени выбрана средняя продолжительность обслуживания заявки на IУИ.

На рис.2, приведены значения интенсивностей поступающих заявок с учетом потерь на последовательных этапах обслуживания. Самая нижняя кривая — это только первичные заявки, самая верхняя - включает потери на всех этапах.

Интенсивность первичных заявок X (в ср дл обсл 1\/Я)

Рис. 2. Зависимость суммарной интенсивности заявок от интенсивности первичных заявок

Как видно из графика, полученные кривые дают возможность дифференцировать поступающие заявки по типу (первичные или повторные) и виду отказа в обслуживании. Полученные результаты позволяют оценить соот-

ношение между интенсивностью первичных заявок и суммарной интенсивностью первичных и повторных заявок. Учет этой разницы при планировании контакт-центра обеспечивает более точный расчет численности операторов.

Выводы

• Проведен анализ особенностей построения современных контакт-центров, отмечена необходимость разработки методик оценки качества обслуживания поступающих заявок

• Построена и исследована математическая модель современного контакт-центра, учитывающая основные особенности его функционирования. Даны определения характеристикам обслуживания поступающих заявок.

• Построен алгоритм оценки характеристик на основе итерационной модели Гаусса-Зейделя

• Получены численные результаты, позволяющие дифференцировать поступающие заявки по типу (первичные или повторные) и виду отказа в обслуживании

Литература

1. Теплое П. “Измеряем" оператора контактного-центра // Connect! Мир связи. - 2009. - №3. - С. 128-132.

2. Степанов М.С., Пшеничников А.П. Обобщенная модель са11-центра // Труды 5-й отраслевой научной конференции форума “Технологии информационного общества” 9-10 февраля 2011 г., Москва, МТУСИ. — T-Comm - Телекоммуникации и Транспорт. 2011. -№7. - С. 125-128.

3. Хохлин А. Контакт-центры как инструмент бизнеса // Connect! Мир связи. - 2007. - №4. - С.50-52.

4. Степанов М.С. Особенности построения перспективных контакт-центров // Труды конференции “Телекоммуникационные и вычислительные системы”. - 2011. -С.27.

5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984.

Evaluation of contact center using iterative methods

Stepanov M.S.

Abstract: In this paper a functioning of modern and perspective contact-centers is analyzed. An importance of IVR system, possibility of waiting for service and partition of operators based on their professional skill are marked. For analysis of these modern features the mathematical model of contact-center is designed. An assumption about interaction between client and operator is made. The follow'ng parameters of the model are considered: the distribution function of time intervals between successive repeated attempts; the discipline of waiting for service, the forming of primary calls flow and distributions function of service. The quality of service characteristics are given through values of model states probabilities. A short description of model basic functioning components is given, A list of events that change state of the model is considered. The components of random process describing state of the model is introduced. The system of state equations is solved by Gauss-Zeidel iteration algorithm. The number of consultant groups is taken three. The numerical Analysis of results is given.