CC BY
70
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduummia, "2018, Iss. 75, pp. 16—24
УДК 621.396
Оценка границы Крамера-Рао выпуклых антенных решеток с направленными излучателями для радиопеленгации
Нечаев Ю. Б.1, Пешков И. В.2, Фортунова Н. А?
1 Воронежский государственный университет 2Елецкий государственный университет имени И. А. Бунина
E-mail: ilvpcehkov&gmail. com
Оценка угловых координат источников радиоизлучения представляет серьезный исследовательский интерес в различных сферах. Так. в беспроводных телекоммуникационных системах информация о координатах позволяет осуществить пространственное разделение для увеличения одновременно функционирующих пользователей. Исследовано влияние коэффициента направленного действия отдельного антенного элемента па точность определения угловых координат источников радиоизлучения кольцевой, кубической и сферической аптеппых решеток, состоящих из направленных излучающих элементов, нашедших широчайшее применение в современных беспроводных коммуникационных технологиях. Для корректного функционирования высокоточных алгоритмов радиопеленгации в составе рассматриваемых решеток осуществлен вывод точных выражений, описывающих амплитудпо-фазовое распределение электромагнитного поля решеток, т.п. направляющие векторы. Обсуждается вывод статистической границы Крамера-Рао для определения ошибок и точности координат направления прихода ряда плоских волн, падающих па аптеппую решетку. Осуществлено теоретическое исследование работы даппых аптеппых решеток с помощью оценки границы Крамера-Рао. а также компьютерное моделирование с реализацией метода со сврехразрешепием MUSIC. Определены пределы изменения коэффициента направленного действия отдельного элемента, при которых достигается максимальная точность оценки угловых координат. С повышением усиления отдельных аптепп точность пеленгации может значительным образом изменяться в зависимости от азимутального положения сигнала и приемлемым выбором коэффициента направленного действия является равным от четырех до шести. Проведена оценка разрешающей способности выпуклых или объемных аптеппых решеток в зависимости от коэффициента направленного действия. В целом установлено, что лучшей конфигурацией является сферическая.
Ключевые слова: радиопеленгация: цифровая антенная решётка: кольцевая аптеппая решётка: объем-пая аптеппа: направленные излучатели: КНД
DOI: 10.20535/RADAP. 2018.75.16-24
Введение
Оценка координат источника радиоизлучения (ПРИ) нашла широкое применение в телекоммуникационных системах [1 6] с применением линейных антенных решёток (АР), которые наглядны и просты. но характеризуются неспособностью одновременной оценки координат ПРИ в трехмерной плоскости. т.е. по азимуту и углу места [7]. Планарные и объемные антенные решетки могут преодолеть эту проблему [8 10]. Кроме того, в большинстве работ делается предположение об изотропности излучения антенн [1 10]. Рассмотрение влияния коэффициента направленного действия (КНД) отдельных элементов на характеристики радиопеленгации объемных антенных решеток, состоящих из прямо-
угольных патч-антенн. КНД которых превышает 1. нашедших широчайшее применение в современных беспроводных коммуникационных технологиях. представляет серьезный интерес. Поэтому в работе основное внимание уделяется исследованию трехмерных объемных АР: цилиндрические (Ци-АР). кубические, сферические и конические геометрии с использованием алгоритма МиБГС. Однако полученные результаты сравнительного моделирования можно интерпретировать как частный случай. поэтому необходим инструмент, независящий от особенностей реализации, такой как граница Крамера-Рао.
В работах [11. 12] рассматривается проблема получения выражения границы Крамера-Рао для угломестной и азимутальной радиопеленгации с
использованием АР с направленными излучателями. Однако данные работы не дают точного выражения, учитывающего положение источника совместно с КНД антенных элементов. Далее приводится улучшенное и расширенное матрично-векторное выражение границы Крамера-Рао, учитывающее обозначенные недостатки.
1 Построение антенной решетки
1.1 Антенна в форме куба
Рис. а показывает решетку из N прямоугольных направленных элементов, распределенных в пространстве, образуя кубическую АР. Рассмотрим узкополосный сигнал та несущей частоте с угловыми координатами 0 и <р относительно осей х, у и г соответственно, т.е. 0 связана с азимутальной и (р с вертикальной плоскостями. Таким образом, задача радиопеленгации состоит в оценке координат 0 и <р. Для этого необходима модель применяемой АР.
Обозначим дг(ш, в, р>) усиление и фазу антенного элемента (АЭ) в зависимости от частоты и направления, тогда аналитический сигнал на выходе
АР [101:
Построение направляющего вектора кубической антенной решеткн начинается так, что первый элемент расположен в начале координат, т.е. г^ = (0, 0, 0)Т и ориентирован излучающим элементом вдоль оси ъ и тогда имеет максимум излучения по углу места смещенным на +^/2. В приведенной модели коэффициент дп(6,<р) зависит от азимутальной 0 и угломестной у координат наблюдателя. Кроме того, предполагается, что максимум излучения достигается при 0 = 0° и <р = 90°, а минимум при <р = 0° и 0 = 0°, либо <р = 90° и 0 = 90°, как показано из следующей математической модели ДН по мощности в дальней зоне в предположении, что антенны идеально согласованы и без потерь [11]]:
G (^) = ¿ (1+sin te - 7ЛГ
■ (1+cos (0 - Jen ))m,n = 0,1,...,N - 1, (3)
где и 7® — сдвиг соответственно в угломестной и азимутальной плоскости п-го АЭ, Б — коэффициент направленного действия, тогда д = \/О (в, у).
Второй элемент имеет следующий радиус-вектор г^ = 0, 4] > т-к- ширина каждого излучателя составляет половину длины волны. Расположение остальных излучателей подбирается подобным же образом.
а(ш, 0, А)
gi (w, 0, Х)е-
Jkrl
д2 (ш, 0, Х)е-
Jkrj
gN(и, 0, A)ejkr
(1)
где k = ^ (kx,ky,kz) = (sin <p cos в, sin <p sin в, cos <p) волновое число, описывающее скорость изменения фазы распространяющейся волны в направле-
Т t \Т
пнях х, у, z, rn = (xn, yn, zn) — радиус-вектор к
n-му АЭ и gn(9,¡p) — коэффициент усиления п-го
АЭ. Тогда направляющий вектор антенной решетки
можно выразить как:
1.2 Антенна в форме полудодекаэдра
Длина грани также равна А/2, полудодекаэдр (рис. 16) имеет радиус вписанной и описанной сферы, которые соответственно равны = 1,1А/2 и гои4 = 1,4А/2. Всего элементов имеется шесть, причем по окружности пять, угол между которыми 72°, угол между верхней гранью и любой боковой (антенными элементами) составляет 116°.
Тогда направляющий вектор антенной решетки можно выразить как:
a(0, ф)
gi (0, <р + ^i)eJ'kri
g2(0, p>)e?krT^ g3(0 + 0з, <fi)ejkrí
g4(0 + 04, p))e?krT± g5(0 + 05,
_g6(0, ip - cpe)ejkre_
' g1 (0, <p + 2)eJk[o,o,o] g2(0, ^'k[t,0,ж]T g3 (0 + 2, <p)eJk[0'-i• т] g4(0 + -к, <p)& g5 (0 + f, <p)é
A A ]T
4 ]
,jk[-A ,0, A f
32 ,„^jk[0, A, Af
g6(Q,<p - 2)eJ'k[°,°,
(2)
a(0, Ф)
gi (в,<р + ipi)e>ki
g2(0 + 02, v + ¥2)ejkri
g3 (0 + 03 g4 (0 + 04
g5 (0 + 05 g (0 + 06
ip + (p3)ejkrz <p + ¡p4)ejkr¿ ip + ^5)eJ'krs <p + (p6)ejkr'
gi {9,ip + 2 y^mmn.
g(
(0 + 5f,, <p + 628)eJ'kR*(5^)[0
g2(0 + 225, V + 6%)eJ'kR*(215)[0^ g3(0 + 22%, y + 6°8У™*(2^)[0,' g4(0 + 22,, v + )ejkR^(32^5)[0,'
2.5'
2.5'
g5(0 + 42%, ^ + 6s)ejkR^(42^5)[0,' 2
]T
(4)
18
Нечаев Ю. Б., Пешков И. В., Фортунова Н. А.
Рис. 1. Изображение антенных решеток
матрица поворо-
cos в — sin в 0 где Rz (в) = sin в cos в 0 0 0 1 та вокруг оси г, упрощающая построение антенной решётки сложной формы.
1.3 Антенна в форме цилиндра
В этом случае направляющий вектор ш-го источника радиоизлучения на к-й АР (рис. в) в терминах азимута и угла места, а также позиции элементов решетки принимает вид:
51
92(о + 02, f)ej д3(0 + As, <f)ejkr^ д4(0 + 04, f)ejkr< д5(0 + 05, <p)ejkr" &(0 + 0g, <fi)ejkre
' gx {в,ф)е? kR - ж ]T
g2(0 + f, ч>)е?kR(^)[°'r— -*I" 93(0 + 2f, V)ejkR(2^)[°-r° g4(0 + 3f, (p)ejkR(s#)[°'r* g6 (0 + 4f, ^)ejkR(4^)[°'r<
5l(0 + 5^ ^)ejkR(5#)[°,rc
a(0, p) =
A
4 1
A
4 1
A ]T
4 ]
(5)
где гсIгс = 2* Частным случаем цилиндрической антенной решетки можно рассматривать конусную АР (рис. 1г). В таком случае конусная АР будет состоять из двух ярусов ЦиАР, каждая из которых будет содержать N = 3 элементов. При этом радиус нижнего яруса больше радиуса верхнего, т.е. гс1 гс1 > гс1 гс2, а также имеется разворот иатч-антенн в плоскости ф. Таким образом, направляющий вектор конусной АР будет выглядеть:
a(0, ф) =
acird (0, <р)
aci rc2 (0, <p) ' 9l (<р,в + ^ )ej kR 02 (v + f, 0 + ^)ejkR(^M g* (<p + 2f, 0 + )ejkR(2*)r
g4 (<p,9 + g^g )ej kR ^ (p + f, 0 -g'jfg )ejkR(^)
U (<p + 2 f, 0 + У kR(2*)
2
)rT
TV )l2
где ri = [0 rcirC1 |] И Г2 = [0 rcirc2 ^] .
Как видно, при рассматриваемых размерах излучателей во всех конфигурациях антенных решеток зазор между элементами отсутствует. Однако можно достичь таких радиусов, чтобы подобрать приблизительно одинаковую площадь.
2 Граница Крамера-Рао для антенных решеток с направленными излучателями
Пусть имеется вектор х (£), образующий стационарный гауссовский процесс с нулевым средним, имеющим моменты второго рода:
Е{(*)"£Н(*)} = RSij = (ASA н + а21) % (7)
где S — корреляционная матрица сигналов, A —
2
матрица направляющих векторов, а2 — мощность шума.
Функция правдоподобия отсчетов х (t1),... х (tN) которые являются независимыми и идентично распределенными, задается:
N
I (в, S, а2) = N log |R| + - ^ x н (ti) R-1 x (tz) =
IR
log |R| + Tr{R-1 R} , (8)
где | ... | — детерминант матрицы.
Важным параметром измерения, насколько хорошо функционирует тот или иной метод, является ковариационная матрица ошибок оценок, нижняя граница которой вычисляется согласно критерию Крамера-Рао (ГКР). Пусть )) — несмещенная оценка вектора параметров т.е. Е {)} = на основе наблюдений X тогда нижняя граница Крамера-Рао задается:
(6)
Е-
[(v — m)(v — v°)Т} >
1
_Е ) 92 logp(xn\у) 1 ' dr¡dr]T j
(9)
Компактное выражение ГКР для Р параметров М сигналов легко выводится из ( ). Для случая,
т
i
когда только один параметр (р =1) ассоциирован с каждым сигналом. ГКР может быть записана в виде [13]:
B
STO
2N>
К {Tr{ (DHP^D) о (SAHR-1AS)TJ } '
D
e,p
дa (0Ь yi)
dq
V=6l,'-Pl
iiom элементе:
dej' дуф ,
двк двк
M
(10)
Где 0 — поэлементное умножение, Б — матрица производных векторов (2)-(6) и Р^ — ортогональная проекция на нулевое подпространство Ан. Используем идею из [13] для адаптации ГКР (10) на произвольное число сигналов и их параметров (прежде всего, азимутальные и угломестные координаты). Для этого, во-первых, необходимо определить
= di 2 (Xnkx + Vnky + Znkz ) J 2r (xnkx+ynky +znkz }s = двк
(2-K л
= j í — (-xnsin0 sin p + yn cos Osmp)
■ ¿>( TT (Xn cose sinp+y„sine sinp+z„cosp}) (14)
Определим производную экспоненциальной составляющей по углу места к-го сигнала на п-м антенном элементе:
,3'Ф
dej'' _ дуф дрк dip к
= dí (Xnkx + ynky + Znkz ) ej ( xnkx+ynky +znkz} = dpk
j ^2— (Xn cos 0cos<p + yn sin 0 cos ip - zn sin 0)^j ■
■ eí( TT ( xn cose sinp + y^ne sinp + z^se})
da (ed,<pd)
dq
v=ed,pd
■ (И)
Тогда, ковариационная матрица ошибок для 3D пеленгации:
B
STO
2N
W
"Ai Л2" о
Л3 Л4
(12)
где
Ai
DfP^De,
Л2 , Л SAH R-1AS.
Л3 = Df P^De
Df P^Dp, 4 = Df PiDp,
Используя (1), частные производные вектора a (0m, рт) от 0 и р находятся как [ ]:
da (вт,рт) dg (вт,рт) &
d-q
dq
_ dg (0 m, Ут) ,'kmRT
dq
+g (вт, Ут)
+
deJk
RJ
dq
v=em,pm
Определим производную амплитудной составляющей по азимуту и углу места для к-го сигнала на ri-м антенном элементе соответственно:
dgn (yk,0k) = d9k =
d D m m
~ofk 2m (1 + sin(^k- Pn))m(1 + cos(0k- 0n))m =
D d
2m(1 + sin(^k- Pn))m-щ [(1 + cos(^k- 0n))m] =
(i + sin(^k- yn))m
m(1 + cos (6k - 6n))m-i (-On) (- sin (6k - On))
(16)
dgn (yk,0k) = dpk
д D m m
" (1 + sin (yk - yn))m(1 + cos (Ok - 0n))m =
dpk 22m
D
22m
D
22m
d
-—(1 +sin(^k - Уп))г dpk
(1+ cos (Ok - On))
(1 + sin (yk - yn))m i (-pn)cos(p - Pk)
(13)
(1+ cos (Ok - 0n))m. (17)
Далее необходимо определить выражения производных для фазовых и амплитудных составляющих. Определим производную экспоненциальной составляющей по азимуту для &-го сигнала на п-м антен-
Подставляя выражения (14)-(17) в (13), определим матрнчно-векторное выражения для вычисления границы Крамера-Рао для оценки произвольного числа источников по азимуту и углу места произвольной антенной решетки с учетом КНД антенн.
2
1
а
2
1
а
и
т
20
Nechaev Yu. В., Peshkov I. V., Fortunova N. A.
3 Теоретическое исследование
Для начала рассмотрим две цилиндрические антенные решетки из шести и восьми элементов соответственно для определения влияния КНД на точность пеленгации, воспользовавшись (12)-(13),
0.1 0.08 0.06
0.04 1 —I--I I ~
0 50 100 150 200 250 300 350
(а)
Рис. 2. ГКР для цилинд]
более наглядно. В этом случае коэффициент направленного действия изменяется от двух до шести. Кроме того, угломестная координата источника фиксирована и равна 45°, при этом азимут изменяется в пределах от 0° до 360°.
(б)
•й АР из а) 8 и б) 6 элементов
Далее предположим, что СКО определяется только координатой по углу места. В этом случае
положение в азимутальной плоскости фиксировано 0°
ется от 0° до 90°.
Рис. 3. ГКР для изменяющейся угломестной координаты
Из графиков на рис. 2-3 можно заметить, что при увеличении КНД отдельных антенн ошибки оценок координат ИР И становятся более очевидными. Такое поведение вызвано тем, что сигнал может попадать в нули и максимумы ДН антенн.
Кроме того, видно, что угломестная координата 45°
шим ошибкам радиопеленгации. И наоборот, при приближении к ф = 90° ми 0° ошибки оценок стремительно становятся больше в несколько раз. Можно также сказать, что КНД равный четырем и положение сигнала близкое к ф = 45° дают лучшую точность. В то же самое время, ошибки в угломестной плоскости остаются практически неизменными в зависимости от КНД.
Рассмотрим теперь ГКР в зависимости от КНД для цилиндрической, кубической, конической и в форме шара антенных решеток, каждая из которых состоят из шести элементов (рис. 1).
Из рис. 4 можно сделать несколько выводов, во-первых, амплитуда колебаний ошибок радиопеленгации становится более очевидной и острой, если
КНД возрастает от 2 до 6. Во-вторых, лучшей конфигурацией антенной решетки для радиопеленгации с направленными излучателями является сферическая (полудодекаэдр, рис. 16), при этом, распределение ошибок носит более равномерный характер, даже при высоком КНД (рис. 4в). В-третьих, конусная и кубическая антенные решетки вызывают появление значительных скачков в точности в зависимости от положения ИР И в азимутальной плоскости.
4 Практическое исследование на основе моделирования
В этом разделе представлены несколько результатов численного моделирования для иллюстрации эффективности рассматриваемых конфигураций антенных решеток для задачи радиопеленгации со сверхразрешением методом MUSIC [4]. Все источники моделируются как некоррелированные комплексные сигналы, а адцитивный шум во всех каналах решетки моделируется как комплексный белый гауссовский шум с одинаковой дисперсией. Рассмотрим ситуацию, когда имеется один источник радиосигнала, координата которого по углу места составляет у = 45°, при этом происходит смещение по азимуту в диапазоне 9 = 0° — 90°, отношение сигнал-шум равно 15 дБ, количество отсчетов К = 100. При этом на каждом шаге осуществляется вычисление среднеквадратической ошибки определения координат методом MUSIC, число испытаний L в определенной точке — 500, сканирование пространства — последовательное:
СКО„ (ют, 9т) =
L~Tv EL
(ri - Ц)■
V=e,ip
Evaluating Cramer-Rao Bound for Conformal Antenna Arrays with Directional Emitters for Doa-Estimation
21
(a)
(6)
(в)
Рис. 4. ГКР антенных решеток для КНД a) D=2, б) D=4 и в) D=6
где СКОп — СКО ошибки пеленга по азимуту и углу места соответственно, Л — оценка координаты. Затем вычисляется среднее СКО:
CKOv =
У] Г/ (^Шз ^ш)
1
rj=e,p
а также разность между максимальным и минимальным СКО по азимуту Дв и углу места Д^, т.к. источник сигнала может попасть как в нуль, так и в максимум диаграммы направленности антенной решётки, что приведёт к значительным изменениям в точности метода MUSIC.
Обозначения: "ц-др" — ЦиАР радиуса ^ fj "ц_ др" — ЦиАР радиуса 1,03А/2, "куб" — кубическая АР с длиной стороны 2 j "куб2" — кубическая АР с длиной стороны А, "сфер" — полусферическая АР, "кон" — конусная АР, состоящая из двух ЦиАР из трёх АЭ, причём радиус нижнего кольца 1, 03А/2, а
верхнего — 8 + 8- Цилиндрическая АР и кубическая АР взяты двух вариантов: в первом случае зазор между антеннами отсутствует, а во втором — радиус- решетки соответствует радиусу полусферической АР, имеющей максимальный радиус- из всех рассматриваемых конфигураций. Из рис-. 5 видно, что наименьшими ошибками обладает полусферическая АР, что согласуется с рис-. 4.
Далее оценим разрешающую способность рассматриваемых конфигураций АР в зависимости от коэффициента направленного действия. Координаты сигналов считаются разрешенными, если имеются два отчетливых пика на пеленгационном рельефе. Азимутальная координата первого ИР И определяется как 0°, а координата второго смещается от 11° до 35°, при этом угол места составляет 45°. Для каждой позиции полное число итераций составляет 500, отношение сигнал-шум равен 15 дБ. В
соответствии с данными параметрами происходит оценка вероятности разрешения двух источников радиосигналов.
Из рис-. 6 видно, что лучшей разрешающей способностью обладают полусферическая для антенных элементов с КНД=8 и коническая для антенных элементов с КНД=2 решетки. Однако лучшим выбором представляется больший КНД в целях получения максимального усиления в случае применения диаграммообразования.
Заключение
Конформные или выпуклые антенные решетки состоят из антенных элементов, расположенных на искривленной поверхности. Такие конфигурации представляют исследовательский интерес- для задач радиопеленгации и бес-проводной коммуникации, поскольку способны обрабатывать сигналы в трехмерной плоскости (по азимуту и углу места) и могут быть установлены на сложные по своей форме объекты, такие как автомобили, самолёты и т.д. В работе проведено исследование метода оценки координат ИР И со сверхразрешением MUSIC в составе антенных решеток различной конфигурации в зависимости от коэффициента направленного действия излучателей. В качестве исследуемых форм выбраны кольцевые (цилиндрические), кубические, сферические и конические антенные решетки с одинаковым количеством антенных элементов, а также сравнимой площади. Были оценены среднеква-дратические отклонения ошибок азимутальных и угломестных координат, а также разность между их максимальными и минимальными значениями, чтобы принять во внимание форму диаграммы направленности патч-антенн. Установлено, что мини-
■22
№<±щ<;у \"и. В., Р<кЬкоу 1. V'., РогЦшоуа N. Л.
Рис. 5. Графики зависимости а) СКО^, б) СКОв, в) Аср и г) Ав в зависимости от коэффициента
направленного действия.
Рис. 6. Графики зависимости вероятности разрешения целей а) цилиндрической АР. б) кубической АР. в) полусферной и г) конической АР в зависимости от коэффициента направленного действия.
Evaluating Cramer-Rao Bound for Conformal Antenna Arrays with Directional Emitters for Doa-Estimation
■23
мальными ошибками обладают решетки в форме полусферы.
Произведена оценка вероятности разрешения сигналов методом MUSIC совместно с выпуклыми антенными решетками. Таким образом, был реализован комплексный статистический анализ радиопеленгации со сверхразрешением по азимуту и углу места для конформных антенн в зависимости от направленности составляющих их антенных элементов. Установлено, что коэффициент направленности равный шести является очень предпочтительным для решётки в форме полусферы, поскольку патч-антенну легко реализовать, а СКО довольно низка, при этом может быть достигнута абсолютная вероятность разрешения двух источников. Кроме того, для числа АЭ. равных шести. КНД 4-6 является рекомендованной для кубических и цилиндрических АР.
Благодарность
Работа поддержана Российским научным фондом. Номер проекта - 18-71-00080.
References
[1] Chetan R.D. and Jadhav A.N. (2011) Simulation study on DOA estimation using MUSIC algorithm. Intl. J. Tech. Eng. Sys., Vol. 2. no. 1.. pp. 54-57.
[2] Ikeda K.. Nagai .1.. Fujita Т.. Yamada H.. Hirata A. and Ohira T. (2004) DOA estimation by using MUSIC algorithm with a 9-elements rectangular ESPAR antenna. Proc. of Intl. Symp. on Antennas and Propagat... pp. 45-48.
[3] Sun C. and Karmakar N. C. (2004) Direction of arrival estimation based on a single port smart antenna using MUSIC algorithm with periodic signals. International .Journal of Signal Processing. Vol. 1. No 2. pp. 153-162.
[4] Schmidt R. (1986) Multiple emitter location and signal parameter estimation. IEEE 'lYansactions on Antennas and Propagation. Vol. 34. Iss. 3. pp. 276-280. DOl: 10.1109/tap.l986.1143830
[51 Belhoul F.. Shubair R. and Ai-Mualla M. (2003) Modelling and performance analysis of DOA estimation in adaptive signal processing arrays. 10th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems, 2003. 1CECS 2003. Proceedings of the 2003. DOl: 10.1109/icecs.2003.1302046
[6] Cadzow .1. (1988) A high resolution direction-of-arrival algorithm for narrow-band coherent and incoherent sources. IEEE 'liansactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Vol. 36. Iss. 7. pp. 965-979. DOl: 10.1109/29.1618
[7] Abouda A.. El-Sallabi H. and Haggman S. (2005) Impact of Antenna Array Ceometry on M1MO Channel Eigenvalues. 2005 IEEE 16th International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications. DOl: 10.1109/pimrc.2005.1651500
[8] Nechaev Yu.B. and Peshkov l.V. (2016) Building circular, octagonal, hexagonal and rectangular antenna arrays for direction-of-arrival via superresolutional method MUSIC. /i'i/i/ioti l;hiul:u-h'iidioi ngiiit i ring. No 6. pp. 137-142.
[9] Bo W. (2006) Realization and Simulation of DOA estimation using MUSIC Algorithm with Uniform Circular Arrays. The 2006 4th Asia-Pacific Conference on Environmental Electromagnetics. DOl: 10.1109/ceem.2006.258099
[10] Nechaev Yu. B. and Peshkov 1. V. (2016) Evaluating Cramer-Rao Bound for 2D direction-linding via planar antenna arrays. Visn. NTUU KP1, Ser. Hadi-oteh. radioaparatobuduv., Iss. 67. pp. 12-17. DOl: 10.20535/RADAP.2016.67.12-17
[11] Jackson B.R.. Rajan S.. Liao B.J. and Wang S. (2015) Direction of Arrival Estimation Using Directive Antennas in Uniform Circular Arrays. IEEE transactions on Antennas and Propagation. Vol. 63. Iss. 2. pp. 736-747. DOl: 10.1109/tap.2014.2384044
[12] Mohammadi S.. Chani A. and Sedighy S.H. (2018) Direction-of-Arrival Estimation in Conformal Microstrip Patch Array Antenna. IEEE transactions on Antennas and Propagation. Vol. 66. Iss. 1. pp. 511-515. DOl: 10.1109/tap.2017.2772085
[13] Chan A. (1995) MUSIC and maximum likelihood techniques on two-dimensional DOA estimation with uniform circular array. 1EE Proceedings - Radar, Sonar and Navigation. Vol. 142. Iss. 3. pp. 105. DOl: 10.1049/ip-rsn:19951756
[14] Nechaev Yu.B.. Algazinov E.K. and Peshkov l.W. (2018) Estimation of the Cramer-Rao Bound for Radio Direction-Finding on the Azimuth and Elevation of the Cylindical Antenna Arrays. 2018 4-lst. international Conference on Telecommunications and Signal Processing (TSP). DOl: 10.1109/tsp.2018.8441419
Оцшка границ! Крамера-Рао випуклих антенних ренпток з направленный ви-промшювачами для р ад i о п е л е н г а ц i Y
Нечаев Ю. Б., Пешков I. В., Фортунова Н. А.
Вступ. Оцшка кутових координат джерел радюви-промииоваппя стаповить серйозпий достдпицький ште-рес в р1зпих сферах. Так. в бездротових телекомушка-ццших системах шформац1я про коордипати дозволяв здшепити просторове роздшеппя для зб1лынеппя шль-кост! користувач!в. котр! можуть фупкцюпувати одпо-часпо. Досл1джепо вплив коефщ!епта спрямовапо! дп окремого антенного елемепта па точшеть визпачеппя кутових координат джерел радювипромшюваппя шль-цево1. куб1чпо1 i сферичпо! аптешшх ретшток. що скла-даються з спрямовапих випромшюючих елеметтв. як! зпайшли широке застосуваппя в сучаспих бездротових комушкациших техполопях.
Теоретичш результати. Для коректпого фуп-кцюпуваппя високоточпих алгоритм!в радюпелепгацп в склад! розгляпутих ретшток здшепепо виведеппя то-чпих вираз!в. що описують амшнтудпо-фазовий розпо-д!л електромагштпого поля ретшток. т.зв. паправляюч! вектори.
Експериментальш результати. Здшспепо теоре-тичпе досл1джеппя роботи дапих аптешшх ретшток за допомогою оцшки границ! Крамера-Рао. а також комп'ютерпе моделювашш з реал!зац1ею методу з! зверх розр1зпеппям MUSIC. Визпачепо меж! змши коефццеп-та спрямовапо! дп окремого елемепта, за якого досяга-еться максимальна точшеть оцшки кутових координат. 3i зб1лынеппям коефщ!епту шдсилеппя окремих аптеп точшеть иелепгацп може зпачпо змшюватися залежпо
24
Nechaev Yu. В., Peshkov I. V., Fortunova N. A.
в!д азимутального положения сигналу ï прийнятним вибором коеф!ц1ента спрямовано!' до. Проведено оцш-ку розд1льно"1 здатноста опуклих або об'емних антенних реппток в залежноста в!д коефкцента спрямовано!' до.
Висновок. В цшому встановлено, що найкращою конф!гурац!ею антеший' рппткп е сферична. 3 шдвищен-ням шдсилення окремих антен точшсть пеленгаци може значннм чином змшюватися залежно в!д азимутального положения сигналу ï прийнятним вибором коефщ!ента спрямоваио"1 до е р!вним в!д чотирьох до шести.
Ключовг слова: радюпеленгагця; спрямоваш випро-мшювач!; зверх роздшьиа здатшсть; цифрова антенна репптка; шльцев! антенн! репптки; об'емна аитена; КНД
Evaluating Cramer-Rao Bound for Conformai Antenna Arrays with Directional Emitters for Doa-Estimation
Nechaev Yu. В., Peshkov I. V., Fortunova N. A.
Introduction. The dïrectïon-of-arrival estimation of signal sources is of serious research interest in various fields. As an example, the coordinate information in three-dimensional space can be used for spatial diversity and filtering to increase concurrent users. The influence of the directivity coefficient of a separate antenna element on the accuracy of determining the angular coordinates of radio sources of circular, cubic and spherical antenna arrays consisting of directional radiating elements that have found the widest application in modern wireless communication technologies is investigated.
Theoretical results. For the correct functioning of advanced radio direction-finding algorithms along with the antenna arrays under consideration the accurate expressions describing the amplitude-phase distribution of the
electromagnetic field of the arrays have been derived, so-called steering vectors. The Cramer-Rao lower bound for estimating errors and accuracy of direction-of-arrival estimation is discussed for a number planar waves arriving on an antenna array consisting of directional elements.
Experimental results. A theoretical study of the operation of these antenna arrays using the Cramer-Rao lower bound was carried out, as well as computer simulations with the implementation of the MUSIC superresolution method. The influence of the directivity factor of the individual antenna element on the accuracy of the direction-of-arrival estimation of the radio emission sources by using the circular (cylindrical), cubic and spherical antenna arrays consisting of the directional antenna elements was investigated. The limits of the change of the coefficient of directional action of a separate element, at which the maximum accuracy of an estimation of angular coordinates is achieved, is determined. It is shown that further increasing the directivity factor of each antenna element makes the mean square error in the determination of the coordinates of the signals increase as well. The estimation of the resolution of conformal antenna arrays is carried out depending on the directional factor of each antenna coefficient. It is found that the best configuration is spherical.
Conclusions. Thus, a comprehensive statistical analysis of radio direction finding with the azimuth and elevation for the conformal antennas depending on the directivity of the antenna elements constituting them was implemented. With an increase in the gain of individual antennas, the accuracy of direction finding can vary significantly depending on the azimuthal position of the signal and an acceptable choice of directional coefficient is four to six.
Key words: radio remote control; super-resolution; digital antenna array; circular antenna arrays; directional emitters; directivity
