CC BY
168
Visiiyk NTIJU KP1 Servia Radiolekhnika tiadioaparatobuduuannia, "2016, Iss. 67, pp. 12—17
УДК 621.396
Оценка границы Крамера-Рао для 2D радиопеленгации в плоских антенных решетках
Нечаев Ю. Б.1, Пешков И. В?
1 Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Россия 2Елецкий государственный университет имени И.А. Бунина, г. Елец, Россия
E-mail: Uvpcshkov&gmail. com
В работе рассматриваются кольцевые, дугообразные и L-образпые антенные решетки для задачи радиопеленгации со сверхразрешением стохастическим методом максимального правдоподобия и MUSIC. Вычислены границы Крамера-Рао для различных ситуаций, в т.ч. расположения сигналов по азимуту и углу места, а также отношений сигпал-шум. Получены зависимости средпеквадратического отклонения для азимутальной и угломестпой пеленгации методом максимального правдоподобия и MUSIC в различной шумовой обстановке. Ключевые слова:
Ключевые слова: радиопеленгация: граница Крамера-Рао: MUSIC: метод максимального правдоподобия
Введение
Оценка угловых координат источников радиоизлучения (ПРИ) представляет серьезный исследовательский интерес и используется главным образом для разделения целей [1]. Конфигурации используемых антенных решеток (АР), которые были исследованы, причем только в азимутальной плоскости, главным образом, касались равномерных линейных (ЛАР), равномерных прямоугольных, а также равномерных кольцевых. В задачах, требующих как азимутальной, так и угломестпой радиопеленгации были использованы планарные или плоские АР [2]. На сегодняшний день работы, посвященные сравнительному исследованию характеристик радиопеленгации со сверхразрешением. в том числе оценке границы Крамера-Рао. для различных конфигураций АР. касаются зачастую только одной или двух типов [3 13]. Поэтому получение оптимальной формы антенной решетки, позволяющей получить оценки координат источников радиоизлучения с наивысшей точностью весьма актуально.
1 Постановка задачи
На рис. показана решетка из N элементов, произвольно распределенных в плоскости ху. Рассмотрим узкополосный сигнал я^) на несущей частоте с
угловыми координатами в и < относительно осей х
<
как [14]
# (x2, У2, z2) (Xi, yi, Zi)
(Хз, Уз, Z3) '
Рис. 1. АР произвольной формы s(t) = u(t) cos(w0 + v(t)),
(1)
где и(Ъ) и ь>(Ъ) — медленно изменяющиеся функции времени. Поскольку сигнал узкополосный, то задержка Тг ВЫЗЫВавТ сдвиг фаЗЫ ^ = — т.е.
i(t - т) = s(t)= s(t)е—т<
(2)
^0
£ i = — [xí sin ¡p cos в + г/i sin р cos в + z¿ cos ¡p] (3)
где A — длина волны. И теперь, если сигналы на АЭ обозначить как x\,x2, ..., xn, то в векторной форме они будут выглядеть как:
x(t) = a(w,e,A)s(t)
cj krf
eJkr2
eJ'kr N
( )
Оценка границы Крамера-Рао для 2D радиопеленгации в плоских антенных решетках
13
а)
б)
Рис. 2. Изображение а) кольцевой, б) дугообразной и в) L-образной АР
где k = (кх, ку, kz) = (sin cos в, sin cos в, cos^) — волновое число, r^ = (хп, уп, zn)T — радиус-вектор к n-му АЭ.
Как уже было показано [15]. на точность радиопеленгации оказывает влияние межэлементное расстояние. а также форма АР. Известно, что решетки L-образной (рис. 2в) [16]. а также дугообразной формы (рис. 26) [17] могут давать лучшие характеристики, чем кольцевые (рис. 2а) для одного источника сигнала. Поэтому актуальным является вопрос о выборе наилучшей формы АР для нескольких источников сигналов. а также метода радиопеленгации. Естественным и распространенным критерием выбора геометрии АР является нижняя граница Крамера-Рао.
2 Граница Крамера-Рао для 2Б радиопеленгации
Пусть имеется вектор х(£), образующий стационарный гауссовский процесс с нулевым средним, имеющим моменты второго рода:
Е (x(í) хя (t)} = R Sij = (ASAH + a2l) S,
(5)
где N— количество АЭ, |... |— детерминант матрицы. Максимизация р(в, Б, а2) эквивалентно минимизации отрицательной логарифмической функции правдоподобия:
N
р(в, S, а2) = N log |R| + - ^ хя(ti)R-1x(t¿)
i=i
log |R| + Tr {r-1R} (8)
После некоторых алгебраических преобразований функция правдоподобия (7) может быть упрощена по S а2
S(0) = At((9)(IR -a2I)AtH(в)
а2(0)
-d
-Tr ^P
{píR}
(9)
(10)
где Л^ — псевдо инверсия матрицы А и Р^ — ортогональный проектор па нуль-пространство Лн. Оценки параметров сигнала получаются путем решения следующей оптимизационной проблемы [18]:
? = arg min Vsml (в)
а
(Н)
Е {X(í)xT(t)} = 0,
(6)
где Б — корреляционная матрица сигналов, Л — ма-
2
трица направляющих векторов, а2 — мощность шума. При этом сигналы и шум являются реализациями случайных гауссовских величии.
Функция правдоподобия отсчетов х(£ 1),..., х(£^)> которые являются независимыми и идентично распределенными, задается:
p(x(t 1 ),...,X(t N) | в, S, а2)
N
=п
-N
а-xH (í¿)R-1x(í¿)
|R|
(7)
Vsml(0) = log | A(0)S(0)A(0)" + <r(0)I| (12)
Важным параметром измерения, насколько хорошо функционирует тот или иной метод, является ковариационная матрица ошибок оценок, нижняя граница которой вычисляется согласно критерию
S
ка вектора параметров щ, т.е. Е {rf\ = щ па основе наблюдений X^, тогда нижняя граница Крамера-Рао задается:
Е {О? - Го)(г -Го)Т} >
Е
' д2 logp(XN |г) дг/дг/т
(13)
y
1
1
1
ГКР легко выводится из нормализованной отрицательной логарифмической функции правдоподобия ( ). Компактное выражение ГКР для Р параметров М сигналов представлено в [ ]:
Е{ - во) - 0О)Т}
{В-то ^ ^ [Тг{
> В^то
Тг <1 А^ Р-^Л^ЛНИ^ЛБ
г ,з = 1,...,рМ. (15)
Для случая, когда только один параметр (р = 1) ассоциирован с каждым сигналом, ГКР может быть записана:
(14)
В ят П — -^
^ и 2 N
Тг |(БЯР^Б) о (
о (БЛЯИ^ЛБ
>т}
о
Б
да(в)
дв
да(в)
в=в.
дв
в=вл
(16)
(17)
Для распространения ГКР (16) на произвольное число сигналов и их параметров (прежде всего, азимутальная и угломестная пеленгация) воспользуемся [ ]. Определим матрицы производных В в и
Б
=
д а( 6*1,^1)
д
да( ва,<ра)
'П=в1,1р1
дг
В^то —-
ь 2 N
Т
Л1
Лз
Л2" Л4
где Л1 — Л4 — Бя Р^Б
Б^Р^Бе, Л2
БЛЯ И^ЛБ
Бя Р^Б Бв РА
1
Лз
Допустим, имеется направляющий вектор произвольной антенной решетки (4), тогда частные производные вектора а(вт, ) от в и у:
да(вт, ут)
д
де ^
и7
П = @т,<Рт
д г
Г1 = вт,1р„
д г
П = @т,<Рт
3 Исследование плоских антенных решеток
Выполним сравнительную статистическую оценку методов максимального правдоподобия (8),
\1USIC [20] и сравним их с границей Камера-Рао (19). В качестве антенных решеток, на которых будут испытываться методы, будут кольцевая, дугообразная и Г-образная АР. Все АР состоят из 24 АЭ, межэлементное расстояние — 0.5 Л, угол между двумя гранями Г-решетки равен 45°, радиус дугообразной АР в сравнении с кольцевой увеличен в два раза. Количество отсчетов усреднения корреляционной матрицы 100, число итераций повторения 500. Для задания сигналов на АР воспользуемся выражением ( ), параметры которого Б и а2 определяют отношение сигнал-шум (ОСШ). Начальные значения для минимизации функции (12), проводимой по методу Ныотона-Гаусса [21], задавались как координаты, полученные методом \1USIC. Приводится оценка среднеквадратического отклонения (СКО) оценки пеленга по азимуту и углу места. Примем ситуацию с одним источником излучения, азимутальная коор-— 25°
поочередно у — 5% 45° и 85°. Примем следующие обозначения: "о" — кольцевая АР, — дугообразная АР, Г-образная АР.
Из рис. 3-5 видно, что лучшая антенная это дугообразная антенная решетка. Следующая АР по точности Г-образная антенная решетка. Худшая из рассматриваемых по точности определения координат по азимуту и углу места кольцевая АР.
Г1=вл,1рл
(18)
Таким образом, ковариационную матрицу ошибок оценок для 2Б радиопеленгации можно записать:
(19)
а)
б)
(20)
Рис. 3. Метод максимального правдоподобия а) у — 45°, б) 5° и в) у — 85° одного сигнала
При этом разница СКО становится более выражен-0, 5°
координату относительно оси г у — 85°. Если исто-
чник расположен в середине угла места, т.е. у
45°
2
1
1
2
о
Оценка границы Крамера-Рао для "21) радиопеленгации в плоских антенных решетках
15
то разница между рассматриваемыми геометриями АР незначительна.
а)
б)
Рис. 4. Метод MUSIC а) р = 45°, б) 5° и в) р = 85° одного сигнала
а)
б)
Рис. 5. Ганица Крамера-Рао а) р = 45° <р = 85° одного сигнала
5°
азимуту и углу места является дугообразная АР. Это видно как из результатов статистического эксперимента двух типов методов радиопеленгации со сверхразрешением, а также, что наиболее важно, из ГКР Причем повышение точности для нескольких источников сигналов носит весьма значительные величины, 3° и выше для рассматриваемых методов. Из рис. 76 видно, что для \IUSIC отсутствует СКО для ОСШ 0 дБ, это связано с появлениями ложных пиков. Причем Ь- и дуго- образные АР позволили получить оценки.
а)
б)
<
45°, б) 10° и в) р = 85° двух сигналов
а)
б)
Рассмотрим ситуацию с несколькими источниками сигналов. Первый сигнал имеет азимут в\ = 25°, второй — $2 = 35°, угломестные координаты изменяются < = 10° 45° 85° Из рис. 6-8 видно, что лучшей антенной решеткой для получения пространственных координат по
Рис. 7. Метод MUSIC а) р = 45°, б) 10° двух сигналов
V
85°
и в
и в
а)
б)
Рис. 8. Ганица Крамера-Рао а) p = 45° p = 85° двух сигналов
б) 10°
Выводы
В работе проведена адаптация выражения границы Крамера-Рао для задач 2Б радиопеленгации плоских АР. Проведено исследования методов радиопеленгации со сверхразрешением \rUSIC, максимального правдоподобия в составе кольцевых, дугообразных н Ь-образных антенных решеток в различной шумовой обстановке. Установлено, что для получения более точных оценок двумерных угловых координат ПРИ. в том числе для наихудших случаев расположения источников, т.е. при удалении от середины угла склонения и в случаях появления ложных пиков. необходимо использовать метод максимального правдоподобия в составе дугообразных АР поскольку ее габариты в 2 раза больше кольцевой при том же числе элементов. Превосходство метода правдоподобия по точности связано с реализацией поиска наилучшего соответствия согласно критерию наименьшего квадратичного отклонения, как видно из (7).
References
[1] Tuncer T. E. and Friodlandor B. ('2009) Classical and Modem Direction-of-Arrival Estimation, Academic Press, 456 p.
[2] Godara L.C. (1997) Applications of antenna arrays to mobile communications. Proceedings of the IEEE, Vol. 85, Iss. 8, pp. 1195-1245. DOl: 10.1109/5.622504
[3] Nechaev Yu., Borisov D. and Peshkov 1. (2011) Beamforming algorithm for circular antenna array immune to multipath propagation and non-stationary interference sources, tiadi-oelectronics and Communications Systems, Vol. 54. No. 11. pp. 604-612. DOl: 10.3103/S0735272711110045
[4] Nechaev Yu.B., Peshkov I.V., Aalmuttar Atheer Y.O. and A1 Khafaji Sarmad K.D. (2016) Accuracy evaluation of superresolution DOA estimation methods for ring and concentric antenna arrays. Teoriya i tekhnika radiosvyazi, Vol. 1. Iss. 2. pp. 79-86 (in Russian).
[5] Mahmoud K. [etc.] (2007) A comparison between circular and hexagonal array geometries for smart antenna systems using particle swarm optimization. Progress in Electromagnetics Research, Vol.72, p. 75 90. doi:10.2528/PlER07030904
[6] Gozasht F., Dadashzadeh G. R. and Nikmehr S. (2007) A comprehensive performance study of circular and hexagonal array geometries in the 1ms algorithm for smart antenna applications. Progress in Electromagnetics Research, Vol. 68. pp. 281-296. doi:10.2528/PlER06091002
[7] Dessouky M., Sharshar H. and Albagory Y. (2006) Efficient sidelobe reduction technique lor small-sized concentric circular arrays. Progress in Electromagnetics Research, Vol.65, pp. 187-200. doi:10.2528/PlER06092503
[8] Serdar O.A. (2013) High-Resolution Direction-ol-Arrival Estimation via Ooncentric Circular Arrays. 1SRN Signal Processing, Vol. 2013, Article ID 859590, 8 p., DOl: 10.1155/2013/859590
[9] loannides P. and Balanis C. (2005) Uniform circular and rectangular arrays for adaptive beamlorming applications. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, Vol.4, No 1, pp.351 354. DOl: 10.1109/LAWP.2005.857039
[101 Krntly L. C„ Cerqueira Jr. A. S. and Tavora A. A. S. (2002) A hexagonal adaptive antenna array concept for wireless communication applications. The 13th IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio, Vol. 1, pp. 247 249. DOl: 10.1109/P1MRC.2002.1046698
[11] Espandar M. and Bakhshi H.R. (2009) DOA estimation for rectangular antenna array in multipath fading and Ml-MO channels. 2009 International Conference on Future Computer and Communication, Kuala Lumpar, pp.122-126. DOl: 10.1109/1CFCC .2009.86.
[12] Meenakshi A. V., Punitham V. and Gowri T. (2011) DOA Estimation for Rectangular Linear Array Antenna in Frequency Non Selective Slow Fading M1MO Channels. Communications in Computer and Information Science, Vol. 203, pp. 12-24. DOl: 10.1007/978-3-642-24037-9_2
[13] Agatonovi M., Stankovic Z., Milovanovic 1., Doncov N., Sit L., Zwick T. and Milovanovic B. (2013) Efficient neural network approach for 2d doa estimation based on antenna array measurements. Progress In Electromagnetics Research, Vol." 137, pp.741 758. DOl: 10.2528/P1ER13012114
[14] Harry L. Van Trees (2002) Optimum Array Processing: Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory, .John Wiley & Sons, 1470 p.
[15] Nechaev Y. and Peshkov 1. (2016) Building circular, octagonal, hexagonal and rectangular antenna arrays for direction-of-arrival via superresolutional method MUSIC. Radiotekhnika - Radioengineering, No. 6, pp. 137-142 (in Russian).
[16] Hua Y„ Sarkar T. K. and Weiner D. D. (1991) An L-shaped array for estimating 2-D directions of wave arrival. IEEE Trans. Antennas Propag., Vol. 39, No 2, pp. 143 146, DOl: 10.1109/8.68174
[17] Gazzah H. and Abed-Meraim K. (2009) Optimum Ambiguity-Free Directional and Omnidirectional Planar Antenna Arrays for DOA Estimation. IEEE 'transactions on signal" processing, Vol. 57, No. 10, pp. 3942-3953. DOl: 10.1109/TSP.2009.2023943
и в
Evaluating Cramor-Rao Bound for '2D direction-finding via planar antenna arrays
17
[18] Stoica P. and Nehorai A. (1990) Performance study of conditional and unconditional direction-of-arrival estimation. IEEE Transactions on Acoustics. Speech, and Signal Processing. Vol. 38. No. 10. pp. 1783-1795. DOl: 10.1109/29.60109
[19] Chan A.Y..I. and Litva .1. (1995) MUSIC and maximum likelihood techniques on two-dimensional DOA estimation with uniform circular array. 1EE Proceedings - Radar, Sonar and Navigation.. Vol. 142*. No 3. pp. 105-114. DOl: 10.1049/ip-rsn:19951756.
[20] Schmidt R. (1986) Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation. IEEE 'lYansactions on Antennas and Propagation. Vol. 34. no. 3. pp. 276-280. DOl: 10.1109/TAP.1986.1143830
[21] Nechaev Y.. Klimov A. and Peshkov 1. (2016) Investigation of iterative stochastic maximum likelihood DOA estimation in planar antenna arrays. Radiotekhnika - Radioengineering (in Russian. In publish)
Ощнка меж! Крамера-Рао для 2D радю-пеленгацй" в плоских антенних ренптках
Нечаев Ю. В., Пешков I. В.
В робот! розглядаються кгльцевь дугопод1бш i L-под!бш аптеши репптки для завдаппя радюпелепгацп з падрозр1зпеппям стохастичпим методом максимально! правдопод1бпост i MUSIC. Обчнслеш меж! Крамера-Рао для р!зпих ситуацш. в т.ч. розташувашш снгпал1в по азимуту i куту м!сця. а також в1дпошеппя енгпал-шум. Отрпмапо залежпост! середпьоквадратпчпого в1дхнлеппя
для азимутального i кутом1спого пелепгуваш1я методом максимально! правдопод1бпост1 в pi3iiix шумовпх обстави-пах.
Ключоег слова: радюпелепгац1я: межа Крамера-Рао: MUSIC: метод максимально! правдопод1бпост1
Evaluating Cramer-Rao Bound for 2D direction-finding via planar antenna arrays
Nechaev, Yu. В., Peshkov, I. V.
Evaluation of angular coordinates of radio sources is a major research interest and is mainly used for the separation of objectives. The configurations used by antenna arrays, which have been studied mainly concerned uniform linear, uniform rectangular, circular and uniform. The main advantage for the LAR-finding tasks is narrow main lobe of the directivity pattern, but scanning is only possible in the azimuth plane. In problems that, require bot.li azimuth and elevation direction finding planar AR was used. To date, the work devoted to a comparative study with superresolution direction finding performance, including estimates of the boundary of the Cramer-Rao. different configurations for the AP. touch often only one or two types of. Therefore, to obtain the optimal shape of the antenna array, which allows to obtain estimates of target coordinates with the highest accuracy is very important.
Key words: direction-finding: Cramer-Rao bound: MUSIC: maximum likelihood method
