CC BY
35
Оценка граничной частоты низкочастотного эквивалента телефонного канала связи при случайном наблюдении
Ключевые слова: оптимальный когерентный модем, телефонный канал связи, низкочастотный эквивалент, граничная частота, оптимальная оценка.
Рассматриваются вопросы, связанные с анализом оптимального когерентного модема в системе цифровой телефонии. Такого вида модемы относят к классу интеллектуальных, так как оптимизация их параметров осуществляется как на передаче (в модуляторе), так и на приеме (в демодуляторе). При организации двухсторонней связи между удаленными модемами процедура адаптации к каналу связи начинается с того, что передающий модем посылает в канал специальный тестовый сигнал. Приемник удаленного модема по этому сигналу оценивает и в соответствии с протоколом обратной связи передает удаленному передатчику требуемые ему параметры канала связи и другие данные о желаемой его конфигурации. Аналогичная процедура выполняется и в противоположном направлении. Основная сложность при такой оптимизации передаваемого и принимаемого модемов состоит в том, что канал связи, как правило, нестационарен, а принимаемые сигналы наблюдаются в шумах. Полагая, что передаточная функция низкочастотного эквивалента телефонного канала связи задана с точностью до неизвестного параметра, а именно, его граничной частоты, рассматривается задача ее нелинейной рекуррентной оценки в условиях случайных наблюдений. Оптимальная оценка граничной частоты нестационарного канала связи находится путем минимизации эмпирического риска в форме функционала Тихонова. Приводятся расчетные соотношения и графики зависимости погрешности оценки от отношения сигнал/шум и объема выборки случайных наблюдений.
Санников В.Г., Маслов С.Н., Корольков АА
Введение
Известно [I], что в системах цифровой телефонии (СЦТ) на качество приема цифровых данных влияют два фактора: межсимвольная интерференция (МСИ) и шум наблюдения. При этом с увеличением скорости цифровых данных доминирующее влияние на снижение качества связи оказывает МСИ. В современных СЦТ для нивелирования МСИ отмечаются два направления. К первому направлению относятся методы согласования с телефонным каналом связи (ТЛФ КС) лишь приёмника путем введения эквалайзеров, вносящих значительную задержку в принимаемые решения, и реализации приёма в целом с применением различных решающих устройств, основанных на использовании того или иного варианта алгоритма Витер-би. Следует отметить, что помехоустойчивость этих устройств оценивается лишь приближенно, а обработка принимаемых сигналов сопряжена с очень высокой сложностью реализации. Второе направление связано с реализацией интеллектуальных модемов [2], в которых оптимизируется не только приемник, но и передатчик СЦТ.
Излагаемый материал относится ко второму направлению и основан на работах [3,4]. Здесь на основе информации о состоянии ТЛФ КС решается задача формирования на передаче и приеме оптимальных финитных во времени сигналов (ОФС), принципиально не вызывающих МСИ на выходе ТЛФ КС, и использовании простого метода поэлементного приема ОФС на согласованный фильтр. Методы этого направления не приводят к задержке в принимаемые решения, относительно просты в реализации и позволяют точно оценить помехоустойчивость СЦТ [4].
Реализация оптимальных модемов первого и второго направлений в условиях нестационарности шумового канала связи тесно связана с проблемой оценки его характеристик (импульсной реакции или передаточной
функции). В большей степени это требуется для синтеза ОФС в интеллектуальных модемах [2, 3,4].
Предполагая, чго импульсная реакция низкочастотного эквивалента телефонного канала связи (НЧЭ ТЛФ КС) задана с точностью до неизвестной граничной частоты, в настоящем исследовании реализуется метод её рекуррентной оценки при наличии шума наблюдения.
Математическая модель НЧЭ ТЛФ КС. Отклик линейного НЧЭ ТЛФ КС равен
у(П= |<7( і-,Пї('-г)</г+ £(/)•
(1)
где дг(/) - входной сигнал канала, £(/) - аддитивная помеха, Р- граничная частота АЧХ канала связи, q(t, F) - его импульсная реакция, представляемая в виде [3]
с/(г,Р) = F'£akeFst‘[cos(Fcla)+tg(3<pk)sm(Fch)l Г>0,
(2)
где ^ = 2щ1, .чк = віїщ , ск, = 2лг(/, ск = ,
о* = -0.25)/ П=(2к-1)л/16.
т=\\т*к
Мри цифровой обработке наблюдаемого на приеме сигнала уЦ) соотношение (1) представляется в виде дискретной свертки
У„ <3а>
/-1
где у., ^/(/г),хк_, - последовательности, рассматриваемые в дискретные моменты времени 1к =1&,{к1 =(к-Г)А/,
где АГ - интервал дискретизации.
Выше отмечалось, что для синтеза ОФС в модуляторе интеллектуального модема и его приема в демодуляторе на согласованный фильтр требуется знать импульсную реакцию с/(т,F). Полагая, что параметр Р импульсной реакции (1) медленно изменяется во времени, решим задачу получения её оптимальной оценки Р по результа-
там наблюдения за ук,к = 0,1,2... Эта задача относится к классу некорректно поставленных задач по Адамару. Так как (7^) нелинейная функция от Р, то мы имеем дело
с нелинейной, некорректной по Тихонову задачей [5]. Различные подходы к решению такого вида задач рассматриваются в работах [5, 6].
Рассмотрим рекуррентный алгоритм решения поставленной задачи с использованием результатов работы [6]. Для этого обработку последовательности ук, к =0,1,2..., будем осуществлять блоками выборок размера т . Тогда, для любого фиксированного момента !к (в дальнейшем
индекс к опускаем), на основе (За) приходим к следующему его представлению
~У\
У2 =
У". к
ч~ 6
к яЛП к А-.
(36)
Применяя векторно-матричные обозначения, это соотношение приводится к виду
у = ХЧ(Г) + ^, (Зв)
где у — вектор-столбец результатов наблюдений, X — тестовая матрица, ц^) - вектор-столбец импульсной реакции канала с неизвестным параметром /•*, § — вектор-столбец шумов наблюдений с корреляционной матрицей Я .
Алгоритм рекуррентной оценки граничной частоты . Итак, на основе обработки у требуется рекуррентно оценить параметр р., у = 1,2,...,/. Предположим, что в окрестности оценки известна некоторая опорная оценка [7], а для получения оптимальной
оценки воспользуемся минимизацией эмпирического риска в форме функционала Тихонова [6]
...%)=
= Е Ь; - Х ,Ч(^)]/ К#[Уу “ Х,Ч(^)] + (^ -/>)2/О>0)‘
м
(4)
где У () - дисперсия погрешности оценивания величины р'. Тогда искомая оценка ищется так
^*=аг|тшМ,(/-,Г, Р,)- (5)
..г,
Для определения оптимальной оценки р" необходимо приравнять нулю частную производную от Л//(/г1,/г2,...,/*)) в (3) по Рг В результате приходим к следующему выражению
—мло)=—У \ ег(г )+
я/г ' ' Я/г £-Л ' >' « К >'
ак
8рі%
о
70
(6)
= -2[х(я’(^ )]7 К:-'е(^ )+2(/Г| /,|о) = 0.
До
где е(^)=[у,-Х,я(^)] и яХ/*)) = Зq(/^)/5/:j нелинейно зависят от .
Для получения оценки р в замкнутой форме разложим вектор-функцию (|(/^) в опорной точке р'0 в ряд
Тейлора. Ограничившись членами нулевого и первого порядка, имеем
Ч^яЮ + ЧЧО^-^)- (7)
Если оценка р' с течением времени изменяется незначительно, то в качестве опорной можно выбрать оценку, вычисленную на предыдущем интервале, т.е. р'0 = /•’*, [7]. Тогда, подставляя (6) в (5), после несложных преобразований алгоритм вычисления оценки р равен:
К = Р^+ с(г|у,-х(ч<01 (8)
с( = г, = Х.чЧ^:,), а/=(Л/;,|+г(ГЛ;У)-,1
(9)
0, = Л,_1-с,гж,Л|_1=(1-с,гж,)Лм. (10)
Оценка обратной матрицы шума наблюдения Я;'.
Считая, что первая половина передаваемого тестового сигнала равна нулю, отклик НЧЭ ТЛФ КС содержит только шумовую составляющую, т.е. у(1) = £(/). Полагаем, что шум наблюдения д(1) представляет собой стационарный коррелированный случайный процесс. Тогда для оценки обратной матрицы шума наблюдения К '
можно использовать его разностное представление в системе с линейным предсказанием [7,8], характеризуемой соотношениями:
/ = 1,2,... (П)
Здесь £/,£р(- соответственно, отсчеты исходного и предсказанного значений шума, е, - отсчеты сигнала погрешности предсказания, а’ = (о,,о,,...,от)(.— вектор-строка коэффициентов линейного предсказания (КЛП), т- число КЛП,
Полагаем, что шум описывается моделью авторегрессии с неизвестными КЛП. Тогда минимизируя взвешенную среднеквадратичную погрешность вида
=X у/~Ч2=X)* * (12)
/=0 1=0
рекуррентные оценки КЛП определяются так [8]
а, = а,ч + к,(£ -%]_ к, = (13)
к;’
(14)
Здесь начальные условия: а„=0, И1,, = Ь • Е,„, где
0 - нулевой вектор, Е - единичная матрица размера
/их/я, Ь — большое положительное число (например, Ь = 200).
Эксперимент. Результаты проверки работоспособности метода рекуррентной оценки граничной частоты НЧЭ ТЛФ КС получены с использованием системы МАТЬАВ и иллюстрируются на рис. 1. В качестве тестового сигнала на входе НЧЭ ТЛФ КС использовался сигнал вида единичного скачка График 1 - верхний слева). Отклик канала определялся по (За) с учетом импульсной реакции (2).
Таблица 1
Зависимости SF и D,F отОСШ в НЧЭТЛФ КС
OCL1I дБ -15 -10 -5 0 5 10 20 30
sF % 9,490 5,994 1,974 0,981 0,529 0,026 0,013 0,006
^AF rV 2,3101 O’1 1,226-10'1 4,091 10- 1,438- I0J 5,217-10''' 1,657-1 O’* 1,585-10"1 1,578-10°
При фиксированном интервале наблюдения, равном 15 мс, относительная погрешность оценки граничной частоты =\ Р, — Гт \/ Рт, выраженная в процентах, и дисперсия экстраполяции оценки £))/г зависят от отношения сигнал/шум (ОСШ) в канале связи. Результаты этих зависимостей приведены в табл. 1.
Заключение
В работе [6] доказано, что рекуррентные оценки параметров, получаемые на основе минимизации эмпирического риска в форме функционала Тихонова (4) являются асимптотически оптимальными по критерию минимума среднеквадратической погрешности, т.е. асимптотически несмещенными и эффективными. Результаты проведенного исследования на примере оценки граничной частоты НЧЭ ТЛФ КС полностью подтверждают этот вывод, что иллюстрируется экспериментальными данными приведенными в табл. 1.
Литература
1. Беллами Дж. Цифровая телефония: Пер с англ./ Под ред. Л.Н. Берлина, Ю.Н. Чернышова. - М.: Эко-Трендз, 2004. - 640 с.
2. Лагутенко О.И. Современные модемы. - М.: Эко-Трендз. 2002. - 343 с.
3. Санников В.Г. Синтез финитных сигналов Найквиста, согласованных с телефонным каналом связи // Электросвязь, 2012.№5. -С. 9-12.
4. Санников В.Г. Потенциальная помехоустойчивость системы передачи дискретных сообщений по телефонному каналу связи // Материалы международного научно-технического семинара "СИНХРОИНФО 2012”: «Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов в инфокоммуникациях», 25-27 июня 2012 г. - Йошкар-Ола: ООО «Брис-М», 2012. - С. 25-26.
5. Тихонов А НГончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. - М.: Наука, 1983,- 198 с.
6. Шлама А.М. О решении операторных уравнений при неполной информации//Журнал вычислительной математики и математической физики, 1966. Т.36. №3. - С. 15-27.
7. Орищенко В.И., Санников В.Г.. Свириденко В.А. Сжатие данных в системах сбора и передачи информации / Под ред. В.А. Свириденко. - М.: Радио и связь, 1985. - 184 с.
8. Сейдж Э„ Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Пер. с англ. под ред. проф. Б.Р. Левина. - М.: «Связь». 1976. (СТС, вып. 6). -496 с.
Estimation of a frequency limit of a low-frequency equivalent connection telephone channel at casual supervision
Sannikov V. G, Maslov S.N., Korolkov AA
Abstract
In the report the problems coupled to the analysis of the optimum coherent modem in system of a digital telephony are considered. Such aspect modems refer to the class-room intellectual as optimisation of their parametres is carried out as on transmission (in the modulator), and on reception (in the demodulator). At the organisation of bilateral connection between remote modems procedure of adaptation to a communication channel begins that the transmitting modem sends a special test signal to the channel. The receiver of the remote modem on this signal sizes up and according to the return cou-pling report transmits the remote sender parametres of a communication channel demanded to it and other data about its desirable configuration. Analogous procedure is fulfilled and in an opposite direction. The fundamental
complexity by such optimisation of transmitted and received modems consists that the communication channel, as a rule, is nonstationary, and received signals are
watched in noises. In the given work, supposing that the transfer function of a low-frequency equivalent of a tele-phone channel of connection is set to within unknown parametre, namely, its frequency limit, the problem of its nonlinear recurrent estimation in the conditions of casual supervisions is considered. The optimum estimation of a frequency limit of a nonstationary communication channel is by minimisation of empirical risk in the form of Tikhonov's functional. Rated parities and graphs of dependence of a lapse of an esti-mation from a signal/noise ratio and a sample size of casual supervisions are resulted.
Keywords: the оptimum coherent modem, a connection telephone channel, a low-frequency equivalent, a frequency limit, an optimum estimation.
