CC BY
7
14. Fedorov Yu. I. Annikov A.G. On one method mathematical model of software reliability. Scientific and of a priori estimates of the parameters of an exponential Technical Volga region Bulletin. 2021; 10: 133-136.
Юрий Иванович Фёдоров, кандидат физико-математических наук, доцент, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-3025-8670
Yuri I. Fedorov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-3025-8670
Статья поступила в редакцию 11.08.2022; одобрена после рецензирования 30.08.2022; принята к публикации 05.09.2022.
The article was submitted 11.08.2022; approved after reviewing 30.08.2022; accepted for publication 05.09.2022. -♦-
Научная статья УДК 631.4
Оценка динамики сорбции паров воды поверхностью почвы
Юрий Иванович Фёдоров, Виктория Дмитриевна Павлидис
Оренбургский государственный аграрный университет, Оренбург, Россия
Аннотация. В работе рассмотрена математическая модель кинетики адсорбции паров воды поверхностью почвы, предложенная М.И. Гризмером. Обсуждается проблема количественной оценки динамики основных величин, характеризующих процесс адсорбции паров воды (текущей объёмной влажности почвы, перепада и относительного перепада объёмной влажности), выведены основные аналитические соотношения и оценочные неравенства для этих величин, а также формулы их вычисления в любой момент времени. Установлено, что процесс адсорбции паров воды почвенной поверхностью, описываемый рассмотренной математической моделью, в любой момент времени неравновесный. Процесс сорбции паров приходит в состояние равновесия лишь в пределе при стремлении времени к бесконечности. Текущая объёмная влажность почвы в течение всего процесса строго возрастает (от начального значения), стремясь к предельному значению - равновесной влажности. Найденные оценки могут способствовать выявлению закономерностей динамики сорбции паров почвенного воздуха, прогнозированию состояния и оптимизации его состава, сбалансированности воздуха и влаги в почве.
Ключевые слова: адсорбция паров воды почвами, кинетическая модель.
Для цитирования: Фёдоров Ю.И., Павлидис В.Д. Оценка динамики сорбции паров воды поверхностью почвы // Известия Оренбургского государственного аграрного университета. 2022. № 5 (97). С. 19 - 23.
Original article
Assessment of the dynamics of water vapor sorption by the soil surface
Yuri I. Fedorov, Victoria D. Pavlidis
Orenburg State Agrarian University, Orenburg, Russia
Abstract. The paper considers a mathematical model of the kinetics of water vapor adsorption by the soil surface, proposed by M.I. Grizmer. The problem of quantitative assessment of the dynamics of the main quantities characterizing the process of water vapor adsorption (current volumetric soil moisture, differential and relative differential volumetric moisture content) is discussed, the main analytical relationships and estimated inequalities for these quantities are derived, as well as formulas for their calculation at any time. It has been established that the process of water vapor adsorption by the soil surface, described by the considered mathematical model, is nonequilibrium at any time. The process of vapor sorption comes to a state of equilibrium only in the limit as time tends to infinity. The current volumetric moisture content of the soil during the entire process strictly increases (from the initial value), tending to the limiting value - the equilibrium moisture content. The found estimates can help reveal the regularities in the dynamics of soil air vapor sorption, predict the state and optimize its composition, the balance of air and moisture in the soil.
Keywords: adsorption of water vapor by soils, kinetic model.
For citation: Fedorov Yu.I., Pavlidis V.D. Assessment of the dynamics of water vapor sorption by the soil surface. Izvestia Orenburg State Agrarian University. 2022; 97(5): 19-23. (In Russ.).
В современном агропочвоведении и агроэкологии одной из самых актуальных является тема количественного описания газовой фазы почв, её динамики. Причина этого заключается в необходимости эффективного решения ряда
научно-производственных проблем и ответов на глобальные вызовы: агрофизической и экологической оценки плодородия почвы, сохранения её физического плодородия, совершенствования математических методов оценки параметров
почвенного воздуха, почвы, растений для дистанционного контроля и управления этими параметрами с помощью цифровых технологий в АПК и исследования экологической газовой функции почвы для атмосферы планеты [1 - 6].
Состояние почвенного воздуха, важной составляющей которого являются пары, определяет физическое плодородие почв и продуктивность растительных культур. Содержание воздуха и влаги в почве должно быть оптимальным, их недостаток в почве угнетает рост агрокультур и микроорганизмов, подавляет активность двух основных экологических функций трёхфазных почвенных систем - фотосинтеза и разложения органических веществ [1 - 3, 7 - 9].
Значимость исследований процессов межфазовых взаимодействий, поглощения и испарения газов и паров поверхностью почвы особенно возросли в связи с глобальными экологическими проблемами современности - парниковым эффектом, загрязнением окружающей среды, быстрым изменением климата планеты и с осознанием главной экологической роли газовой функции почвы - регулирования газового режима атмосферы [1, 2]. Почва наряду с растительностью и водными ресурсами планеты является важнейшим регулятором состояния атмосферы [1 - 6, 10]. Исследования в этой области почвоведения и агроэкологии могут быть полезными при оценке физического плодородия почв и продуктивности растительных культур при экологической оценке влияния почвенного воздуха на рост и продуктивность растений и микроорганизмов [2]; при совершенствовании математических методов оценки параметров почвенного воздуха дистанционно с помощью цифровых технологий. Несмотря на актуальность проблемы межфазных взаимодействий в физике газовой фазы почв и серьёзные достижения, исследования в этой области почвоведения и агроэкологии далеки до своего завершения [1 - 6, 11 - 16].
Материал и методы. Работа посвящена одной из актуальных проблем межфазных взаимодействий газообразной и твёрдой фаз почвенной системы - адсорбции паров воды почвами. Найдены оценки динамики одной из основных величин, характеризующих процесс адсорбции паров воды на поверхности почвы - объёмной влажности почвы. Для описания кинетики сорбции паров воды и оценки динамики этого процесса использовалась математическая модель, которую разработал Mark E. Grismer [12].
Газовая фаза почв состоит из газов и паров. Газы в обычных природных условиях находятся только в однофазном состоянии. Пары могут одновременно находиться и в газообразном, и в жидком (иногда и твёрдом) состояниях. Поэтому между газами и парами есть как сходство, так и существенные различия. При взаимодействии
газов и паров с твёрдой поверхностью почвы происходит явление поглощения (адсорбции) и конденсации газообразных веществ на почвенной поверхности. На пористой поверхности почвы наблюдается ещё и конденсация в капиллярах почвы. Адсорбирующие газы и пары не конденсируются на поверхности почвы при достаточно малых концентрациях, недостаточных для возникновения конденсации. Конденсируются только пары - вещества, адсорбирующие при температурах ниже критической, состояние равновесия которых с жидкой фазой наступает в естественных термодинамических условиях [1, 3, 11].
В соответствии с двумя рассмотренными явлениями, сопровождающими процесс взаимодействия газов и паров с твёрдой поверхностью почвы, среди актуальных исследований физики сорбции газов почвами выделяют два следующих направления: изучение поглощения газов сухими почвами и сорбция паров воды на твёрдой почвенной поверхности, поскольку вода является одним из самых активных естественных адсор-батов. В каждом из этих направлений, в свою очередь, рассматриваются два состояния системы взаимодействующих газов и паров с поверхностью почвы. С одной стороны, исследуются равновесные состояния системы (равновесные модели), в которых со временем между прямыми процессами адсорбции газов и паров почвой и обратными процессами десорбции и испарения устанавливается термодинамическое равновесие. С другой стороны, изучается кинетика сорбции газов и паров на твёрдой поверхности (кинетические модели), когда параметры сорбции меняются быстрее, чем достигается термодинамическое равновесие в системе [1, 3, 11].
В области исследований адсорбции газов и паров известно много математических моделей, представленных как теоретическими, так и эмпирическими, экспериментальными уравнениями: уравнения Гиббса, линейный закон Генри, теория мономолекулярной адсорбции Ленгмюра, теория полимолекулярной адсорбции БЭТ (обобщение классической теории Ленгмюра, БЭТ - аббревиатура из начальных букв имен авторов Брунаура, Эммета, Теллера), Фаррэра, Гаркинса - Юра, Дубинина, Финка и Джексона и др. [1, 3, 11, 14]. Выбор той или иной модели исследования сорбции газов и паров определяется видом ад-сорбата, свойствами почв (сорбента) и рядом других факторов.
Важнейшим параметром при выборе модели сорбции паров является относительное давление р /р0, где р (Па) - давление адсорбата в газовой фазе, ро (Па) - давление насыщенных паров жидкости. Насыщенным является пар, находящийся в равновесии с жидкостью. Параметры насыщенного пара (давление, концентрация, энергия) принято считать стандартными и использовать
как нормирующие величины при оценке динамики процесса адсорбции. Параметр ро зависит от вида жидкости и температуры и определяется экспериментально [1, 11, 14].
При 0 < р < ро вследствие действия поверхностных сил на почве начинается конденсация пара. Поэтому в моделях сорбции паров почвами относительное давление удовлетворяет неравенству 0 < р /ро < 1. Многие из указанных ранее моделей сорбции паров твёрдой поверхностью пригодны для описания процессов сорбции лишь в отдельных частях интервала 0 < р /ро < 1 и не пригодны в целом для всего промежутка. Такое разделение моделей в зависимости от промежутка изменения р /ро обусловлено, во-первых, физическими свойствами почв: в интервале о < р / ро < о,3...о,4 у многих почв протекает адсорбция первого мономолекулярного слоя воды; при о,4 < р /ро < о,6...о,8 появляется сорбирующая плёнка воды; в промежутке р / ро > о,6...о,8 начинается капиллярная конденсация [1, 3, 11, 14, 17]. Во-вторых, описание процесса адсорбции паров сразу в большом диапазоне изменения относительных давлений р /ро затрудняют отсутствие фундаментальной теоретической модели капиллярной конденсации и гистерезисные явления [1]. В этом случае часто используют экспериментальные модели и эмпирические уравнения изотерм сорбции пара.
Приведённое нами краткое описание физического механизма адсорбции газов и паров, истории вопроса и достижений в этой области показывают, что одним из основных методов исследования явления адсорбции газов и паров является метод математического моделирования. Этот метод применён в данной работе: изучается математическая модель кинетики адсорбции паров воды на твёрдой поверхности почвы, представленная нелинейным дифференциальным уравнением. Кинетическая модель предложена профессором Калифорнийского университета в Дэвисе (департамент земельных, воздушных и водных ресурсов) Марком И. Гризмером [12], который составил эту модель по аналогии с демографической динамикой как инструмент для оценки и истолкования экспериментальных кривых адсорбции паров на поверхности различных почв. Для обозначения величин и параметров модели мы использовали не оригинальные обозначения Гризмера, а адаптированные к российской литературе [1].
Пусть - текущая объёмная влажность почвы (количество адсорбированных паров воды, нормированное массой твёрдой фазы, степень заполнения пор водой), Wр - равновесная влажность, k - параметр скорости адсорбции, Wо - постоянная начальная влажность, t - время. Кинетическая модель адсорбции паров почвенной поверхностью [1, 12], с помощью которой мы
произвели априорные оценки динамики объёмной влажности почвы w(t), формулируется следующим образом: найти непрерывное решение w(t) задачи Коши для дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
w'(t) = Ы-w), w(t0) = w0. (1)
Решим задачу Коши (1). Уравнение (1) запишем в стандартном виде для уравнения Бернулли (каковым оно и является):
w'(t) - kwpw = -kw .
(2)
Заменой неизвестной функции w = г-1 уравнение (2) приводим к равносильному линейному уравнению г ' + kwp г = k; интегрируем это уравнение и с помощью обратной замены г = w-1 возвращаемся к w(t). В результате найдём общее решение уравнения (1) или (2):
w„
w = -
1 + wpC exp(-kwpt)
(3)
Начальные данные (1) позволяют из формулы (3) найти решение задачи Коши (1), являющейся математической моделью процесса адсорбции паров воды:
w
W = —,-Ч-. (4)
1 + (^р - Wо)/Wо ) exp(-kwpt)
В экспоненциальных моделях удобнее изучать не сами величины, а их приращения, в данном вопросе - приращение (перепад) текущей объёмной влажности почвы Дw(t) = w(t) - Wо. Представление Дw(t) выводим из (4):
Aw(t) = w(t) - w0 =
( Wp - W0 )(1 - exP(-kwpO ) 1 + ((Wp - wo)/wo)exp(-kwpt)
(5)
Затем из (5) определяем относительное приращение (относительный перепад) объёмной влажности к моменту времени t - долю, которую составляет перепад текущей объёмной влажности Дw(t) = w(t) - w0 от перепада предельной равновесной влажности Wр - Wо:
А^ _ (1 - ехр(-Ь'рО)
(Wp - Wo ) 1 + ((Wp - wo)/Wo )exp(-kWpt)
. (6)
Помимо метода математического моделирования в работе использован предложенный нами ранее математический метод для нахождения априорных оценок параметров экспоненциальных и близких к ним математических моделей разной физической природы [18, 19]. В данной статье оценки даются исходя из соотношений (5) и (6) приращения (перепада) текущей объёмной влажности почвы и относительного перепада этой величины.
Результаты и обсуждение. Обсудим заслуживающие внимания, по нашему мнению, результаты проведённых исследований.
В рассмотренной кинетической модели адсорбции паров воды почвенной поверхностью нами выведены формулы вычисления основных величин модели: перепада Ам{() = м>(?) - wo текущей объёмной влажности w(t) почвы (5) и относительного перепада объёмной влажности Дм/(мр - w0) (6) к моменту времени t.
Другой итог работы - рассматриваемая адсорбционная модель паров в любой момент времени неравновесная (считаем, что равновесное состояние процесса наступает при скорости адсорбции м>'{() = 0). Дифференцируя обе части (4), находим скорость адсорбции:
Двойное неравенство (11) представляет собой
w'(t) = kwp2 (( wp - Wo )/Wo ) X 1 + ((Wp - Wo )/Wo ) exp(-kWpt)] exp(-kWpt).
(7)
(Wo/Wp )(1 - exp(-kWpt)) < < Aw/(Wp - W0) < 1 - exp(-kWpt).
(9)
1 - exp(-kt) = £ (-1)
n+1 '
n=1
П!
(10)
систему неравенств:
1 - exp(-kt) < kt,
kt [1 - у j< 1 - exp(-kt).
(12)
Оценивая правую часть неравенства (9) сверху с помощью первого из неравенств (12), а левую часть (9) - снизу с помощью второго, приходим к одной из основных оценок данной работы - оценке перепада относительной объёмной влажности (при t < 2 / к):
w kt [1 -
Wp l 2
Aw
(Wp - w0 )
< kt.
(13)
Из соотношения (7) видно, что скорость адсорбции в любой момент времени t > 0 положительна, W'(t) > 0, причём lim W'(t) = 0.
t ^да
Поэтому рассматриваемая модель неравновесная, приходящая в состояние равновесия лишь в пределе при t ^ да. Объёмная влажность w(t) почвы на промежутке 0 < t < +да является строго возрастающей функцией, w0 < w(t) < w?, при
этом lim W(t) = Wp. В этом предельном состоянии равновесное значение объёмной влажности w(t) почвы совпадает с предельным значением -равновесной влажностью Wp.
Ещё один результат работы: нами найдены достаточно простые оценки динамики перепада объёмной влажности Aw(t) и относительного
перепада Awj(wp - w0). Для нахождения оценок заметим, что множество значений функции exp(-kWpt) ограничено: при 0 < t < +да справедливо неравенство
0 < exp(-kWpt) < 1, lim exp(-kWpt) = 0 . (8)
С помощью неравенства (8) найдём первую из оценок перепада относительной объёмной влажности при любом t > 0:
Упростим оценки (9). Для этого представим функцию 1 - ехр(-к() суммой сходящегося абсолютно при любых действительных значениях Ы ряда:
Помимо уже отмеченных свойств ряд (10) является ещё и знакочередующимся, сходящимся при t < 2 / к по признаку Лейбница. Суммы таких рядов оцениваются сверху и снизу первой и второй частичными суммами ряда:
Ы И - у|< 1 - ехр(-£0 < Ы . (11)
Умножив все части (13) на (wp - w0), получим оценку при t < 2 / k перепада объёмной влажности:
k ww0 ( Wp - W0 ) (1 - k;] t < AW < k (Wp - W0 ) t. (14)
Выводы. Найденные оценки могут способствовать выявлению закономерностей динамики сорбции паров почвенного воздуха, прогнозированию состояния и оптимизации его состава, сбалансированности воздуха и влаги в почве. Исследования в этом направлении могут быть полезными как при оценке физического плодородия почв и продуктивности растительных культур, так и при экологической оценке состояния почвенных систем; при совершенствовании математических методов оценки параметров почвенного воздуха, почвы, растений для дистанционного контроля и управления этими параметрами с помощью цифровых технологий в АПК.
Список источников
1. Смагин А.В. Газовая фаза почв. М.: Изд-во МГУ, 2005. 301 с.
2. Смагин А.В. Теория и методы оценки физического состояния почв // Почвоведение. 2003. № 3. С. 328 - 341.
3. Смагин А.В. Газовая функция почв // Почвоведение. 2000. № 10. С. 1211 - 1223.
4. Уваров Г.И. Экологические функции почв. 3-е изд., стереотип. СПб.: Издательство «Лань», 2018. 296 с.
5. Ковалев И.В., Ковалева Н.О. Экологические функции почв и вызовы современности // Экологический вестник Северного Кавказа. 2020. Т. 16. № 2. С. 4 - 16.
6. Смагин А.В., Карелин Д.В. О влиянии ветра на газообмен почвы и атмосферы // Почвоведение. 2021. №2 3. С. 327 - 337. https://doi.org/10.31857/S0032180X21030138.
7. Добровольский Г.В., Никитин Е.Д. Функции почв в биосфере и экосистемах. М.: Наука, 1990. 260 с.
8. Заварзин Г.А. Взаимодействие геосферы и биосферы // Экология и почвы. Пущино. 1998. С. 139 - 153.
9. Оценка дыхания почв России / В.Н. Кудеяров, Ф.И. Хакимов, Н.Ф. Деева и др. // Почвоведение. 1995. № 1. С. 33 - 42.
10. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипа-тивные структуры икатастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. 368 с.
11. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии. М., 1989. 464 с.
X
12. Grismer M.E. Kinetics of water vapor adsorption on soils. Soil Sci. 1987; 143(5): 367-371.
13. Grismer M.E. Vapor adsorption kinetics and vapor diffusivity. Soil Sci. 1987; 144(1): 1-5.
14. Харитонова Г.В., Витязев В.Г., Лапекина С.И. Математическая модель адсорбции паров воды почвами // Почвоведение. 2010. № 2. С. 196 - 205.
15. Уравнение для описания полной изотермы адсорбции паров воды почвами / Г.В. Харитонова, Е.В. Шеин,
B.Г. Витязев и др. // Вестник Московского университета. Сер. 17. Почвоведение. 2003. № 1. C. 8 - 14.
16. Харитонова Г.В., Витязев В.Г. Изотермы сорбции водяного пара почвами // Почвоведение. 2000. № 4.
C. 446 - 453.
17. Капинос В.А., Тонких А.П. Определение полной изотермы паров воды почвами // Почвоведение. 1986. № 10. С. 107 - 113.
18. A priori estimates of the mass of the burnt materials in rooms of buildings in theintegral mathematical model of the initial stage of the fire / V. Pavlidis, Y. Fedorov, M. Chkalova et al. // E3S Web of Conferences: 1, Nalchik, 18 марта 2021 года. Nalchik, 2021. P. 01006. https://doi. org/10.1051/e3sconf/202126201006.
19. Фёдоров Ю.И. Априорные оценки интенсивности отказов программного обеспечения при тестировании в экспоненциальной математической модели надёжности // Интеллектуальные системы и информационные технологии - 2021: тр. междунар. науч.-технич. конгр. Дивноморское, 1 - 8 сентября 2021 года. Дивноморское: Ступина С.А., 2021. С. 579 - 582.
References
1. Smagin A.V. The gas phase of soils. M.: Publishing House of Moscow State University, 2005. 301 p.
2. Smagin A.V. Theory and methods of assessing the physical state of soils. Eurasian Soil Science. 2003; 3: 328-341.
3. Smagin A.V. Gas function of soils. Eurasian Soil Science. 2000; 10: 1211-1223.
4. Uvarov G.I. Ecological functions of soils. 3rd edit., stereotyp. St. Petersburg: Lan Publishing House, 2018. 296 p.
5. Kovalev I.V., Kovaleva N.O. Ecological functions of soils and challenges of modernity. The North Caucasus Ecological Herald. 2020; 16(2): 4-16.
6. Smagin A.V., Karelin D.V. On the influence of wind on the gas exchange of soil and atmosphere. Eurasian Soil Science. 2021; 3: 327-337. https://doi.org/10.31857/ S0032180X21030138.
7. Dobrovolsky G.V., Nikitin E.D. Functions of soils in the biosphere and ecosystems. M.: Nauka, 1990. 260 p.
8. Zavarzin G.A. Interaction of geosphere and biosphere // Ecology and soils. Pushchino, 1998. P. 139-153.
9. Kudeyarov V.N., Khakimov F.I., Deeva N.F. et al. Assessment of soil respiration in Russia. Eurasian Soil Science. 1995; 1: 33-42.
10. Svirezhev Yu.M. Nonlinear waves, dissipative structures and catastrophes in ecology. M.: Nauka, 1987. 368 p.
11. Frolov Yu.G. Course of colloidal chemistry. M. Chemistry, 1989. 464 р.
12. Grismer M.E. Kinetics of water vapor adsorption on soils. Soil Sci. 1987; 143(5): 367-371.
13. Grismer M.E. Vapor adsorption kinetics and vapor diffusivity. Soil Sci. 1987; 144(1): 1-5.
14. Kharitonova G.V., Vityazev V.G., Lapkina S.I. Mathematical model of water vapor adsorption by soils. Eurasian Soil Science. 2010; 2: 196-205.
15. Equation for describing the complete isotherm of adsorption of water vapor by soils / G.V. Kharitonova, E.V. Shein, V.G. Vityazev et al. Moscow University Soil Science Bulletin. 2003; 1: 8-14.
16. Kharitonova G.V., Vityazev V.G. Isotherms of water vapor sorption by soils. Eurasian Soil Science. 2000; 4: 446-453.
17. Kapinos V.A., Tonkikh A.P. Determination of the total isotherm of water vapor by soils. Eurasian Soil Science. 1986; 10: 107-113.
18. A priori estimates of the mass of the burnt materials in rooms of buildings in theintegral mathematical model of the initial stage of the fire / V. Pavlidis, Y. Fedorov, M. Chkalova et al. // E3S Web of Conferences: 1, Nalchik, 18 марта 2021 года. Nalchik, 2021. P. 01006. https://doi. org/10.1051/e3sconf/202126201006.
19. Fedorov Yu.I. A priori estimates of the failure rate of software during testing in an exponential mathematical model of reliability // Proceedings of the International Scientific and Technical Congress "Intelligent Systems and Information Technologies - 2021" ("IS & IT-2021", "is&IT'21"). Divnomorskoe, 01-08 September 2021. Divnomorskoe: Stupina S.A., 2021. Р. 579-582.
Юрий Иванович Фёдоров, кандидат физико-математических наук, доцент, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-3025-8670
Виктория Дмитриевна Павлидис, доктор педагогических наук, профессор, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-6967-9478
Yuri I. Fedorov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-3025-8670
Victoria D. Pavlidis, Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, [email protected], https://orcid.org/0000-0001-6967-9478
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Статья поступила в редакцию 22.08.2022; одобрена после рецензирования 12.09.2022; принята к публикации 12.09.2022.
The article was submitted 22.08.2022; approved after reviewing 12.09.2022; accepted for publication 12.09.2022. -♦-
