Оценка числа каналов приёмника-обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Н. Лукин, Г.В. Степанов,

доктор физико-математических наук, ОАО «Вега»

профессор

ОЦЕНКА ЧИСЛА КАНАЛОВ ПРИЕМНИКА-ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛА УПРАВЛЯЕМОГО ПАССИВНОГО РАССЕИВАТЕЛЯ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ФАЗОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

ESTIMATING OF QUANTITY OF CHANNELS RECEIVER-DETECTOR SIGNAL CONTROLLING PASSIVE SCATTERING WITH UNKNOWN PARAMETERS PHASE MODULATION

Синтезирован алгоритм обнаружения сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции, наблюдаемого на фоне гармонического сигнала и гауссовского шума. Предложен способ оценки числа каналов приемного устройства при численной максимизации функционала отношения правдоподобия по неизвестным параметрам, путем однозначного представления гауссовского случайного процесса его отсчётами. Доказаны1 две теоремы об усреднении произведения билинейных форм различной размерности. Получены соотношения для оценки числа каналов приёмника-обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя.

The synthesized algorithm for detection of a signal controlling passive scattering with unknown parameters of phase modulation is observed on the background of a harmonic signal and Gaussian noise. The method of estimating the quantity of channels of the receiver in computational maximize functionality likelihood ratio for unknown parameters, by explicitly represent a Gaussian random process of its counting is proposed. Two theorems about the averaging works bilinear forms of different dimensions are proved. The formulas for estimating the quantity of channels of the receiver-detector signal controlling passive scattering are given.

Управляемые пассивные рассеиватели находят все более широкое применение в качестве радиометок [1]. Объединяя датчики охранной сигнализации с управляемыми пассивными рассеивателями, можно получить радиометку, которая будет нести информацию о состоянии объекта охраны. При этом информация передается по радиоканалу на единой несущей частоте приёмо-передатчика. Выделение сигнала радиометки осуществляется благодаря модуляции переизлученного поля, которая появляется вследствие изменения электродинамических параметров управляемого пассивного рассеивателя. Управление электродинамическими параметрами рассеивателя может осуществляться за счёт энергии источника питания или энергии падающего поля.

С системной точки зрения такое построение передачи извещений о состоянии объекта охраны представляет собой систему параметрической радиолокации. В параметрической радиолокации, как правило, актуальной задачей является снижение энергетического потенциала путем построения оптимального приёмного устройства. Особенностью построения оптимального приёмного устройства является постоянное присутствие фонового зондирующего сигнала в момент приёма как в случае наличия полезного сигнала от управляемого пассивного рассеивателя, так и при его отсутствии. Это физическое обстоятельство не позволяет сформулировать задачу построения оптимального приёмного устройства в традиционной постановке как задачу обнаружения

или различения сигнала. Постоянное фактическое присутствие фоновых переотраже-ний приводит к новой формулировке задачи построения приёмного устройства и её актуальности как задачи синтеза радиоприёмного устройства.

Постановка задачи. Синтезировать приёмник-обнаружитель сигнала управляемого пассивного рассеивателя, осуществляющего фазовую модуляцию переизлучённо-го сигнала с частично неизвестными параметрами, на фоне переотражений гармонического сигнала и белого гауссовского шума.

Синтез приёмника-обнаружителя будем проводить как задачу различения сложных гипотез. Гипотеза Н1: в реализации^?) присутствует фоновый гармонический

сигнал с неизвестной амплитудой А1 и начальной фазой р1 и белый гаус-

совский шум п(?) со спектральной плотностьюИ0 , гипотеза Н2: в реализации^?) присутствует фоновый гармонический сигнал s1(t, А1, р1) с неизвестной амплитудой и начальной фазой, белый гауссовский шум п(?) и сигнал, переизлучённый управляемым пассивным рассеивателем s2(t, т, Ф, А2, (р2) и неизвестными параметрами фазовой модуляции: индексом модуляции m и начальной фазы модуляции Ф, а также с неизвестными амплитудой А2 и начальной фазой р2 .

Синтез приёмника-обнаружителя выполним по обобщенному методу максимального правдоподобия [2]

н

maxW (X/ #2) 2

М = 1п А2ртифХ/„ , > И ’ (1)

maxW(X/Я1) <

Ал

где W(X/Нп)— функционалы плотности вероятности реализации^?) при выполнении гипотез Н„, соответственно у=1, 2.

После максимизации алгоритма (1) по амплитудам и начальным фазам получаем алгоритм обработки в виде

Н 2

1 (д) = (д)- ^(д)°1 (дХ(д)п Ы , (2)

Ні

где ип(д)= йХШХ2(д),...Хрп(д)у£д),Т2(д\..ТЛ (д) (3)

— матрица- строка 1хрч.

X(д) 2 Т г сев „ , /Л\

«д)}= ~й„ Т х(‘ )Р‘(>’ <г){5іп|й^'"'- у'('• д)Щ.

0 (т) йо,сд)| ||о„(д)щ (5)

"(д) Л 110,(5.1 Но-,

ґГ\ Т

0 (д>}=N (і’ д>р, (і ’ д){Со^у ^’д)- у, ^’д)^. (б)

0, (д) N0 -0 ' sin л 4 ^

г ^

Здесь р,д), у.(/,д)— законы амплитудной и фазовой модуляции,д — вектор неиз

вестных параметров модуляции, .,] — 1, рп, рп — число слагаемых в сумме опорного сигнала при выполнении соответствующей гипотезы Ну,У = 1,2.

Выполнить максимизацию алгоритма (2) по неизвестным параметрам фазовой модуляции сигнала, переизлучённого управляемым пассивным рассеивателем, не представляется возможным. Поэтому осуществим численную максимизацию по неизвестным параметрам фазомодулированного сигнала. Для физической реализации процедуры численной максимизации необходимы отсчёты напряжения приёмника, реализующего алгоритм (2). Поэтому приёмник- обнаружитель сигнала управляемого пассивного рассеивателя с фазовой модуляцией должен быть многоканальным по вектору неизвестных параметров д. Оценка числа каналов должна определять из условия возможности адекватного представления реализации случайного процесса его отсчётами. На основании теоремы об отсчётах гауссовского случайного процесса будем ориентироваться на максимальную частоту спектра мощности случайного процесса [3].

Согласно соотношению Винера — Хинчина спектр мощности непосредственно связан с длительностью корреляционной функции, поэтому в качестве меры для расстояния между отчётами выберем ширину корреляционной функции. На эту же меру указывается и в работе[4], поскольку ширина сигнальной функции, в простой задаче оценки параметров сигнала, совпадает с корреляционной функцией шумового поля в пространстве параметров.

Итак, выберем в качестве меры для расстояния между отчётами реализации в пространстве неизвестных параметров модуляции сигнала управляемого пассивного рассеивателя ширину корреляционной функции шумового поля.

Для определения корреляционной функции шумового поля I(д) разобьём (2) на

сумму детерминированной и флуктуирующей составляющих путем представления £(*) в виде

г—1

истинные значения амплитуды и фазы сигнала /- переизлучателя; р^— истинное число слагаемых в сигнале, /! = 1,2 . Подставим (7) в (4),(3) и получим

}—1

(9)

}—1

0 0

(д)1 щ матрица размером 1^ 2рп с элементами

. Г . , Г. 00Э - Г г

т Р(,дор(,д) . }у(*,д)- у}(*,до)Щ

N

(д) 2 г 00 8 г

N(дГ Nт пШ‘,,){з«.!*■ у<('• д№ ■

Среднее значение (2) равно

(1 ^ дГ)— 1 ЛЙр\У22ХЦ ^ д)- | У1(^0, ^ д)+(Р2- Р1)

2

а шумовая функция имеет вид

#(д)— I((qo,д)- (1 ^д)).

Корреляционная функция шумового поля определяется соотношением

-1 1 ^

Чо,Ч2)+ /г (<?№-<

І2ОЇ1) +

(12)

21

В выражение (12) входит среднее от произведения билинейных форм, содержащих один или два случайных вектора, среднее от билинейной формы, содержащей два случайных вектора, и среднее от билинейной формы, содержащей один случайный вектор. Всего в (12) входит 49 слагаемых.

Для выполнения усреднения в (12) воспользуемся свойствами многомерных начальных моментов гауссовских случайных величин. Как показано в [5,6], многомерные нечётные моменты гауссовских случайных величин с нулевым средним значением равны нулю. Матрица-строка Нп (д), эквивалентная здесь случайному вектору, имеет ком-

Г

поненты (11), которые, при фиксированных значениях вектора д , являются гауссовскими случайными величинами с нулевым средним значением. Отсюда среднее от произведения билинейных форм в (12), содержащих один и два случайных вектора, равно нулю. Также равны нулю в (12) слагаемые, образованные из среднего от билинейной формы, содержащие один случайный вектор.

Для нахождения значения слагаемых выражения (12), содержащих среднее от произведения билинейных форм, каждая из которых содержит один случайный вектор, докажем теорему.

Теорема 1. Пусть имеется билинейная форма А(х1,Х1), образованная детерминированным вектором Х1 и случайным центрированным вектором Х1, с размерностью

т, с матрицей

й А =

а

,І,] = 1,т и билинейная форма В(тс2,Х2), обр

эазованная детерминированным вектором Х2 и случайным центрированным вектором Х2 , с размерностью п, с матрицей В — ||^й||^,I — 1,п . Тогда среднее от произведения билинейных

г г

форм, по ансамблю реализаций векторов Х15Х2, имеющих взаимно-корреляционную

/Г Г Л Т

матрицу К — К 1 , равно билинейной форме О(х15Х2) с матрицей О — АКВ .

Доказательство. Запишем произведение билинейных форм в виде

А(ХД)В(Ц^ (е .х е ЬЛл

Х2?'Х2Ц \е 1,^1 . е к/ 2к 2/

,, У к ,/ — 1

В виду независимости индексов суммирования перепишем произведение сумм как четырехкратную сумму и в силу линейности операторов суммирования и усреднения поменяем их местами. В результате получим

Г г \ т п т п

А(Х^Х1 )В(Х2,Х2)— е е аААх2к{ХиХ21) — е е аЬХ1,Х2кКл .

,, у—1 к,/— 1 ,, }=\к,/— 1

Выполним суммирование по у:

ГГ Г Г \ т п ж т Ц т п

A(Х1,Х1 )В(Х2 ,Х2)/ — е е Ьк/ХИХ2к зЗе 0,КЛ — е е ЬкЛ,Х2кС,1 .

' ,— 1 к,/= 1 Й у—1 Ш ,— 1 к ,1—1

Здесь введено обозначение

т

с/ — е СК/.

У—1

Выполним транспонирование Ьк/ и произведём суммирование по /

ч

ч —

ш

к/'

/Г Г \ /Г Г ч\ т п ж п ч т п

А(Х1>Х1 )В(Х2.Х2)— е е Х1,Х2к3|е С/Ь/кЧ— е е «А ,

,— 1 к—1 и / — 1 ш ,— 1 к—1

здесь введено обозначение

п

^,к — е С,/Ь/к .

/—1

Последнее соотношение представляет билинейную форму, составленную из векторов Х1 и Х2 с матрицей О — Ц^Ц размерностью тГ п . Перепишем действия суммирования по у и / , транспонирования в элементах Ьы в матричном виде и получим матрицу О — АКВТ , тогда

а(Х1 , х1 )в (Х2, х2) — о(Х1 , Х2 ).

Для нахождения значения слагаемых выражения (18), содержащих среднее от произведения билинейных форм, каждая из которых образована из двух случайных векторов, докажем ещё одну теорему.

Теорема 2. Пусть имеется билинейная форма А(х15^)-Х15/ центрированные

гауссовские случайные векторы размерностью т , с матрицей А — ||а.

,, у — 1, т и

билинейная форма В(х2,П2)- Х2,П2 центрированные гауссовские случайные векторы размерностью п , с матрицей

В — |Ьк/|, к, / — 1, п, К (х1, П1), К (х2, П2), К (х1 , х2 ), К (П1, П2 ), К (/, х2 ) К (П2, х1 )—

екторовХ1, /Г,, Х2, П2 . Тогда

взаимно-корреляционные матрицы векторовХ15п15Х2,п2. Тогда среднее от произведения билинейных форм равно

Доказательство. Запишем среднее от произведения билинейных форм в виде

А(Х1 ,П1 )В(Х2 , П2 ^ — \^ е; аХК . е! Ьк/Х2кП21

\г, у—1 к,/— 1

Ввиду независимости индексов суммирования перепишем произведение сумм как четырехкратную сумму и в силу линейности операторов суммирования и усреднения поменяем их местами. В результате получим

Гг Г г \ т п

А(Х1,п0В(Х2,П2)— е е аА/(ХАХ2А/)•

,, .— 1 к ,/—1

Воспользуемся свойствами чётных многомерных моментов центрированных гауссовских случайных величин и выразим четырехмерный момент четвертого порядка через корреляционные моменты

т п

а(х,,ПЛв(х„,П) — е е аЬКх,

,, у— 1 к ,/—1

+ (Х1,П2 ^(П1 ].

Обозначим

(*Л у) — Ку Х П:)Х Х2кП2^) — Кк/ /Г2)Д Х1,Х2к ) — К,к (^ Х2^( П1 уП2/) — К / (^ П2)

Гг Г г \ т п

(Х1, П2) — е е ауЬк/ [(ХЛ;)(Х2 кп2/) + (Х1,Х2к)(П1 уП2/) +

Г г

(ХА/} — К,/ (Х1, П2 )’^П1 уХ2к) — Кук Х2 )'

В новых обозначениях среднее значение равно

" " т п

Выполним поиндексное суммирование и транспонирование соответствующих элементов матриц

аХ П1)В (х^ ПГ2)— е ^ (^ Х1)е Ьк1К1к (П2,Х2)

+

т п т

,, у—1

ГГ п

к ,/—1

т г 1 п -»* 1* т п т ■»* ± п т* г

[ е ацК,к (Х1,Х2)][е Ьк/КЦ (П2, П1)] + е е [е апК,к (П1,Х2)][е Ьк/Кп (П2, Х1)]

-/Д' *2>

+ е е

у—1 к— 1 г—1 /—1 г—1 к —1 j=1

Введём обозначения для операций перемножения матриц

£

■/С 1 ■

171 ! =:

т п

Кік(?}і.<£г) = ^ аг;^;к{Лі^г)і Ккіі) = ЬЯ{Ки(Л2>%1 )■

;-1 г-1

В новых обозначениях среднее значение равно

ш. п

1 = 1 Иг=1

ТЧ

п т ТЇ

\ ^

Л-1 . Г-1 .к- 1 .

1

Введём обозначения для операций перемножения матриц

Л'2> Чі) 7 $1К С^ін'

Й=1

К=1

тогда

*т*

»г=1

т

+ / .*/;(?Ь^2> У2>Уі) *

;-1 І-1 Под знак суммы входят диагональные элементы матриц. Для обозначения этой операции воспользуемся обозначением 8р (сумма диагональных элементов матрицы) и, восстанавливая операции перемножения матриц, из первоначально определенных матриц билинейных форм и взаимно-корреляционных матриц между случайными векторами получим

'л(Х„ ь,)в £, £,))= Sp йакт (•, ^Цр ВкТ (Хг, хр[ лТк (х„ 4)вкТ (5„ 1у

+ лк (Гг1, Хг)вКТ (х,, Аг)]

Воспользуемся результатами теоремы 1и 2. Для этого обозначим в (12)

г~гъ а,ъг у.ау, г у.о^ау -а у -г^г,^ Л (Ч, Ч )0-1(а. )£ (Ч ) = А (

1 Г Г ГГ /Г Г \ 1 ГГ Г Г / Г Г \

г Иг(Яа ШХЧа )/гТ (^ Ча )= Ла (jh, /г)-/г(Чo, Ча Ж'(Ча X (Ча ) = Ла (/г, 4)

1 Г ГГ /Г г \ 1 г Г ГГ /Г Г ч

г Ьг(Ча )0.г1(Ча № (Ча )= Ла (h2, К),г И1(Ча ШХЧа Ж (?0, Ча )= Ва (1 / )

ГГ

г

Г Г 1

ГГ

Ча )^1 1(Ча X (Ча )= Ва (^ \(Ча М'(Ча X (Ча )= Ва (^

г

а = 1, г. В

результате получим

КМ (71 , <?2>= (°2 С^|). К (Я2 ^ 1 ^ (70 , ^2)-

^ Г

- fl(Яо, <?1) (О 1 (71 )К ^ (?1 ) К (Я2 )ЩЦЭ2 1 (Я2 )Ы }£ (яо, <?2)-

^2 (70 5 /1)(б2 1(Я1)К ]|Г 2 (Я1), К(Я2)1^^- Ч7^ }-/Т ^ Я2)+

+ f1(Я0, <?1) (° 1 (71 )К ] (4 ) К (72 )щ^1- 1 (?2 ^ }./Г (705 Я2 )+

+ 1 Ш62 1 (?1 )К (^*2 (% ) К2 (71 ))| *М62 1 (<?2 ^ (^*2 (<?2 ) ^*2 (72 ))| +

+ 5Р[[62 1 ЙУ* (К2 Й) К2 1(/2)КГ (^Й) К2Й2))+

О2 Ч^К (К2 (/1 ) М^))^ Ч7^)^ (М7-) М7^))"

Г /Г Г Г Г \ Г /Г Г г Г \

- Sp[Q-l(ql)fcT(й^),/-(я-))^(^2(^2),Ш))-

Г Г Г Г

- ЭДО 1(/1)]ТК (А (Я/1 ), К2 (^2 ))^2 Ч^)^ (^Ч7-) К2 (/ 2 ))+

+ б1-1(/1)К (/г1 (**1) /^2(Я*2))221(ЯЯ2>КТ (^Ч7-) /?2 («2 ))] } - ^(Р2- Р1)Г

Г /Г Г г Г \_

Г ^Р[б2 1 (Я2)К(^^ХК2 (Я2))|

-4(- sp р,'(ЬкТ (аДжЪЦР (лДЖ7,)®

+ ^ ^ 4^1/“ У~1\~11/‘~1\~11/л2 \^2^ Х~2\~12/‘~2\~12

^2 ( Я'! )К ( / / (71 )// ( Ял )) +

- 5рЩ 1 (/ )щщк (/ (/ )К2 (Я2 ))021 (Я2)К (/ (Я )К2 (Я2 »-

+ б- 1(Я/1)К(К (/1 )/ (Я/2))б- 1 (/2)КТ (/1(Я/1)/2(<?2))] + +Ф Ир-1 (/1)К (/ (Я )К (Я °1 (Я2 )кт (К1 (Я/2)К (Я2 ф + ЭД ° 1 (Я1 )ЩЩК (К (71 )К (/2 ^ 1 (7/2 )К (/ (71 )К1 (Я2 »+

Г ГГ Г ГГ 1

+ 0 1 (я )К(А (Я )К (/2 ))° 1 (/2 )КТ (К (/ )К (^2 ))]}- ^2 (Р2 - Р1 )г Г (/*2 (772 ), (Г2 ))1} - 2(Р2- Р-)Г

г ф[°2 1(<q2)K (/*2 (7Г2 ), М^))

1 - г /"ГгГ^ч 1 - г /Г Г г г

- (р2- р-)^р|р21(/1)к(К2(^/1),/2(^1))ы- ^(Р2- р-)^рйО--'(^1)к(А(/О’К1 /&

+ (р2 - Р-)2. (13)

Найдем явный вид корреляционной функции (13) применительно к управляемому пассивному рассеивателю с двумя неизвестными параметрами модуляции Я = (ш, Ф). Тогда, применительно к сигналу управляемого пассивного рассеивателя с фазовой модуляцией, модулирующие функции будут иметь вид

^ (?, Я) = ^ (?, Я) ° 1, у (?, 7) ° 0, у2 (?, 7) = ш Бт(^? - Ф).

Для выполнения вычислений в (13) представим матрицу /п (/0,Як) (8) в виде

!п й(» Ч к )= Р 0тЙП (^0. Як X

где

Р

От

и

Р

0тх

Р

и

Оту ы

— блочная

матр ица-строка

(14)

блоками

Р

0тх = РшЦ,Р0ту = ||.У0г||,і = 1,Рm;к = 1,2. Индекс ц=1,2 независимо принимает зна-

чение в соответствии с размерностью сигнала, поступающего на вход приемника.

%/г гч !%(я^Як) - %(я^Як)Щ с

%П(Чс.Як)= г г. % г г Ъ — блочная матрица размером2РпГ 2рп

ЛП(Яс.Як) %п ЯЯк) £

с блоками %П„ ( Яс. Як )= Ио-( Яс. Як А *%%пп (Я^ к )= ||^^;г (Я^ Як ^ - = Рп ^ = 1 Рп .

Пусть на вход приемника поступает сигнал соответствующий первой гипотезе. В этом случае /Л = 1 в выше приведенных соотношениях, а V и к принимают значения в соответствии с выражениями, входящими в формулу (13). Подставим (14) в (13) и, выполнив преобразования, найдем корреляционную функцию шумового поля

К„ 4,Ч2)= [^Щ^- Ц' 12)] +1,

(1- Л2(т1))(1- Л2К))

где /0(.)— функция Бесселя нулевого порядка,

(15)

Г

12

°Г12(т1,т2,Ф1,Ф2)т\ + т2 -2т1т2 еов(Ф1 -Ф2).

На рис. 1 представлен трехмерный график нормированной корреляционной

функции (15) плоскостью, модуляции т.

шумового фаза Ф

поля над и индекс

с

м

Рис. 1. Нормированная корреляционная функция шумового поля при выполнении первой гипотезы (вертикальное ребро куба), фаза модулирующего сигнала Ф (переднее ребро куба), индекс модуляции т (боковое ребро куба)

Главные сечения функции (15) по индексу модуляции т и по фазе модулирующего сигнала Ф имеют вид

. (17)

На рис. 2 приведен график функции (16) для двух значений индекса модуляции

т1 = 5 и т1 = 15. Как видно из рис. 2, корреляционная функция не меняет своей

структуры при изменении значения индекса модуляции т1, а лишь смещается по оси т.

На рис. 3 представлен график функции (17) для трех значений индекса модуляции: т=0,01, т=5,т=10.

т2

Рис. 2. Сечение корреляционной функции плоскостью Ф1-Ф2=0. Первая кривая т1=5, вторая кривая т1=15

а) б) в)

Рис. 3. Сечение корреляционной функции плоскостью т1=т2; а — при т=0,01; б — т=5; в — т=10

Как видно из рис. 3, корреляционная функция по фазовой координате является периодической функцией с периодом 2п и ширина области высокой корреляции существенно зависит от индекса модуляции.

Найдем корреляционную функцию шумового поля при выполнении второй гипотезы. Пусть на вход приемника поступает сигнал, соответствующий второй гипотезе. В этом случае Л = 2 в выше приведенных соотношениях, а V и к в соответствии с выражениями, входящими в формулу (13).

Подставим (14) в (13) и, выполнив действия с матрицами, входящими в (13), получим корреляционную функцию шумового поля N ( я) , соответствующую второй гипотезе

К Л Г Л— _2[/0КК(тО- 70(Г иХі + [ЛККЮ- 70(Г 12^ + 1 (18)

КЫ \Яі, 40= 22--------- -----^ Г----------- + -.-----,2, XV,------Т2( ЧЧ+1, ^ ;

1- 7о (т2 ) (1- 7о (т1))(1 - 70 (т|))

2 2 _ АТ

где г2 _ „ — отношение сигнал/шум для сигнала управляемого пассивного рассеивателя. ”о

На рис. 4 представлен трехмерный график нормированной корреляционной функции (18) шумового поля над плоскостью фаза Ф и индекс модуляции т.

м

Рис. 4. Нормированная корреляционная функция шумового поля при выполнении второй гипотезы (вертикальное ребро куба) по фазе модулирующего сигнала Ф (переднее ребро куба) и индексу модуляции т (боковое ребро куба)

Как видно из сравнения рис. 1 и рис. 4, функции корреляции шумового поля по первой и второй гипотезам в значительной степени повторяют друг друга.

Найдем главные сечения (18) по координатам Ф и т соответственно.

^ (....Л_ 2 7оЮ7оЮ- 7оК- даі)1 , 1/оЮЛЮ- 70(т2- т1)] , , (19)

К,г (т1,т2 )— і2-----------г---------------+-------г----------г--------+ Ь \1У)

2 1- 7о2(т|) (1- 7о2(ті))(1- ^Ю)

„ ^ 2 йо2( т) - 7о(2т 8Ш((Р|- Р1)/2)іЩ| й/>)- 70(2т апР^ Р1>/2)іЩ (|0)

Км (г1,г 2 )— -------------2-------------+---------------2----2--------+ 1. V )

} (1- Л2(т)) (1- 7о2(т))2

Как видно из (19), (20), выражения для корреляционной функции при выполнении второй гипотезы отличаются от соответствующих функций при выполнении первой гипотезы наличием первого слагаемого.

На рис. 5 представлены три графика нормированной функции (19) при различных значениях 2- и без учёта второго слагаемого (19).

На рис. 6 представлен график нормированной функции (20) при различных зна-

2

чениях г 2 с учётом и без учёта второго слагаемого (20).

Ф 2

Рис. 5. Нормированное сечение корреляционной функции плоскостью

22 Фх-Ф2=0. Сплошная линия — г2=10, пунктирная линия — г2 =64, штриховая линия —

2

без второго слагаемого (19), 2 2 =64, т1=5

Рис. 6. Нормированное сечение корреляционной функции плоскостью т1 = т2 = т = 5. Сплошная линия — 2^ =10, пунктирная линия — 2^ =64, штриховая линия — без второго слагаемого (20), г2 =64

Как видно из рис. 5, нормированная корреляционная функция не меняется в области высокой корреляции при различных значениях 2^ . Для определения роли второго слагаемого в (19) выполнены вычисления корреляционной функции с его учётом и без него при 2 2 =64. Пунктирная и штриховая линии, соответствующие выше упомянутому вычислению, представленные на графиках рис. 5, практически совпали. Отсюда второе слагаемое выражения (19) не оказывает существенного влияния на поведение

корреляционной функции. Это позволяет, при больших значениях г2, аппроксимировать корреляционную функцию шумового поля (19) более простым выражением

( )= г ЛК'- т.)] + 1. (21)

^ ' г 1- Л(т2)

Как видно из рис. 6, отношение сигнал/шум для сигнала управляемого пассивного рассеивателя не влияет на ширину корреляционной функции шумового поля по фазе модулирующего сигнала. Второе слагаемое выражения (20) также не оказывает существенного влияния на поведение корреляционной функции, штриховая и пунктирная линии на рис. 6, соответствующие этим двум случаям, совпадают между собой.

Это позволяет при больших значениях 2^ аппроксимировать корреляционную функцию шумового поля (20) более простым выражением

т к.о(т)- .0(2тБт((Р2- Р,)/2)ЩЩ

Кы (Р„Р2)= г22 ^+ 1 (22)

^ 2) (1- .о2(т))

Как видно из выражений для корреляционных функций (16),(17),(19),(20), шумовое поле приёмника при выполнении первой и второй гипотез не является стационарным, поскольку корреляционные функции зависят не только от разности индекса модуляции и разности фаз модулирующего сигнала, но и от значения индекса модуляции. Однако, при больших индексах модуляции функция Бесселя нулевого порядка

стремится к нулю. Так, при Ш1 >1,7, 702(т1)I 0,16, а при Ш1>4,73,

702(тх)I 0,068[7]. Поэтому при больших значениях индекса модуляции можно корреляционные функции шумового поля для первой и второй гипотез аппроксимировать выражениями вида

Км(да,,да2)= 702(да2- да,)+1, (23)

кме„р2)= .^т^ш 2- р1)/2)+1, (24)

Кк(да1,да2)= (г22+ 1).02(т2- т1)+ 1, (25)

Км(Р1,Р2)=(222 + 1).02(2т181п((Р2- Р.)/2)+Р (26)

Согласно [3], для однозначного представления гауссовского случайного процесса его отсчётами, их следует брать через интервал 1/2 Ет, где Ет — верхняя частота спектра мощности случайного процесса Ж (^). В соответствии с соотношением Винера — Хинчина найдем спектр мощности случайного процесса для корреляционных функций (23), (25), опуская значение спектральной плотности на нулевой частоте

Щц(.^О = 2 |0 /^(г)го££лкЬг, (27)

где х — г/1! — т2 Согласно [8] в (27) 1№т((о) равно

№т(о>) = Р-1/2С"2/2 “ 1),0< Ш < 2 (28)

10, си > 2

где Р-1/г — 1)— функция Лежандра [7] первого рода. Поскольку

— 1 < со2/2 — 1 < 1 при О < < 2, то функцию Лежандра можно записать через эл-

липтический интеграл первого рода [7]

2

Аргумент эллиптического интеграла (29), как и сам интеграл, достигает минимального значения при о>=2. Эта частота является верхней граничной частотой спектра мощности гауссовского случайного процесса по координате «индекс модуляции». Отсюда ^Ш=1/п. Тогда отсчёты между каналами следует брать с интервалом 5т=1/2^Ш = п/2.

Корреляционные функции (24), (26) по координате Ф являются периодическими с периодом 2п. Поэтому спектр мощности случайного процесса линейчатый с основной гармоникой О1 = 1. Тогда амплитуда п- й гармоники равна

1 2я

А =— [ /0(2т Бт(х /2))ооб пхёх, (30)

р о

где х = Ф1 — Ф2 .

В (30) интеграл не выражается даже через специальные функции. Поэтому аппроксимируем выражение для Ап соотношением

2 Г -2/

А

ооб пхёх .

(31)

На рис. 7 приведены графики, построенные по выражениям (30) и (31).

20

п

Рис. 7. Амплитуда гармоник спектра мощности случайного процесса по координате фаза модулирующего сигнала, сплошная линия — Ап, пунктирная —

аппроксимация Ап . Индекс модуляции т=10

Как видно из сравнения графиков амплитуд гармоник спектра мощности случайного процесса (сплошная линия) и аппроксимации ( пунктирная линия), они близки между собой и, что особенно важно, имеют близкие граничные частоты при п=20 для индекса модуляции т=10.

Воспользуемся аппроксимацией (31) и найдем спектр мощности случайного процесса по фазовой координате. В соответствии с [8] интеграл в (31) равен

1 п

А _ {-----Р-1/2(^ - 1), 0 < п < 2т

Ап _ { -т 2т

(32)

0,

п > 2т

Поскольку -1<п /2т -1<1 при 0<п<2т, то функцию Лежандра в (32) можно вы-

разить через эллиптический интеграл [7]

— Р (—

Г-1/2Ц 2 -т 2т

1) _ 2 К(^1 - п2 / 4т2).

2

- т

(33)

Эллиптический интеграл в (33) достигает минимального значения при п=2т [7]. Тогда граничная частота спектра мощности случайного процесса по координате фаза модулирующего сигнала равна 2пРт=2т или ^т= т /п. Отсюда фазовый интервал между каналами равен 5Ф=1/2^т= п/2т.

0

10

Обозначим априорный интервал значений индекса модуляции как Dm, а априорный интервал значений фаза модулирующего сигнала ДФ. Тогда число каналов по каждому из параметров равно Nm = Dm / dm = 2Дт / Р,

Nf = ДФ / dF = 2тДФ / Р, а общее число каналов

N=NmNф=4mДm ДФ/п2. (34)

Как видно из (34), общее число каналов приёмника пропорционально индексу модуляции, произведению априорных интервалов по параметрам модулирующего сигнала, с весовым коэффициентом 4/п .

Как видно из (34), общее число каналов приёмника пропорционально индексу модуляции, произведению априорных интервалов по параметрам модулирующего сигнала, с весовым коэффициентом 4 / Р2 .

Вывод. В работе определён алгоритм обработки сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции. Предложен способ оценки числа каналов приёмника при численном методе максимизации отношения максимального правдоподобия, путём однозначного представления случайного процесса его отсчётами. Доказаны две теоремы об усреднении произведения билинейных форм различной размерности. Получено соотношение для оценки числа каналов оптимального приёмника- обнаружителя сигнала управляемого пассивного рассеивателя с неизвестными параметрами фазовой модуляции при гармоническом зондирующем сигнале. Количество каналов по индексу модуляции не зависит от его значения, если индекс равен нескольким единицам. Количество каналов по фазе модулирующего сигнала пропорционально индексу модуляции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лахари С. RFID. Руководство по внедрению: пер. с англ. — М.: КУДИЦ-ПРЕСС. — 2007. — 321 с.

2. Тихонов В.И. Оптимальный приём сигналов. — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.

3. Худяков Г.И. Теорема отсчётов для цифровой обработки случайных сигналов // Компьютеры и технологии. — 2009. — №5. — С. 110—113.

4. Куликов Е.И. Вопросы оценки параметров сигналов при наличии помех. — М.: Сов. радио, 1969. — 244 с.

5. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966. — 624 с.

6. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Радио и связь, 1989. — 656 с.

7. Справочник по специальным функциям: пер. с англ. / под ред. М. Абрамови-ца, И. Стигана. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

8. Прудников А.П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983. — 752 с.

REFERENCES

1. Lahari S. RFID. Rukovodstvo po vnedreniyu: per. s angl. — M.: KUDITs-PRESS. — 2007. — 321 s.

2. Tihonov V.I. Optimalnyiy priyom signalov. — M.: Radio i svyaz, 1983. — 320 s.

3. Hudyakov G.I. Teorema otschyotov dlya tsifrovoy obrabotki sluchaynyih signalov // Kompyuteryi i tehnologii. — 2009. — N° 5. — S. 110—113.

4. Kulikov E.I. Voprosyi otsenki parametrov signalov pri nalichii pomeh. — M.: Sov. radio, 1969. — 244 s.

5. Tihonov V.I. Statisticheskaya radiotehnika. — M.: Sov. radio, 1966. — 624 s.

6. Levin B.R. Teoreticheskie osnovyi statisticheskoy radiotehniki. — M.: Radio i svyaz, 1989. — 656 s.

7. Spravochnik po spetsialnyim funktsiyam: per. s angl. / pod red. M. Abramovitsa, I. Stigana. — M.: Nauka, 1979. — 832 s.

8. Prudnikov A.P., Bryichkov Yu.A., Marichev O.I. Integralyi i ryadyi. Spetsialnyie funktsii.

— M.: Nauka, 1983. — 752 s.