Оценка А. Ф. Филиппова для функционально-дифференциальных включений с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911, 517.968

ОЦЕНКА А.Ф. ФИЛИППОВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1

© О. В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; импульсные воздействия; оценка А.Ф. Филиппова.

Аннотация: Для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями получена оценка решения относительно наперед заданной кусочно-непрерывной функции, аналогичная оценке А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями исследованы в монографиях [1 - 3].

Пусть и € [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ь”(и) пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ М” с норм ой ||ж||ь"(м) = / |х(з)|^з.

1 и

Множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Ь”[а, Ь] обозначим через £(Ь”[а, Ь]).

Пусть € [а, Ь] (а < £1 < ... <1т < Ь) - конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, £1], (£1^2], ■ ■ ■, (£т, Ь] ограниченных функций х : [а, Ь] ^ М”, имеющих пределы справа в точках £к, к = 1, 2,т, с нормой ||х||сп[аЬ] =

= 8ир{|х(£)| : £ € [а, Ь]}.

Рассмотрим задачу

X € Ф(х), (1)

А(х(гк)) = 1к(х(^)), к = 1,2,...,т, (2)

х(а) = х0, (3)

где отображение Ф : С [а, Ь] ^ 5(Х”[а, Ь]) удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к : М” ^ М”, к = 1, 2,..., т, непрерывны и удовлетворяют условию Липшица: для каждого к = 1, 2,...,т найдется такое число дк, что для любых х,у € М” выполняется оценка

11к(х) - 1к(у)| < дк1х - у|; (4)

Д(х(£к)) = х(Ьк + 0) - х(Ьк), к = 1, 2,..., т. ^

Будем говорить, что отображение Ф : С [а, Ь] ^ £(Ь”[а,Ь]) обладает свойством А, если

найдется такая суммируемая функция I : [а, Ь] ^ [0, го), что доя любых функций х,у € С”[а, Ь] и

любого £ € [а, Ь] выполняется неравенство

£

^М[Ф(х);Ф(У)] ^ 1(«^ йир - у^. (5)

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Если отображение Ф : С [а, Ь] ^ £(Х”[а, Ь]) удовлетворяет для любого измеримого множества и € [а, Ь] оценке

^м[ф(х);ф(у)] l(s)ds||x - у^ёгад, (6)

и

то будем говорить, что оно обладает свойством В.

Определение 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию х € С ”[а, Ь], для которой существует такое д € Ф(х), что при всех £ € [а, Ь] имеет место представление

£ т

х(г) = хо + + ^Х(£к,Ь](£)Д(х(гк)), (7)

а к=

где Д(х(£к)), к = 1, 2,..., т, удовлетворяют равенствам (2), Х(с4](•) _ характеристическая функция полуинтервала (с, d].

Далее предположим, что оператор Ф : С”[а, Ь] ^ 5(Ь”[а, Ь]) (правая часть включения (1)) вольтерров по А.Н. Тихонову.

Пусть для функции у € С”[а, Ь] существует функция С € Ь”[а, Ь], что для любого £ € [а, Ь] имеет место представление

у(£) = у(а) + С(^ + X] Х[£к ,б](£)Д(у(£к ^ (8)

а к=

где Д(у(£к)), к = 1, 2,..., т, удовлетворяет равенству (2). Пусть для функции к € Ь+[а, Ь] для

и

Рики) [С;Ф(у)] к(s)ds, (9)

и

где функции С € Ь”[а, Ь] и у € С”[а, Ь] удовлетворяют равенству (8).

Теорема. Пусть для функции у € С” [а,Ь] имеет место представление (8), а, функция к € Ь+[а, Ь] для каждого измеримого множества и С [а, Ь] удовлетворяет неравенству (9). Тогда, если отображение Ф : С”[а, Ь] ^ £(Ь”[а, Ь]) обладает свойством А, то существует такое решение х € С”[а, Ь] задачи (1)-(3), что для любого £ € [а, Ь] имеет место оценка

х£) - уШ < ((к,р)(г); (10)

если же отображение Ф : С”[а, Ь] ^ Б(Ь”[а, Ь]) обладает свойствами А и В, то существует такое решение х € С”[а, Ь] задачи (1)-(3), которое для, любого £ € [а, Ь] удовлетворяет оценке (10), и при почти всех £ € [а, Ь] справедливо соотношение

дг) - С(£)| < к(г) + 1Ш(к,р)(г), (11)

где р = ^0 -у(а)|, функция I : [а, Ь] ^ [0, го) удовлетворяет оценкам (5), (6), а функция {(к, р)(£) имеет вид

£

t Г l(r )dr Г l(s)ds

£(x,p)(t) = f x(s)es ds + p ea +

a

m / J l(r)dr f l(s)ds\ I l(s)ds

+ E 9k И K(s)es ds + p ea I etk X(tkb](t) +

k=1 \a I

(t1 t1 \ j ЬС r \ J'l(r)dr, J'l(s)ds I / l(s)ds J K(s)es ds + pea et! X(tk+!,b\(t)+

a

m-2 (b fl(r)dr J'l(s)dsI I l(s^ds

+ 12 929k+i\ J K(s)es ds + p ea et2 X(tk+i,b](t)+

k=2 \a j

(rm-1 Гт-1\ Г

tm-1 jf l(r)dr jf l(s)ds I J l(s)ds

J K(s)e s ds + pe a I etm-1 X(tm,b](t) +

m-2 (ti /l(r)dr f1 l(s)ds\ fl(s)ds

9l929k+2 N K(s)es ds + pea I et1 X(tk+2,b](t) +

k=1 a

m-3 (t2 f l(r)dr f l(s)ds\ fl(s)ds

+ E 92939k+3 N K(s)es ds + pea I et2 X(tk+3,b](t) +

k=1 a

f rm — 2 Гт — 2\ t , .

( tm — 2 JT l(r)dr JT l(s)ds I J l(s)ds

+9m-29m-l9m ( / K(s)e s ds + pe a I etm—2 X(tm,b](t) +

a

(t1 j1 l(r)dr f l(s)dsI f l(s)ds

f K(s)e s ds + pe a I et1 X(tm ,b](t).

Здесь числа 9k, к = 1, 2, удовлетворяют неравенству (4).

Отметим, что если импульсные воздействия отсутствуют, то приведенные оценки (10), (11) совпадают с оценкой А.Ф. Филиппова для обыкновенных дифференциальных включений (см.

[4])-

ЛИТЕРАТУРА

1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

2. Завалищин С. Т., С'есекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1987.

4. Филиппов А.Ф. Диференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

Abstract: For a functional-differential inclusion with impulses there is derived the solution estimate with respect to a given piecewise continuous function. The estimate is analogous to that one of A.F. Filippov for ordinary differential inclusions. Note that differential equations with impulses were studied in monographs [1-3]. Keywords: functional-differential inclusion; impulses; A.F. Filippov’s estimate.

Филиппова Ольга Викторовна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

УДК 517.911.5

НЕЯВНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ

РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ 1

© И. А. Финогенко

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с разрывной правой частью; правостороннее условие Липшица; скользящий режим; аппроксимация Иосиды; запаздывание.

Аннотация: Исследуется метод представления дифференциальных уравнений с разрывной правой частью в неявной форме. Метод согласуется с известными подходами, такими как простейшее выпуклое доопределение в смысле Филиппова, метод эквивалентного управления. В рамках условий типа монотонности неявный метод позволяет получать однозначно определенные уравнения движения разрывных систем, в частности — уравнения скользящих режимов. Рассматриваются непрерывные аппроксимации Иосиды разрывных систем и оценки для точных и аппроксимирующих решений. Эти же вопросы изучаются для дифференциально-разностных разрывных систем.

Исследуются системы дифференциальных уравнений

х = / (£,х), (1)

где х = (х1 ,...,хи), / = (/1,...,/”) и, как обыч но, х = (х 1,...,х,а) — вектор производных

хг = (1хг/(И. Предполагается, что функция / кусочно непрерывна по совокупности переменных (£, х) в некоторой области О из пространства Ка+1 и ее множества точек разрыва определяются в виде гладких гиперповерхностей Мг = {(£,х) € О : фг(х) = 0}, (г = 1,... ,т). В каждой точке х градиенты ^ф](х) функций ф](х) с индексами из множества I(х) = {г € (1,...,т) : фг(х) = = 0}

Филиппова [1]) дифференциального включения

х € ^(£,х), (2)

где ^ (£, х) — выпуклая оболочка всех предельных значений функции / (£, х) в каждой точке (£, х).

Через Щ(х0) = {х : ||х - х0|| < £} обознается ^-окрестность точки х0. Уравнение (1) исследуется в рамках следующего условия:

1 Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (интеграционные проекты № 85 и № 107)

Olga Filippova post-graduate student

Tambov State University named after G.R.

Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]