CC BY
17
МАТЕМАТИКА
УДК 517.977
В. М. Марченко, профессор; О. Н. Пыжкова, доцент
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ1
Linear hybrid differential-discrete two dimensional time (2-D) systems are studied from the point of view of r elative controllability pr operty. F or s uch s ystems, a de fining equation is int roduced, algebraic p roperties of t he de fining equation solution a re investigated and analytical solution representations of considered hybrid 2-D systems into series of their defining equation solutions are given. This result is applied to obtaining the effective parametric criterion, which expressed in terms of defining equation s olutions, of r elative co ntrollability with respect to continuous an d piece w ise continuous state variable of the systems under consideration.
Введение. Автоматика и телемеханика, теория передачи информации, радиология и химическая кинетика, оптика и радиоастрономия, моделирование технологических процессов в ядерных реакторах, плазме и лазерах, задачи демографии и экономики и т. д. предъявляют все более возрастающие требования к математическим моделям реальных систем автоматического регулирования. Все вышеперечисленное, а также прогресс средств вычислительной техники, широкое распространение микропроцессоров в производстве диктуют необходимость изучения фундаментальных проблем математической теории управления, ставят новые задачи для более широкого класса динамических систем. Кроме того, появляется потребность в разработке новых более эффективных методов изучения систем, в частности систем с запаздыванием, динамических систем с алгебраическими связями, описывающих процессы, в которых как эффектом запаздывания, так и алгебраическими связями пренебречь нельзя. Особый класс составляют динамические аналого-цифровые системы, моделирующие динамические процессы, рассматриваемые на дискретных слоях. Большинство из перечисленных процессов приводят к математическим моделям в виде гибридных систем. Следует, однако, признать, что термин «гибридные системы» перегружен [1-7].
Ниже рассматриваются гибридные дифференциально-алгебраические системы с многомерным временем, состоящим из непрерывной и дискретной компонент.
1. Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, описываемый следующей гибридной 2-0 системой:
Xj (t, i) = A11x1 (t, i) + A12x2 (t, i) + Blu(t, i), t ёй+=[0, + <»],
(1a)
x2 (t, i +1) = A21 xj (t, i) + A22 x2 (t, i) + B2u(t, i), i e Z+,
dx1 (t, i)
(1b)
dt
x1(t, i) e R"1, x2(t, i) e R"2.
И ^ A12 , A 21 , A22 , B2 - посто-
(2)
где х1 ^, 1) = и(¿, 1) е Rm
янные матрицы соответствующих размеров.
Граничные условия для (Ы) и (1Ь) зададим в виде
X(0,1) = хД/), I е , х2 (1, 0) = х2 (I), 1 е R+.
Отметим, что гибридная система (1) имеет структуру, схожую с известной моделью Россера.
Определение. При заданном моменте времени ¿1 > 0 и слое 11 е Z система (1), (2) называется 1, /^-управляемой относительно х, если любых начальных данных х (1), +, х2 (?), ? е R+ , любого конечного состояния х1 е КИ1, любых вектор-функций найдется кусочно-непрерывное по ^ управление и(г, 1), Iе[0, ¿1], 1 = 0,1,..., 1, такое, что соответствующее решение х 1(^, 1), х2(г, 1), ¿е[0, ¿1], , системы (1) с начальными условиями (2) обладает свойством х 1, г1) = х* .
Задача. Найти параметрический критерий относительной 1, /^-управляемости гибридной 2-D системы (1), (2).
2. Определяющие уравнения. По аналогии с развитой для динамических систем с последействием техникой определяющих уравнений [8] наряду с гибридной непрерывно-дискретной 2-0 системой (1) рассмотрим дискретную 2-0 систему вида
для i e Z
Xl+1,i = A11 Xk,i + A12 Xk,i 2
X,
bu
= A21 X1,i
Lk ,i+1
с начальными условиями
A22 Xk,i
k,i'
-BUki
(3a) (3b)
1 Работа выполнена в рамках сотрудничества с Белостокс ким техническим университетом.
Х0 7 = 0 для 7 = 0,1,... Х2 = 0 для к = 0,1,...
ик< =
/т, к = 7 = 0 0, к2 + 72 Ф 0
(4а) (4Ь)
(4с)
ад 7 ' (7 — т)к—1
')=ХХ х2, ^
к=1 1 =1 0
(к — 1)!
и (т, 7 — т +
ад г ¡к
'XXХ^2,1/ ~Х (0, 7 — 7) +
к=1 1
1Чк — 1)!
3. Алгебраические свойства решений определяющих уравнений. Имеют место следующие утверждения.
Лемма. Имеют место следующие тождества:
(Лц + л2 м(/2 — Л22 М)—1 Л21)к—1(В1 +
+ Л12 м(/„1 — Л22 м)—1В2)х1
к, 1
1=0
(/„2 — Л22Л21^(Л„ + Л12 М(/„ — Л22 Л21)к— X
ОТ
X (В1 + Л12м(/„2 — Л22м)~хВ2) - XХ{у,
1=0
к = 1, 2,...; (Л22 + ЛМ/п, — л„ М)—1Л12)7—1 (В2 +
+ Л21М(/„1 — Л11М)-1 В1)-X X
2 Мк к, 1 '
к=0
(/„ — Л11М)—1 Л12М(Л22 + ЛгМ(/1 — Л11М)—1 Л12 ) 1—1 х
ад
х В2 + Л2М(/ПХ— Л„М)—1В1)-X Х1М
1 =0
1 = 1,2,...;
ад
(/„2 — Л22 М)—1 В2 м-X X02/М1,
1 =0 ад
(/ — ЛМ)— В[М - XХ1,0М
к=0
где М| < м1, м е С, С — множество комплексных чисел; — достаточно малое положительное число.
Доказательство методом математической индукции.
4. Представление решений. Используя преобразование Лапласа по непрерывной переменной 7, ^-преобразование (дискретное преобразование Лапласа) по переменной 7, с учетом алгебраических свойств решений определяющих уравнений можно показать, что решение системы (1) имеет следующее разложение в ряд по решениям ее определяющих уравнений:
кД7, /),= XXК/1
7 к—1
1 Г (Т—
к=11=0
(к — 1)!
-и( 7 — ] ат +
ад г ж—1
-XXХ" 1 Х1(0, 7 — 1) +
к=1 ]=0 (К 1)!
7. (7 — т)к—1 к=1 0 (к — 1)!
X Х12+1 Х2(т,0)^т, (5а)
'X Х 0, ¿и (г, 7 — 1) +
1=1
I и _\к—1
+ XХ22+1!т,0)^ + Х022+1Х2(г,0).(5Ь)
к=1 0
(к — 1)!
Доказательство. Действительно, подставим выражения (5) для х1(г, 7), х2(7, 7) в (1). Имеем: 1) для х1(г, 7):
ад 7 7 (7 — т)к—2
х1 (7, 7)=XXх1 Р(, 2)! и(т7—1)ат+
к=21 =0 0 1к
7 ад 7 fk—2
+X Х1 (г, 7 — 1) + XX Х1 тт"^ (1) +
1 =0 к =21 =0 ¿Г
ад г (7 — т)к—2
+1 Х^2+1 Г(к — 2)! Х2 (т, 0)ёт + Х12+1Х2 (г, 0) =
ад 7 г (7 — т)к—1
= XX Х1+11 и (т, 7 — 1) ё т +
к=11=0 0 1к ^ ад 7 fk—1
+XX Х1+11Т^Х1 (0,7 — 1) +
к=11=0 (г — т)к—1
(к — 1)!
+Xхk2+l 7+1 Х2 (т, 0) ^ т+XXl1lU (г, 7 — 1) +
к=1 0 Г — ^ 1=0
ад > г(г — т)к—1
+ Х;2 х (7,0) = Ли XX Х1 [и (т, 7 — 1) ^ т +
к=11=0 0 (к 1)! ад 7 г (г — т)к—1
+ Л12 XX Х2 и (т, 7 — 1) ё т +
к=1 1=0 0
(к —
ад 7
+ Л11XX Хкд17^-,Х1 (0, 7 — 1) +
к1
(к
ад 7 +к—1
к=1 1=0
(к —1)!'
+ Л12 XX Х^7тЦттХ1 (0,7 — 1) +
к=11 =0 (к —1)!"
к-1
ад г (г— т)к + Л11X Х12+1 ^^^^ Х2 (т,0) а т + к=1 0 (к 1)!
\к—1
ад г (г — т)к + Л12 X Хк22+1 ^^^^ Х2 (т, 0) а т + к=1 0 (к 1)!
7
+ В1и (7, 7) + Л12 X Х02;и (г, 7 — 1) + Л12Х0 2+1Х2 (г, 0) =
1=1
= Л11Х1 (7,7) + Л12Х2 (7,7) + В1и (7, т);
2) для X2(t, i):
-1
да i+1 t (t -T)
X2 (t, i + 1) = ZZXkj i-u (t, i + 1 - j)dt +
k=1 j=1 0 (k 1)!
i+1
+Z Xl-u (t, i + 1 - j) + X022+1+1X2 (t, 0) +
j=1
\k-1
ш t (t -T)k
"Z Xk22+1+1 iVV X2 (т,0) dt-
k=2 0
да i+1 Л-1
21 t
ZZ—X1 (0, i +1 - j) =
k=1 j=0
(k -!)!
M i » (t - T)k :ZZZXk2 j+1 jV^ u (t, i - J ) d t +
k=1 j=0 0
(k - 1)!
•(t -t)
k-1
+ZXc2j+1U (t, i - j) + ZX22+1+1 x2 (t, 0)dt +
j=0 k =2 0 (k 1)!
+X <22+1+1X2 (t ,0 )+ZZ X
k-1
k=1 j=0 kj+1 (k-1)!
1 (0, i - j ) =
да i t (t - T)k-1
^21 ZZ 4 iVV u-T, i - j ) d T +
k=1j=0 0 (k -1)!
\k-1
+
да i t (t - T)k
¿22ZZ4ivVu-т, i - j)dt +
k=1 J=0 0 (k - 1)!
t k-1
(t - t )k
+ ¿21 Z X12+1 JV^" X2 (t,0) d T + k=1 0 (k - 1)!
\k-1
да * (* _Т)к
+ ¿22 Е 22+1 | х2 (Т, 0) *Т +
к=1 0 (к 1)!
да 1 *к _1
+¿21 ЕЕ 41 -тт-^ х1 (0,1 _ ])+ к=11=0 (к _ 1)!
да 1 *к_1
+¿22 ЕЕ х (а 1 _ 1)+
к=11=0 (к _ 1)!
1
+ ¿22ЕХ0,и (*, 1 _ 1) + ^ (*, 1) + ¿22^Л (*, 0) =
1=1
= Л21x1 (*, 1) + Л22 х2 (*, 1) + В2и (*, 1).
5. Относительная управляемость. Из определения относительной управляемости и представлений решений системы (1) в форме (5) вытекает, что система (1) (*1, 1 1)-управляема относительно х тогда и только тогда, когда система
да 11 т1 (+ _ т\к _1
ЕЕ и(т, 1 _ 1 )4 т=р*
k=1 j=0 0
(k -1)!
разрешима для любых р* е R"1 относительно управления и(т, 1), *е[0, *1], 1 = 0,1,..., ^ откуда в силу линейной независимости функций
(t -T)k-1
—-, k = 1,2,..., на основании известной
(k -1)!
из функционального анализа Z-проблемы моментов получаем следующий параметрический критерий управляемости системы (1):
rank [ X1,j , k = 1, 2,...; i = 0,1,..., i ] = n. (6)
Используя алгебраические свойства решений определяющего уравнения, можно показать, что среди них существует конечное число образующих (обобщение теоремы Гамильтона -Кэли), что допускает уточнение критерия (6).
Теорема. Система (1) (t1, i^-управляема относительно X1 тогда и только тогда, когда
rank [ Xl, j , k = 1, 2,..., щ; i = 0,1,..., i ] = n.
Заключение. В работе рассмотрена (t 1, i 1)-управляемость гибридной 2-D системы относительно Xj. Предложенная методика исследования позволяет применить полученные результаты на случай управляемости этой системы относительно X2, а также относительно X1, X2, однако это предмет другой статьи.
Литература
1. März, R, Solvability o f lin ear d ifferential algebraic equations with pr operly s tated l eading terms / R. März // Results in Mathematics 45(2004)
- Basel: Birkhauser Verlag. - 2004. - P. 88-95.
2. De l a S en, M . The r eachability a nd observability of hy brid m ultirate sampling line ar systems / M. De la Sen // Computers Math. Applic. -1996. - Vol. 31, № 1. - P. 109-122.
3. Van der Schaft, A. An introduction to hybrid dynamical systems / A. Van der Schaft, H. Schumacher. - Berlin: Springer, 2000. - 324 p.
4. Кириллова, Ф. М. Необходимые условия оптимальности управлений в гибридных системах / Ф. М. Кир шлова, С. В. Стр аьцов // Управляемые системы: сб. тр. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1975. -Вып. 14. - С. 24-33.
5. Ахундов, А. А. Управляемость линейных гибридных систем / А. А. Ахундов // Управляемые системы: сб. ст. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО АН СССР, 1975. - Вып. 14. - C. 4-10.
6. Щеглова, А. А. Наблюдаемость вырожденных линейных гибридных систем с постоянными коэффициентами / А. А. Щеглова // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 11. - C. 86-101.
7. Marchenko, V . M. On the observability of linear d ifferential-algebraic s ystems with delays / V. M. Marchenko, O. N. Poddubnaya, Z. Zaczkiewicz // IEEE Trans. Automat. Control. - 2006. - Vol. 51, № 8. - P. 1387-1392.
8. Габасов, Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. - М.: Наука, 1971. - 508 c.
