Гибридные динамические системы с многомерным временем. Представление решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МАТЕМАТИКА

УДК 517.935.2+519.71

В. М. Марченко, И. М. Борковская, О. Н. Пыжкова

Белорусский государственный технологический университет

ГИБРИДНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С МНОГОМЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ*

Для решений линейных стационарных гибридных 2-Э-систем получены интегральные представления, ядрами которых являются решения специальных сопряженных систем, что в совокупности является обобщением известного для обыкновенных систем представления формулой Коши. Введены определяющие уравнения исходных 2-Э-систем, проанализированы их алгебраические свойства и, как следствие, получены представления решений 2-Б-систем в виде рядов по решениям определяющих уравнений. В заключение рассмотрен нестационарный случай.

Ключевые слова: 2-Б-системы, определяющие уравнения, представление решений, формула типа Коши.

V. M. Marchenko, I. M. Borkovskaya, O. N. Pyzhkova

Belarusian State Technological University

HYBRID DYNAMIC 2-D-SYSTEMS. REPRESENTATION OF SOLUTIONS

The integral representations are obtained for linear time-invariant hybrid 2-D-systems solutions. The representations are based on special conjugated systems solutions. The result is an extension of the well known for ordinary differential systems representation by Cauchy formula to 2-D-systems. We introduce the defining equations of the original 2-D-system and analyze their algebraic properties. As a result, we obtain the representations in the form of series based on their defining equations solutions. A nonstationary case is also considered.

Key words: 2-D-systems, defining equations, solution representations, Cauchy formula.

Введение. Научно-технический прогресс в настоящее время стимулирует потребность более адекватного, всестороннего и глубокого исследования математических моделей современных технологических процессов. Большинство из перечисленных процессов приводят к математическим моделям в виде гибридных систем [1-5]. Актуальными при этом оказываются как новые модели, так и новые методы их исследований.

Ниже рассматриваются гибридные дискретно-непрерывные системы с «многомерным» (2-Б-мерным) временем, состоящие из непрерывной и дискретной систем.

Основная часть.

1. Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, описываемый следующей гибрид-

ной 2-Б-системой в симметрической форме (по отношению к операторам дифференцирования и сдвига):

Х (т, к) = А11х (т, к) + А12х2 (т, к) + В1и(т, к),

те[0, + «>), (1)

х2 (т, к +1) = А21х (т, к) + А22 х2 (т, к) + В2и(т, к),

I = 0, 1,2,..., (2)

где Х,({,0 = Эх'(?,?),х,(Г,0е М"1, х2{г,/)е М"2, дt

и^, ¡) е Мг; х^, /), х2(^, ¡) - пх-и п2-векторы состояния системы; и (^, /) - г-вектор управляющего

Работа выполнена в рамках сотрудничества с Белостокским техническим университетом (S/WI/2/2011).

воздействия соответственно в момент (V, г), V > 0,

/ = 0, 1, 2, ...; Лп, Лп, Л21, А22, Вь В2 - по-

стоянные матрицы соответствующих размеров.

Граничные (начальные) условия для (1) и (2) зададим в виде

хх(0, к) = хуф), к = 0,1,2,..., (3)

,0) = Х2#), Vе[0, + -). (4)

Отметим, что гибридная система (1), (2) по своей структуре в некоторой степени аналогична известной 2-О-модели Россера.

Наряду с гибридной 2-Б-системой в симметрической форме можно рассматривать и гибридную модель 2-О-системы в нормальной форме:

хх1(?, г) = Л11 х1^, г) + Л12х2(?, г) + В1и(V, г),

ге[0, +-), (5)

х2 (V, г) = Л21х1 (V, г) + Л22х2 (V, г -1) + В2и(V, г),

г = 0,1,2,..., (6)

с начальными условиями

хх(0, г) = хДг), г = 0,1,2,..., (7)

х2(V, -1) = х2(0, ?е[0, + -).

(8)

В дальнейшем сконцентрируем внимание на системе (1), (2) в симметрической форме.

Задача. Получить явные формулы представления решений начально-краевой задачи (3), (4) для гибридной 2-Б-системы (1), (2) в симметрической форме.

Теорема 1. Существует единственное решение системы (1), (2), удовлетворяющее начальным условиям (3), (4).

Доказательство. Существование и единственность такого решения можно установить, интегрируя систему (1), (2) «по шагам». Действительно, на первом шаге к = 0 в силу (4) функция х2(-, 0) известна. Тогда, подставляя в (1), получаем обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение х1 ( V, 0) - Лпх1 (V, 0) = = Л12 х2(0 + В]и (V), правая часть которого при заданном управлении известна. Решение такого уравнения с начальным условием (см. (3)) х1 (0, 0) = х1 (0), как известно, существует, единственно и может быть вычислено, например, по формуле Коши. Тогда подставляем найденное решение х! ( V, 0), [0, + в уравнение (2) и получаем функцию х2(^ 1), tе [0, В результате определяем решение х^-, 0), х2(-, 0) при к = 0 и функцию х2 ( V, 1), V е [0, +^), для к =1. Аналогичные рассуждения имеют место на втором и всех последующих шагах при к = 1, 2, ..., что завершает доказательство теоремы 1.

Замечание 1. Как вытекает из доказательства теоремы 1, при каждом к кусочно-непрерывной функции х2 (•) и кусочно-непрерывном управлении и ( ,к) решение х1(-,к) является абсолютно-непрерывной, а х2( ,к) - кусочно-непрерывной функциями переменной V, V > 0, к = 1,2, ...

2. Сопряженная система и сопряженное соответствие. Пусть (т X п1) и соответственно (т X п2) - матричные функции Х\ (•,•) и Х2 (•,•), где число т в разных случаях имеет различные значения, являются решением сопряженной системы:

ЭХ1Ж к) = X¡(t, к)Лп + X ¡(V, к)Л21, (9)

дt

х ¡(V, к+1)=х;^, к) л12 +

+ X ¡(V, к) Л22, V > 0, к = 0,1, 2,...

(10)

Тогда справедлива лемма 1. Лемма 1. Вдоль решений основной системы (1), (2) и сопряженной системы (9), (10) имеет место следующее сопряженное соответствие:

к=0 +

0

X X* (0+, 0-к) х^-0, к) +

=0

IX ¡(V -т, 0) х2(т, 0 + 1)ё т =

0

= X X1¡(t - 0,0-к) х1(0, к) +

к=0

IX ¡(V -т, 0 +1) х2 (т, 0)ё т +

+

+ XI (X¡(t-т, 0-к) В, +

к=0 0

+ X¡ (V - т, 0 - к)В2 )и(т, к)ёт, V > 0,0 = 0,1,2,...

(11)

Доказательство. Перенося все члены уравнения (1) в одну часть, умножая полученное равенство слева на матричную функцию XI (V - т, 0 - к) и интегрируя по т от т = 0 до т = V, после чего выполняя интегрирование по частям в первом интеграле вновь полученного соотношения, получаем:

0 = | X¡(t - т, 0 - к)(х (т, к) - Ли х (т, к) -

0

- Л12 х2 (т, к) - В1и (т, к)) = X¡ (0+, 0 - к) X X х1 (V - 0, к) - X'' (V - 0,0 - к) х (0+, к) + \ д X¡(V - т, 0 - к)

+10 д (V - т)

-х1(т, к) ёт -

+

-1X* (г - т, 0 - к)(А11х1 (т, к) - А12 х2 (т, к) -

о

- Ви(т, к))с1т = X* (0+, 0 - к) х(г - 0, к) -

-Х*^ - 0,0 - к) Х1(0+, к) + \ ( д Х*(Г - т, 0 - к)

--Х*(Г - т, 0 - к) А1

11

х

+

0 V д(г- т) у

г

х х1 (т, к)(т -1 Х*(г - т, 0 - к)(А12х2 (т, к)

0

+ Вхи( т, к))(т. (12)

Перенося все члены уравнения (2) в одну часть, умножая полученное равенство слева на матричную функцию Х2(г -т, 0- к), суммируя по к от к = 0 до к = 0 и сдвигая индекс суммирования в первом слагаемом на 1, имеем:

0 = £ X*2(t - т, 0 - к)(х2 (т, к +1) - А21 х (т, к) -

к=0

- А22х2 (т, к) - В2и (т, к)) = Х*(г - т, 0)х2 (т, 0 +1) -

0

- X¡(t-т, 0 +1) х2(т, 0) + £ (Х2*(г-т, 0- к +1) -

к=0

- Х2*(г -т, 0- к) А22) х2(т, к) - £ Х2*(г -т, 0- к) х

к=0

х (А21х1 (т, к) + В2и (т, к)).

(13)

Суммируем в (12) по к от к = 0 до к = 0, интегрируем в (13) по т от т = 0 до т = г и складываем полученные тождества. Получаем:

0 = £ (X* (0+, 0 - к) х1(г - 0, к) - X* (г - 0,0 - к) х

к=0

х хД0+, к)) + 0 ( дX*(t - т,0 - к)

+£/

--X*(t - т, 0 - к) А11

к=0 0 х х

д (г - т)

0 г

1 (т, к)(т - £ / X*(t - т, 0 - к)(А12 х2 (т, к) +

х

к=0 0 г

+

В^ (т, к))с1т + / (X* (г - т, 0)х2 (т, 0 +1) - X2* (г -

0

г 0

-т, 0 + 1) х2(т, 0)) с1т + /£ ^¡(г-т, 0-к + 1) -

0 к=0

- X¡(t - т, 0 - к) А22) х2 (т, к))(т -

г 0

- / £ X 2*(г - т, 0 - к)(А21 х1 (т, к) + В2 и (т, к ))(т

0 к=0

или с учетом вида сопряженной системы (9), (10):

0

0 = £ ^*(0+, 0 - к) Х1(г - 0, к) -

к=0

- £ X¡(t - 0,0 - к) Х1(0+, к) +

к=0

+£/( д X*(г - т, 0 - к) -¿0,1( д (г - т) -X* (г - т, 0 - к) А11 - X* (г - т, 0 - к) А21) х1 (т, к)(т +

е г

+ £/(X *(г-т, 0 - к +1) - X¡( г - т, 0 - к) А12 -

к=0 0

- X*(t -т,0 - к)А22)х2(т, к)(т +

г

+/X* (г - т, 0) х2 (т, 0 +1) (т -

0

г 0 г

-/X* (г -т, 0 +1)Х2 (т, 0)(т -£/ (X* (г- т, 0 - к)В1 +

0 к=0 0

0

+ X* (г - т, 0 - к)В2 )и (т, к))(т = £ X* (0+, 0 - к) х

к=0

г

х х1(г - 0, к) + / X *(г - т, 0) х2(т, 0 +1) (т -

0

- £X*(г - 0,0 - к) Х1(0+,к) -

к=0 г

-/ X *(г -т, 0 +1) Х2( т, 0) (т -

0

- £ I- *,0 - к)В1 +

+ X¡(t-т, 0 - к) В2)и (т, к))(т,

откуда непосредственно вытекает соотношение (11). Лемма 1 доказана.

3. Представление решений в виде определенных интегралов на основе решений сопряженной системы. Пусть т - произвольное неотрицательное число и г > 0. Пусть далее (п х п1) и соответственно (п1 х п2) - матричные функции X* (•, •) = X*l(•,•) и X¡(•,•) = Xl*2(•,•) являются решением сопряженной системы (9), (10) с начально-граничными условиями

ГI", к = 0,

X*(0+,к) = ] п' к = 0,1,...

1 1 0, к Ф 0, (14)

X2*(т,0) = 0, те [0,г].

Здесь и в дальнейшем символ 1м означает единичную (V х v)-матрицу. Имеет место теорема 2.

Теорема 2. Непрерывная компонента х1 (г -- 0, т) = х1 (г, т) решения системы (1), (2) в точке (г, т) может быть вычислена по формуле

Х (г, т) = £ X* (г - 0, т - к) х1 (0, к) +

к=0

г

+1X* (г - т, т +1) х2 (т, 0)1 т -

+

+XI (X¡l (V - т, т - к)В1 + X¡2 (V - т, т -

к=0 0

- к)В2)и(т,к)ёт, V>0, т = 0,1,2,... (15)

Доказательство следует из сопряженного соответствия при 0 = т с учетом вида начальных условий (14) сопряженной системы.

Замечание 2. Представление (15) является обобщением на гибридные 2-О-системы (1), (2) хорошо известного для обыкновенных динамических систем представления решений по формуле Коши.

Если теперь рассмотреть вопрос о представлении компоненты х2(^ т), то, исследуя сопряженное соответствие, обнаруживаем слагаемое | X¡(t - т, 0) х2 (т, 0 + 1)ё т, содержащее 0

под знаком интеграла нужную компоненту, однако, чтобы его выразить из-под знака интеграла, приходится расширить класс функций X¡(•,0), разрешая их выбирать из класса обобщенных функций, в частности, 5-функций Дирака.

Выберем начально-краевые условия для сопряженной системы (9), (10) в следующем виде:

X¡(0+,к) = 0, к = 0, 1, ..., X ¡(V -т,0) = 5(т-) 1П2,

(16)

где 5(т- V) - 5-функция Дирака, сосредоточенная в точке V, V > 0.

Пусть далее (п2 X п1) и соответственно (п2 X X п1) - матричные функции X1*(•,•) = X¡1(•,•) и X¡ (•, •) = X¡2 (•, •) являются решением сопряженной системы (9), (10) с начально-граничными условиями (16). Тогда имеет место теорема 3.

Теорема 3. Компонента х2 (V, т +1) решения системы (1), (2) в точке (V, т +1) может быть вычислена по формуле

т

х2 (V, т +1) = X X¡(V - 0, т - к) х1(0, к) +

к=0

+

| X¡(t - т, т +1) х2 (т, 0)ё т

+

+£| (X¡(t-т, т - к) В. +

к=0 0

+ X¡(t - т, т - к)В2 )и (т, к)ёт, V > 0, т = 0,1,2,

(17)

Замечание 3. Поскольку в начальных условиях (16) присутствует 5-функция, то и компонента X¡¡(•,•) решения сопряженной системы (9), (10) будет содержать 5-функции, которые войдут в правую часть уравнения (9) и, таким

образом, приведут к соответствующим скачкам функции X¡1(•,•). Отметим также, что функция X¡2(-,-) входит в представление (17) только под знаком интеграла. Поэтому ее влияние в формуле (17) сводится к наличию соответствующих скачков в двух последних слагаемых в этой части, а следовательно, скачков компоненты х2(, т +1). Таким образом, правая часть равенства (17), стало быть, и компонента х2 (•, т +1) описываются обычными (не обобщенными) функциями.

Представление (17) компоненты х2(, т +1) решения системы (1), (2) по существу также является обобщением на такие системы классической формулы Коши.

4. Определяющие уравнения. По аналогии с развитой для динамических систем с последействием техникой определяющих уравнений наряду с гибридной непрерывно-дискретной 2-О-системой (1) рассмотрим дискретную 2-0-систему вида

Xl+l, = А^, + Л^2, + В^,, (18)

Xk2,г+l = ЛА + Л¡¡X?, + Вгик, (19) с начальными условиями

X¿i = 0 для г = 0,1,..., (20)

X¡0 = 0 для к = 0,1,...,

(21)

1т, к = г = 0,

^=^~т.2 : (22)

10, к2 + г2 Ф 0.

5. Алгебраические свойства решений определяющих уравнений. Имеют место следующие утверждения.

Лемма 2. Верны следующие тождества:

(Лц + Л12м( 1пг - Л22М)-1 Лц)к-1 X

X(В + \М1„2 -Л22^)-1 В2) = XXхly,

1=0

(1п, - Л22^)-1 АМЛ11 + Л12М(1 - Л22М>У1 Л21)к- X

-1 л Хк-1 .

п2

X (В1 + ЛиМ( 1 - ЛцМ)-1 В2) = X X

1 =0

к = 1, 2,...,

(Ли + ЛцМ(1п1 - ЛПМ)-1 Лц)1 -1 X

к2 М

X В + ЛцМ(1п1 - ЛПМ)-1 В1) = XXl]wk,

-1 о \ —■'XV 2 " к

к=0

(1п - Л11М)-1 Л12М(Лц + ЛцМ(1 - ЛПМГ1 Л12) 1-1 X

п1

X (В2 + ЛцМ(1П1 - ЛПМ)-1 В1) = XX XlJwk,

1=0

1 = 1,2,...,

(1п2 - А22^)-1 В2w = £X00 у,

1 =0

(-BlW = £X¿,оwk,

к=0

где |w| < w1, w е С, С - множество комплексных чисел; w1 - достаточно малое положительное число.

Доказательство методом математической индукции.

6. Представление решений в виде рядов по решениям определяющих уравнений. Используя преобразование Лапласа по непрерывной переменной г, ^-преобразование (дискретное преобразование Лапласа) по переменной 1, с учетом алгебраических свойств решений определяющих уравнений можно показать, что решение системы (1) имеет следующее разложение в ряд по решениям ее определяющих уравнений:

^ I 4

^, о = ££ XI, 11

(г - т)

к-1

к=11=0

^ 1

+££п1.

(к -1)!

-и (т, 1 -1)(т +

Л-1

к=1 1=0

(к -1)!

хД0, 1 -1) +

к-1

+

к=1

•(г -т) 0 (к -1)!

£ XI2,+! ¡^т- Х2(т,0)( т,

(23)

.(г,,) = ££ Xk2; /

к-1

(г -т) (к -1)!

-и (т, 1 - ])(т +

к=1 1 =1 ^ 1 Л-1

+££Xk21j -7Т-Т7Х:(0,1 -1) + к =1 1 =1 (к - 1)!

1

+£ X1}и(г, 1 - ]) +

1 =1

г

(г-т)

к-1

+£ Xk22+1 [(к -1)!

х2(т,0)(т + Xо22+1 х2(г,0). (24)

В справедливости формул (23), (24) можно убедиться непосредственной подстановкой соответствующих выражений для Х\(г, 1), х2(г, 1)

в (1)-(4).

Замечание 4. Разложения (23), (24) являются обобщением на гибридные 2-Б-системы (1), (2) известного для обыкновенных динамических систем Х(г) = А х(г), х(0) = х0, представ-

ления решения х(г) = е Агх0 = £

=0 к!

-хп мат-

к=0

ричной экспонентой.

7. Нестационарные гибридные 2^-си-стемы. Рассмотрим нестационарную систему (1), (2):

Х1 (т, к) = А11 (т, к) х (т, к) + А12 (т, к) х2 (т, к) +

+ В,( т, к )и (т, к), (25)

х2 (т, к +1) = А21 (т, к) х1 (т, к) + + А22(т, к)х2 (т, к) + В2 (т, к)и (т, к),

т е[^, г*], к = 0,1,..., 0, с начальными условиями

Х , к) = х (к), Х2 (т,0) = Х2 (т), т е[^, г*], к = 0,1,..., 0.

(26)

(27)

Изучим для определенности вопрос об обобщении формулы (15) типа Коши для компоненты х1(г, т) на случай системы (25), (26).

Перенесем все члены уравнений (25), (26) в одну часть, умножим полученные равенства слева соответственно на матричные функции X*(t¡, 0, г, к) и X*(г„ 0, г, к), проинтегрируем по т от т = 0 до т = г и просуммируем по к от к = 0 до к = 0, сложим образовавшиеся тождества, после чего выполним интегрирование по частям и сдвиг индекса суммирования в соответствующих слагаемых полученного соотношения, по аналогии с доказательством леммы 1 получаем:

0 = £X*(г*,0,4 -0,к)х(и -0, к) -

к=0

0

-£ X* (и, 0,^ + 0, к) х,^ + 0, к) -

к=0

0 ** к=0 ,„

д X*(г*, 0,г, к) д г

+ X* (г*,0,г,к)Ап(г,к) +

+

X*(г*, 0,г, к) А21(г, к)) х1(г, к )(г

+

к=0 г

+£ / (X*(г*, 0,г, к -1) - X* (г*, 0,г,к)А12 (г, к) -

>

- X 2 (г*, 0,г, к) А22 (г, к)) х2 (г, к )(г +

г*

X *(г*, 0,г, 0) х2(г, 0 +1) (г -

+

- / X 2 (г*, 0,г, -1) х2 (г, 0)(г -

- £ ¡¡(X¡(t„ 0,г, к) В1(г, к) +

к=0 <0

+ X*(г*, 0,г, к) В2(г, к ))и (г, к))(г,

и, как следствие, при 0 = т имеет место теорема 4.

Теорема 4. Компонента х1 (г, т) решения системы (25), (26) в точке (г, т) может быть вычислена по формуле

х

0

xj(t„ m) = ¿X^t*,m,t0 + 0,k)x1(t0 + 0,k) + X*(t*,0t'k +1 = X*(t*,0t'k)A12(t,k) +

k=o + X 2*(t*, 0, t, k)A22(t, k), T< t*, k = 0,0-1, ...,0,

t*

+

j X* (t*, m, t, -1) x2 (t ,0) dt + с грагатаыми условиями вида

t0 г

t* * [/„., k = m,

+jr j( X*1(t*, m, t, kW, k) + X1(t*,m,t* - k) = j 0k ^ m k = °,1,...,m;

k =0 t0

t0

+ X *2(t*,m,t,k)B2(t,k))u(t,kM X2*(t*,m,t,m +1) = 0, TG [t0,t*].

t* > t0, m = 0,1,2,..., где X*(-,•,•,•) = X*(-,•,•,•), X*2(-,•,•,•) = X2*(-•,•,•) -

Заключение. Для линейных гибридных 2-0-систем в симметрической форме получены явные представления решения на основе сопря-решение сопряженной системы женных систем и путем разложения в ряды по

dX*(t*, 0, t, k)

решениям определяющих уравнении таких си-+ X1 (t*, 0, t, k)A11 (t, k) + стем. Полученные результаты могут быть ис-

д * пользованы в задачах оптимизации на траекто-

+ X2 (t*, 0, t, k) A21 (t, k) = 0, риях таких систем.

Литература

1. Dai L. Singular control systems // Lecture notes in control and information sciences: 118. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. 319 p.

2. De la Sen M. A note about total stability of a class of hybrid systems // Informatica. 2006. Vol. 17, no. 4. P. 565-576.

3. Куржанский А. Б. Отчет о 16-м международном конгрессе ИФАК (IFAC) - международной федерации по автоматическому управлению // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. C. 183-189.

4. Марченко В. М., Борковская И. М. Устойчивость и стабилизация линейных гибридных дискретно-непрерывных стационарных систем // Труды БГТУ. 2012. № 6: Физ.-мат. науки и информатика. С. 7-10.

5. Марченко В. М., Пыжкова О. Н. Относительная управляемость линейных стационарных гибридных систем с многомерным временем // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. 2008. Вып. XVI. С. 3-5.

References

1. Dai L. Singular control systems. Lecture notes in control and information sciences: 118. Berlin; Heidelberg, Springer-Verlag, 1989. 319 p.

2. De la Sen M. A note about total stability of a class of hybrid systems. Informatica, 2006, vol. 17, no. 4, pp. 565-576.

3. Kurzhanskiy A. B. The 16-th IFAC Congress report. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 2006, no. 1, pp. 183-189 (In Russian).

4. Marchenko V. M., Borkovskaya I. M. Stability and stabilization of the linear hybrid discrete-continues stationary systems. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], 2012, no. 6: Physical-mathematical sciences and informatics, pp. 7-10 (In Russian).

5. Marchenko V. M., Pyzhkova O. N. Relative controllability of the linear stationary hybrid systems with multidimensional time. Trudy BGTU [Proceedings of BSTU], series VI, Physical-mathematical sciences and informatics, 2008, issue XVI, pp. 3-5 (In Russian).

Информация об авторах

Марченко Владимир Матвеевич - доктор физико-математических наук, профессор кафед- ры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]

Борковская Инна Мечиславовна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]

Пыжкова Ольга Николаевна — кандидат физико-математических наук, заведующая кафедрой высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: [email protected]

Information about the authors

Marchenko Vladimir Matveevich — D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]

Borkovskaya Inna Mechislavovna — Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]

Pyzhkova Olga Nikolaevna — Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: [email protected]

Поступила 12.03.2015