CC BY
32
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2. Ефимов, Н.В. Исследование одной линии / Н.В. Ефимов // Научно-технический отчет. МЛТИ. - 1950. - МОГА. - Фонд 7188. ОП. - Т 1. - Дело 212.
3. Лузин, Н.Н. О методе приближенного интегрирования академика С.А. Чаплыгина / Н.Н. Лузин // Труды ЦАГИ. - 1932. - Т. 141. - С. 1-32.
4. Лузин, Н.Н. О качественном исследовании уравнения движения поезда / Н.Н. Лузин // Математический сборник. - 1932. - Т. 39:3. - С. 6-26.
5. Отзыв Л.В. Канторовича на работу Р.Я. Берри «Исследование конуса положительных элементов в полуупорядоченном пространстве // МОГА. - фонд 7188. - Т. 1. - дело 40.
ОТКРЫТИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ, ИХ ЗНАЧЕНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ
А.Д. МАРКОВСКИЙ, проф. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ-мат. наук
Начиная с 1975 г. на ФЭСТе разрабатывались два направления: «Машинные арифметики» и «Цифровые кодирования чисел», связанные с приближенными и точными представлениями чисел.
К 1980 г. была создана аксиоматическая теория машинных арифметик, проведена их классификация по различным критериям с выявлением оптимальных и превосходящих по определенным качествам известные; получены основополагающие результаты по анализу ошибок округления, найдены все классы «безошибочных арифметик» для всех арифметических операций [1].
Предметом открытия является «поразительное» соответствие между аксиомами структуры машинных арифметик и аксиомами топологии; поразительное хотя бы потому, что по содержанию сравниваемые структуры кажутся чуть ли не противоположными: машинные арифметики - «вместилище для вычислений на дискретных множествах машинных чисел», а топология - «фундамент непрерывности для всей математики». Найденное соответствие послужило основой для новой математической теории «мерильных структур», синтезирующей структуры топологии и машинных арифметик. Новая теория докладывалась на ФЭСТе на научно-технической конференции МГУЛ за 2007 г.
При разработке теории цифровых кодирований были введены «вычислительные базисы» для различных числовых систем и, более общо, для групп, колец, линейных алгебр. Изучение различных схем преобразований цифровых кодов от «аддитивных»
[email protected] вычислительных базисов к «мультипликативным» и обратно привело к открытию нового «мультипликативного метода цифровых вычислений», обобщающего, систематизирующего и ускоряющего основные вычислительные процедуры, включая методы «цифра за цифрой» [2, 3].
Открытие мультипликативного метода цифровых вычислений обусловлено тем неожиданным обстоятельством, что основные вычислительные процедуры, вплоть до реализации преобразований групп вращений и Лоренца и некоторых неизвестных ранее, но крайне полезных процедур, наподобие «быстрого сложения чисел на логарифмической линейке», могут быть получены простым распараллеливанием упомянутых схем базисных преобразований и конкретизацией некоторых входящих в них параметров. Например, «школьный» метод определения частного y/x в десятичной системе счисления и «двоичные» алгоритмы деления с восстановлением и без восстановления остатка, используемых в современных устройствах, являются частными случаями мультипликативного метода разложения дуальных чисел x + yi, i2 = 0, по определенному дуальному мультипликативному базису. Знание этого факта позволяет универсально описать, распараллелить и ускорить классические алгоритмы деления, по существу создав новые сверхбыстрые алгоритмы деления вектора на скаляр.
На ФЭСТе на основе мультипликативного метода вычислений было выполнено и внедрено значительное число научнотехнических работ по заказам целого ряда
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009
127
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
предприятии; в течение многих лет читался спецкурс «Мультипликативные алгоритмы и машинные арифметики», получивший высокую оценку в работе [4].
Впереди повсеместное утверждение мультипликативного метода вычислений, его глубокое проникновение в школьную и вузовские программы по математике, а в ближайшей перспективе намечается его плодотворный синтез с недавно обнаруженными методами «непрерывного кодирования чисел»
Кодирование чисел из некоторого множества D ^ R - это инъективное отображение M : D^K, где K определенное пространство цифровых кодов. Стандартные кодирования реализуются представлениями чисел из D в a-ичных системах счисления. Любое стандартное кодирование, определенное на множестве рациональных чисел Q, и тем более на R, имеет бесконечное число точек разрыва в любой окрестности любого числа. При сложении чисел, заданных стандартными кодами, возможен сколь угодно длинный перенос от младших разрядов к старшим. Булева функция, выражающая значение n-го разряда суммы двух «стандартных двоичных чисел», является «глобально детерминированной», поскольку зависит от значений всех n младших разрядов каждого слагаемого. Глобальный детерминизм делает принципиально невозможным эффективное сложение стандартных двоичных чисел, имеющих бесконечное число цифр после запятой.
На пленарных докладах научно-технических конференций МГУЛ в 1985-1986 гг. и на Седьмой международной петрозаводской конференции [5] сообщалось об открытии неизвестных ранее непрерывных кодирований чисел, ограничивающих перенос при сложении. Ограничение переноса при сложении двух чисел, представленных новыми двоичными кодами, называемыми в дальнейшем M-кодами, означает, что булева функция каждого K-го разряда суммы двух «двоичных M-чисел» зависит не более чем от p старших и q младших разрядов слагаемых, где p и q - фиксированные числа, не зависящие от K. Тем самым, вопреки существовавшему мнению, глобальная детерминированность булевой функции сложения двоичных чисел и
возможность неограниченного переноса вовсе не характеризуют «природу сложения», а являются следствиями неэффективности используемых на сегодняшний день кодирований чисел. Открытие M-кодов влечет за собой принципиальную возможность существования параллельных алгоритмов сложения рекурсивных действительных чисел.
Для точных определений, связанных с непрерывными кодированиями чисел, потребовалось наделить пространства бесконечных цифровых кодов неархимедовыми метриками [6]. В отличие от известных неархимедовых метрик для поля p-адических чисел, востребованные метрики не индуцируются какими-либо нормами.
Непрерывные кодирования позволяют «бесплатно» во много раз повысить быстродействие вычислений, открывают новые возможности хранения, обработки, передачи и защиты информации. Квалифицированное патентование структуры и различных способов непрерывных кодирований, их оперативная реализация в новых устройствах на основе нанотехнологий и мультипликативного метода вычислений поставили бы соответствующую отечественную цифровую технику существенно выше зарубежных аналогов.
Библиографический список
1. Марковский, А.Д. Автореферат диссертации / А.Д. Марковский. - М.: ВЦАН СССР, 1980.
2. Марковский, А.Д. Мультипликативные алгоритмы типовых вычислений и организация устройств на их основе / А.Д. Марковский, Г.Г. Меликов // Научи. тр. Моск. лесотехн. ин-т., 1989. - Вып. 217.
3. Марковский, А.Д. Параллельные алгоритмы деления на основе мультипликативных разложений действительных чисел / А.Д. Марковский и др.
- М.: ИКИ АНСССР, 1990.
4. Санаев, В.Г. Профессиональные кадры для ракетно-космической отрасли России / В.Г. Санаев, О.Н. Новоселов // Аэрокосмический курьер.
- 2004. - Вып. 2.
5. Марковский, А.Д. Непрерывные кодирования чисел, ограничивающие перенос при сложении / А.Д. Марковский // Обозр. прикл. и промышл. ма-тем. - 2008. - Т. 15. - Вып. 3.
6. Марковский, А.Д. Неархимедовы метрики и псевдометрики в пространствах бесконечных цифровых кодов / А.Д. Марковский // Обозр. прикл. и промышл. матем. - 2009. - Т. 16 - Вып. 1.
128
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2009
