От динамики управляемых систем к мехатронике Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Хоменко А.П., Елисеев С.В., Засядко А.А.

УДК 656.001

ОТ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ К МЕХАТРОНИКЕ

Достаточно широкий класс технических объектов — манипуляционные системы, виброзащитные устройства, вспомогательные технические средства в гибких производственных системах (вибраторы, питатели, накопители и др.) — может быть отнесен к управляемым механическим системам. Изучение их динамических свойств необходимо для оценки целесообразности построения пли выбора нужных параметров. При этом часто объектом исследования становятся особенности в спектре динамических свойств, связанных с введением различных дополнительных связей, реализуемых на основе различных механизмов, элементов гидро-, пнев-мо- и электроавтоматики. В качестве основной модели динамических процессов естественным образом выступает структурная схема объекта с соответствующими задачам методами анализа и синтеза [1—3].

Основой структурных методов является возможность отображения (в силу ряда правил) механических упругих систем эквивалентными в динамическом отношении системами автоматического управления. Систематическое развитие такого подхода позволило разработать достаточно гибкий аппарат для задач защиты объектов от вибраций и ударов и, в конечном итоге, реализовать идеи автоматизированного исследования и проектирования виброзащитных систем [4].

I. Для синтеза виброзащитных систем развиты методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов, получены результаты, обобщающие решение задач на случай постоянно действующих возмущений, разработаны методы синтеза управлений, использование которых позволяет выбирать рациональные параметры систем.

В общем случае виброзащитная система представляет собой твердое тело, соединенное с основанием упругодемпфирующими подвесами; источником возмущений являются объемные колебания основания. Уравнения движения объекта имеют вид

Aq + Bq + Cq = - Aä(i)+U, где q — 6-мерный вектор обобщенных координат (относительных смещений); ä (t) — 0-мерный вектор возмущений; Л — 6х6-диагональ-ная матрица моментов инерции; С — 6х6-мат-рица коэффициентов жесткости; U — 6-мерный вектор управляющих сил.

Под задачей конструирования виброзащитной системы (ВЗС) от детерминированных возмущений понимается определение U( q, q, t), В и С, минимизирующих критерий качества

1 т — — J = lim — |Yq1Qq + u1 Rutil

T^rn T J V '

1 0

Здесь Q, R — постоянные положительно-определенные 6х6 матрицы. Первая часть функционала соответствует уменьшению габаритных размеров ВЗС, вторая — снижению динамических воздействий со стороны основания. Для случайных возмущений предполагается, что а, входящее в управление (U), определяется

ä = -Pz,

где Р — постоянная, 6 х p— матрица; z —р-мерный случайный стационарный ограниченный процесс, описываемый дробно-рациональными спектральными плотностями.

Разработаны алгоритмы решения задач синтеза ВЗС твердого тела в случае, если заданы координаты точек крепления подвесов, в том числе для оценки предельного качества виброзащиты, если воздействие носит гармонический или ударный характер. Это позволило сформировать подход к построению программных; средств для решения так называемых типовых задач [5].

Введение в колебательные системы дополнительных связей в виде механизмов для преобразования движения позволяет существенно изменять свойства систем, что открывает возможности построения новых динамических гасителей колебаний [6].

Разработаны методы динамического синтеза систем с дополнительными связями. По-

казана возможность построения механических фильтров полигармонических вибраций на основе упругих и дополнительных инерционных элементов, рабочие частоты которых не зависят от инерционных характеристик защищаемых объектов.

Выявлены особенности многомерных систем при детерминированных и случайных воздействиях. Так, инерционные и параллельно соединенные упругие элементы позволяют получать инвариантные динамические системы относительно полигармонических возмущений; изменять связанность между парциальными подсистемами и в определенном диапазоне частот улучшать виброзащитные характеристики систем.

Простейший фильтр вибраций образуется, например, при установке объекта на основание посредством параллельных упругих и инерционных элементов. В случае цепной системы можно получить фильтр полигармонических вибраций. При кинематическом возмущении для простейшего фильтра вибраций амплитудно-частотная характеристика определяется

А(ы) =

(с - Ьы2 )2

+к2 ы2

[с-( Ь + ш)ы2 ]

+ к2 ы2

где т — масса объекта защиты; Ь — приведенная масса инерционного элемента; с, к— коэффициенты жесткости и демпфирования.

Частота динамического гашения при этом не зависит прямым образом, если не учитывать силы трения, от массы объекта. Однако при изменении частоты возмущения эффективность фильтра снижается. В связи с этим разработана принципиальная схема поднастройки режима динамического гашения в определенном диапазона частот, численные исследования которого при переменных возмущениях на заданном интервале времени по линейному и квадратичным законам подтвердили, целесообразность введения элементов управления [7]. Поведение фильтра гармонических вибраций изучено при наличии ударных, а также стационарных возмущений. Как показали исследования фильтров полигармонических вибраций, имеется возможность создания B3С при переменных инерционных характеристиках объектов.

Использование фильтров вибраций в технических приложениях предполагает рассмотрение многомерных расчетных схем. Изучены, в частности, возможности многоопорной платформы, где дополнительные инерционные элементы включаются в механическую систему для образования связей в относительном движении не только между объектом и основанием, но и между опорами; наряду с режимами динамического гашения определены особенности взаимовлияния парциальных подсистем; получены более полные условия развязки колебаний. В обобщение такой модели рассмотрена п -опорная платформа на жестком и упругом основании при детерминированных и случайных возмущениях; определены условия инвариантности для колебательных систем с дополнительными инерционными элементами.

Нелинейности в системе определенным образом изменяют виброзащитные свойства и динамические эффекты. Более подробные сведения о свойствах B3С с нелинейностями при ударных-периодических воздействиях приведены в работе [7] преобразования движения.

Пространственные системы виброизоляции требуют более сложных подходов, сочетающих математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с методом конечных элементов, когда речь идет о более детальных свойствах систем защиты от вибраций.

II. Задачи построения ВЗС с предельным качеством связаны с разработкой систем адаптивного управления функциями активного элемента. В этом смысле определенный интерес представляют концепции построения беспоисковых самонастраивающихся систем с настраиваемой моделью замкнутого контура системы; в них, как правило, используется принцип управления по отклонению (Рис. 1). Для этих целей надо предварительно определить необходимое значение показателя качества 31(() которое затем сравнивается с его текущим значением 1(1) с последующим расчетом рассогласования Д/(£) = ->/(£). Полученное рассогласование используется для воздействия на вектор управления или вектор параметров управляющего устройства в предположении, что влияние возмущений может быть компенсировано перестройкой параметров активного элемента.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

рез

?1, Р

и

примем

также

х1 - 8,х2 - вт,х3 -/,у - 1п. Тогда можно записать систему уравнений, описывающих нестационарный объект защиты, в общем виде

¿1 х 2 - х 1 ; Ь 2 х 3 - ^2 х 2;Ь4 У - Рх 3. (1)

Исключим из (1) промежуточные координаты х2 и х3, используя [10] уравнивающие операторы и 1 и и2:

и * Ь 2 х 3 - и х 3; и 2 * Ь х 2 - и 2 * Р х1. (2)

Рис. 1. Обобщенная функциональная схема адаптивной ВЗС с эталонной моделью.

Как видим, процесс адаптации является, по существу, автоматической подналадкой процесса регулирования активного элемента или дополнительного устройства, а управление организуется таким образом, чтобы свести величину Д/^) к минимуму.

Для расчета адаптивной ВЗС можно воспользоваться прямым методом Ляпунова [9], позволяющим описывать структуру системы, заведомо удовлетворяющую достаточному условию устойчивости. Расчет в данном случае состоит из двух процедур.

1. Получение дифференциального уравнения, описывающего ошибку между эталонной моделью и системой управления, включающей в себя объект защиты.

2. Расчет таких уравнений настройки параметров активного устройства, которые гарантируют устойчивость полученного дифференциального уравнения.

Для этого необходимо записать определенно-положительную функцию Ляпунова, уравнивающую ошибку, и выбрать уравнение механизма настройки так, чтобы производная по времени функции Ляпунова была определенно-отрицательной, что гарантирует асимптотическую устойчивость функции ошибки.

Обозначим линейные дифференциальные операторы левых частей дифференциальных уравнений, описывающих привода активных устройств ВЗС и датчики, соответственно через Ь1, Ь2 и Ь4, а правых частей че-

Если выбрать операторы и 1 и и2 так, чтобы

и2 * ¿1 - и 1 * ^2, (3)

тогда

и 1 * Ь2 х3 - и2 * Р х 1. (4)

Введем обозначения: Ь 3 х 3 - и 1 * Ь 2, Р3 - и 2 * Р1; перепишем (4) в виде

(5)

(6)

Ь 3 х 3 - Р3 х 1

и после подстановки в (1) найдем

Ь 4 У - Р4 х 3 ; Ь 3 х 3 - Р3 х1 ;

исключим из этой системы переменную х 3: и3 * Ь4 У - и3 * Р4 х3; и4 * Ь3х3 +и4 * Р3х 1 . (7) Операторы и3 и и4 выбираем при этом из условия

тогда

или

и * Ь - и *

4 ^ 3 и 3

и 3 * Ь 4 У - и 4 * Р3 х1

Ь 0 У - Р0 х 1, Р - и * Р

1 о - и 4 * Р :

(8) (9)

где Ь о - и 3 * Ь 4

Пусть линейные дифференциальные операторы в системе уравнений (1) имеют вид Ь -апРп р + ао; Р -Ьтрш +...+Ь1 р + Ьо; (10)

Ь2 -с1р1 +...+с1 р+с0; Р2 -р + d0.

Выразим коэффициенты операторов Ь3,, Р3 через коэффициенты операторов Ь1, Ь 2, Р1, Р2. Для равенства операторов в выражении (3) необходимо соблюдение равенства их порядков и коэффициентов. Полагая порядок оператора и 1, равным у, а оператора и=|а, получим ц+п - у+к, (11)

что возможно при у - п,ц - к. Обозначим порядок через г - у + к -ц +п. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в операторах (3), получим г +1 алгебраических уравнений.

Обозначим

и 1 -атрп +...+а 11 р + dlо;U2 -Р2крк +---+Р21 р +Р20 и положим а 1п -1, тогда систему алгебраических уравнений можно записать в виде

а

10Nоа? -Р20NРд +...+а

1( п-1

М.

п-1)?

-Р 2к —Мп

(12)

где ? -0,1,2...; М

-I с- р'

мр -

с]р]"а

Решение системы уравнений (12) позволяет определить коэффициенты и Р уравнивающих операторов и и3, а затем найти выражения для Ь3 и Р3. Если принять, что привод активного элемента описывается уравнением второго порядка, а процесс формирования

усилия на объект соответствует уравнению первого порядка, то

Ь1 = а2 р2 + а р + а0; Р, = Ь, р + Ь 0; (,3)

Ь2 = с1 Р + с0(^); Р2 - ^0.

В соответствии с изложенным выше выражением для уравнивающих операторов примут вид

U! =а 12p +ацp+а 10; U2 =р2о.

(14)

(16)

(17)

Найдем выражения для N;a и NjPq, составляющие систему алгебраических уравнений: N0а? = dq; N 1aq = dqp + dq_1;

N 2aq = dqP 2 + 2dq _1 P + dq _ 2; N Pq = Oq .

Составим систему алгебраических уравнений:

d0a 10 "°oP20 + doa 11 P --d0P2r

d1a 10 - a^p 20 +№ p+d 0)a n =-d1 p2 - 2d 0 p,

d2a 10 -a2p20 +(d2p + d1 )a 11 --d2p2 -2d1 p + d0.

(15)

С учетом того, что при всех значениях i > 0 имеем di -0 и d0pj -0 при j -1,2..., так как d0 - const, система уравнений (15) примет вид d0a 10 -a0p20 - 0, d0a 11 -a1p20 - 0, O2 Р 20 - d 0 ,

откуда

cx 10 — 00/ a2, aa 11 — ^ / cx 2, aa 12 — 1, P- d 0/ a2.

Найдем теперь выражения для операторов L3 и F3, пользуясь правилами действий над линейными дифференциальными операторами и учитывая, что c1 - const:

L3 -L12c1 p3 +(a 11c1 +a 12c0)p2 +

+(a 10c1 +a 11c 0 + 2a 12 c 0 p)p + (18)

2

+a 10c0 + a 11c0p + a 12c0p ;

F3-p 20(b1 p + b 0). (19)

Подставляя значения a и p из (17) в (18) и (19), получим

L3 - a 2 c1 p3 +(a1 c1 + a 2 c0)p2 +(a 0 c1 + a1 c0 + 2a 2 c0 p)p +

+a 0 с 0 + a1 с 0 p + a 2 с 0 p2; (2°

F3 -d0(b1 p + bJ. (21)

Вернемся теперь к рассмотрению системы уравнений (6); будем считать, что датчик для измерения усилия описывается уравнением первого порядка L4 у - F4 х3, где L4 - e1 p + е0; F4 -10. Выразим коэффициенты операторов L3, F3, L4, F4, вводя предварительно обозначения:

Л0 = а0с0 + а1с0 Р + а2 с0Р ; (22) Л, - а0с, + а, с0 + 2а2 с0 р;

Л2 -а,с1 + а2с0;Лз -а2с,. С учетом обозначений: Ь3 -Л3р3 + Л2р2 + Л,р + Л0 и Р3 -d0 +(Ь,р + Ь0)

уравнивающие операторы для системы примут вид

и 4 -Р 40,и 3 33 р 3 +« 32 р 2 +« 31 Р +« 30 , (23)

а коэффициенты при неизвестных а и р: Nа -1 N а -1 р +1

0 д 1 д'1 М д 1 дУ ^ д-1 '

N 2 q - 1 q p 2 + 21 q -1 p +1

q - 2 1

N 3aq - 1 q p 3 + 31 q _1 p 2 + 31q - 2 p +1

3q

NPq - hq .

q - 3'

(24)

С учетом того, что 1i -0 при всех значениях i -1,2,... и pi7° - 0 при i -1,2,..., так как 10 - const, система алгебраических уравнений запишется

10a 30 - h0 P 40 - 0, 10a 31 - h0 P 40 - 0, 10a 32 -h0p40 - 0 10 - h0p40.

с соответствующими решениями:

a 30 - h0 / h3, a 31 - h1 / ^ a 32 - h2 / h3,P 40 - h/ ^ a 33 -1

Найдем L0 и F0 в соответствии с уравнением (9). Для L0 имеем

L 0 - U 3 * L 4 - U 3 L 4 +

dU dp

3 L 4 p

1 d U 3 L p 2 + 1 d U 3 L p 3

О , 2 L 4 p + 7 , 3 L 4 p .

2 dp2 6 dp3

(25)

Так как коэффициенты е оператора Ь4 - е, р+е0 постоянны, то р'е, - р'е0 - 0 при всех I -,,2,3... и выражения для Ь0 и Р0 примут вид

Ь0 - Л3е, р4 +(Л2 е, + ^е0)р3 +

■+{ Л,е, + Л 2 е 0 )р2 +(Л 0 е, + Л,е0)р + Ла; (26)

Р0 -10(Ь, р + Ьo)d0.

Найдем теперь уравнение ошибки между эталонной моделью и системой управления. Пусть эталонная модель реализована и виде безынерционного звена с коэффициентом передачи Км; обозначим его через оператор .

Тогда уравнение, описывающее выходную координату модели, будет

Ум - , (27)

а системы управления —

ЬиУ -, (28)

где Ьи и Ри - линейные дифференциальные операторы, описывающие систему с нестаци-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

онарным объектом защиты, а также устройства оптимизации и обработки информации.

Уравнение ошибки в общем виде запишется как

е = Ум -У• (29)

Умножая на Ьи левую и правую его части, и подставляя значения ум и у из (27), (28), получим

Ке = К * -

или

Ь ,е = р 5, (30)

ГДе Ь е = Ьи , Ре = Ьи * Рм - Ри , Ри =Л1 Р +Ло.

В конечном итоге уравнение (30) с учетом того, что рРм = 0, примет вид

ае

-+ 2 0 Б =

м а2 54

d4 s

d3 s

d2 s

z 4 —- + z 3 —- + z 2 —- + z1

4 ~'x4 3 dt3 2 dt2 1

dt4 = K

d4 5 dt4 "

d3 S dt3 '

+(KMzi -л, ^+( к

2 dt2 ,z0 —Л 0 )S

(31)

где

Z 4 — h 3ej , z 3 — h 2 Sj + h3e 0, z 2 —

+ h 2 e 0, ZJ — hoeo + hie 0, Z 0 — h0e 0'

Дальнейшая задача сводится к определению закона настройки активного устройства, который обеспечит устойчивость системы управления при ошибке между моделью и системой, описываемой уравнением (31). При S = const (31) упростится к виду s(t) — A(t )s(t)+U(t),

где

0 0 1

0 1 0

0 0 1

A( t) = 0 0 0

— —fi. —fi

z 4 z 4 z 4

s( t) = sjt) s 2(t) s 3(t) s 4 ( t) , "(t) = 0 0 0 K z

z 4

-Л 0

■5

Для дальнейшего поиска алгоритма изменения управляющего воздействия можно построить нестационарную функцию Ляпунова и найти соответствующие выражения для коэффициентов; при настройке они зависят от времени, что технически трудно реализуемо. Более приемлемы такие подходы, когда имеется возможность выбрать стационарную функцию Ляпунова, например, в виде V (е) = е тБе+ху2,

где s - транспонированная матрицав ; В —

симметричная матрица; % - положительная постоянная; у = (KMZо — Ло )/z4.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1978.-224 с.

2. Елисеев С.В., Нерубенко Г.П. Динамические гасители колебаний.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1982.-144 с.

3. Елисеев С.В., Кухаренко В.П. Виброзащитные системы с инерционными связями // Межведомственный сб. Динамика и прочность тяжёлых машин. Днепропетровск. 1984. С. 115-124.

4. Елисеев С.В., Засядко А.А., Карпухин Е.Л., Метугер П.К. Проблема интеграции программного обеспечения для задач автоматизированного проектирования виброзащитных систем // Труды «IV Всесоюзного совещания по автоматизации проектно конструкторских работ в машиностроении». Минск. ИТК АН БССР. 1989. С. 72-80.

5. Елисеев С.В., Мижидон А.Д. Аналитическое конструирование виброзащитных систем // Динамика и колебания механических систем.-Иваново. 1986. С. 33-38

6. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N, Khomenko A.P Dynamics of mechanical systems with additional ties. Publishing of Irkutsk state university. 2006. 316 p.

7. Елисеев С.В., Засядко А.А. Виброзащита и виброизоляция как управление колебаниями объектов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - Иркутск: ИрГУПС. №1, 2004. С. 24-36.

8. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Проблемы виброзащиты и виброизоляции технических объектов в работах иркутской школы механики // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — Иркутск: ИрГУПС. № 1 (5). 2005. С. 6-26.

9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения - М.: Л.: Изд-во АН СССР. 1956.-473 с.

10. Бенджнор М.Л. Критерии устойчивости линейных систем с переменными во времени параметрами, выраженные через характеристики в области действительных частот // Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. — 1964.-№ 7.-С. 886-896.

z

z

4