Осредненные уравнения в ячейке Хеле-Шоу: модель с учетом стратификации Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 532.546

ОСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ: МОДЕЛЬ С УЧЕТОМ СТРАТИФИКАЦИИ

О. А. Логвинов1

Предложена осредненная модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учетом поперечной стратификации течения между пластинами ячейки.

Ключевые слова: ячейка Хеле-Шоу, стратифицированное течение, осредненные уравнения Навье^Стокса.

An averaged model of viscous fluid displacement from a Hele-Shaw cell with consideration of the transverse stratification of flow between the cell's plates is proposed.

Key words: Hele-Shaw cell, stratified flow, averaged Navier-Stokes equations.

Введение. Интегрируя трехмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости в направлении, перпендикулярном пластинам ячейки Хеле-Шоу, приходим к осредненной модели течения в ячейке [1]:

« ^+! « ЭД--ЯМР <«>+" «

ад + ОД = 0 (3)

дх ду '

где и, v — компоненты вектора скорости W; р — давление; ¡л, р — динамическая вязкость и плотность жидкости; 5 — зазор между пластинами ячейки, а осредненные параметры определяются как

<5/2

if)(x,y,t) = ^ J f(x,y,z,t)dz, f = {u,v,p}.

-5/2

Пренебрегая как инерционными, так и вязкими дифференциальными членами, получаем классические уравнения Дарси плоского потенциального течения, аналогом потенциала в которых выступает давление. Эти уравнения, до сих пор не потерявшие актуальности, применяются в подавляющем большинстве работ, связанных с ячейкой Хеле-Шоу.

Отбрасывая только инерционные члены, приходим к модели типа Бринкмана, активно использующейся в последнее время [2, 3]. Осредненные уравнения (1)-(3) с учетом как инерционных, так и вязких слагаемых также находят применение [4].

Важно отметить, что система (1)-(3) получена в предположении, что в течение всего времени движения каждое вертикальное сечение ячейки Хеле-Шоу заполнено только одной жидкостью, причем профиль ее скорости между пластинами ячейки параболический [1]:

3 , , / 4,г2\ 3 , , / 4,г2\

и = 2 (и) " > У = 2^ { 1р) 1 ™

Для задачи вытеснения такое предположение не имеет места: вытесняющая жидкость прорывается по центру вытесняемой, оставляя слой последней на пластинах. Образуется так называемое трехслойное стратифицированное течение. В настоящей работе предложена альтернативная модель вытеснения с учетом подобной стратификации.

1 Логвинов Олег Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат.

ф-та МГУ, e-mail: oleglogvinovQmail.ru.

Осредненная модель с учетом поперечной стратификации. Рассмотрим трехслойное стратифицированное симметричное течение между пластинами ячейки Хеле-Шоу в отсутствие силы тяжести (рисунок). Через а = а(х, у, t) обозначим объемное содержание вытесняющей жидкости 1 в вытесняемой жидкости 2. Случай а = const, рассмотрен в приложении к работе [5].

Введем оередненные параметры и отклонения. В силу симметрии достаточно рассмотреть область г > 0:

Ш {х, У, t) = j^-j J fi{x, у, z, t) dz, f-=fi- Ш ,

где

fii = [0;a5/2], |fii|=a<V2, Q2 = [a6/2-,6/2], |Q2| = (1 - a)6/2, fi = {гн,гч,ич,р^, '¿ = 1,2.

Трехслойное стратифицированное течение между пластинами ячейки Хеле-Шоу: пунктир межфазная граница, сплошные линии графики профилей скорости Основные свойства операции осреднения следуют прямо из ее определения: ((/¿)) = /¿, {/[) = 0. При осреднении трехмерных уравнений Навье Стокса для каждой из жидкостей появятся следующие слагаемые:

^ _ / Н~ — _____!_11 ,

\а6/2

= f>I

\Qi\J дх дх |Qi| дх Iil

П

fdfi ,,

т J ду " ду ду /г|«й/2

п

ft = {uuPi}; fi = {Vi,pi}]

1

[q

диц , 1 di\Qi

г | J 9Z П

dz =

| Hi | dt

1

Щ

dt dt dt hlaS/2

fi = {Ui,Vi}]

1

la

d(fi ■ 9i) dz = д(Щ-(9г)) _ W ш ,

1

Wi

J дх 1

| Qi | дх 1

| Qi | дх

JL [dUi-9i

1^1 J ду

1 <9|Qi| Щ ду i <9|n

Щ ду d(fi ■ w,

(дг) Л

+

dx | Пг | дх

9(Л • g'i) , i д\пг

+

ад/2

й-д'г)-

а5/'2 ' дх ' |iii| дх (Л • g'i) L/2 > fi = {uiлч}-, 9i = {щ};

0 «/*>•<&» 1 д\п

dz =

(дг) Л

+

ду |Qi| ду

9 (Л • g'i) , 1

+

(fi) 9i\aS/2

fi ■ g'i) -

a&/2 ' ду ' | f2i| ду

(Л • g'i) L/2 > fi = {иг> vi}, 9i = {fi};

dz

1 di\Qi\ 1 сЦ\Щ ,, , 1

d>z = Т7ГТ Ш "Г- + 7777 Л Л L/2 > fi = vih

I fii

di

|Qi| di

1 [ д2и ^ = 92 Ш 2 д\Щ дЦ

у дх2

п.

I Г Я 2

П,;

9ж2 |Пг| 9ж 9ж

2 9|Ог| дП ду2 9у 9у

1

\ili\J дг2 |Ог| а*

П;

кй/2 9у2

/г =

/г = {Щ,Уг}] /г =

Окончательно имеем осредненную по высоте ячейки систему уравнений движения для обеих жидкостей:

да 9 (а • (щ)) 9 (а ■ (у 1)) _ 0 дЬ дх ду '

р1 (^-аГ + ы —

д(Р1) + 1 да

1 дЫ | 1 /а (а • (О) |

9у ск V 9ж 9у

9ж а: 9ж 1а<5/2

+ РЧ

/д2(щ) | 92Ы\ | 2 \ 9ж2 9у2 у а£

ди'л

1 /

^а \ дх дх

д2а , , да ди[

+

дх

д2а ., щ |

ай/2

ай/2

{д(ы) д(Щ)

р1 (^Г + ^^Г

9 (^1) 1 9а ,

а&/2

9<гл) 1 /а (а •<«>;)) 9 (а-«»'

9у а

9ж

+

92 Ы 92 (^1)

9ж2

+

ду2

Н--

1 /9а аг/

^а 1 9ж дх

+

92а

ай/2

9а; ду[

"дх2 ]а&/2 + ~ду ~ду

ду

ду[ a5r~L дг

д2а ,,

аб/2

й/2

9(1 - а) + 9 ((1 — а) • (г^)) + 9((1 - а) • Ы) = ^

дЬ

9ж

9у

р2 I "аГ + Ы ~дГ

аы + [ э((1-«)-(Ц2)) + а((1 - а) • <и'2^))

9у

1 — а

9ж

9у

(4)

(5)

(6) (7)

-V 2

9ж 1 — а 9ж

1 ^9(1-«) 9Ц 1 — а \ дх дх

+

92(1 — а) ,

9у2

2 / 9Ц

(1 -а)<^2 1 дг

5/2

9Ц

9,г

ай/2

ай/2

9ж2

. о^1 -«) ди'2

об/2

+

92(1 — а) ,

ай/2

9у2

аё/2

(8)

(д(у2) д(у2)

р2 ^"аГ + ы

9Ы 1 2/ —--Ь

9у

/^2

1 — а

1 — а ду

(9(1 — а) ду'2 дх дх

ду + ¿¿2

1 — а

'9 ((1 - а) • (Ц^ + а((1 - а) • <^2»'

дх

ду

+

у дх2 92(1 — а) ,

+

9у2 / (1 — а) 6

V 2

9г

<5/2

9г

а<5/2

а<5/2

9ж2

+ 2

9(1 — а) 9^2 9у ду

+

92(1 — а) ,

а<5/2

9у2

^2 | ск<5/2 I • (9)

При выводе уравнений (5), (6) было использовано уравнение (4), при выводе уравнений (8), (9) — уравнение (7).

Система (4)-(9) незамкнута. Члены с отклонениями конкретизируются заданием профилей скоростей между пластинами ячейки. Предполагая, как и при получении модели (1)—(3), что изменения параметров течения по координатам х и у мало влияют на профиль скоростей по поперечной координате z, приходим к кусочно-параболическому распределению скорости. Постановка соответствующей задачи в плоскости XOZ (см. рисунок) имеет вид

1 ¡- (I I )■

Цг —у = -1 = COnst = -Ci, 1 = 1,2] С\= С2. ах

Граничные условия

z = 0 '. = 0; z = 5/2 : и2 = 0;

az

„ du\ dv,2

z = ad/2: u\ = u2, P\=P2, =

Профили скоростей Ui(z), u2(z) (см. рисунок) и отклонения имеют вид

12 М (z2/52) -3-3 (М- 1 )о:2 , 12 (z2/62) - 3 , №

u 1 = -- . 2--- {Ui , U2 =-2~i-, М = —,

(3 — 2 M)az — 3 cr + а — 2 ¡ii

, 12М (,z2/52) - Ma2 , 12 (z2/52) ~(а2 + а + 1) ui = (з _ 2М)а2 - 3 ' ^ =-«2 + «-2-{U2) ■

Члены с отклонениями, входящие в систему (4)-(9), выражаются через средние скорости. В итоге получается "замкнутая" система уравнений трехслойного стратифицированного течения между пластинами ячейки Хеле-Шоу, осредненная по ее высоте:

да + d(a-(ui)) + д(а-(у 1)) = Q dt дх ду '

{д(щ) 1 да V9((m)(l+A!)) v 9((m)(l+Ai)) pl {~дГ ~ amAl {ui) + {ui)-Ш-+ Ы-d~y-

д Ы 24/xiM /д2 (щ) d2 (Ul) + 7777;-77773-ТТ^+М я„2 +

дх 52 ((3 - 2M)a2 - 3) x 17 ^V dx2 dy2

2fnMa (пдад{т} (6 (da\2 (3-2M)a2 - l\ / Л

+ 772 — 7 77 777772 о Vй!/ ~~

(3 - 2M)a2 - 3 \ дх дх \дх2 a \ dx J (3 - 2M)a2 - 3

2ц\Ма (пда д (щ) + / (Ра 6 /да\2 (3-2 М)а2 - 1V Л ^

(3 - 2М)а2 - 3 \ ду ду \ду2 а \ ду J (3 - 2М)а2 - 3

д(Р1) , 24^М fd2(Vl) , d2(Vl) + 7777Б-777772-\ui> + t1! я о +

ду 52 ((3 - 2М)а2 - 3) х 17 ^ V дх2 ду2

2ц\Ма ( dad(vi) (д2а 6 (да\2 (3 - 2М)а2 - А Л

77 -77" + 772 ~ 7 77 7Б-77773-о \Vl' ~

(3 - 2 М)а2 -3 \ дх дх \дх2 а \ дх J (3 - 2 М)а2 - 3

2щМа (2dad{vi) | (д2а 6 /<9сЛ2 (3 - 2М)а2 - 1 V Л ^

(3 - 2М)а2 - 3 I ду ду \ду2 а \ ду J (3 - 2М)а2 - 3

д(1~а) + Э((1-а)-(ц2)) + Э((1 - а) • <г;2)) = Q dt дх ду '

.д(и2) 1 9(1 -а) ,9(Ы(1 + Л2)) Э((ц2)(1+Л2)) р21 ~дГ - 1 — а т Ла (М2) + Ы-Ш-+ Ы-д~у-

д(Р2) , 24/х2 , ^ ,

+ 52^.2 , -^ \ 2/ + № я о + до +

9ж ¿2 (а2 + о; — 2) \ 9ж2 9у

, 2а + 1 Лэ(1-а)э<ц2) , /^а-а) , /9(1-о:)\2 6(а +1) \ \

а2 + а - 2 1 9ж 9ж I дх2 \ 9ж / а2 + а — 2 I I - - <•» + <-> + «

_ д(р2) 24^ (д2{у2) д2{у2)\

+ 7277^—-^ Ш + № + я. о +

ду 52 (а2 + а — 2) \ дх2 ду

, 2а + 1 Лэ(1-а)э<г;2) | 92(1 - а) | /9(1-о:)\2 6(а + 1) \ \

а2 + а - 2 1 9ж 9ж I дх2 \ дх ) а2 + а — 2 ) I

2а + 1 /9(1 -а)д{у2) [д2(1 -а) (д(1-а)\2 6(а +1) \ Л + № а2 + о; — 2 --ду у 9у2 + ^Г") а2 + а - 2 ) Ы) > (15)

л , , 4а4 М2 л , , 4а2 + 7а + 4 ЛЛа) =-о, Л2(а) =-¡т—.

5 ((3 — 2М)а2 — 3) 5 (а + 2)

В систему входит свободный параметр а = о;(ж, у, ¿) — объемное содержание вытесняющей жидкости. При выводе уравнений (11), (12) использовалось уравнение (10), при выводе уравнений (14), (15) — уравнение (13). При а —> 1 система (10)—(12) для вытесняющей жидкости 1 переходит в систему (1)-(3). При а —> 0 система (13)—(15) для вытесняемой жидкости 2 также переходит в систему (1)-(3).

Полученная осредненная модель с учетом поперечной стратификации является обобщением модели, предложенной в [5]. При этом систему (10)—(15) следует рассматривать только как своего рода регуляризацию (одну из возможных), поскольку некоторые не учтенные при осреднении эффекты имеют тот же порядок малости, что и часть слагаемых, удерживаемых в системе. В частности, не проанализированы динамические условия на межфазной границе.

Модель Дарси с учетом стратификации. Отбросив в системе (10)—(15) как инерционные, так и вязкие дифференциальные слагаемые, придем к системе типа Дарси с учетом поперечной стратификации, в которую объемное содержание а = а(х, у, ¿) входит как свободный параметр:

^ <»> = У «З-Х'-З) ' ЛУ <« ' =

^ « = ^+«-2) • Т + «МП - а) • (»,)) = 0.

Существенным недостатком такой системы является отсутствие явного вида объемной концентрации как функции независимых переменных. В качестве простейшего варианта можно предложить зависимость только от одной из пространственных координат и времени:

, , 1 / 2 х

где [/о — характерная скорость вытеснения.

Одно из возможных применений такой системы — использование ее в задаче Саффмана-Тейло-ра (см. [5]). Линейный анализ в рамках классической модели Дарси показывает абсолютную неустойчивость границы раздела жидкостей к малым возмущениям: чем меньше длина волны возмущения,

тем больше интенсивность его нарастания. Возможно, этот результат уже не будет иметь места в рамках модели Дарси с учетом стратификации.

Заключение. В работе предложена осредненная модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учетом стратификации течения между пластинами ячейки. В модель входит свободный параметр — объемное содержание вытесняющей жидкости в вытесняемой. При пренебрежении как инерционными, так и вязкими дифференциальными слагаемыми эта модель переходит в обобщенные уравнения типа Дарси, которые могут быть использованы для решения задачи об определении характерного размера "вязкого пальца".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Звягин A.B., Ивашнев O.E., Логвинов O.A. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.

2. Nagel M., Gallaire F. A new prediction of wavelength in radial viscous fingering involving normal and tangential stresses // Phys. Fluids. 2013. 25. 124107.

3. Zeng J., Yortsos Y. S., Salin D. On the Brinkman correction in unidirectional Hele-Shaw flows // Phys. Fluids. 2003. 15, N 12. 3829-3836.

4. Логвинов O.A. Об устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 2. 40-46.

5. Saffman P. G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or a Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. London. 1958. A245. 312-329.

Поступила в редакцию 27.05.2015

УДК 531.36

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ

В. М. Буданов1

Вводится линейное преобразование частного вида, позволяющее представить общее решение дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом через частное решение вспомогательной нелинейной системы второго порядка с периодически возмущенной правой частью. Численно установлено наличие периодических решений вспомогательной системы вне зон неустойчивости решений уравнения Матье. Полученные оценки зон неустойчивости согласуются с известными результатами.

Ключевые слова: система с периодическими коэффициентами, нелинейная система, уравнение Матье.

A linear transformation of a special type is introduced to express the general solution to a second-order differential equation with a periodic coefficient using a particular solution to an auxiliary second-order nonlinear system with a periodically perturbed right-hand side. It is numerically shown that there exist periodic solutions to the auxiliary system outside the instability zones of the Mathieu equation. The obtained estimates for the instability zones are in agreement with known results.

Key words: system with periodic coefficients, nonlinear system, Mathieu equation.

Введение. В настоящей работе рассматривается известное уравнение Матье, представляющее собой один из простейших примеров линейных нестационарных систем с периодическими коэффициентами. Будем использовать следующую форму этого уравнения:

X + (1 + /Л COS U)t)x = 0, (1)

1 Буданов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ, e-mail: vlbudanovQgmail.com.