Особенности передачи изображений при коллинеарной дифракции света на акустической волне Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534:621.382; 534:535

А. С. Мачихин, В. Э. Пожар

ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕДАЧИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ДИФРАКЦИИ СВЕТА НА АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЕ

Рассмотрена задача передачи изображения, переносимого световым пучком, при коллинеарной дифракции последнего на акустической волне в кристалле. В общем виде (вне приближения малости двулучепреломления) получены закон трансформации изображения, передаточная функция и другие характеристики коллинеарных акустооптических фильтров.

Ключевые слова: акустооптический фильтр, коллинеарная дифракция, искажения изображения.

Введение. Коллинеарная дифракция представляет собой когерентное рассеяние света на объемной динамической дифракционной решетке, созданной ультразвуковой волной, при котором волновые векторы падающего к 1 и дифрагированного к^ света и звука кс

коллине-

арны и связаны условием синхронизма

ку + к с = к,

Рис. 1

(1)

В случае если эти векторы направлены вдоль одной из осей симметрии кристалла (рис. 1), угловая ширина синхронизма может достигать значительной величины (несколько градусов по каждому направлению), а длина взаимодействия волн, ограниченная лишь размерами Ь кристалла кварца, может быть большой (до 20 см в БЮг), что при прочих равных условиях обеспечивает повышение спектрального разрешения Х/АХ~Ь и снижение управляющей мощности ультразвука Р~Ь2 [1]. Благодаря совокупности полезных качеств коллинеарные акустооптические (АО) фильтры находят широкое применение в задачах, связанных с передачей и обработкой изображений [2, 3].

Несмотря на то, что коллинеарный тип АО-дифракции достаточно хорошо изучен, а коллинеарные АО-фильтры для передачи изображений давно изготавливаются и эксплуатируются, в литературе коллинеарное АО-взаимодействие, как правило, рассматривают лишь в приближении малого двулучепреломления п = - ио|/и0 << 1 и лишь в плоскостях симметрии кристалла [4]. Более того, вопрос аналитического описания пространственных деформаций (аберраций) изображения без указанных приближений до сих пор не решен.

Настоящая статья посвящена анализу процесса передачи изображений при коллинеарном АО-взаимодействии в наиболее общем случае, который необходимо рассмотреть для вывода закона трансформации изображения А^1(А01, А92) и А^2(А01, А92) и вычисления передаточной функции Г(А01, А92), а также основных параметров — угловой апертуры 2А0тах и спектральной полосы пропускания АХ. Здесь и далее А9, Ау — значения углов распространения падающей и дифрагированной волн, выраженные в виде отклонения от главного луча падающего пучка; индекс „1" определяет угол в полярной плоскости, а индекс „2" — в азимутальной.

Общее решение. Для исследования аберрационных свойств акустооптической ячейки необходимо определить закономерности распространения неколлимированного пучка, переносящего изображение, т.е. получить в явном виде зависимости направления ^ распространения световой волны после дифракции и величины волновой расстройки Дк = к ^ - к у - к с от углов падения света (9г) и распространения звука (уг) для любой длины волны звука (Л) и для

каждой длины волны света (А). Как показано в работах [4—6], эти зависимости позволяют определить соответственно пространственно-спектральные и амплитудные искажения.

Для вычисления данных зависимостей необходимо рассмотреть коллинеарную дифракцию расходящегося светового пучка на акустической волне в одноосном кристалле. На рис. 2 приведена волновая диаграмма коллинеарной геометрии АО-взаимодействия в полярной плоскости. Пусть падающая волна имеет необыкновенную поляризацию „е", а дифрагированная — обыкновенную „о" (см. рис. 2).

Рис. 2

Из решения системы уравнений синхронизма (1) в проекциях на оси х, у и г можно получить величины у и Ак как функции углов у и 9 [5]. Для случая коллинеарной осевой геометрии (у1 = у2 = 0) получим

( \

)мп 91

V1 = arctg

£(0!)cos01 - П )2 + 2^(0!)cos01 (1 - cos 02)

f £(01) cos 01sin 02 ^

V 2 = arctg - ;

Щ01 )cos0i cos02 -n )

Ak = kn0 ^^(((01 )-n)2 + 2 n£(01 )(1 - cos 02) - Л

(2а)

(2б)

(2в)

гДе ((01 ) = ne/4'

2 2 2 2

no cos 01 + ne sin 01 — параметр, характеризующий угловую зависимость

величины двулучепреломления кристалла.

Следует отметить, что в отличие от ранее полученных формул [4] выражения (2а)—(2в) описывают дифракцию в общем виде, а не только в полярной и азимутальной плоскостях. Эти выражения справедливы также для произвольной величины двулучепреломления п.

Пространственно-спектральные искажения изображения. Для анализа пространственно-спектральных искажений необходимо сравнить изображения, полученные на разных длинах волн А, на входе и выходе системы фильтрации, содержащей АО-ячейку: см. рис. 3, где 1 — исследуемый объект; 2, 6 — входной и выходной объективы; 3, 5 — поляризаторы;

4 — АО-ячейка; 7 — изображение. Для этого необходимо найти для каждого спектрального компонента света А отображение входного изображения /¿(А01, А92) на выходное изображение /¿(Ау1, Ау2). Углы А0г- = 0г- - 9г° и Ауг- = - удобно отсчитывать от углов падения 9г° и дифракции некоей волны, которой соответствуют центральные точки исследуемого объекта и его изображения и которая будет называться „центральной". В случае коллинеарной

z

п

о

0

геометрии в качестве „центральной" логично выбрать падающую волну, соответствующую условию коллинеарности 9г° = у. и распространяющуюся после дифракции под тем же углом у.0 = Ji. Если направление распространения совпадает с осью симметрии (у. = 0), такой выбор обеспечит симметричную картину искажений изображения.

Д0 к к Д к*

1 )

к«

2

3

5

6

4

Рис. 3

Из выражений (2а) и (2б) следует, что закон трансформации изображения при коллинеар-ной АО-дифракции необыкновенно поляризованного света определяется следующим образом:

( £ (Д0! )б1пД01 Л

Ду (Д0Ь Д02) = аг^

^2 (Д01) соб2 Д01 + п2 - 2п£ (Д01) СОБ Д91СО8Д92

Ду2 (Д01, Д02) = аг^

£ ( Д01) соб Д01втД02

(3а)

(3б)

£(Д01 )собД01собД02 -п

Выражения (3а), (3б), полученные впервые, позволяют вычислять коэффициенты искажения изображения при коллинеарной АО-фильтрации (рис. 4) и выявлять причины искажений, что дает возможность оптимизировать характеристики АО-фильтров. На рис. 4, а представлена рассчитанная спектральная зависимость Ду1(Д01) - Д01 для коллинеарного АО-фильтра из БЮ2 (при к=633 нм, Д02 =5°). Отклонение от оси абсцисс показывает величину монохроматических аберраций, а спектральная зависимость отклонения (наклон кривых) — наличие хроматических аберраций. Зависимость Ду2(Д02) - Д02 вследствие симметрии имеет идентичный вид. На рис. 4, б показан пример расчета (при Д01=Д02 =5°) для спектрального изображения объекта (выделен жирной линией), переданного через коллинеарный АО-фильтр.

а)

0,04

0,03 Д01 =5°

0,02 Д01 -----_____ =3°

0,01 Д01 = 1°

—1—1—1—1—1—1—1—.—1—

б)

0,4 0,

1,2

1,6

2,2 к, мкм

Рис. 4

Для приближенной количественной оценки пространственно-спектральных искажений, вносимых в изображение АО-фильтром, можно использовать разложение выражений (3а), (3б) по малым величинам отклонения Д0. от „центрального" направления:

Ду. (Д01, Д02) = Д0. + ъл Д01 + Ъ.2 Д02 + сЛ1 Д©2 + Сц2Д01Д02 + с.22 Ав|.

(4)

Коэффициенты разложения имеют следующий физический смысл: Ъу — относительное (линейное) изменение масштаба изображения и его поворот (Ъ12, Ъ21), Оф — нелинейные (квадратичные) искажения. Спектральная зависимость всех коэффициентов от п и Е, описывает хроматизм искажений.

Расчет этих коэффициентов путем разложения выражений (3 а), (3б) был проведен для коллинеарной геометрии АО-взаимодействия. Конкретные параметры расчета коэффициентов деформации изображения при прохождении через коллинеарный АО-фильтр (БЮ2, А = =0,4 мкм, 501 = 592 = 2°) представлены в табл. 1. Вычисленные коэффициенты по знаку и величине хорошо согласуются со значениями, полученными в работе [4] в приближении малого двулучепреломления п << 1: отличия не превышают 0,5п. Однако величины перекрестных членов Ъ12, Ъ21 и ог-12, необходимых для описания всего поля деформаций, в настоящей статье впервые вычислены аналитически в указанном приближении и численно.

_Таблица 1

Расчет Коэффициент деформации

в полярной плоскости в азимутальной плоскости

Ъц Ъ12 сш О112 О122 Ъ21 Ъ22 О211 О212 О222

Точный (П = 6-10-3) 6Т0-3 -8 •Ю-6 -2 •Ю-4 -2 •Ю-4 -2 •Ю-4 8 10-6 6 •ю-3 2 •Ю-4 2 •Ю-4 -2 Т0-4

Приближенный (П<<1) п -0,01п -0,1п -0,1п -0,1п 0,01п п 0,1п 0,1п -0,1п

Как видно из табл. 1, коэффициенты деформации изображений прямо пропорциональны п. Таким образом, с точки зрения минимизации искажений передаваемых изображений предпочтительнее выбирать акустооптические ячейки, изготовленные из материала с малым дву-лучепреломлением.

Основные параметры. Важнейшими параметрами АО-фильтров для передачи изображений являются спектральное разрешение Х/АХ и угловая апертура 2А0тах. Поскольку размеры области АО-взаимодействия в основном определяются размерами акустического пучка ЬххЬухЬг, то допустимая волновая расстройка Ак по каждой из координат обратно пропорциональна соответствующему размеру: Акф ~ в / Ьф (ф = х, у, г).

Спектральное разрешение Х/АХ определяется шириной интервала длин волн 5Х, в пределах которого наблюдается эффективная дифракция света. Этот интервал определяется из условия

|Ак(АХ)| < Ако,5 ~ а/Ь, (5)

где а ~ 2,5...2,75 — коэффициент, характеризующий функцию передачи по уровню 0,5 [7].

Из уравнений (2в) и (5), полагая в этих выражениях Х = Х + АХ, получаем

1 2

АХ - а А (6)

пЬ Ап (А)

Аналогичным образом угловая апертура 2А0тах АО-фильтра определяется как угловой размер области, в которой

|Ак(А01, А02)| < Ак0,5. (7)

Эта величина позволяет оценить максимальное разрешение элементов изображения по обоим направлениям: N = 2А0тах/50д, где 50гд = 1,22(Х/Л) — дифракционная расходимость, определяемая диаметром входной апертуры Л АО-фильтра. Из выражений (2в) и (7) получим

2А0тах - 2агеео8

(А а^2

1 -

У 2п Ь J

А а

+ -Т- по

п Ь

2пе Ап

(8)

Полагая, как и в работе [7], а ~ 0,8п (значение, получаемое в упрощенных моделях), из уравнений (6) и (8) получаем выражения, совпадающие с хорошо известными формулами [8]:

АХ =

0,8 Х

2

(9)

L Ап(Х)'

2A9max ~ 2 arccos(1 - 0,8X/(LAn)). (10)

На рис. 5, а—в соответственно представлены построенные на базе формулы (2в) графики Ak(X), Ak(A9^ A92) и изолинии функции Ak(A9^ A92); также указано пороговое значение 0,8n/L для коллинеарного АО-фильтра из SiO2 (X = 400 нм, L = 100 мм, 91 = 02 = у1 = у2 = 0). Построенные графики позволяют уже на этапе проектирования оценить угловое поле 2A9max и спектральное разрешение AX коллинеарного АО-фильтра.

-0,1

б)

Ак, мкм-1' к 0,001

5-10-4 4

-5-10-

-0,001

в)

А9Ь

10

5

-5

-10 -10

10 А62,

Рис. 5

На основе формул (6) и (8) был произведен расчет основных характеристик коллинеарных АО-фильтров. В табл. 2 приведены рассчитанные значения параметров для реального коллинеарного АО-фильтра, используемого на практике [9] (БЮ2, Х = 0,633 мкм, Л = 6 мм, Ь = 180 мм).

Таблица 2

Параметр Расчет Эксперимент

Угловая апертура в кристалле 2А0тах, .. 2,2 2

Угловая апертура в воздухе 2пеА0тах, ... ° 3,4 3,1

Разрешение N 298 270

Ширина спектрального синхронизма АА, нм 0,22 0,20

Спектральное разрешение (Х/АХ) 2900 3100

Передаточная функция. Выражение (2в), описывающее зависимость волновой расстройки Ак, позволяет построить передаточную функцию коллинеарного АО-фильтра (рис. 6) по интенсивности. Передаточная функция в одномерной модели дифракции определяется как [7]

0

0

о

T (A0j, Л02, X) = Г2L2T0sinc2 (LxyJГ2 + (Ak (Л0Ь Л02, X) / 2)2 /

п

(11)

где Бтс(х) = 8т(ях)/(лх); Г ~ (1/4) ^ (бе/е); 5е — амплитуда модуляции диэлектрической проницаемости 8.

На рис. 6 приведены построенные в соответствии с выражением (11) передаточные функции Г(Д01, Д02) коллинеарного АО-фильтра (БЮ2, X = 633 нм, L = 100 мм) при различных длинах волн Л ультразвука. При точном (Л = Л8=69,6 мкм) выполнении условия синхронизма (1) передаточная функция имеет вид креста (рис. 6, а), а даже при небольших отклонениях (Л = 0,998 Л8, Л = Л8 = 1,002 Л8) от этого условия — вид двух дуг (рис. 6, б, в). а) б) б) Л02, * Л02, ...°1 Д0„, ...

4 2 0 -2 -4

4 2 0 -2 -4

> <

4 2 0 -2 -4

-4 -2 0 2 4 Л0Ь

4 Л0Ь

-4 -2 0 2 4 Л0Ь

-4 -2 0 2 Рис. 6

Вид зависимостей Г(Д01, Д02), а также полученных выражений для угловой апертуры 2Д0тах и спектральной ширины ДХ синхронизма коллинеарного АО-фильтра в приближении П << 1 и малости углов Д01 и Д02 подтверждается расчетами и экспериментами других исследователей [3, 8].

Заключение. Полученные в настоящей статье формулы (3 а) и (3б) позволяют в общем виде анализировать искажения, вносимые в изображение при коллинеарном АО-взаимодействии, а формулы (6) и (8) — оптимизировать параметры коллинеарных АО-фильтров. Следует отметить, что хотя все выражения и выводы получены для положительных одноосных кристаллов, они справедливы также и для отрицательных. Случай дифракции „о"-поляризованной световой волны может быть рассмотрен аналогичным изложенному в данной статье образом [10].

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 09-02-12405.

список литературы

1. Harris S. E., Wallace S. W. Acousto-optic tunable filter // J. Opt. Soc. Amer. 1969. Vol. 59, N 6. P. 744—747.

2. Визен Ф. Л., Калинников Ю. К., Микаэлян Р. С. АО перестраиваемый фильтр на кристалле кварца // Тез. координац. совещания по акустооптике. М.: ВНИИФТРИ, 1975. C. 42—45.

3. Balakshy V., KostyukD. Acousto-optic image processing // Appl. Optics. 2009. Vol. 48, N 7/1. P. 24—32.

4. Pozhar V. E., Pustovoit V. I. Main features of image transmission through acousto-optical filter // Photonics and Optoelectronics. 1997. Vol. 4, N 2. P. 67—77.

5. Pozhar V. E., Machihin A. S. Computation of image distortion caused by wide angular acousto-optic interaction // Proc. of the X Intern. Conf. for Young Researchers WEC0NF-2010. St. Peterburg, 2010. P. 23.

6. Мачихин А. С., Пожар В. Э. Передача изображений при широкоугольном акустооптическом взаимодействии // Квантовая электроника. 2010. № 40. С. 837—841.

7. Ананьев Е. Г., Пожар В. Э., Пустовойт В. И. Акустооптические методы измерения спектров оптического илучения // Оптика и спектроскопия. 1987. Т. 62. С. 159—165.

8. Балакший В. И., Парыгин В. Н., Чирков Л. Е. Физические основы акустооптики. М.: Радио и связь, 1985. 279 с.

9. Ананьев Е. Г. О влиянии расходимости акустического пучка на характеристики коллинеарного акустоопти-ческого фильтра // Точные измерения в акустооптике и акустоэлектронике: Сб. науч. трудов. М.: ВНИИФТРИ, 1985. С. 31—35.

10. Мачихин А. С., Пожар В. Э. Влияние направления поляризации света на искажения изображений при акустооптической фильтрации // Сб. трудов 9-й Междунар. конф. „Прикладная оптика". СПб, 2008. Т. 1, ч. 1. С. 232—235.

Александр Сергеевич Мачихин

Витольд Эдуардович Пожар —

Рекомендована

НТЦ уникального приборостроения

Сведения об авторах канд. физ.-мат. наук; Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН, лаборатория акустооптической спектроскопии, Москва; E-mail: aalexanderr@mail.ru

д-р физ.-мат. наук, профессор; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, кафедра оптико-электронных приборов научных исследований; E-mail: v_pozhar@rambler.ru

Поступила в редакцию 01.02.11 г.

УДК 535.317.2

С. В. Гайворонский, В. А. Зверев

АНАЛИЗ КОРРЕКЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЕХ ОТРАЖАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Предложен метод параметрического синтеза оптической системы из трех отражающих поверхностей, основанный на построении ее параметрической модели. Показано, что в рассматриваемой оптической системе коэффициент центрального экранирования по диаметру зрачка может принимать значения в диапазоне 0,382<Кэ<0,634, что обусловливает ее применение при внеосевом ходе лучей, когда экранирование зрачка отсутствует.

Ключевые слова: оптическая система, отражающая поверхность, апертур-ная диафрагма, коэффициент экранирования, параметры, аберрации.

Любой вогнутый отражающий параболоид, как показано в работе [1], можно дополнить двухзеркальной системой, позволяющей устранить кому при сохранении коррекции сферической аберрации. Формируемая при этом апланатическая система состоит из трех отражающих поверхностей и не имеет промежуточного изображения: см. рис. 1, где — главное зеркало, £2 — вторичное зеркало, £3 — зеркало. ? Для достижения максимальной величины углового поля изображаемого пространства осевая точка поверхности изображения должна располагаться в осевой точке вторичного зеркала или вблизи нее. В работе [2] показано, что задачу компенсации не только комы при сохранении коррекции сферической аберрации, но и астигматизма изображения, образованного оптической системой Пихта, можно решить и при сферической форме дополнительных отражающих поверхностей. В этой же работе на основе общей схемы, представленной на рис. 1, показана возможность коррекции четырех аберраций — сферической аберрации, комы, астигматизма и кривизны поверхности изображения. Однако в этом случае, при приемлемом центральном экранировании световых пучков

Рис. 1