CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
Е.В. ЛЕБЕДЕВА
кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета Е-mail: [email protected] Тел. 8 906 663 12 08
В.Д. СЕЛЮТИН
доктор педагогических наук, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета
Е-mail: [email protected] Тел. 8 919 267 81 54
ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПОНЯТИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИХ ЭМПИРИЧЕСКИХ ПРОТОТИПОВ
В статье показана возможность изучения базовых вероятностных понятий (вероятность, математическое ожидание, график функции распределения, график плотности распределения и др.) в условиях прогнозирования. Процесс изучения данных понятий предполагает введение их на основе «теоретически ожидаемых» математических абстракций в ходе мысленного прогнозирования при неограниченном увеличении числа опытов.
Ключевые слова: прогнозирование, вероятностные понятия, случайная величина, прикладная направленность обучения, специалисты экономического профиля, свойство устойчивости, эмпирические характеристики.
Переход к рыночным отношениям поставил перед органами управления ряд проблем, обусловленных социально-экономическими особенностями каждого региона. Процесс стратегического планирования развития экономики требует объективной оценки существующего положения, поскольку от наличия адекватной оценки настоящей ситуации в экономике зависят результаты, которые могут быть получены в будущем. Успешное решение этой задачи могут обеспечить только высококвалифицированные кадры, обладающие умениями планировать и прогнозировать экономические процессы.
Качество профессиональной подготовки специалистов экономического профиля в большой степени связано с овладением обучаемыми вероятностно-статистическими методами, так как любая предпринимательская деятельность связана с неопределенностью достижения конечного результата из-за влияния большого числа случайных и неконтролируемых факторов. Однако в преподавании теории вероятностей будущим специалистам в области экономики сложилось много трудностей.
Так, ряд понятий теории вероятностей, изучаемых по традиционной методике, не согласуется с идей прогнозирования как способа осуществления прикладной направленности.
Выясним возможности изучения этих понятий в
© Е.В. Лебедева, В.Д.Селютин
условиях прогнозирования.
Одно из самых первых базовых понятий, с которым студенты знакомятся в курсе теории вероятностей, - это понятие вероятности события. Однако, классическое и геометрическое определения не осуществляют прогнозирование, так как не соблюдается принцип прикладной направленности обучения теории вероятностей. С другой стороны, статистическое определение содержит в себе аспекты, отвечающие идее прогнозирования.
Действительно, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможности исходов, то есть сводящихся к схеме возможных исходов, но лишь небольшой спектр прогнозируемых ситуаций соответствует данной схеме. Существует широкий класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического и геометрического определений вероятности. В первую очередь это события, которые не являются равновозможными исходами испытания.
С такими явлениями мы часто встречаемся в практической деятельности, их исход также нельзя предсказать, они тоже, как говорят, зависят от случая. Например, то, что застрахованный объект (машина, дом и т.п.) будет уничтожен в результате
30^^~І£
ЭКОНОМИКА
стихийного бедствия, - дело случая. Если о будущем определенного застрахованного объекта сказать ничего нельзя, то о состоянии большого числа их можно почти наверняка сказать многое. Студенты могут придти к выводу, что при небольшом числе испытаний частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы испытаний к другой. Однако при увеличении числа наблюдений частота события все более теряет свой случайный характер. Случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному испытанию, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу. Создается благоприятная ситуация, чтобы сформулировать свойство устойчивости частоты при увеличении числа опытов: в различных сериях опытов частота может быть неодинакова, но при увеличении числа самих опытов она, как правило, стабилизируется. Это теоретически ожидаемое постоянное число, около которого группируются (за редким исключением) частоты при массовых испытаниях, называют вероятностью события, то есть частота есть эмпирический прообраз вероятности. Действительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем частота появления данного события при большом числе испытаний. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные. Следовательно, вероятность - это не что иное, как результат прогнозирования значений частоты.
В теории вероятностей огромную роль играют числовые характеристики случайной величины. С их помощью существенно облегчается решение многих вероятностных задач. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками.
При изучении числовых характеристик случайной величины в курсе теории вероятностей студенты знакомятся с математическим ожиданием как одним из первых понятий. Однако, традиционная методика изучения этого понятия не согласуется с идей прогнозирования. С другой стороны, в самом слове «ожидание» заложен смысл прогноза, то есть предположение о возможном (ожидаемом) среднем
значении случайной величины.
Рассмотрим, например, дискретную случайную величину, заданную рядом распределения. Пусть производится N независимых опытов, в каждом из ко -торых величина принимает определенное значение. Выборочное среднее наблюдаемых значений случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений указанной величины на частоты этих значений. При увеличении числа опытов частоты приближаются к соответствующим вероятностям. Следовательно, выборочное среднее наблюдаемых значений случайной величины при увеличении числа опытов будет приближаться к ее математическому ожиданию.
Студенты могут придти к выводу, что при небольшом числе испытаний выборочное среднее эмпирических результатов случайно, при достаточном увеличении числа испытаний оно становится «почти не случайным», то есть математическое ожидание случайной величины связано своеобразной зависимостью с выборочным средним наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Эта «зависимость» того же типа, как «зависимость» между частотой и вероятностью, а именно: при большом числе опытов выборочное среднее значений случайной величины приближается (за редким исключением) к ее математическому ожиданию, а «из наличия связи между частотой и вероятностью можно вывести как следствие наличие подобной же связи между выборочным средним и математическим ожиданием»[1].
Появляется удобный момент, чтобы сформулировать свойство устойчивости выборочного среднего, которое состоит в том, что при увеличении числа опытов оно, стабилизируясь, приближается к постоянному значению. Это теоретически ожидаемое постоянное число, около которого группируются значения выборочного среднего при массовых испытаниях, называют математическим ожиданием, то есть выборочное среднее - есть эмпирический прообраз математического ожидания. При этом понимание взаимоотношения между математическим ожиданием и ее эмпирическим прообразом - выборочным средним - приводит к закреплению осознания статистической устойчивости выборочного среднего. Отсюда следует, что математическое ожидание случайной величины это не что иное, как результат прогнозирования значений выборочной средней.
После ознакомления студентов с понятием случайной величины, вводят понятие ряда распределения вероятностей дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины существует плотность распределения вероятностей.
Для количественной характеристики любого
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
распределения вероятностей пользуются функцией распределения вероятностей.
Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. При существующем подходе к изучению этого понятия не осуществляется прогнозирование, так как не соблюдается принцип прикладной направленности обучения теории вероятностей. Однако изучение функции распределения вероятностей возможно в органичном единстве с ее прогностическими функциями.
Действительно, рассмотрим график функции распределения случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку. В общем случае он представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).
«Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений дискретной величины, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции равна единице» [1].
Функция распределения непрерывной случайной величины, ведет себя немного иначе.
При исследовании непрерывных признаков построение линии накопленных частот будет первым шагом к пониманию функции распределения вероятностей посредством наблюдения её эмпирических прообразов. Студенты могут убедиться, что максимальное значение, которое может принимать функция, - это единица, а минимальное - ноль, что ни одно звено ломаной накопленных частот не может быть убывающим и, самое главное, по мере увеличения числа экспериментальных значений случайной величины и измельчения интервалов группировки число «изломов» становится больше, а звенья меньше; ломаная становится более плавной, конфигурация этой ломаной приближается к некоторой теоретически ожидаемой линии.
Эта теоретически ожидаемая линия называется графиком функции распределения. В свою очередь, линия накопленных частот выступает в качестве эмпирического прообраза графика функции распределения. При этом понимание взаимоотношения между функцией распределения и ее эмпирическим прообразом-линией накопленных частот - приводит к закреплению осознания статистической устойчивости линии накопленных частот и дает возможность рассматривать график функции распределения вероятностей случайной величины как результат прогнозирования конфигураций ломаных накопленных частот.
Задание непрерывной случайной величины с
помощью функции распределения вероятностей не является единственным. Непрерывная случайная величина может быть задана через плотность вероятности, которая при традиционных подходах к ее определению не отвечает задачам прогнозирования, поскольку не осуществляются три этапа решения прикладных задач. На пути к пониманию плотности вероятности, раскрытию ее прогностических функций обратимся к ее графическому представлению. Построив столбчатую диаграмму распределения, произведем равномерное сжатие к оси абсцисс так, чтобы сумма площадей всех прямоугольников была равна единице. Полученную вновь диаграмму называют гистограммой. Такое графическое представление данных поможет студентам убедиться в том, что можно вести речь о некоторой неотрицательной функции. Создается благоприятная ситуация, чтобы сформулировать свойство устойчивости гистограммы: при увеличении числа опытов и измельчении интервалов группировки конфигурация гистограммы непрерывного признака приближается (за редким исключением) к некоторой линии. Эту теоретически ожидаемую линию называют графиком плотности распределения. Так осуществляется формирование представления о графике плотности распределения вероятностей как «теоретически ожидаемой» конфигурации гистограммы. В свою очередь гистограмма выступает в качестве эмпирического прообраза графика плотности распределения. При этом понимание взаимоотношения между плотностью распределения и ее эмпирическим прообразом - гистограммой - приводит к закреплению осознания статистической устойчивости гистограммы и дает возможность рассматривать график плотности распределения вероятностей как результат прогнозирования конфигурации гистограммы.
После изучения темы «Случайные величины и способы их описания» наиболее удобно познакомить студентов с элементами теории корреляции. Ознакомив студентов с полем корреляции и эмпирическими ломаными средних, можно подвести их к понятию теоретической линии регрессии. Проводя анализ статистических данных, студенты могут построить корреляционное поле наблюдаемых значений исследуемых признаков. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное мнение о форме зависимости исследуемых признаков (например, о том, что один показатель в среднем возрастает или убывает при возрастании другого). Увеличение числа наблюдаемых значений исследуемых признаков позволяет студентам сделать более конкретные выводы о характере и о степени связи их.
Изучая ломаную средних, построенную по
ЭКОНОМИКА
данным наблюдений, студенты могут «наметить» некоторую плавную «сглаживающую» кривую, около которой группируются, (к которой «тяготеют») точки, а при увеличении числа наблюдений, за редким исключением, становится все более похожей на некоторую линию. Эта теоретически ожидаемая линия является линией регрессии. При таком рассмотрении графика функции регрессии осуществляется формирование представления о нем как о «теоретически ожидаемой» линии средних. Следовательно, ломаная средних выступает в качестве эмпирического прообраза линии регрессии. При этом понимание взаимоотношения между линией регрессии и ее эмпирическим прообразом - ломаной средних - приводит к закреплению осознания статистической устойчивости ломанной средних и дает возможность рассматривать линию регрессии как результат прогнозирования ломаной средних (эмпирической линии регрессии). Таким образом, приходим к выводу, что форма линии регрессии и соответствующее уравнение часто подсказываются эмпирической линией регрессии.
Познакомившись с системой двух случайных величин, студенты традиционно переходят к изучению ее числовых характеристик: математического ожидания, дисперсий составляющих, а также коэффициента корреляции.
Понятие коэффициента корреляции при традиционном обучении не несет в себе прогностического смысла. Поэтому надо искать альтернативный подход к введению этого понятия в единстве с его прогностическими функциями. При этом надо иметь ввиду, что эмпирический коэффициент корреляции дает информацию о характере и силе связи между признаками.
По аналогии с графическим представлением, если увеличивать число наблюдаемых значений исследуемых признаков, то эмпирический коэффициент корреляции двух признаков имеет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу. Появляется удобный момент, чтобы сформулировать свойство устойчивости эмпирического коэффициента корреляции при увеличении числа значений исследуемых признаков: в различных сериях опытов эмпирический коэффициент корреляции может быть неодинаков, но при увеличении числа данных он, как правило, стабилизируется. Это теоретически ожидаемое постоянное число, около которого группируются значения эмпирического коэффициента корреляции двух признаков при массовых испытаниях, называют теоретическим коэффициентом корреляции двух случайных величин. Следовательно, коэффициент корреляции двух случайных величин - это не что
иное, как результат прогнозирования эмпирического коэффициента корреляции двух признаков.
В рамках предлагаемого подхода изучение теории вероятностей основано на реальных статистических данных с целью осознания студентами вероятностного характера экономических явлений и основных отличий статистических подходов исследования от детерминированных.
Таким образом, сознательное освоение вероятностных моделей невозможно без интуитивного понимания закона больших чисел, знакомства с его экспериментальными проявлениями, представлений об устойчивости в массе случайностей. Отсюда вытекает методический подход к введению базовых вероятностных понятий (вероятность, математическое ожидание, график функции распределения, график плотности распределения и др.), который опирается на осознание их как «теоретически ожидаемых» (за редкими исключениями) математических абстракций в ходе мысленного прогнозирования при неограниченном увеличении числа опытов. Мысленная экстраполяция хода реального эксперимента в условиях проведения сколь угодно большого числа наблюдений наталкивает студента на попытку «предсказать» результаты. При этом происходит переход к вероятностному понятию от его статистического предшественника. Анализ соотношений между вероятностной моделью и ее эмпирическим прообразом после того как вероятностному понятию дано определение, дает возможность «предвидения» результатов будущих экспериментов.
Из всего сказанного можно заключить, что вероятностные понятия, сущность которых связана с законом больших чисел, могут быть введены в процессе прогнозирования их эмпирических прототипов. В этом состоит диалектическое проявление внутренних потребностей обучения теории вероятностей в привлечении идей прогнозирования.
Таким образом, базовые вероятностные понятия могут быть введены как результат прогнозирования их эмпирических прототипов, что может послужить основой для совершенствования содержания теоретического материала теории вероятностей и обогащения курса вопросами проблемного характера, что позволяет придать курсу теории вероятностей профессионально- экономическую направленность. Тем самым, показываем студентам-будущим экономистам, что теория вероятностей действительно важна в их будущей профессиональной деятельности, и они лучше осознают те возможности, которые даёт изучение теории вероятностей, для предвидения кризисных явлений для построения прогнозов о перспективах развития экономических объектов и процессов в будущем.
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
Библиографический список
1. Венцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576с.
E.V. LEBEDEVA, V.D. SELYUTIN
THE MAIN PROBABILISTIC CONCEPTS AS RESULT OF FORECASTING OF THEIR EMPIRICAL PROTOTYPES
In the article the possibility of studying of basic probabilistic concepts (probability, a population mean, the graph of distribution function, the graph of density of distribution, etc.) in the conditions offorecasting is shown. Process of studying of these concepts assumes their introduction on a basis of «theoretically expected» mathematical abstractions during mental forecasting at unlimited increase in number of experiments.
Key words: forecasting, probabilistic concepts, a random variable, an applied orientation of teaching, experts of an economic profile, property of stability, empirical characteristics.
