Модель прогнозирования доходности фондового индекса РТС Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономика и финансы Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 5, с. 92-97

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДОХОДНОСТИ ФОНДОВОГО ИНДЕКСА РТС

© 2007 г. А.С. Кокин, А.В. Танюхин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

[email protected]

Поступила в редакцию 21.09.2007

Разработана трехфакторная модель прогнозирования доходности российского фондового индекса РТС. Среди факторов: темп прироста безналичной денежной массы, темп прироста цены на нефть, темп прироста ВВП. С использованием модели осуществлено прогнозирование доходности индекса РТС на период 2007-2010 гг. Ожидаемая доходность индекса РТС в соответствии с рассмотренным сценарием имеет стабильное положительное значение.

Для определения прогнозного значения доходности индекса РТС была разработана с использованием инструментария регрессионного и корреляционного анализа трехфакторная модель, позволяющая спрогнозировать значение доходности индекса РТС.

Разработка модели осуществлялась в несколько этапов.

1. Определение возможных экзогенных факторов, которые могут влиять на доходность фондового индекса.

2. Сбор статистической информации о прошлых значениях факторов.

3. Проверка распределения вероятностей на его подчинение нормальному закону для каждого фактора.

4. Расчет коэффициента парной линейной корреляции каждого фактора (нормально распределенного) с результирующим показателем.

5. Добавление к объясняющим переменным фактора, имеющего значимую корреляцию с результирующим показателем.

6. Окончательное формирование модели.

7. Проверка модели на значимость.

8. Расчет частных коэффициентов парной корреляции всех переменных с целью недопущения мультиколлинеарности факторов.

В процессе построения модели рассматривались следующие макроэкономические факторы:

- темп прироста портфельных иностранных инвестиций в экономике;

- темп прироста денежной массы;

- темп прироста безналичной денежной массы;

- темп изменения ставки рефинансирования ЦБ РФ;

- темп прироста ВВП (в реальном исчислении);

- темп прироста цены на нефть (NYMEX);

- темп прироста цены на золото;

- темп изменения процентной ставки по депозитам;

- темп изменения процентной ставки по кредитам.

Из вышеперечисленных факторов были отобраны всего три, имеющие корреляцию с результирующим показателем, значимо отличающуюся от нуля. Среди них:

- темп прироста цены на нефть;

- темп прироста безналичной денежной массы;

- темп прироста ВВП.

Все темпы прироста, используемые в модели, брались за квартальный период с 1998 по 2006 год. Выбор квартального, а не месячного интервала обусловлен отсутствием статистики за месячный период по большинству макроэкономических индикаторов. Доходность индекса РТС определялась по формуле

y = ln{RTSx/RTS0^4 , (1)

где у - доходность индекса РТС, RTSj, RTS0 -последние значения индексов РТС рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно.

Как видно из формулы (1), доходность индекса РТС вычислена по схеме непрерывного процента.

Темп прироста цены на нефть в годовом исчислении рассчитывался по формуле

Xi = ln(Pi/Po)-4 , (2)

где Xj - темп прироста цены на нефть в годовом исчислении, Pj, P0 - цена закрытия на нефть марки Brent (NYMEX) рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно. Темп прироста цены на нефть (2) рассчитан по схеме непрерывного процента.

Темп прироста безналичной денежной массы в годовом исчислении рассчитывался по формуле

х2 = 1п(ЯМІ/ДМ0)-4 , (3)

где х2 - темп прироста безналичной денежной массы в годовом исчислении, DMІ, DM0 - объемы безналичной денежной массы в рублях на І-е число следующего за рассматриваемым и рассматриваемого кварталов соответственно. Темп прироста безналичной денежной массы (3) вычислен по схеме непрерывного процента.

Темп прироста ВВП в годовом исчислении рассчитывался по формуле

х3 = 1n(TGDPІ/TGDPoУіy/іq , (4)

где х3 - темп прироста ВВП в годовом исчислении, TGDPІ, Т^Р0 - темпы роста реального ВВП рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно в процентах к ВВП І995 года, ty и tq - количество рабочих дней в году и квартале соответственно.

Все три фактора и результирующий показатель во времени - случайные процессы (ХІ(і), Х2(і), Х3(і), 7(0). Введем предположение об их статистической стационарности. Тогда можно считать значения хІЬ х2і, х3І, у, в каждом квартале случайным исходом испытания, а несмещенные состоятельные оценки параметров распределения случайных величин можно определить выборочным методом.

Если случайные величины ХІ, Х2, Х3, 7 распределены нормально, то между ними может быть только линейная взаимосвязь.

Покажем, что случайная величина 7 распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [1]. Для этого диапазон значений 7 был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частости

7. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

Е7) = 0.3558 ,

5,2(Г) = 1.4004 .

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина 7 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и о2 (7 ~ Щ(а; о2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия х - критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания 7 в интервал представлены в табл. І.

Отсюда

X2 = 6.І88044.

Поскольку х20 05;3 = 7.8І4728, следовательно

22

X - X а;к, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина ХІ распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [2]. Для этого диапазон значений

XI был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частости ХІ. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

ВД) = 0.1543 ,

£2(Хі) = 0.6227 .

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина ХІ имеет нормальный закон распределения с параметрами а и о2 (ХІ ~ Щ(а; о2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия % - критерий Пирсона. Так как количество попаданий во второй интервал меньше 5, то целесообразно объединить первый интервал со вторым. Статистические и гипотетические вероятности попадания ХІ в интервал представлены в табл. 2.

Отсюда

X2 = І.782047.

Поскольку х20 05;2 = 5.99І465, а следовательно

22

X - X а;к, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина Х2 распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [3]. Для этого диапазон значений Х2 был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерд-жеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частости Х2. Исходя из полученных значений, распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

ВД) = 0.1543 ,

Б2(Х2) = 0.6227 .

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина Х2 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и о2 (Х2 ~ Щ(а; о2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия X - критерий Пирсона. Так как количество попаданий во второй интервал меньше 5, то целесообразно объединить первый интервал со вторым. Стати-

стические и гипотетические вероятности попадания Х2 в интервал представлены в табл. 3.

Отсюда

X2 = 6.232993.

Поскольку %20.05;3 = 7.8І4728, а следовательно

22

X - X а;к, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина Х3 распределена по нормальному закону.

Вообще, из эмпирических данных видно, что временной ряд не является строго стационарным. Очевидно, что самые значительные темпы прироста ВВП наблюдаются в третьем квартале любого года, а самое серьезное снижение - в первом квартале. Таким образом, даже при равенстве дисперсий, математическое ожидание случайной величины зависит от номера квартала. Приведем динамический ряд к стационарному виду, нивелируя влияние сезонного фактора. Скорректированные на сезонность уровни ряда представлены в табл. 4. Их вычисление производилось по следующему алгоритму: п

х3 = Ё х3к / п (5)

к=І

Ь = х3 /Е(Х3), (6)

где X 3 - среднее значение темпа прироста ВВП

за] квартал, хзк - темп прироста ВВП в ] квартале в год к, Е(Х3) - среднее значение случайной величины Х3, рассчитанное по данным сгруппированного вариационного ряда.

Результаты расчета индексов сезонности представим в табл. 4.

Значения скорректированных уровней ряда получены по формуле

Хзсг = хзг - Е(Хз) • Ь . (7)

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [4]. Для этого диапазон скорректированных значений Х3 был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей Х3. Исходя из полученных скорректированных значений, распределение случайной величины может быть нормальным.

Таблица 1

Статистические и гипотетические вероятности попадания Y в интервал

Интервал | -І51.09% -94.66% -38.22% 18.21% 74,64% 131.07% 187.50%

Статистическая вероятность 0.054054054 0.162162162 0.189189 0.243243 0.216216216 0.135135

Г ипотетическая вероятность 0.044289443 0.12748413 0.232155 0.267602 0.19527385 0.090182

Таблица 2

Статистические и гипотетические вероятности попадания X1 в интервал

Интервал | -111.05% -12.13% 37.33% 86.80% 136.26% 185.72%

Статистическая вероятность 0.257143 0.371429 0.285714 0.057142857 0.028571

Г ипотетическая вероятность 0.307927 0.308454 0.236628 0.099712014 0.023042

Таблица 3

Статистические и гипотетические вероятности попадания X2 в интервал

Интервал | -1.30% 11.57% 24.45% 37.32% 50.20% 63.07% 75.95%

Статистическая вероятность 0.114286 0.142857 0.257143 0.142857 0.285714286 0.057143

Г ипотетическая вероятность 0.066119 0.159814 0.249198 0.250762 0.162842263 0.068221

Таблица 4

Индексы сезонности для ВВП в реальном исчислении (в %)

год 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал

1998 9.48 30.24 -24.06

1999 -25.56 29.07 59.51 -21.88

2000 -28.11 24.77 60.86 -30.15

2001 -41.43 20.54 62.14 -28.89

2002 -44.47 22.79 62.40 -22.68

2003 -38.56 24.29 55.84 -17.02

2004 -40.60 25.27 54.56 -18.36

2005 -59.24 31.49 50.42 0.94

2006 -71.60 39.13 49.63 4.38

среднее -43.70 25.20 53.96 -17.52

Ь -648.96 216.60 577.86 -320.16

Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

ВД) = 0.0788,

S2(X3) = 0.1074.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина Х3 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и о2 (Х3 ~ Щ(а; о2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0.05 используем критерий согласия X - критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания Х3 в интервал представлены в табл. 5.

Отсюда,

X2 = 4.533912 .

Поскольку х20.05;з = 7.814728, а следовательно

22

X - X а;к, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Так как случайные величины Хі, Х2, Х3, 7 имеют нормальный закон распределения, то

связь между ними может быть только линейной, и модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

У, = Р0 + РЛ, + Р2Х2, + РзХзг + е, , (8)

где р0, р1, р2 и р3 - неизвестные параметры, е, -возмущение (случайная ошибка).

Или в матричной форме:

7= Х-р + е.

Оценкой этой модели по выборке является уравнение

У, = Й0 + Ь&ц + Ь2Х2, + ЬзХз, + е, (9)

или в матричной форме [5]

7 = ХЬ + е.

Используя элементы линейной алгебры и метод наименьших квадратов, определяем вектор неизвестных параметров Ь

Ь0 = -1.07296; Ь1 = 0.50645; Ь2 = 3.16038;

Ь3 = -0.0182.

Таблица 5

Статистические и гипотетические вероятности попадания Xз в интервал

Интервал, % | -20.34 -12.04 -3.74 4.56 12.86 21.16 29.47

Статистическая вероятность 0.057143 0.114286 0.171429 0.371429 0.142857143 0.142857

Г ипотетическая вероятность 0.027546 0.107919 0.239101 0.29997 0.213183683 0.085774

Рис. 1. Динамика безналичной денежной массы

Рис. 2. Ожидаемая доходность индекса РТС в 2007-2010 гг.

Полученные результаты объяснимы с экономической точки зрения. С ростом цены на нефть происходит увеличение вероятности высокой цены в будущем, вычисленной по ретроспективе. Это увеличивает ожидаемые доходы российских топливно-энергетических компаний

и, как следствие, справедливую стоимость топливно-энергетического бизнеса. Рыночная стоимость топливно-энергетических компаний составляет значительную долю капитализации индекса РТС. Повышение безналичной денежной массы приводит к увеличению инвестиционной активности институциональных инвесторов и корпораций и, безусловно, способствует росту фондового рынка.

Таким образом, математическое ожидание 7 при конкретных значениях факторов неопределенности можно вычислить по формуле Е (7), = -1.07296 + 0.50645 • хи +

+ 3.16038 • Х2, - 0.0182 • Хз, . (10)

Множественный коэффициент корреляции R для данной модели

R = 0.64814.

Коэффициент детерминации R2 для данной модели

R2 = 0.42009.

Можно сделать вывод, что изменчивость выбранных факторов приближенно на 42% объясняет изменчивость зависимой переменной.

Используя F-критерий Фишера-Снедекора, проверим значимость уравнения регрессии на уровне значимости а = 0.05.

Если известен коэффициент детерминации R2, то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

F = R2•(n -р - 1) / ((1 - R2) р) > Fа;k1 ;к2 ,(11) где к1 = р, к2 = п - р - 1; р - количество объясняющих переменных; п - количество элементов в выборке [5].

Для данной модели:

F = 11.5903,

-^Э..05;3;31= 2.9113.

Поскольку F > Fа;kl;k2, то уравнение множественной регрессии значимо.

Так как модель является многофакторной, нужно для обеспечения достоверности прогноза проверить ее на мультиколлинеарность факторов. Необходимо, чтобы объясняющие переменные были независимыми случайными величинами. Для этого были рассчитаны выборочные частные коэффициенты парной корреляции факторов, их значения

Гх1х2 = 0.0727; Гх1х3 = -0.0314; Гх2х3 = 0.1029.

Как видно из расчетов, выборочный коэффициент частной парной линейной корреляции

много меньше 0.7 для всех объясняющих переменных. Можно утверждать, что мультиколлинеарность факторов отсутствует.

Доверительный интервал для математического ожидания Ех0(7) примет вид

уХ0 - іІ-а;п-р-І ^7х - ЕХ0 (7) - уХ0 +

+ іІ-а;п-р-І s7x, (12)

где s7x характеризует изменчивость зависимой переменной в результате колеблемости объясняющих переменных.

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной у0 примет вид:

УХ0 - іІ-а;п-р-І 's70 - У0 - УХ0 + іІ-a;n-p-i•s70, (13)

где s70 характеризует изменчивость зависимой переменной как в результате колеблемости объясняющих, так и под воздействием случайных, неучтенных в модели факторов.

Спрогнозируем значение индекса РТС на основе значений факторов, заложенных в Прогнозе социально-экономического развития Российской Федерации до 2010 г. В данном документе определены прогнозные значения темпов роста ВВП и цены за 1 баррель нефти.

Темпы роста ВВП в 2007 году составят 106.5%, в 2008 - 106.1%, в 2009 - 106.0%, в 2010 - 106.2%.

Отсюда логарифмический темп прироста ВВП в 2007 г. составит 6.3%, в 2008 г. - 5.9%, в 2009 г. - 5.8%, в 2010 г. - 6.0%.

Цена за 1 баррель нефти в 2007 г. составит 55 долл. США, в 2008 г. - 53 долл. США, в

2009 г. - 52 долл. США, в 2010 г. - 50 долл. США.

Таким образом, годовой логарифмический темп прироста цены на нефть в 2007 году составит - 10.35%, в 2008 - 3.70%, в 2009 - 1.9%, в

2010 - 3.9%.

Прогнозный темп прироста безналичной денежной массы определим, проанализировав временной ряд и найдя уравнение линии тренда. Динамика безналичной денежной массы, а также график функции тренда представлены на рис. 1.

Уравнение для линии тренда может быть записано в виде

7 =195.98е00922х, где 7 - значение величины безналичной денежной массы; х - номер квартала при начале исчисления со второго квартала 1998 года.

Качество аппроксимации очень высокое ^2 = 0.9945).

Таким образом, величину безналичной денежной массы определим на 1.01.2007 г. в размере 8 588.79 млрд. руб., на 1.01.2008 г. в размере 12 419.37 млрд. руб., на 1.01.2009 г. в раз-

мере 17 958.39 млрд. руб., на 1.01.2010 г. в размере 25 967.8 млрд. руб.

Логарифмический годовой темп прироста безналичной денежной массы в 2007 г. равен 32.42%, в 2008-2010 гг. равен 36.88% ежегодно.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2007 год, она равна - 10.19%.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0.6 лежит в интервале от -28.08% до 7.69%. С вероятностью 0.6 доходность индекса РТС в 2007 г. будет лежать в интервале от -71.76% до 51.37%.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2008 год, она равна 7.28%.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0.6 лежит в интервале от -10.1% до 24.65%. С вероятностью 0.6 доходность индекса РТС в 2008 г. будет лежать в интервале от -54.23% до 68.79%.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2009 год, она равна 8.19%.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0.6 лежит в интервале от -9.07% до 25.45%. С веро-

ятностью 0.6 доходность индекса РТС в 2009 г. будет лежать в интервале от -53.3% до 69.69%.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2010 г. Она равна 7.17%.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0.6 лежит в интервале от -10.22% до 24.56%. С вероятностью 0.6 доходность индекса РТС в

2010 г. будет лежать в интервале от -54.34% до 68.68%.

На рис. 2 изображена ожидаемая доходность индекса РТС в 2007-2010 годах.

Можно прогнозировать достаточно стабильное, устойчивое значение доходности индекса РТС в 2008-2010 годах.

Список литературы

1. www.rts.ru

2. www.nymex.com

3. www.cbr.ru

4. www.gks.ru

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 573 с.

PREDICTION MODEL OF THE RTS STOCK INDEX YIELD

A. S. Kokin, A. V. Tanyukhin

A factorial model for predicting the yield of the RTS stock index has been developed. The model includes such factors as the rate of non-cash money growth, rate of growth of oil prices, and GDP rate of growth. A forecast for the yield of the RTS stock index was made for the period from 2007 to 2010. The expected RTS stock index yield has a stable positive value during the period from 2008 to 2010.