Основные краевые задачи теории потенциала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О В. В. Кибирев

ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

Статья посвящена изучению задачи о наклонной производной, в частности рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре.

Ключевые слова: регулярная гармоническая функция, функция Грина, абсолютная и равномерная сходимость рядов.

© К К Kibirev

BASIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF POTENTIAL

THEORY

The paper studies the oblique derivative problem, in particular, the Dirichlet problem, Neumann, and Poincaré.

Keywords: regular harmonic function, Green's function, the absolute and uniform convergence of the series.

Введение

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемые нефредгольмовые краевые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, причем для этих задач нарушается альтернатива Фредгольма. Благодаря разработанности теории одномерных сингулярных интегральных уравнений [5,6] краевые задачи для эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными в настоящее время полностью изучены [1,6], что нельзя сказать о краевых задачах для эллиптических уравнений с многими независимыми переменными. Ряд важных вопросов в этой области не решен до сих пор, так как нет достаточно общих методов исследований.

Поэтому важно рассмотреть некоторые вопросы теории линейных эллиптических уравнений в трёхмерном случае и сделать некоторые обобщения на многомерный случай.

Постановка задачи

Изучение некоторых физических явлений приводит к естественной постановке следующих двух краевых задачи теории потенциала [1].

Задача Дирихле. Найти регулярную в области D непрерывную в замкнутой области D U Г гармоническую функцию и, принимающую наперед заданные значения / на границе Г области D, т.е. и =/ на Г, где/- заданная непрерывная функция.

Задача Неймана. В области И, граница Г которой имеет непрерывно меняющуюся нормаль, найти регулярную и непрерывно дифференцируемую в И и Г гармоническую функцию и, удовлетворяющую условию ди/ дп = g на Г, где g - заданная непрерывная функция, а д/ дп - производная по нормали к Г .

Задача Неймана есть частный случай следующей важной более общей задачи.

Задача о наклонной производной. Пусть на границе Г, обладающей непрерывно меняющейся нормалью, области И задано поле направлений /, т.е. в каждой точке Г задан вектор I единичной длины. Найти регулярную в И непрерывно дифференцируемую в замкнутой области 1) и Г гармоническую функцию и, удовлетворяющую условию ди!д1 = Н на Г , где Н - заданная непрерывная функция.

Все три сформулированные задачи являются частными случаями следующей граничной задачи.

Задача Пуанкаре. В области И, граница Г которой имеет непрерывно меняющуюся нормаль, найти регулярную гармоническую функцию и, удовлетворяющую на Г условию

а(Р)^ + Р(Р)и = /(Р), о1

где а, (3 и / - заданные на Г непрерывные функции, а искомая функция и такова, что замкнутой области 1) и Г существует производная, фигурирующая в граничном условии.

Доказательство основных теорем

Рассмотрим задачу Дирихле. Если для уравнения Лапласа удалось бы построить в области И фундаментальное решение О, такое, что 0 = 0 на границе Г области И, то формула

где О = г 1 + со фундаментальное решение с особенностью и точке Р выражала бы решение задачи Дирихле. Функцией Грина оператора Лапласа для области И будем называть специальное фундаментальное решение С(Р,0) уравнения Лапласа, зависящее от параметрической точки

0 = (£, £2 ,-,£„), имеющее вид

¿=1

И равное нулю, когда точка Р = (х1 ,...,хп) лежит на поверхности Г .

Слагаемое (О непрерывно в замкнутой области И и Г . При помощи функции Грина решение задачи Дирихле записывается формулой

г) л

Г 6

Формула (2) при предположении существования функции Грина получается как следствие формулы Грина, а для применимости этой последней функция / должна удовлетворять некоторым условиям гладкости. Однако нетрудно проверить непосредственно, что формула (2) дает решение задачи Дирихле при любой непрерывной функции / [4].

Для произвольной области трудно построить функцию Грина, и задача её построения ничуть не проще исходной задачи Дирихле. Но в некоторых важных частных случаях эту функцию можно выписать явно. Так,

функция Грина шара ^: {х,2 +... + х2п

имеет вид

0{Р,0) = ¥(г)-¥{стГ11К),

г2=±(хк-£к)2,г?=±(хк, а2=±{2 . к=1 к=1 к=1 Здесь (х1,...,хп)- точка Р, а - точка £> [3]. То, что эта функ-

ция удовлетворяет всем требованиям, наложенным на функцию Грина, проверяется непосредственно. Также прямым подсчетом нетрудно проверить, что

1

х,2

.2 , , 2 п>2

где - сфера х1 + ... + хп = К . Формула (2) для шара X теперь принимает вид

К 5 г

Если в этой формуле перейти к сферическим координатам, то получаем

"(Х)- о, + <4)

/1<>Ь---,?7„) = /(Я?Ь---,Я?7„), р2 =х2 +... + Х2, в - угол между радиусами-векторами точки X и точки (2 = ) • а интегрирование ведется по «-мерной единичной сфере о : {г/2 + ... + //2 = 1} . Формула

(4) называется интегральной формулой Пуассона. Очевидно, что в соотношении

Я"-2 (Я2 -р2)

Iр2 +я2 -гярсощ

г! 2

1 -р21Я2 ^(рХ (5)

2 "/2 1 - 2 — со,$в + ^г

К Я2

ряд сходится для всех р < Я, причем при р < < К сходится абсолютно и равномерно. Так как

Vх1+...+х2п.^2+...+еп

то выражения

Нп(Х) = —{^\ |/^„(согв^а

представляют собой однородные функции целой степени п, т.е. однородные многочлены степени п. Подставив (5) в (4) и поменяв порядок суммирования и интегрирования, получим

СО

п=0

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Всякую регулярную в шаре X! гармоническую функцию можно разложить в ряд по однородным многочленам, причем этот ряд во всякой строго внутренней подобласти шара X! сходится абсолютно и равномерно.

Из этой теоремы следует, ещё одна теорема

теорема 2. Всякая гармоническая функция аналитична внутри своей области регулярности.

Для полупространства Н : {хп > 0} также можно написать аналог формулы Пуассона (4). Этот аналог имеет вид

Из формулы Пуассона можно получить ещё целый ряд полезных следствий [4]. Имеются и другие методы для решения задачи Дирихле [5,6], но мы здесь не будем останавливаться, поскольку основной нашей целью является изучение задачи о наклонной производной. Рассмотрим лишь некоторые свойства функции Грина.

Функция Грина С(Р,()) области И обращается в нуль на границе Г области И, а в достаточно малой окрестности точки Р она положи-

тельна, так как у/(г) в этой точке обращается в + оо . В силу принципа максимума получаем, что Сг(1\ О) > 0 всюду в области /). Из того же принципа максимума вытекает, что решение задачи Дирихле единственно, поэтому, положив в (2) / = 1, имеем и = 1, следовательно,

г двп

-с15 = \.

Если область И ограничена, то для любой её точки Р найдется число Я такое, что шар X радиуса Я с центром в данной точке содержит внутри область И . Функция Грина этого шара имеет вид

0{Р,0) = у{г)-у{К) = [(п-2)апГ\г2-" -Я2 "). Пусть С(Р, О) - функция Грина области /) с характеристической особенностью той же точке Р . Гармоническая функция /?(/', О) = (7, (/', О) - (}(1\ О) регулярна в области Б и неотрицательна на границе Г области И . В силу принципа максимума всюду в /) имеем

а(Л0<[(/1-2Кг1(г2-и-л2-и). (6)

Из этой оценки вытекает справедливость утверждения. Теорема 3. Пусть (1(/\ О)- функция Грина области И, а В - её подобласть с диаметром меньше И. Тогда

\0(Р,д)с1в® <е(й)5

в

где в (И) зависит только от И, а не от вида подобласти В , и стремится к нулю вместе с И.

При помощи этой теоремы нетрудно показать, что для любой непрерывной, по Гельдеру, в ограниченной области В функции /(X) выражение

о(х) = \о(х,д)/(д)с!ва)

о

дает решение уравнения Пуассона А и = -/(X), непрерывное в И и Г и равное нулю на границе Г .

То, что V непрерывна в И и Г и удовлетворяет уравнению Пуассона, следует из теоремы 1. Остается показать, что V = 0 на Г . Пусть Р - точка на Г . Построим шар радиуса к с центром Р и обозначим через В пересечение области В с этим шаром. Имеем

О(Х) = \о(х,а)яа¥всо + \о(х,д)яа¥всо,

о' в

где В' - часть области /). которая остается после выбрасывания В на / ). Если точкаХ стремится к точке Р, то интеграл, взятый по /)', стремится к нулю равномерно, а в силу теоремы 3 имеем

\G{X,Q)f(Q)d,

Qa

<Ms(h),

причем М - максимум по \ f\ подобласти В. Так как h можно взять сколь угодно малым, то lim v(X) = 0 , Ре Г.

Х^Р

Нетрудно показать, что для функции Грина можно вывести формулу

G(X,P)-G(P,X) =

G(ß)P)W)_G(ßjJf)W)'

дп дп

dS,

(7)

но в силу того, что функция Грина на границе Г области В обращается в

нуль, отсюда получаем свойство симметрии функции Грина С(Х,Р) = С(Р,Х) [7].

Попытаемся построить аналог функции Грина для задачи Неймана. Эта функция должна быть фундаментальным решением уравнения Лапласа 0. = г 1 +6) удовлетворяющим на Г условию дС1/ дп = 0. Следовательно, регулярная в области И гармоническая функция со должна удовлетворять на Г условию

дп дп

По теореме 2:

(Пусть задан кусок поверхности Г, ограничиваемой кривой С, и точка Р, не принадлежащая Г. Рогда потенциал двойного слоя с постоянной плотностью а = 1 поверхности Г в точке Р по абсолютной величине равен телесному углу, под которым кривая С видна из точки Р. В частности, потенциал двойного слоя поверхности, ограничивающей область В, имеет постоянное значение — Аж во всех внутренних точках В, а вне В равен нулю),

доказанной в [3], интеграл от правой части этого равенства равен 4ж , а из теоремы 1:

(Если гармоническая функция регулярна в ограниченной области В и непрерывно дифференцируема в замкнутой области И и Г, то интеграл по поверхности Г от ее нормальной производной равен нулю), доказанной также в [3], теперь следует, что регулярной в области В гармонической функции, удовлетворяющей условию (8), не существует. Аналогичная ситуация имеет место и при п > 3 [8].

Для того, чтобы обойти эту трудность, зафиксируем в области точку А и аналог функции Грина для задачи Неймана будем искать в виде К(Х,<2;А) = \1/(г)-\1/(р) + сд(Х,<2;А), где г - расстояние Р{<2,Х) от

точки X до <2, а р - расстояние А) от точки X до А. Функция со ре-

гулярна в области В и на границе Г удовлетворяет условию

дсо д , ч д , ч — = —¥(р)~—¥(г). дп дп дп

Аналогично формуле (7) выводится соотношение и(Х)-и(А) = \ы(Х^-А)

в силу которого для решения задачи Неймана получается формула

и(Х) = С + ¡ЩХ, 0; , (9)

г

где и (А) — С - произвольная постоянная, причем данная функция g удовлетворяет условию теоремы 1 из [3],

г

Функция N фигурирующая в формуле (9), называется функцией Неймана области В.

Заключение

При изучении задачи о наклонной производной мы рассмотрели задачу Дирихле. Доказали теорему о разложении регулярной гармонической функции в ряд, рассмотрели некоторые свойства функции Грина.

Мы пока не касались проблемы существования функции Грина и Неймана. Решение данного вопроса эквивалентно исследованию исходных задач Дирихле и Неймана. Решим в дальнейшем обе задачи путем сведения их к интегральным уравнениям Фредгольма для случая, когда граница области является достаточно гладкой поверхностью, а именно предположим, что граница области имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость, а в некоторых случаях будем требовать непрерывности главных кривизн границы.

Литература

1. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.: «Наука», 1981. - 448с.

2. Кибирев В.В. К задаче о наклонной производной с линейными коэффициентами для гармонических функций. - Диф.уравнения. - 1980. -Т.16. -№1.-с.80-85.

3. Кибирев В.В. Формула Грина в теории потенциала. - Вестник БГУ. Математика и информатика. - 9(3) 2014. - Улан-Удэ.: изд-во БГУ, 2014. С.38-62.

4. Курант Р. Уравнение с частными производными.: Мир, 1964. -830с.

5. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.- М.: ИЛ,1961, 216 с.

6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.- 512с.

7. Янушаускас А. К задаче о наклонной производной для гармонических функций трех независимых переменных.// Сиб.матем.журанл. -

1967. - Т.8. - №2. - с.447-462.

8. Янушаускас А. Аналитические и гармонические функции многих переменных. - Новосибирск.: Наука, 1981. - 184с.

References

1. Bicadze A.V. Nekotorye klassy uravnenij v chastnyh proizvodnyh. - M.: «Nauka», 1981. -448 p.

2. Kibirev V.V. К zadache o naklonnoj proizvodnoj s linejnymi kojeffi-cientami dlja garmonicheskih funkcij. - Dif.uravnenija. - 1980. - T.16. - №1. -P.80-85.

3. Kibirev V.V. Formula Grina v teorii potenciala. - Vestnik BGU. Mate-matika i informatika. - 9(3) 2014. - Ulan-Ude: izd-vo BGU, 2014. P.38-62.

4. Kurant R. Uravnenie s chastnymi proizvodnymi: Mir, 1964. - 830 p.

5. Miranda K. Uravnenija s chastnymi proizvodnymi jellipticheskogo tipa.-M.: IL,1961, 216 p.

6. Mushelishvili N.I. Singuljarnye integral'nye uravnenija. - M.: Nauka,

1968.- 512 p.

7. Janushauskas А. К zadache о naklonnoj proizvodnoj dlja garmonicheskih funkcij treh nezavisimyh peremennyh.// Sib.matem.zhuranl. -1967. - T.8. - №2. - p. 447-462.

8. Janushauskas A. Analiticheskie i garmonicheskie funkcii mnogih peremennyh. - Novosibirsk.: Nauka, 1981. - 184 p.

Кибирев Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected]

Kibirev Vladimir Vasilievich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, applied mathematics department, Buryat State University, email: [email protected]