CC BY
26
Чепасов В.И., Осипов О.В., Тетерин А.П.
Оренбургский государственный университет
ОШИБКИ АППРОКСИМАЦИИ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕННОЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТЯХ
Рассматриваются результаты аппроксимации сигналов во временной и спектральной областях. Приводятся полиномиальные модели параметрического прогноза, полученные методом наименьших квадратов и методом Д. Брандона во временной и спектральной областях.
Построим матрицу исследования с параметрами-столбиками:
1. Время - х
2. Сигнал - 2оо8(х-1,57)+1
3. Сигнал - 3ео8(х)+2 Строчками-наблюдениями в этой матрице будут значения времени и соответствующие значения сигналов.
Рассматривался временной отрезок [0, 6, 28] с шагом разбиения dx = 0,06343.
Количество отсчетов, строчек-наблюдений, при выбранном шаге - 100.
Амплитудный и фазовый спектры[1] рассматриваемых сигналов:
сигнал у = 2со8(х-1,57)+1 Максимальная по амплитуде гармоника - 1 Модель по максимальной гармонике
у = 1,000125+(1,999940)*соэ((2*р1*1Лр)*
*1+(-1,569994)), (1)
где р1 = 3,14...Лр - период процесса - 6,283, период гармоники - 6,283, фаза = -1,570.
Модель с 100 гармониками (фрагмент): у = 1,000125+(1,999940)*соз((2*р1ПЛр)*
* 1+(-1,569994)) (2) +(0,000113)*со8((2*р1ПЛр)* 2+(-4,7124)) +(0,000171)*со8((2*рШЛр)* 3+(-1,5708)) +(0,000039)*соз((2*р1ПЛр)* 4+(-1,5708)) +(0,000083)*соз((2*р1ПЛр)* 5+(-4,7124)) +(0,000122)*соз((2*р1ПЛр)* 6+(-0,2167)) +(0,000085)*соз((2*р1ПЛр)* 7+(-4,7124)) +(0,000111)*со8((2*р1*1Лр)* 8+(-6,2263)) +(0,000131)*со8((2*рШЛр)* 9+(-0,2280)) +(0,000080)*соз((2*р1ПЛр)* 10+(-1,5708)) +(0,000092)*соэ((2*р1*1Лр)* 11+(-4,7124))
Средняя абсолютная ошибка аппроксимации сигнала у = (2соэ(х-1,57)+1) моделью со ста гармониками составила 0,00036434.
Средняя относительная ошибка аппроксимации сигнала у = (2соэ(х-1,57)+1) моделью со ста гармониками составила 0,025448%.
Сигнал у = 3со8(х)+2. Максимальная по амплитуде гармоника - 1
Модель по максимальной гармонике у = 1,999959+(3,000240)*соз((2*р1ПЛр)*
*1+(-0,000101)), (3)
где р1 = 3,14, 1р - период процесса = 6,283, период гармоники = 6,283 фаза = 0,0001
Модель со 100 гармониками(фрагмент): у = 1,999959+(3,000240)*соз((2*р1ПЛр)* *1+(-0,000101)) (4)
+(0,000546)*со8((2*ртр)* 2+(-0,5691)) +(0,000576)*со8((2*ртр)* 3+(-0,2995)) +(0,000455)*со8((2*р1*1Лр)* 4+(-0,2535)) +(0,000479)*со8((2*р1*1Лр)* 5+(-0,1341)) +(0,000507)*со8((2*р1*1Лр)* 6+(-0,0615)) +(0,000506)*со8((2*ртр)* 7+(-0,0723)) +(0,000528)*со8((2*р1*1Лр)* 8+(-0,0741)) +(0,000524)*со8((2*р1*1Лр)* 9+(-0,0959)) +(0,000503)*соз((2*р1ПЛр)* 10+(-0,1085)) +(0,000500)*соз((2*р1ПЛр)* 11+(-0,0701))
Средняя абсолютная ошибка аппроксимации сигнала у = 3соэ(х)+2 моделью со ста гармониками составила 0,0012966.
Средняя относительная ошибка аппроксимации сигнала у = 3соз(х)+2моделъю со ста гармониками составила 0,054496%.
Для определения сигнала у = 3со8(х)+2 по сигналу у = 2со8(х-1,57)+1 были построены полиномиальные модели методом наименьших квадратов [2] и упрощенным методом Д. Брандона [3].
Параметром-аргументом в этих моделях был сигнал у = 2со8(х-1,57)+1, а зависимым параметром -сигнал у = 3со8(х)+2.
Полиномиальная модель, полученная методом наименьших квадратов: модель для зависимого параметра - сигнал у = 3со8(х)+2 у = (-0,02941293)*(х2)**2+(0,06004385)*
*(х2)**1+(2,05760789), (5) средняя абсолютная ошибка = 1,92, где у - сигнал у = 3еоз(х)+2, зависимый параметр
х2 - сигнал у = 2со8(х-1,57)+1, параметр-аргумент
* - умножение,** - возведение в степень
Полиномиальная модель, полученная методом Брандона:
модель для зависимого параметра - сигнал у = 3со8(х)+2
у = (2,0575)+(0,0600)*(х2)**1+
+(-0,0292)*(х2)**2+(-0,0001)*(х2)**3, (6) где у - сигнал у = 3еоз(х)+2, зависимый параметр
х2 - сигнал у = 2со8(х-1,57)+1, параметр-аргумент
* - умножение,** - возведение в степень Таблица 1. Характеристики модели (6)
|ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛИ |ЗНАЧЕНИЯ|
| Коэффициент детерминации |0,02|
| Средняя абсолютная ошибка |1,92|
|Средняя ошибка в процентах|80,69|
Приведенные выше модели были построены во временной области изменения рассматриваемых сигналов.
Для осуществления аппроксимации сигналов через спектральную область после проведенного спектрального анализа была
построена матрица исследования со следующими параметрами-столбиками:
- амплитудный спектр-сигнал у = 2со8(х-1,57)+1,
- фазовый спектр-сигнал у = 2со8(2х-1,57)+1,
- амплитудный спектр-сигнал у=3со8(х)+2,
- фазовый спектр-сигнал у = 3со8(х)+2.
Строчки-наблюдения в этой матрице исследования - это значения амплитудного и фазового спектров для соответствующих гармоник.
По построенной матрице для спектральной области были определены полиномиальные модели параметрического прогноза амплитудного и фазового спектров сигнала у = 3со8(х)+2 по амплитудному и фазовому спектру сигнала у = 2со8(х-1,57)+1.
Модели, полученные методом наименьших квадратов:
модель для зависимого параметра -амплитудный спектр сигнала у=3со8(х)+2 у = (135,81185647)*(х1)**4+ +(262,25730354)*(х1)**3+ +(-1067,53147855)*(х1)**2+ +(1,13552441)*(х1)**1+ +(0,00000064976)*(х2)**4+ +(0,00000806426)*(х2)**3+ +(0,000028874573)*(х2)**2+ (0,00002380077)*(х2)**1+
+(0,00039783417) (7)
средняя абсолютная ошибка = 0,000003257, где у - амплитудный спектр сигнала у = 3со8(х)+2, зависимый параметр,
х1 - амплитудный спектр сигнала у=2со8(х-1,57)+2, параметр-аргумент, х2 - фазовый спектр сигнала у = 2со8(х-
1,57)+2, параметр-аргумент,
* - умножение,** - возведение в степень.
Таблица 2. Вклады параметров-аргументов в модели (7)
:Номер: Название параметра : Вклад:
: 1 : амплитудный спектр- :0,99999:
: : (2соб(х-1.57)+1): :
: 2 : фазовый спектр- :0,00001:
: : (2соб(х-1.57)+1): :
Модель для зависимого параметра - фазовый спектр сигнала у = 3ео8(х)+2
у = +(111994,891531)*(х1)**4+ +(-447603,928752)*(х1)**3+ +(449023,169176)*(х1)**2+ +(-3589,336230)*(х1)**1 +(-0,42309065)*(х2)**4 + +(-5,35348936)*(х2)**3 +(-20,35750129)*(х2)**2+ +(-21,42519107)*(х2)**1+(-2,14013377) (8) средняя абсолютная ошибка = 2,3025, где у - фазовый спектр сигнала у = 3ео8(х)+2, зависимый параметр, х1 - амплитудный спектр сигнала у = 2ео8(х-1,57)+2, параметр-аргумент, х2 - фазовый спектр сигнала у=2ео8(х-
1,57)+2, параметр-аргумент,
* - умножение,** - возведение в степень.
Таблица 3. Вклады параметров-аргументов в модели (8)
Номер : Название параметра : Вклад:
1 : амплитудный спектр- :0,99206
(2соб(х-1.5:7)+1)
2 : фазовый спектр- : 0,00794
(2соб(х-1.57)+1):
Модели, полученные упрощенным методом Брандона:
модель для зависимого параметра-ампли-тудный спектр сигнала у=3еов(х)+2
у=+(0,1342)+(-1322,8470)*(х1)** 1+
+(-289,7767)*(х1)**2+(475,9828)*(х1)**3, (9) где у - амплитудный спектр сигнала у=3ео8(х)+2,зависимый параметр, х1 - амплитудный спектр сигнала у=2ео8(х-1,57)+2, параметр-аргумент,
* - умножение,** - возведение в степень.
Таблица 4. Вклады параметров-аргументов в модели (9)
| НОМЕР | НАЗВАНИЕ ПАРАМЕТРА | ВКЛАД В МОДЕЛЬ |
|1|амплитудный спектр- | |
| |(2соз(х-1,57)+1) | 1,0000 |
|2|фазовый спектр-(2сов(х-1,57)+1)|0,0000|
Таблица 5. Характеристики модели (9)
| ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛИ | ЗНАЧЕНИЯ |
|Коэффициент детерминации | 1,00|
|Средняя абсолютная ошибка| 0,01|
|Средняя ошибка в процентах| 10,14|
Модель для зависимого параметра-фазо-вый спектр сигнала у=3еов(х)+2
у = +(-0,9296)+(8973,2130)*(х1)**1+
+(-10309,2100)*(х1)**2+
+(2911,5330)*(х1)**3+
+(-1,5900)+(-1,0617)*(х2)**1+
+(-0,3768)*(х2)**2+(-0,0285)*(х2)**3, (10) где у - фазовый спектр сигнала у=3ео8(х)+2, зависимый параметр, х1 - амплитудный спектр сигнала у = 2ео8(х-1,57)+2, параметр-аргумент, х2 - фазовый спектр сигнала у = 2ео8(х-
1,57)+2, параметр-аргумент,
* - умножение,** - возведение в степень.
Таблица 6. Вклады параметров-аргументов в модели (10)
|НОМЕР|НАЗВАНИЕ ПАРАМЕТРА |ВКЛАД В МОДЕЛЬ|
| 1 |амплитудный спектр- | |
| |(2соб(х-1,57)+1) | 0,0417 |
| 2 |фазовый спектр- | |
| |(2соб(х-1,57)+1) | 0,9583 |
Таблица 7. Характеристики модели (10)
| ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДЕЛИ | ЗНАЧЕНИЯ |
|Коэффициент детерминации | 0,28 |
|Средняя абсолютная ошибка | 2,33 |
|Средняя ошибка в процентах| 130,25 |
По амплитудному и фазовому спектрам сигнала у = 2ео8(х-1,57)+1 и построенным моделям амплитудного и фазового спектров сиг-
Таблица 8. Ошибки аппроксимации
Восстановление сигнала Восстановление сигнала Восстановление сигнала
y=3cos(x)+2 по сигналу y=cos(x) по сигналу y=cos(3x) по сигналу
y=2cos(x-1,57)+1 y=cos(x-1,57) y=cos(2x-1,57)
Средняя Средняя Средняя Средняя Средняя Средняя
абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная
ошибка ошибка ошибка ошибка ошибка ошибка
(аппроксимация (аппроксимация в (аппроксимация (аппроксимация в (аппроксимация (аппроксимация в
во временной спектральной во временной спектральной во временной спектральной
области) области) области) области) области) области)
1,92 0,00161 0,64 0,00048 0,64 0,68
Восстановление сигнала Восстановление сигнала Восстановление сигнала
y=cos(x) по сигналу y=sin(x) по сигналу y=sin(x)/x по сигналу
y=exp(-x)*cos(x) y=sin(x)/x y=sin(x)
Средняя Средняя Средняя Средняя Средняя Средняя
абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная абсолютная
ошибка ошибка ошибка ошибка ошибка ошибка
(аппроксимация (аппроксимация в (аппроксимация (аппроксимация в (аппроксимация (аппроксимация в
во временной спектральной во временной спектральной во временной спектральной
области) области) области) области) области) области)
0,38 0,02679 0,0569 0,0206 0,152 0,113
нала у=3со8(х)+2 были определены амплитудный и фазовый спектры сигнала у=3со8(х)+2, а по ним построен сам сигнал у=3со8(х)+2.
Средняя абсолютная ошибка при такой схеме построения сигнала у=3со8(х)+2 оказалась равной 0,00161.
При непосредственном определении сигнала у = 3со8(х)+2 по сигналу у = 2со8(х-1,57)+1, как было показано выше, средняя абсолютная ошибка аппроксимации составила 1,92.
По аналогичной схеме было рассмотрено определение сигнала у = со8(х) по сигналу у = со8(х-1,57), сигнала у = со8(3х) по сигналу у = со8(2х-1,57) и т. д.
Результаты определения сигналов во временной области и результаты определения сигналов при аппроксимации в спектральной области приведены в таблице 8.
Согласно средним абсолютным ошибкам аппроксимации (таблица 8 - ошибки аппроксимации) определение сигналов будет идти более точно в случае аппроксимации амплитудного и фазового спектров в спектральной области.
Приведенные результаты получены при числе гармоник 100, при числе отрезков интегрирования 10000 при нахождении амплитудного и фазового спектров.
Список использованной литературы:
1. Бендат Д. Ж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974.
2. Драйпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Статистика, 1973.
3. Brandon D. B. Developing Mathematical Models for Computer Control, USA Journal, 1959, V.S, №7.
