CC BY
16Влияние высших мод излучения на затягивание частоты узкого резонанса в интерферометре с нелинейным поглотителем
Отрохов С.Ю. ([email protected] ) Институт радиотехники и электроники РАН
Одним из перспективных путей улучшения характеристик квантовых стандартов частоты (КСЧ), стабилизированных по насыщенному поглощению, является создание КСЧ на основе внешнего высокодобротного интерферометра, заполненного нелинейным поглотителем (ИНП) [1-3]. Такой репер имеет ряд преимуществ по сравнению со стандартом с внешней нелинейно-поглощающей ячейкой (НПЯ), прежде всего из-за того, что в нем достигается лучшее согласование встречных световых пучков по волновым фронтам и направлению распространения. Это позволяет снизить влияние пролетных эффектов на сдвиг узкого резонанса. Кроме того, в репере с ИНП можно работать при низких давлениях поглощающего газа [4,5], обеспечивая достаточно высокий ( « 5%) контраст узкого резонанса.
Теоретические и экспериментальные исследования сдвигов частоты CO2 лазера с внешним интерферометром, заполненным парами 192OsO4, показали, что основными дестабилизирующими факторами, определяющими нестабильность и погрешность его частоты, являются эффект газовой линзы [3,5] и эффект затягивания (вершины узкого резонанса основной модой интерферометра) [4], возникающий при несовпадении центральных частот квантового перехода поглотителя и резонансной линии интерферометра. В [5] отмечается, что наиболее важным фактором, приводящим к погрешности привязки центра спектральной линии ИНП к частоте лазера ( в свою очередь привязанной к вершине узкого резонанса), является сопутствующая амплитудная модуляция излучения при работе пьезо-датчика интерферометра.
Однако в ИНП, как правило, присутствуют и высшие моды. Они обусловлены, в основном, наличием этих мод в оптическом возбуждающем пучке и неточностью согласования интерферометра с основной гауссовой модой пучка.
В настоящей работе показано, что наличие высших гауссовых мод приводит к существенной асимметрии и сдвигу основной моды ИНП и, соответственно, влияет на величину затягивания узкого резонанса.
При резонансном возбуждении пустого оптического резонатора сдвиг частоты линии пропускания из-за присутствия поперечных мод высокого порядка и ограниченной апертуры приемника наблюдался в [6,7]. В частности, в [7] использовался интерферометр с базой L=1.5м, радиусом кривизны зеркал R0=100м и коэффициентом отражения R=0.96. При этом на выходе из него наблюдались две высшие моды, ближайшие по частоте к основной ТЕМ00 моде: мода ТЕМ01 с несимметричным по радиусу распределением поля и симметричная мода ТЕМ10. Их интенсивность составляла « 1% от основной, а резонансные частоты были, как и ожидалось выше на 5.5 и 11 МГц соответственно, при ширине спектральных линий около 2 МГц. В связи с этим можно ограничиться рассмотрением влияния мод ТЕМ01 и ТЕМ10 на линию пропускания ИНП,
определяемую, в основном, модой ТЕМ00 (обобщение на произвольное число мод выполнить нетрудно).
Итак, три собственные волны резонатора (ТЕМ^: ТЕМ00, ТЕМ01 и ТЕМ10) согласованно падают на входное зеркало пустого резонатора (хорошо известно, что при небольших коэффициентах поглощения эффекты насыщения, по существу, не влияют на
моды резонатора). Тогда коэффициенты передачи по амплитуде проходящего через интерферометр излучения запишутся в виде
tpi = Texp(-i (Pp])/[1 -Rexp(-2i ], (1)
где T, R- коэффициенты пропускания и отражения по мощности каждого зеркала интерферометра, образованного двумя круглыми сферическими зеркалами радиуса кривизны Ro, расположенными на расстоянии L. Величины < действительные в отсутствии поглощения, связаны с фазовыми набегами для различных цилиндрических типов волновых пучков
<ppi = kL-2(2p+l+1)arctg(L/b), (2)
где L/b = [U/(2-U)]1/, b - конфокальный параметр, U =L/R0, k =2ж/Л. Амплитуда поля на входе в резонатор в цилиндрических координатах r, ф, z запишется в виде:
Jpi (r, ф, z= 0) = Epi (42r/W)1 Llp(2r2/W2)-cos(i))-exp(- ir2Q/2), (3)
l 2 2 2 2 2 где Lp - обобщенные полиномы Лагерра; -ir Q/2 = -i(n/Àq)r = -(r /w ) - ikr /2R0,
w2= (ÀL/n)/[U(2-U)]1/2- размер светового пятна на зеркале.
Амплитуда поля на выходе из резонатора равна
Jpi (r, ), z=L) =Jpi (r, ), z=0)-tpi (4)
Для трех рассматриваемых мод можно записать
Jeux =J00(r, ), L) + J0i(r, ),L) + Ji0(r, ), L), (5)
Ieux = JeuxJeux = IJ00 l2+lJoi l2+lJi0 l2+2Re(J00J0i + J00J 10+J01J 10) (6)
Комплексная величина Q, входящая в (3) одна и та же для разных (pi), поэтому для Re(JvJmr) можно искать Re(tpit*mn):
*
mn)
Re(tpit mn) =T Api Amn Bmnpl, (7)
где
АР1(тп) =[(1-К)2+4К*т2рр1(тп)Г1, (8а)
ВтпР1=(1-К)2ео8(уР1 - ф1т) + 4К-зт(фр1)вт(ф1т), Бт"тп=Атп- (8б)
Используя (6), (7) и (8) получим для трех рассматриваемых волн
1=Т 2[Еоо2Аоо +Ео12(2г2/м>2)А(Яо2ф +Ею2(1-2г2М2)2Аю + 2ЕосЕо1(42 г/м)АооАоБ01ооеозф +2ЕооЕю(1-2г2/^2)АооА1оБ10оо +
2Ео1Ею(42 гА^)(1-2г2А^2)Ао1А1оБ1оо1С08ф]-ехр(-2г2АV2). (9)
Функции от (рР1 можно выразить через параметры резонатора
8тфоо = (1-и)sinkL- (2U-U2)1/2coskL,
ьтуо! = [(1 -и)2-(2 и-и2)]sinkL-2(1 -Щ2 и-и2)1/2^^, 5т(м= (1-и)[(1-и)2-3U(2-U)]sinkL - (2и-и2)1/2[3(1-и)2-Щ2-и)]^^, соз((оо-(Ро1) = 1-и, со$(фоо-фю)=(1-и)2-(2и-и2), со8(фо1-ф1о)= 1-и. (10)
Форма линии (9) определяется частотной зависимостью фР1 (2). Для удобства представим ее в виде функции расстройки А = у-ур , где ур= уо[п++2/ж)аг^^Ь)] - резонансная частота основной моды интерферометра в отсутствии высших мод, определяемая из соотношения фоо(ур)=пж (п - целое число). уо=с^ - разность частот между соседними продольными модами интерферометра. Тогда (10) можно записать в виде
8тфоо= (-1)"$та, sinфo1=(-1)n[(1-U)sinа - (2и-и2)1/2со$а], втф10 = (-1)п{[(1-и)2- (2U-U2)]sinа -2(1-и)(2и-и2)1/2со8а}, (11)
где а=жА/у.
Соотношение (9) с учетом (10), (11) было использовано для численного расчета сдвига максимума Ао резонансной линии интерферометра относительно ее положения в отсутствии высших мод. На рис. 1 представлено радиальное распределение Ао(г/м) при Ео]/Еоо =Е]о/Еоо=о.1 для Я=о.9б, L=150см, и=о.о15. Пунктиром показаны приблизительно
аддитивные вклады мод ТЕМ01 и ТЕМ10. Расчет выполнен для направления ф=0; при ф=п/2 регистрируется только четно симметричная мода ТЕМ10.
Рис. 1. Радиальное распределение сдвига основной моды (сплошная линия) при наличии высших мод . 1 - вклад ТЕМ01, 2 - вклад ТЕМ10
В квантовых стандартах частоты центральную частоту основной моды интерферометра «привязывают» к частоте лазера, которая, в свою очередь, стабилизируется по вершине реперного (узкого) резонанса. При малых интенсивностях высших мод (~1% от основной моды) узкий резонанс возникает при насыщении поглотителя основной ТЕМ00 модой, а высшие ТЕМ01 и ТЕМ10 моды, интерферируя с основной, лишь сдвигают ее центральную частоту. В результате возникает эффект затягивания узкого резонанса по направлению к вершине линии пропускания интерферометра.
Из рис. 1 видно, что высшие моды могут привести к заметным сдвигам резонансной частоты интерферометра, а, следовательно, и влиять на сдвиг частоты узкого резонанса вследствие эффекта затягивания.
Для оценки этого влияния воспользуемся формулой, описывающей затягивание узкого резонанса к вершине линии пропускания интерферометра, полученной в [4]:
8с=Л-(Г/Лус)2(1+$)2/ар, (12)
где (для типичных условий эксперимента) однородная полуширина линии Г~10кГц; полуширина моды ИНП Лус~1 МГц; параметр, учитывающий влияние насыщенной дисперсии среды на затягивание £~2; контраст резонанса ар~5% (при коэффициенте поглощения слабого поля парами 192OsO4 - Е0= 0.1см-1 /ммрт.ст., давлениир~0.5мТорр. и параметре насыщения 00~0.5).
Подставляя в (12) Л = Л0 =10кГц получим, что дополнительный сдвиг узкого резонанса из-за влияния высших мод достигает 5с~200Гц (~1%о от однородной ширины). Очевидно, что из-за линейной связи 5с и Л (12) характер зависимости 5с от поперечной координаты (гМ) рис. 2 повторяет зависимость Л0(гМ) рис. 1.
Рис. 2. Радиальная зависимость распределения сдвига вершины узкого резонанса при наличии в ИНП высших мод.
Нечетная мода ТЕМ01 вызывает несимметричное по г распределение Л0 и 5с, а четная мода ТЕМ10 дает параболическое распределение сдвига с нулями при г/м =2~!/ . Интересно отметить, что такой же характер распределения имеет сдвиг узкого резонанса при механизме газовой линзы в нелинейно поглощающей среде [3], что дает возможность компенсировать сдвиг вершины узкого резонанса под влиянием газовой линзы с помощью эффекта затягивания при «инерционной привязке» центральной частоты линии пропускания интерферометра к частоте лазера выбором соответствующего значения и знака Л [4].
Рассмотрим зависимость сдвига Л0 от ряда параметров интерферометра, рис. 3.
Рис. 3. Радиальная зависимость распределения сдвига основной моды при наличии ТЕМ01 (линии) и ТЕМ10 (пунктир) мод для различных параметров интерферометра. 1 - и=0.15, Я=0.96;
2 - и=0.015, Я=0.96; 3 - и=0.15, Я=0.92
Применение зеркал с меньшим значением Яо (и=0.15) снижает сдвиг приблизительно в три раза (кривая 1) по сравнению со случаем и=0.015, реализованным экспериментально [7]. Это снижение связано с возрастающим разнесением частот высших мод при увеличении кривизны зеркал.
Применение зеркал с малыми значениями коэффициента отражения Я вызывает значительный рост сдвига (кривая 3), что обусловлено уширением спектральных линий мод, т.е. медленным спадом амплитуд на крыльях.
Полученные выше результаты касались случая локального детектирования пучка, когда размер приемной площадки фотоприемника меньше размера светового пятна (Я<
При детектировании полной мощности пучка выражение для линии получается интегрированием (9) по г и ф :
Ж=Еоо2Тг(ш2/2)[Аоо+1/2(Ео1/Еоо)2Ао1+(Е1о/Еоо)2А1о] (13)
Анализ (13) показывает, что при интегральном детектировании влияние высших мод на сдвиг линии интерферометра существенно уменьшается. Сдвиги в этом режиме пропорциональны мощностям, а не амплитудам высших мод.
В таблице приведены результаты численного расчета сдвига с использованием формулы (13) для ряда параметров интерферометра. При этом считалось, что входной пучок содержит моду ТЕМ01 (сдвиг Ао') или моду ТЕМ10 (сдвиг Ао") при относительной амплитуде каждой моды, примерно равной 10% амплитуды основной моды.
Таблица
и Я Ао' (Гц) Ао" (Гц)
о.о15 о. 9 2 8о 2о
о.о15 о. 96 5 1.5
о. 15 о. 9 2 2.5 о. 5
о. 15 о. 96 о. 15 о. о 5
Ь=15осм
Следует отметить, что расчет контура линии пропускания интерферометра при наличии высших мод выполнен для пустого резонатора (9). При наличии поглощающих паров спектральные линии мод уширяются и влияние высших мод на сдвиг линии интерферометра увеличивается, однако при рабочих давлениях (р < 1мТорр), этот фактор не играет существенной роли. Необходимо отметить также то, что на практике режим интегрального детектирования имеющимися серийными приемниками излучения 1о мкм на CdHgTe осуществляется далеко не полностью вследствие малой эффективной площади приемника и трудностей фокусировки пучка из-за оптических аберраций. По этой причине значения центральной частоты линии пропускания интерферометра при учете высших мод будут зависеть от положения приемной площадки относительно оси светового пучка. Распределение этих значений примерно симметрично относительно плоскости фокальной перетяжки собирающей линзы.
Проведенный анализ показал, что влияние высших мод сказывается на появлении асимметрии и сдвига спектральной линии основной моды интерферометра из-за интерференции с модами высшего порядка. Это приводит к возникновению затягивания частоты узкого резонанса в ИНП. Причем, вклад интерференционных членов в сигнал обусловлен нарушением пространственной ортогональности выделяемых при фокусировке на фотоприемнике фрагментов высших мод. В результате, вследствие малых размеров ИК фотоприемников, режим интегрального детектирования пучка реализовать практически невозможно. Поэтому поперечное распределение поля мод обусловливает зависимость сдвига узкого резонанса из-за затягивания от положения приемника (локальный прием). Радикальным средством уменьшения влияния высших мод на сдвиги
частоты стандарта вследствие затягивания является интегральный режим детектирования лазерного пучка.
Автор благодарит В. П. Губина за обсуждение работы и Е. Н. Базарова за ее поддержку.
Л и т е р а т у р а
1. A. Clairon, B. Dahmani, A. Filimon, J.Rutman. IEEE Trans. Instr. Meas., IM-34, 265 (19B5).
2. A. Clairon, O. Asef, C. Chardonnet and C. J. Borde. In: Frequency standards and metrology. - Editor: A. De Marchi. - Springer - Verlag Berlin, Heidelberg, 19B9, P. 212.
3. В. П. Губин, С. Ю. Отрохов. Квантовая электроника, 16, 2573 (19В9).
4. Е. Н. Базаров, Г. А. Герасимов, В. П. Губин, С. Ю. Отрохов, Н. И. Старостин, В. В. Фомин. Квантовая электроника, 17, 1231 (1990).
5. Е. Н. Базаров, Г. А. Герасимов, В. П. Губин, С. Ю. Отрохов, А. И. Сазонов, Н. И. Старостин, В. В. Фомин. Квантовая электроника, 18, 766 (1991).
6. R. E. Meyer, G. A. Sanders, S. Ezekiel. J. Opt. Soc. Am., 73, 933 (1983).
7. Е. Н. Базаров, Г. А. Герасимов, В. П. Губин, С. Ю. Отрохов, А. И. Сазонов, Н. И. Старостин, В. В. Фомин. Тез. Докл. IV Всесоюзного симпозиума по исследованиям в области измерений времени и частоты. М., 1990, С. 106.
