Орбитальная эволюция двупланетной системы Солнце - Юпитер - Сатурн Текст научной статьи по специальности «Физика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 521.1:531.011

ОРБИТАЛЬНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ДВУПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЫ СОЛНЦЕ — ЮПИТЕР — САТУРН*

Э. Д. Кузнецов1, К. В. Холшевников2

1. Уральский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, доцент, eduard.kuznetsov@usu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, kvk@astro.spbu.ru

Введение

Изучение орбитальной эволюции планетных систем типа Солнечной является одной из фундаментальных задач небесной механики. Обзор исследований по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы выполнен в работе [1].

В данной статье продолжено исследование орбитальной эволюции слабовозмущенной двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн, начатое в работах [2-5]. Изложим кратко основные полученные там результаты. В первой статье [2] дан краткий обзор истории и современного состояния вопроса; обрисован план действий; введены координаты Якоби и отвечающие им оскулирующие элементы; указан вид разложения гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам. Во второй [3]—по простому алгоритму, сводящемуся к вычислению кратных интегралов от элементарных функций, найдены коэффициенты разложения гамильтониана двупланетной задачи Солнце — Юпитер — Сатурн, оценена область сходимости, получены оценки границ суммирования и значения коэффициентов искомого разложения. В третьей [4]—построены разложения гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам с помощью пуассоновского процессора PSP [6, 7], разработанного в Институте прикладной астрономии РАН (ИПА РАН). В частности, получено разложение гамильтониана для задачи Солнце — Юпитер — Сатурн. В четвертой [5] — с помощью эшелонированного пуассоновского процессора EPSP [8] методом Хори—Депри построены осредненный гамильтониан двупланетной задачи с точностью до второй степени малого параметра, производящая функция преобразования, уравнения замены переменных и правые части уравнений в средних элементах. Выполнено численное интегрирование осреднен-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-1323.2008.2) и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006—2008 годы)» Федерального агентства по образованию Минобрнауки РФ.

© Э.Д.Кузнецов, К.В.Холшевников, 2009

ных уравнений движения для двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн на интервале времени 10 млрд. лет. Показано, что движение планет имеет почти-перио-дический характер. Эксцентриситеты и наклоны орбит Юпитера и Сатурна остаются малыми, а их значения отделены от нуля. Короткопериодические возмущения сохраняются малыми на всем рассмотренном интервале времени.

В настоящей работе для двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн выполняется разложение осредненного гамильтониана с точностью до второй степени малого параметра и построение правых частей осредненных уравнений движения до третьей степени малого параметра. С помощью численного интегрирования в рамках второго улучшенного приближения исследуется орбитальная эволюция системы на интервале времени 10 млрд. лет.

Гамильтониан двупланетной задачи

Приведем основные соотношения, полученные в работах [2-5], которые необходимы для корректного представления новых результатов.

Пусть то, ^тот1, «тот2 —массы Солнца, Юпитера и Сатурна соответственно. Малый параметр « положен равным 10-3, так что безразмерные массы т1, т-2 —величины порядка единицы (т1 « 1, т-2 ~ 1/3).

Гамильтониан в системе координат Якоби можно представить суммой невозмущенной части Но и возмущающей «Н1:

Н = Но + «Н. (1)

Первое слагаемое зависит лишь от больших полуосей

Стот-! Стот-2

к0 = --

2а1 2а2

где О — постоянная тяготения. Здесь и ниже индексы 1 и 2 у радиус-векторов, координат и элементов отвечают Юпитеру и Сатурну соответственно. Во втором слагаемом выражения (1) выделим постоянный множитель размерности квадрата скорости и безразмерную часть Н2:

*1 = ^2%, (2)

ао

где ао — произвольная, имеющая размерность длины константа.

Возмущающая функция Н2 может быть представлена рядом Пуассона

Н2 = ^2 008 пу (3)

по позиционным X = {Х1, . . . , Хб} и угловым элементам у = {у1, . . . , Уб} . Здесь Лип — числовые коэффициенты; к = {&1,. .., кб}, п = {п1, .. ., Пб} — мультииндексы. Мы предпочли вещественную форму записи (3), поскольку Н2 —четная функция от у, и разложение не содержит синусов. Суммирование производится по всем неотрицательным к* и П1 и целым П2, . . . , Пб.

Необходимые для вычисления Лип и переходного к Н1 множителя значения постоянных ао, т1, т2, ао, а°° (средние значения а1, а2) приведены в [3, 4].

При построении разложений используем систему близких к кеплеровым оскулиру-ющих элементов. Все позиционные элементы малы и безразмерны, а угловые являются долготами:

Х3в-2 Q|s, Х3в-1 es, Х3в ,

Здесь а = (а — а0)/а0, / = 8ш(//2), а = 1 + д + П, в = 9 + П, 7 = П выражаются через кеплеровы элементы а, а0, е, 1, 1, д, П: большую полуось и ее некоторое среднее значение, эксцентриситет, наклон, среднюю аномалию, аргумент перицентра, долготу восходящего узла. Индекс в принимает значения 1 и 2. Здесь введена сплошная нумерация, сохраняющая различие буквенных обозначений для позиционных и угловых элементов; сначала идут соответствующие элементы первой планеты, затем второй.

Чтобы получить гамильтониан с точностью до ^2 был выбран следующий диапазон изменения индексов [3, 4]: &1 + ... + кб ^ 6, П1 ^ 15, |п41 ^ 15, остальные п автоматически не превосходят 6 по даламберовскому свойству Л-2 [9, 10].

Осредненный гамильтониан задачи Солнце — Юпитер — Сатурн

Для выполнения операции осреднения применим метод Хори—Депри (иначе — метод преобразований Ли) — см., например, [11]. Этот метод опирается на скобки Пуассона, что позволяет отказаться от канонических элементов. Для проведения выкладок достаточно выразить скобки Пуассона в нужной исследователю системе фазовых переменных [12].

В задаче Солнце — Юпитер — Сатурн быстрыми переменными являются долготы Юпитера «1 и Сатурна «2. Введем обозначения: пусть х' = {х1,...,хб} = {хь. .. ,хб}, г' = {¿1,. .. ,4} = {у2,У3,У5,Уб} — медленные переменные, у' = {у1, у2} = {У1,У4} — быстрые, п2 = {п2, пз, П5, Пб}, пу = {п1,п4} — мультииндексы медлен-

ных и быстрых угловых переменных соответственно, причем п = {п1, . . . , пб} = {пуЬ nz1, nz2, ny2, nz3, nz4}.

Осреднение проводим по быстрым переменным у1 = У1 = «1 и у2 = У4 = «2. Для средних элементов используем обозначения Х = {Х1,..., Хб}, У = {У1, У2}, 2 = {2.,..., ^4}. Осредненный гамильтониан ищем в виде ряда по степеням малого параметра ^:

Н(X, 2) = Но(Х, 2) + ^ мт#т(Х, Z).

т=1

Приведем основные соотношения метода преобразований Ли:

Н0 = ко, Нт = кт + ^2 “у{Г>, • • • ,ГЛ, ^0}, т > 1. (5)

Суммирование проводится по множеству 1 ^ г ^ т; 0 ^ Зо ^ т — 1; 31, 32, . .., Зг ^ 1; Зо + З1 + • • • + Зг = т. Производящая функция преобразования Т представляется рядом по степеням малого параметра ^:

Т(Х,У,2)= мтТт(Х,У,2).

т=1

Неассоциативные и антикоммутативные кратные скобки Пуассона записываются в виде

{/4, /3, /2, /1} = {/4, {/3, {/2,/1}}}.

На каждом шаге соотношение (5) можно представить в виде

Нт = {Tm, М + фm, (6)

где Фт определена на предыдущем шаге:

Ф1 = hu Ф2 = ±{Т1,{Н1 + Н1}},

Фз = {Т2, /и}+^ ({Т2, {Ть h0}}+{Tu {Т2, h0}}+{Tu №, + {Ть {Ть /*,}}}, • • •

Поскольку гамильтониан hi представлен в виде ряда Пуассона (3), функции Фт, Tm, Hm+i, m ^ 1 являются эшелонированными рядами Пуассона [8, 5].

Уравнения движения в средних элементах имеют вид

‘-1§ = {Н,Х], ^ = {Я,П § = №Z}. (7)

dt dt dt

Аналоги больших полуосей постоянны: Xi = const, Х4 = const. Уравнения для Х2, Х3, X5, Хб, Zi, ..., Z4 не зависят от Y и представляют собой замкнутую систему восьми уравнений первого порядка, в которую Xi и Х4 входят в качестве параметров. После ее решения быстрые переменные Y находятся простой квадратурой.

С помощью рациональной версии эшелонированного пуассоновского процессора EPSP [8] в [5] получены разложения осредненного гамильтониана Hi, H2, производящей функции Ti, T2, функций замены переменных и правых частей уравнений движения в средних элементах для задачи Солнце — Юпитер — Сатурн с точностью до ^2. В настоящей работе процессор EPSP использован для построения разложений третьего порядка по малому параметру ^. Поскольку разложение гамильтониана h-2 было получено с точностью до второй степени малого параметра с учетом слагаемых до 6 степени относительно полиномиальных переменных, то при построении разложений третьего порядка мы принимали во внимание только слагаемые до 4 степени относительно полиномиальных переменных. В результате найдены функции H3, Ф3, а также определяемые ими правые части уравнений движения в средних элементах. Уравнения в средних элементах проинтегрированы численно.

Таким образом, для задачи Солнце — Юпитер — Сатурн построено второе улучшенное приближение по терминологии Крылова—Боголюбова.

Результаты численного интегрирования уравнений движения в средних элементах

Осредненные уравнения движения решались численно. Система уравнений для медленных переменных Х2, Х3, Х5, Хб, Zi, ..., Z4 интегрировалась методами Эверхарта и Рунге—Кутты высоких порядков. Система уравнений для быстрых переменных Y интегрировалась численно с помощью сплайн-интерполяции. Точность интегрирования контролировалась интегралами энергии и площадей.

Начальные значения оскулирующих элементов орбиты совпадали для всех приближений [5]. Интервал интегрирования составил 10 млрд. лет. Использование осреднен-ных уравнений движения позволило увеличить шаг интегрирования в методе Рунге— Кутты 11-го порядка [13] до 10 тыс. лет. В методе Эверхарта 15-го порядка [14] применялся автоматический выбор шага интегрирования.

Элементы орбит Юпитера и Сатурна на рассматриваемом интервале времени 10 млрд. лет изменяются почти периодически.

На рис. 1 и 2 представлена эволюция средних эксцентриситетов e орбит Юпитера и Сатурна, полученная в результате интегрирования уравнений движения в средних

I, годы

Рис. 1.

2x10 3x10=

1, ГОДЫ

Рис. 2.

элементах с точностью до ^ (пунктирная линия), (штриховая линия) и ^3 (сплошная

линия) на интервале времени 500 тыс. лет. При переходе ко второму приближению амплитуда колебаний эксцентриситета возросла, а общий период увеличился с 68900 до 69600 лет, при переходе ко второму улучшенному приближению амплитуда изменилась незначительно, период увеличился до 70000 лет.

0.5 ------,-----1-----1-----1-----1-----1----1-----1-----1-----г

0.0 2.0x105 4.0х106 б.ОхЮ5 8.0х105 1.0х106

t, ГОДЫ

Рис. 3.

На рис. 3 показана эволюция наклонов I орбит Юпитера (сплошная линия) и Сатурна (штриховая линия) на интервале времени 1 млн. лет для второго улучшенного приближения. Амплитуды и периоды колебаний для решений первого, второго и второго улучшенного приближений различаются незначительно.

Характер эволюции средних элементов орбит сохраняется на всем интервале интегрирования 10 млрд. лет. Колебания эксцентриситетов орбит Юпитера и Сатурна, также как и колебания наклонов их орбит, происходят в противофазе. Эксцентриситеты и наклоны орбит Юпитера и Сатурна отделены от нуля.

В табл. 1 приведены пределы изменения эксцентриситетов e и наклонов I орбит Юпитера и Сатурна на интервале 10 млрд. лет, полученные в результате интегрирования осредненных уравнений движения в первом, втором и втором улучшенном приближениях, методами Эверхарта 15-го порядка (Э15) и Рунге—Кутты 11-го порядка (РК11). В табл. 1 указаны минимальные emin, Imin, максимальные emax, /max и средние emean, Imean значения, а также амплитуды колебаний еа, 1а эксцентриситетов e и наклонов I. Минимальные значения эксцентриситетов орбит различаются для Юпитера на 0.0036, для Сатурна на 0.0032. Максимальные — на 0.0013 для Юпитера и на 0.0051 для Сатурна. В наклонах орбит отличия менее существенны. Минимальные значения наклонов различаются на 0.0012° для Юпитера и на 0.0027° для Сатурна, максимальные—на 0.0017° и 0.0033° соответственно.

В табл. 2 приведены относительные разности между результатами соседних i-го и j-го приближений fи fдля обоих методов интегрирования:

„ l/ü)-/(i)l д{ = /« '

Сравнивались средние значения и амплитуды колебаний эксцентриситетов и наклонов. 144

Таблица 1. Пределы изменения осредненных эксцентриситетов и наклонов орбит ^Юпитера и Сатурна на интервале времени 10 млрд. лет

Элементы Первое Второе Второе улучшенное

орбиты приближение приближение приближение

Э15 РКП Э15 РКП Э15 РКП

Юпитер

Єтіп 0.02049882 0.02049945 0.01705296 0.01705230 0.01706858 0.01706837

Єтах 0.04979634 0.04979605 0.05111601 0.05111635 0.05110728 0.05110788

Є mean 0.03514758 0.03514775 0.03408449 0.03408433 0.03408793 0.03408813

Єа 0.01464876 0.01464830 0.01703153 0.01703203 0.01701935 0.01701976

-^min 1.269108 1.269142 1.270505 1.267884 1.270437 1.267881

^max 1.999092 1.998975 2.000475 2.000619 2.000345 2.000715

^mean 1.634100 1.634059 1.635490 1.634252 1.635391 1.634298

la 0.3649920 0.3649165 0.3649850 0.3663675 0.364954 0.366417

Сатурн

^min 0.01656612 0.01656908 0.01941548 0.01941552 0.01947028 0.01946972

Єтах 0.07306983 0.07306939 0.07799488 0.07799562 0.07798657 0.07798686

Є mean 0.04481798 0.04481924 0.04870518 0.04870557 0.04872843 0.04872829

Єа 0.02825186 0.02825016 0.02928970 0.02929005 0.02925815 0.02925857

-^min 0.7360951 0.7364123 0.7343967 0.7340266 0.7346279 0.7336989

^max 2.531829 2.531686 2.531697 2.534897 2.531899 2.534966

^mean 1.633962 1.634049 1.633047 1.634462 1.633263 1.634332

la 0.8978670 0.8976369 0.898650 0.9004352 0.8986356 0.9006336

Таблица 2. Относительные разности между результатами, полученными в разных приближениях

Относительные разности Первое — второе приближения Второе — второе улучшенное приближения

Э15 РКП Э15 РКП

^Єщеап 3.1 КГ2 3.1 кг2 Юпитер 1.0 • кг4 1.1 10“4

¿еа 1.4 КГ1 1.4 кг1 1 о см 7.2 10“4

S-fmean 8.5 10-4 1.2 КГ4 6.1 • 10“ь 2.8 10~ь

На 1.9 КГБ 4.0 кг3 0° Сл О 1 сл 1.4 10“4

^Єтеап 8.0 кг2 8.0 кг2 Сатурн 4.8 • КГ4 4.8 10~4

¿еа 3.5 10~2 3.6 10~2 1.1 • кг3 1.1 ю-3

3-fmean 5.6 кг4 2.5 кг4 1.3 • КГ4 8.0 ю~ь

<51а 8.7 кг4 3.1 кг3 СЪ О 1 сл 2.2 10~4

Относительные разности эксцентриситетов в первом и втором приближениях превышают малый параметр ^ = 1 • 10-3. Для относительных разностей средних значений эксцентриситета £втеап Юпитера и амплитуды колебаний эксцентриситета 5ва Сатурна они меньше, чем ц/Р = 4.4 • 10~2 ~ Д2, Здесь Р = (2и>1 — Ьи>2) /и)\, где и>8 = я8а3 3^2, в = 1, 2 — средние движения Юпитера и Сатурна, соответственно, к2 = Ото(1 + ^т\), К = Ото(1 + рт1 + ^т2)/(1 + ^т\) —их гравитационные параметры. Относительные разности амплитуды колебаний эксцентриситета Юпитера и среднего значения эксцентриситета Сатурна превосходят Д1.

Относительные разности наклонов в первом и втором приближениях для большинства случаев не превышают ^. Исключение составляют относительные разности амплитуд колебаний наклона 51а для метода Рунге—Кутты, превосходящие ^, но меньшие л/М-

Разность между первым и вторым приближениями пропорциональна Дл, а не /л, что свидетельствует о наличии слабого резонанса.

Относительные разности между результатами второго и второго улучшенного приближений не превосходят ^, за исключением относительной разности амплитуды колебаний эксцентриситета Сатурна, которая на 10% превышает ^.

При интегрировании осредненных уравнений движения методами Рунге—Кутты 11-го порядка и Эверхарта 15-го порядка на интервале времени 10 млрд. лет выполнялся контроль сохранения интегралов движения, присущих данной задаче: интеграла энергии и интегралов площадей. Для обоих методов интегрирования получены аналогичные характеристики сохранения интегралов движения.

Для интеграла энергии модуль относительной разности

6Е=Е-Ео

Ео

текущего значения полной энергии системы Е и ее начального значения Ео не превосходит 8.75 • 10-13 (5.2 • 10-13 при учете второго приближения), а ее среднее значение остается постоянным на всем интервале интегрирования.

Сохранение интеграла энергии указывает на то, что фазовые кривые, соответствующие точному и приближенному решениям, находятся на одной интегральной поверхности. Однако это не гарантирует близость фазовых кривых на интегральной поверхности.

Эволюция долготы восходящего узла 0 орбит Юпитера и Сатурна зависит от выбора основной плоскости отсчета. Если выбрать плоскость Лапласа в качестве основной, то эволюция узлов будет иметь наиболее простой характер [5]. В двупланетной задаче Солнце — Юпитер — Сатурн положение плоскости Лапласа в системе координат Якоби задается следующими эклиптическими элементами: = 1.634°, 0^ = 106.225°. На

плоскости Лапласа разность долгот одноименных узлов орбит Юпитера и Сатурна в точности равна 180° [15]. Данное свойство использовалось для контроля результатов вычисления. На интервале времени 10 млрд. лет отличие 60 от 180° не превышает 0.0053°, а среднее значение величины 180° — 60 остается постоянным.

Интегралы площадей позволяют контролировать точность определения взаимного положения плоскостей орбит. При вычислениях удобно использовать элементы орбиты, отнесенные к плоскости Лапласа. В этом случае вектор площадей а = (ах ,ау,<г2) направлен вдоль оси г и, следовательно, ах = ау = 0. При вычислении интегралов площадей используем то, что эти интегралы сохраняют вид в системе координат Якоби [15] и при осредняющих преобразованиях [16].

Для интеграла площадей модуль относительной разности

аг — аго даг = --------

^о

текущего значения г-компоненты интеграла площадей ах и ее начального значения аго на интервале времени 10 млрд. лет не превосходит 7.7 • 10-1°, а ее среднее значение возрастает со скоростью 3.75 • 10-11 (млрд. лет)-1. Максимальные по модулю отклонения значений ах/а%о и ау/а%о достигают 7.3 • 10-7 и 7.4 • 10-7 соответственно.

При переходе от второго ко второму улучшенному приближению существенно изменился характер эволюции разности долгот восходящих узлов орбит Юпитера и Сатурна, а также компонент интеграла площадей. В решении [5], учитывающем второе

Таблица 3. Среднеквадратичная и равномерная нормы функций замены переменных

Планета Элементы орбиты

а, а.е. | е /. градусы | а, градусы | /3, градусы | 7, градусы

Юпитер Сатурн 0.000645 0.003775 Сре 0.000520 0.001236 Первое прибл ;днеквадратич 0.000508 0.001254 ижение ная норма 0.0113 0.0402 0.9738 1.7033 0.0182 0.0522

Юпитер Сатурн 0.002244 0.012139 0.001128 0.002682 Равномерная 0.001326 0.003212 норма 0.0304 0.1127 3.1538 7.6316 0.0616 0.2603

Юпитер Сатурн 0.000651 0.003802 Сре 0.000524 0.001243 Второе прибл ;днеквадратич 0.000508 0.001253 ижение ная норма 0.0114 0.0403 1.0227 1.7659 0.0184 0.0527

Юпитер Сатурн 0.002253 0.012167 0.001146 0.002751 Равномерная 0.001328 0.003176 норма 0.0305 0.1140 3.5671 8.2703 0.0612 0.2722

Юпитер Сатурн 0.000656 0.003841 Второ Сре 0.000524 0.001241 е улучшенное ;днеквадратич 0.000503 0.001246 приближение ная норма 0.0114 0.0406 1.0218 1.7853 0.0186 0.0531

Юпитер Сатурн 0.002250 0.012015 0.001139 0.002745 Равномерная 0.001327 0.003268 норма 0.0304 0.1135 3.5018 8.2155 0.0619 0.2667

приближение, разность долгот восходящих узлов испытывает долгопериодические колебания с амплитудой 0.0085° и периодом 1.5 млрд. лет. Модуль относительной ошибки 6аг не превосходит 3.5 • 10-:Ш, а ее среднее значение остается постоянным. Колебания ах/а%о и ау/<гхо происходят относительно среднего значения ах/а%о = 4.3 • 10-7, °у/(Ухо = 5.4 • 10-8.

Различия между вторым и вторым улучшенным приближениями не нарушают основных выводов работы [5], описывающих особенности эволюции интегралов площадей в рассматриваемой задаче. Компоненты интеграла площадей ах и ау сохраняются с гораздо меньшей точностью, чем г-компонента и интеграл энергии. Как доказано [15, 16], интеграл площадей сохраняется в системе, определяемой гамильтонианом Н. Но компоненты ах и ау (в отличие от ах и интеграла энергии Е) не сохраняются в системе, определяемой конечным отрезком разложения в ряд Пуассона осредненного гамильтониана Н. Несохранение компонент интеграла площадей ах и ау ведет к тому, что эволюция долгот восходящих узлов, а, следовательно, элементов в и 7 описывается с меньшей точностью, чем эволюция эксцентриситетов е и наклонов I орбит Юпитера и Сатурна.

Эволюция средних элементов дает общее представление об эволюции орбит на больших интервалах времени. Уравнения замены переменных [5] позволяют перейти от средних элементов к оскулирующим. Входящие в эти уравнения функции замены переменных дают информацию о короткопериодических возмущениях, которые были исключены в результате проведения осредняющих преобразований.

В табл. 3 приведены оценки среднеквадратичной

/1 * \1/2

1№= I „Е№)2|

и равномерной

||/||то = . imx lfj1

норм функций замены переменных / по результатам интегрирования уравнений движения на интервале времени 1 млн. лет. Здесь N — число наборов элементов орбит на интервале интегрирования. Оценки норм получены для уравнений движения первого, второго и второго улучшенного приближений. Разности между нормами функций замены переменных для второго и второго улучшенного приближений, как правило, меньше, чем разности норм этих функций для второго и первого приближений. Исключение составляют обе нормы функций замены переменных для большой полуоси а и наклона I орбиты Сатурна, среднеквадратичные нормы функций замены переменных для наклона I орбиты Юпитера и долготы а Сатурна, равномерная норма функции замены переменных для долготы восходящего узла Q орбиты Юпитера.

Короткопериодические возмущения больших полуосей орбит а Юпитера 0.0023 а.е. и Сатурна 0.0120 а.е. много меньше их средних значений: 5.144 а.е. и 9.460 а.е. соответственно. Сравнение результатов для второго улучшенного приближения (табл. 1 и 3) показывает, что максимальные значения норм короткопериодических возмущений эксцентриситета e (0.0011—для Юпитера, 0.0027 — для Сатурна) и наклона I (0.0013° — для Юпитера, 0.0033° —для Сатурна) существенно меньше амплитуд соответствующих долгопериодических возмущений: 0.0170 и 0.36° —для Юпитера, 0.0293 и 0.90° —для Сатурна. Нормы функций замены переменных для долгот а, в, Y также много меньше амплитуд долгопериодических возмущений. Для первого и второго приближений соотношения между амплитудами короткопериодических и долгопериодических возмущений имеют аналогичный характер.

Полученные результаты подтверждают правомерность применения метода осреднения к системе Солнце — Юпитер — Сатурн.

Было выполнено сравнение полученных результатов с данными численного интегрирования. Использовалась программа численного интегрирования уравнений движения задачи N тел Mercury 6.2 [17]. С помощью программы Mercury 6.2 выполнено численное интегрирование (применялся метод Эверхарта) уравнений двупланетной задачи Солнце— Юпитер — Сатурн на интервале времени 100 тыс. лет. Результаты интегрирования были представлены в системе координат Якоби.

Выполнено сравнение амплитуд и периодов колебаний эксцентриситетов и наклонов орбит Юпитера и Сатурна для численно-аналитических решений в средних элементах, оскулирующих элементах и для численного решения, полученного с помощью Mercury 6.2 (табл. 4). Результаты для наклонов орбит, а также для амплитуды колебаний

Таблица 4- Амплитуды и периоды колебаний эксцентриситетов и наклонов орбит ^Юпитера и Сатурна

Планета Є-а Ре, ГОДЫ 1а, градусы Pi, годы

Средние элементы

Юпитер 0.0170 70000 0.366 49700

Сатурн 0.0293 70000 0.901 49700

Оскулирующие элементы

Юпитер 0.0176 70000 0.366 49700

Сатурн 0.0309 70000 0.901 49700

Оскулирующие элементы (Mercury 6.2)

Юпитер 0.0167 54000 0.362 49400

Сатурн 0.0385 54000 0.892 49400

эксцентриситета Юпитера, хорошо согласуются между собой. Относительная разность периодов колебаний эксцентриситетов составляет 0.3, относительная разность амплитуд колебаний эксцентриситета Сатурна — 0.2. Различие результатов для эксцентриситетов связано с тем, что максимальная величина эксцентриситета орбиты Сатурна ^2max = 0.073 более, чем вдвое превосходит значение yj~ß = 0.032. При оценке максимальной степени разложений по эксцентриситетам и наклонам именно значение Д2 использовалось для этих параметров в качестве характерного [3].

Описания орбитальной эволюции двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн, полученные с помощью численно-аналитической теории и численной модели Mercury 6.2, качественно и, в целом, количественно согласуются между собой.

Заключение

В настоящей работе для двупланетной слабовозмущенной системы Солнце — Юпитер — Сатурн построен осредненный гамильтониан H3 с точностью до ^3, что позволило исследовать орбитальную эволюцию системы в рамках второго улучшенного приближения.

Подтверждены результаты работы [5] : на космогоническом интервале времени движение Юпитера и Сатурна имеет почти-периодический характер. При численном интегрировании осредненных уравнений движения интеграл энергии сохранялся с существенно более высокой точностью, чем интеграл площадей. По этой причине количественные результаты, описывающие эволюцию угловых элементов орбит на длительных интервалах времени, оказываются менее точными, чем описывающие эволюцию позиционных элементов.

При переходе от второго ко второму улучшенному приближению существенно изменяется характер эволюции разности долгот восходящих узлов орбит Юпитера и Сатурна, а также компонент интеграла площадей. Во втором улучшенном приближении отсутствуют долгопериодические колебания с периодом 1.5 млрд. лет.

Сравнение с численной моделью Mercury 6.2 показало, что результаты, описывающие орбитальную эволюцию двупланетной системы Солнце — Юпитер — Сатурн, качественно и, в целом, количественно согласуются между собой.

Литература

1. Холшевников К. В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы // Астрон. вестн. 2007. Т. 41, №4. С. 291-329.

2. Холшевников К. В., Греб А. В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, №3. С. 267-272.

3. Холшевников К. В., Греб А. В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрон. вестн. 2002. Т. 36, №1. С. 75-87.

4. Кузнецов Э.Д., Холшевников К. В. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: применение пуассоновского процессора // Астрон. вестн. 2004. Т. 38, №2. С. 171-179.

5. Кузнецов Э. Д., Холшевников К. В. Динамическая эволюция слабовозмущенной двупланетной системы на космогоническом интервале времени: система Солнце — Юпитер — Сатурн // Астрон. вестн. 2006. Т. 40, №3. С. 263-275.

6. Брумберг В. А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М., 1980. 206 с.

7. Иванова Т. В. Пуассоновский процессор PSP: Препринт ИТА РАН №64. СПб., 1997. 46 с.

8. Ivanova T. A new echeloned Poisson series processor (EPSP) // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 2001. Vol. 80. P. 167-176.

9. Холшевников К. В. Даламберовские функции в небесной механике // Астрон. журн. 1997. Т. 74, №1. С. 146-153.

10. Холшевников К. В. Гамильтониан планетной и спутниковой задачи как даламберовская функция // Астрон. журн. 2001. Т. 78, №7. С. 669-672.

11. Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. Л., 1985. 208 с.

12. Холшевников К. В., Греб А. В. Неканоническая параметризация скобок Пуассона в небесной механике // Астрон. вестн. 2001. Т. 35, №5. С. 457-462.

13. Данилов В. М., Дорогавцева Л. В. Оценки времени релаксации в численных динамических моделях рассеянных звездных скоплений // Астрон. журн. 2003. Т. 80, № 6. С. 526-534.

14. Everhart E. Implicit single methods for integrating orbits // Celest. Mech. 1974. Vol. 10. P. 35-55.

15. Шарлье К. Небесная механика. М., 1966. 628 с. (Charlier C. L. Die Mechanik des Himmels. Walter de Gruyter & Co., 1927.)

16. Холшевников К. В. Сохранение формы интеграла площадей при осредняющих преобразованиях // Астрон. журн. 1991. Т. 68. С. 660-663.

17. Chambers J. E. A hybrid symplectic integrator that permits close encounters between massive bodies // Mon. Not. of the Royal Astron. Soc. 1999. Vol. 304. P. 793-799.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.