Устойчивость движения планет по Хиллу при звездных сближениях

Маммадли Азад Гидаят Оглы

УДК 521.135

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 3

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ ПО ХИЛЛУ ПРИ ЗВЕЗДНЫХ СБЛИЖЕНИЯХ*

Маммадли Азад Гидаят оглы

Батабатская астрофизическая обсерватория Нахчыванского отделения НАН Азербайджана, Азербайджан, 7000, Нахчыван, пр. Г. Алиева, 35

В рамках ограниченной задачи трех тел исследовано пространственное движение пассив-но-гравитирующего тела при сближении пробной звезды с центральным телом. Использовано точное выражение силовой функции без разложения ее в ряд. Найдено интегральное инвариантное соотношение — квазиинтеграл и определены возможные области движения пассивно-гравитирующего тела. Исследована устойчивость движения планет по Хиллу при сближении с Солнечной системой на минимальное расстояние от 50 до 100 а. е. звезды с массой от одной до пяти солнечных масс. Полученные результаты приведены в виде таблиц. Библиогр. 10 назв. Табл. 2.

Ключевые слова: небесная механика, ограниченная задача трех тел, квазиинтеграл, закон сохранения энергии, поверхности минимальной энергии, устойчивость по Хиллу.

1. Введение. Постановка задачи. В работах [1, 2] в рамках плоской осред-ненной, а в работе [3] — в рамках двукратно осредненной параболической задачи трех тел определены изменения элементов орбиты планет при сближении с Солнечной системой звезды солнечной массы на минимальное расстояние от 50 а. е. Полученные результаты показали, что при таких сближениях размеры и формы орбит планет остаются постоянными, изменяется лишь их ориентация.

В работе [4] рассмотрена ограниченная гиперболическая задача трех тел и дана оценка влияния звезды солнечной массы на орбиты планет при ее сближении с Солнцем на расстояние д' от 100 до 1152 а. е. Показано, что при умеренном сближении такой звезды с Солнцем размеры орбит планет не претерпевают никаких изменений. При сближении звезды с Солнцем на расстояние д' > 100 а. е. наклон, эксцентриситет, долгота восходящего узла и аргумент перигелия изменяются довольно мало.

В данной работе рассмотрено пространственное движение пассивно-гравитиру-ющего тела (далее ПГТ или Мо) в рамках ограниченной задачи трех тел. Сближающееся с центральным телом возмущающее тело (пробная звезда) при этом может совершать движение по параболической или гиперболической орбитам. Целями настоящей работы являются: нахождение интегрального инвариантного соотношения — квазиинтеграла и определение областей возможности движения ПГТ; установление устойчивости или неустойчивости движения ПГТ по Хиллу при сближении пробной звезды с центральным телом; приложение полученных результатов к реальным астрономическим объектам.

Движение ПГТ будем изучать во вращающейся и пульсирующей системе координат, начало которой совпадает с барицентром активно-гравитирующих тел М\ (центральное тело) и М2 (возмущающее тело) с массами ш\ и Ш2, а уравнения движения Мо имеют простой вид [5, 6]

* Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при президенте Азербайджанской Республики (грант № ЕШ-2013-9(15)-46/14/1).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

¿2х ¿у дQ ¿2у ¿х дQ сРг дQ

~ "о" 2 ~~" ~ — ~Г , — уг 2— ~ — — , ~~~ ТТ — ""~

(1)

Систему уравнений (1) будем называть уравнениями ШАПНЕРа [6]—аббревиатура образована из фамилий Шайбнера [7], Петра и Нехвила [8, 9] и Рейн [10]. В системе уравнений (1) за независимую переменную принята истинная аномалия возмущающего тела, а силовая функция является аналогом функции Якоби в круговой задаче и явно зависит от независимой переменной V [5, 6]:

Q = р'

1- (х2 + у2- e'z2 cosv') +p'3f^ + Ljí) 2 \ri Г2 J

(2)

где p',e' — фокальный параметр и эксцентриситет орбиты возмущающего тела относительно центрального тела Mi соответственно. Безразмерная величина р' является функцией от v' и определена ниже, а ri и Г2 — расстояния пассивно-гравитирующего тела от основных тел Mi и M2:

2 / / , 1\2 , 2 i 2 2 / /N2,2,2 /о\

rt = (x — p/л + p ) + y + z, r-2 = (x — p/) + y + z , (3)

а (1 — /) и / — их относительные массы:

mi т 2 1

M =-:-, l-/x =-:-, М<о- 4

mi + m 2 mi + m-2 2

Расстояние r' между основными телами таково:

г'=р'р', Р' = Т—4-7' Р' = q'(l + e'), (5)

1 + e' cos v'

где q' — минимальное расстояние (перигелийное расстояние в Солнечной системе) возмущающего тела от центрального. Равенство (5) для r' практически определяет орбиту возмущающего тела: при e' > 1 —гиперболическую, а при e' = 1 —параболическую орбиту. Кроме того, диапазон изменения истинной аномалии предполагается удовлетворяющим неравенству

I v' I < va, где va = тг при е' = 1, va = arceos ^--при е' > 1. (6)

Примечание 1. Выражение (2) для аналога функции Якоби Q соответствует случаю mi < m-2. Если масса центрального тела больше, чем масса возмущающего тела (mi > m.2), аналог функции Якоби Q, относительные массы / и (1 — /), а также расстояния ri и r2 должны определяться равенствами [5, 6]

Q = Р'

\ (х2 +у2- e'z2 cosv') + P'3(LJÍ + Ji) 2 ri r2

(7)

m 2 mi 1

M=-:-, 1 -M=-:-, М<о' 8

mi + m2 mi + m-2 2

"2 = (x + p'/)2 + y2 + z2, r^ = (x + p— p')2 + y2 + z2. (9)

2. Квазиинтеграл. Закон сохранения энергии. В ограниченной круговой (в' = 0) задаче трех тел уравнения движения ШАПНЕРа (1) допускают первый интеграл—интеграл Якоби [5, 6]:

V2 - 2Q = 2C, 2C = V02 - 2Q0 = const, (10)

где нулевым индексом обозначены значения скорости V пассивно-гравитирующего тела и функции Якоби Q при некотором начальном значении v0 истинной аномалии, а С — постоянная интеграла Якоби. Однако в ограниченной эллиптической (ОЭЗ), гиперболической (ОГЗ) и параболической (ОПЗ) задачах трех тел не существует первого интеграла, подобного интегралу Якоби (10). Это связано с тем, что силовая функция Q явно зависит от независимой переменной V' ив этом случае имеет место интегральное инвариантное соотношение — квазиинтеграл [6]

= Н=Ц--С}0 + «К), (И)

где и (V') —неизвестная первообразная функция. Полученное соотношение (11) не является первым интегралом уравнений движения (1): его следует рассматривать как интегральное инвариантное соотношение или квазиинтеграл [6]. В квазиинтеграле (11) Н представляет собой постоянную энергию и зависит от значения неизвестной функции и V), т.е. принимает различные значения на разных траекториях движения. При этом квазиинтеграл (11) при е' = 0 (в случае кругового движения) преобразуется в интеграл Якоби (10), так как в этом случае имеем дQ/дv' = 0, т.е. выполняется и (V') = 0 [6].

Таким образом, полученный квазиинтеграл (11) в некруговой (е' = 0) ограниченной задаче трех тел представляет собой закон сохранения энергии пассивно-гравитирующего тела: полная энергия тела Мо, состоящая из якобиевой энергии V2/2 — Q и дополнительной энергии и (V'), есть величина постоянная, зависит только от начальных значений координат и скоростей тела Мо. Величину Н можно считать постоянной энергией, имеющей свое конкретное значение на каждой траектории [6]. Кроме того, якобиева энергия V2/2 — Q достигает максимального значения в перицентре орбит основных тел М\ и М2, а минимального значения — в апоцентре: ^ 2 V2

где индексы «а» и «р» соответствуют апоцентру и перицентру. Кроме того, дополнительная энергия и (V') монотонно возрастает при удалении основных тел М\ и М2 от перицентра и пассивно-гравитирующее тело Мо получает дополнительную (потенциальную) энергию от них, а при движении основных тел в сторону перицентра, дополнительная энергия и (V') убывает и тело Мо отдает энергию основным телам [6].

Заметим, что закон сохранения энергии (11) в момент прохождения основных тел через перицентры их орбит имеет вид [6]

V2 V2 Q ■ р'2

— -(Э + и(ь') = кр, = + дтш = ^_(3-м + м2). (12)

Здесь индекс «р» обозначает значения аналога функции Якоби Q и скорости V пассивно-гравитирующего тела, вычисленные в момент прохождения возмущающего тела через перицентр, т.е. при V' = 0.

Закон (12) можно переписать в виде

V2 + 2и (V') — 2р' ■ Qmin = 2Q — 2р' ■ Qmin + 2Нр > 0. (13)

Тогда из (13) находим возможную область движения ПГТ Мо:

Щ - 2р'дт;п >С, С = — 21гр = - VI - (14)

1 + е

где C — аналог постоянной Якоби, а Qmin определено выше. Границу области (14)

2Q — 2р' ■ Qmin = C (15)

будем называть поверхностью минимальной энергии, уравнение которой запишем в виде [6]

Н = х2+у2 -e'z2cosv' + 2р'3 ( — + —- ) - 2Qmin = С (1 + е'cosv'). (16)

\Г1 Г2 )

Очевидно, что функция H = H (x,y,z,p',e',v',^,C) определяет зависимость семейства поверхностей минимальной энергии (16) не только от координат x,y, z, но и от пяти параметров p' ,e' ,v' ,^,C. Аналог постоянной Якоби C характеризует энергию ПГТ, а фокальный параметр p' —линейный масштаб поверхностей. При заданных значениях параметров p', e', v' и C тело Mo не может выйти за пределы поверхности (16). При e' = 0 поверхности минимальной энергии (16) преобразуются в поверхности нулевой относительной скорости ограниченной круговой задачи трех тел. Кроме того, из уравнения (16) следует, что семейство поверхностей минимальной энергии при заданных значениях параметров p', e',p и C для всех значений истинной аномалии v' в диапазоне [— va,va] (см. формулу (6)) располагается между двумя поверхностями [6]

х2+у2- e'z2 cosv' + 2р'3 (+ - 2Qmin = С (1 + е') (17)

\Г1 Г2 )

и

X2 +у2 -e'z2cosva+2p'3 + - 2Qmin = С (1 + e'cos^). (18)

\Г1 Г2 )

Примечание 2. Существование аналога интеграла Якоби в ограниченной эллиптической, параболической и гиперболической задачах трех тел ранее отрицалось. В работе [6] доказано, что такой аналог — квазиинтеграл существует. При этом из найденного квазиинтеграла получается аналог поверхностей нулевой скорости — поверхности минимальной энергии. Эти поверхности также допускают существование движений спутникового типа, т.е. имеет место устойчивость по Хиллу при определенных значениях параметров.

3. Устойчивость движения по Хиллу. Обмен спутником между телами.

Сначала рассмотрим задачу об устойчивости движения ПГТ по Хиллу. Движение пассивно-гравитирующего тела в ограниченной задаче трех тел называется устойчивым по Хиллу, если оно не выходит за пределы некоторой замкнутой области вокруг одного из основных тел. Иначе говоря, если пассивно-гравитирующее тело при любых значениях истинной аномалии v' осуществляет движение спутникового типа вокруг одного из основных тел, оставаясь в ограниченной области, то его движение считается устойчивым по Хиллу.

Понятие устойчивости по Хиллу неразрывно связано со значением аналога постоянной Якоби C, вычисленным в особой точке L2, которая находится между основными телами M1, M2 и соответствует движению спутникового типа.

Значение аналога постоянной Якоби из семейства поверхностей минимальной энергии, соответствующее особой точке L2(x2, 0,0), обозначим через C2, т.е. в силу (16) положим

С2 = Н (х2,0,0) = х2+2р'3 ( М + ) -р'\3-М V)- (19)

\v(x2 + p' — p'N2 v(x2 — p'w2/

Тогда при любых значениях истинной аномалии v' удовлетворяется неравенство

С > -—-. (20)

1 + e' cos v'

Неравенство (20) представляет собой критерий устойчивости, неустойчивости и условной устойчивости движения тела малой массы в ограниченной гиперболической и параболической задачах трех тел. В ОГЗ и ОПЗ критерий устойчивости движения ПГТ по Хиллу выполняется асимптотически, т.е. при C ^ ж>. Следовательно, устойчивости движения ПГТ Mo по Хиллу в ограниченной параболической и гиперболической задачах трех тел никогда не может быть, но имеет место условная устойчивость. Для параболической и гиперболической ограниченных задач условная устойчивость движения тела Mo по Хиллу достигается при выполнении

°2 < С < оо. (21)

1 + e

Критерием же абсолютной неустойчивости движения ПГТ Mо по Хиллу является неравенство

С < ^ (22)

которое гарантирует выполнение неравенства C < C2 при любых V'.

Теперь рассмотрим задачу об обмене спутником между основными телами Ml и M2, сближающимися по гиперболическим или параболическим орбитам. Изложенная выше теория [6] по критериям устойчивости движения тела Мо по Хиллу позволяет установить: а) необходимое условие осуществления обмена или захвата, б) достаточное условие невозможности обмена, в) интервал значений истинной аномалии V, при котором возможен обмен спутником.

В случае параболического и гиперболического движений основных тел необходимое условие обмена, т. е. критерий неустойчивости движения тела Мо по Хиллу всегда выполняется. В этом случае при любых уровнях энергии имеет место неустойчивость по Хиллу при достаточно большом IV'!. Кроме того, в случае нарушения критериев условной устойчивости (21) по Хиллу, т.е. в интервале IV'! > гиа (см. формулу (6)) может осуществляться обмен спутником в параболическом и гиперболическом движениях основных тел.

При выполнении критерия абсолютной неустойчивости (22) обмен спутником теоретически возможен при любых значениях истинной аномалии V'. Заметим, что подобные условия ранее были неизвестны, и возможность или невозможность обмена спутником проверялась интуитивным подбором начальных условий и исходных параметров [6].

4. Примеры. В качестве примера возьмем пробную звезду с массой ш', периге-лийным расстоянием д' (в а. е.) и эксцентриситетом е', изменяющимися в пределах

М0 < ш' < 5М0, 50 < д' < 100, 1 < е' < 5,

где М0 — масса Солнца, е' = 1 соответствует параболическому движению пробной звезды.

Результаты исследования устойчивости по Хиллу движения трех планет (Земли, Юпитера и Сатурна) в зависимости от фокального параметра р' орбиты звезды и ее

Таблица 1. Устойчивость движений планет по Хиллу в ограниченной гиперболической задаче трех тел: планета — Солнце — звезда

Планета р' (в а. е.) т' Ср с2 1 + е' Устойчивость

107.5 м© 3 м© 5 М© 11223.63801 25583.32507 47022.20069 6718.7500 5687.60356 4772.35271

215 М© 3 м© 5 М© 33270.29723 112264.5806 165109.6349 26875.0 22750.41426 19089.41084 Условная

107.5 М© 3 м© 5 М© 13331.70751 24861.51172 49624.43491 6718.7500 5687.60356 4772.35271

Юпитер 161.25 М© 3 м© 5 М© 21467.26449 60262.03232 95683.01105 15117.18750 12797.10802 10737.79359

215 М© 3 м© 5 М© 33930.418233 111454.2512 164324.6482 26875.0 22750.41426 19089.41084 устойчивость

107.5 М© 3 м© 5 М© 8727.26427 27513.53878 42004.00334 6718.7500 5687.60356 4772.35271

Сатурн 161.25 М© 3 м© 5 М© 18716.70519 63492.14497 92061.73155 15117.18750 12797.10802 10737.79359

215 М© 3 м© 5 М© 32919.55202 115125.8691 162201.6013 26875.0 22750.41426 19089.41084

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

массы ш' приведены в табл. 1 при гиперболической, а в табл. 2 при параболической орбитах звезды. В этих таблицах через Ср обозначено значение аналога постоянной Якоби при V' = 0, а через С2 — вычисленное ее значение в особой точке ¿2. Оказалось, что в случае параболической или гиперболической орбит звезды имеет место только условная устойчивость движения планет по Хиллу.

5. Заключение. Найдено интегральное инвариантное соотношение — квазиинтеграл в задаче о пространственном движении пассивно-гравитирующего тела при сближении с центральным телом звезды, которая может совершать движение по параболической или по гиперболической орбитам. Определены области возможности движения пассивно-гравитирующего тела. При этом использовалось точное выражение силовой функции без ее разложения в ряд.

Показано, что в случае параболического или гиперболического относительного движения основных тел необходимое условие обмена спутником всегда выполняется. В области потери устойчивости движения в смысле Хилла может осуществляться обмен спутником как в параболическом, так и гиперболическом движениях основных тел. При этом обмен может осуществляться только в интервале истинной аномалии в окрестности наиболее удаленной точки относительной орбиты основных тел IV'! > va. При выполнении критерия неустойчивости и при надлежащем выборе

Таблица 2. Устойчивость движений планет по Хиллу в ограниченной параболической задаче трех тел: планета — Солнце — звезда

Планета р' (в а. е.) т' Ср с2 1 +е' Устойчивость

начальных условий спутник может либо покинуть окрестность родственного тела и стать спутником второго тела (обмен), либо превратиться в самостоятельное небесное тело (выброс), либо остаться спутником родственного тела.

Литература

1. Мамедов А. Г. Осредненная параболическая ограниченная задачи трех тел // Астрон. журн. 1989. Т. 66, вып. 2. С. 377-384.

2. Мамедов А. Г. О вековых возмущениях элементов в ограниченной параболической задаче трех тел // Астрон. журн. 1991. Т. 68, вып. 6. С. 1323-1327.

3. Мамедли А. Г. Предельный случай двукратно-осредненной параболической ограниченной задачи трех тел // Астрон. вестн. 2007. Т. 41, №2. С. 186-189.

4. Холшевников К. В., Мищук Ю. В. Влияние звездных сближений на планетные орбиты // Вестник ЛГУ. Вып. 7. 1983. С. 72-81.

5. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964.

6. Лукьянов Л. Г. Аналог поверхностей нулевой скорости в ограниченной эллиптической, параболической и гиперболической задачах трех тел // Письма в Астрон. журн. 2010. Т. 36, №11. С. 869-880.

7. Scheibner W. Satzaus der Storungstheorie // Reine Angew. Math. 1866. Vol. 65. P. 291.

8. Petr K., Nechvil M. V. Two remarks to a special case of three bodies problem // Casopis Pestovani Mat. Fys. (Praha). 1918. Vol.47. P. 268-273.

9. Nechvil M. V. Sur une nouvelle forme des equations différentielles du probleme restreint elliptique // Compte Rendue. 1926. Vol.182. P. 310.

10. Rein No,to,lie. Note sur l'article de M. V. Nechvil «Sur une nouvelle forme des equations différentielles du probleme restreint elliptique» // Труды Гос. астрон. института им. П. К. Штернберга. 1937. Т. 14. С. 85-87.

Статья поступила в редколлегию 27 ноября 2015 г. Сведения об авторе

Маммадли Азад Гидо,ят оглы — кандидат физико-математических наук, доцент; azad_mammadli@yahoo.com

THE HILL STABILITY OF PLANETARY MOTION UNDER STELLAR APPROACHES

Mommodli Azod Hidoyot oglu

The Batabat astrophysical observatory of the Nakhzivan department of Nationale Academy Science of Azerbaijan, pr. H.Aliyev, 35, Nakhchyvan, 7000, Azerbaijan; azad_mammadli@yahoo.com

A planetary motion under the influence of a star passing near the Solar system is examined in the framework of the three-dimensional restricted three-body problem. The exact expression of the force function without expansion it in series is used. An integral invariant relation — quasi-integral — is found, and regions of possible motion of a passively gravitating body are determined. Surfaces of minimal energy which are generalizations of surfaces of zero velocity are plotted. The Hill stability of planetary motion is investigated when a star with a mass between one and five solar masses approaches the Solar system at a minimum distance of 50 AU up to 100 AU. The results obtained are shown in the form of tables. Refs 10. Tables 2.

Keywords : celestial mechanics, restricted three-body problem, quasi-integral, law of conservation of energy, surfaces of minimal energy, Hill stability.

References

1. Mamedov A.G., "Averaged Parabolic Restricted Three-Body Problem", Astron. Journal, 66(2), 377-384 (1989) [in Russian].

2. Mamedov A. G., "About Secular Perturbations of Elements in the Restricted Parabolic Three-Body Problem", Astron. Journal 68(6), 1323-1327 (1991) [in Russian].

3. Mammadli A.G., "The Limiting Case of the Double-Averaged Parabolic Restricted Three-Body Problem", Astron. Vestn. 41(2), 186-189 (2007) [in Russian].

4. Kholshevnikov K.V., Mishchuk Yu. F., "The Effect of Stellar Encounters on Planetary Orbits", Vestn. Leningr. Univ. 7, 72-81 (1983) [in Russian].

5. Duboshin G.N., Cebestial mechanics. Analytical ond qualitative methods (Nauka, Moscow, 1964, 560 p.) [in Russian].

6. Lukyanov L. G., "Analog of the Surfaces of Zero Velosity in the Restricted Elliptic, Parabolic, and Hyberbolic Three-Body Problem", Astron. Let. 36(11), 823-833 (2010).

7. Scheibner W., "Satzaus der Storungstheorie", Reine Angew. Moth. 65, 291 (1866) [in German].

8. Petr K., Nechvil M. V., "Two remarks to a special case of three bodies problem", Cosopis Pestovoni Mot. Fys. 47, 268-273 (Praha, 1918).

9. Nechvil M. V. "Sur une nouvelle forme des equations differentielles du probleme restreint elliptique", Compte Rendue 182, 310 (1926) [in French].

10. Rein Natalie, "Note sur l'article de M. V. Nechvil 'Sur une nouvelle forme des equations differentielles du probleme restreint elliptique'", Tr. Gos. Astron. Inst. im. P. K. Shternbergo 14, 85-87 (1937).

Для цитирования: Маммадли А. Г. Устойчивость движения планет по Хиллу при звездных сближениях // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т.3(61). Вып. 3. С. 498-505. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.318

For citation: Mammadli A. H. The hill stability of planetary motion under stellar approaches. Vestnik of Soint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 498-505. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.318

Устойчивость движения планет по Хиллу при звездных сближениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Маммадли Азад Гидаят Оглы

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Маммадли Азад Гидаят Оглы

THE HILL STABILITY OF PLANETARY MOTION UNDER STELLAR APPROACHES

Текст научной работы на тему «Устойчивость движения планет по Хиллу при звездных сближениях»