CC BY
21
УДК 532.516.013.4:536.25
ОПЫТ ОБУЧЕНИЯ И ПРАКТИКУМОВ ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА
© 2006 г. В.И. Полежаев, В.П. Яремчук
The experience in education and tutorials regarding the modeling of elementary flows, heat and mass transfer using the computer laboratory are presented. A focus is concentrated on the education of gravity-driven, Marangoni and vibration-driven convection. A number of the test exercises on convection in enclosure with side and bottom heating and inclined layer, impact of the aspect ratio on Rayleigh - Benard instability, thermosolutal convection, impact of vibration on the Marangoni convection, peculiarity of convection in porous media are presented and compared with the results of the different authors. Brief information of the specialized versions of the computer laboratory and tutorials in microgravity environment and hydrodynamical Czochralski model is done.
Введение
В развитии теоретических основ гидродинамики и ее приложений значительное место занимает изучение элементарных процессов конвективного теплообмена на основе уравнений Навье-Стокса, которые сами по себе достаточно сложны и отличаются нелинейностью, нестационарностью, многомасштабно-стью и наличием большого числа определяющих параметров. В связи с этим особое значение имеет разработка удобных для применения и эффективных методов моделирования, соответствующих быстро развивающимся потребностям новых приложений. В течение многих лет работа в этом направлении, сопровождавшаяся созданием специализированного математического обеспечения, а также численными исследованиями велась в Институте проблем механики РАН [1, 2].
Наряду с развитием формального аппарата и накоплением конкретных результатов моделирования возникает естественная для всех разделов науки проблема передачи знаний, накопленных за годы изучения конвективных процессов, новому поколению молодых исследователей. Работа в этом направлении, начатая нами с середины 90-х гг., привела к развитию компьютерной лаборатории, а также концепции образования и практикумов по конвективному тепло- и массообмену [3, 4]. Базовая версия компьютерной лаборатории включает многие классические задачи конвективного тепло- и массопереноса (тепловой гравитационный, термокапиллярный и вибрационный виды конвекции, их взаимодействие) в областях плоской прямоугольной или осесимметричной цилиндрической геометрии с различными наборами граничных условий, внешних сил и свойств среды. Для поэтапного обучения основам конвективного тепло- и массопереноса в недавнее время разработаны общие и специализированные практикумы [5]. Однако опыт применения современных компьютерных средств в образовании по гидродинамике накапливается медленно в сравнении с их созданием и ростом производительности компьютеров. Тем не менее к настоящему времени накоплен некоторый опыт применения компьютерной лаборатории для подготовки курсовых и дипломных работ в Московском физико-техническом институте. Некоторые работы велись на физическом факультете Пермского государственного университета в рамках комплексного экспериментального и компьютерного практикума, а также на механико-математическом факультете Ростовского
государственного университета с уклоном в прикладную математику и информатику.
В статье делается попытка обобщить опыт реализации методик первоначального и базового практикумов, целью которых является изучение элементарных конвективных процессов с использованием компьютерной лаборатории на основе уравнений Навье-Стокса - от основных понятий и известных результатов к углубленному обучению и приобретению навыков исследования новых явлений, с тем, чтобы научиться эффективно применять метод математического моделирования на основе уравнений Навье-Стокса среди других - экспериментальных и теоретических -методов исследования.
Начальный этап обучения на основе базовой версии системы
Понятия о равновесии и основные механизмы тепловой гравитационной конвекции при потере устойчивости и при отсутствии равновесия. Для понимания возможностей, имеющихся в компьютерной лаборатории, которые можно видеть из ее «меню», должны быть известны основы теории подобия и размерности, базовые понятия динамики жидкости и численных методов. Знакомство с компьютерной лабораторией и последующая работа с ней основана на знаниях, которые содержатся в теоретических курсах и монографиях [6-10]. Серия компьютерных практикумов является стимулирующим средством закрепления основных понятий и приобретения новых знаний, не содержащихся в книгах.
Первый этап обучения целесообразно начать с определения физических свойств типичных жидкостей и газов, условий равновесия жидкости и движущих сил конвекции. Это позволит дать их более полное определение и классификацию. Далее следует рассмотреть случаи переноса тепла (массы) при отсутствии движения (режимы теплопроводности и диффузии), условия гидростатического равновесия. Это позволит вплотную подойти к решению задач тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции. Например, в течение одного занятия можно дать подкрепленное демонстрационными примерами понятие об основных механизмах конвекции. Студенты могут решать элементарные задачи конвекции непосредственно во время процесса обучения.
Последовательность занятий, относящихся к основным случаям тепловой гравитационной конвек-
ции, сопровождающихся решением задач, может быть следующей:
а) равновесие отсутствует (подогрев сбоку), конвекция имеет место при любой разности температур между слоями;
б) равновесие возможно (подогрев горизонтального слоя снизу или охлаждение сверху): в зависимости от разности температур между верхней и нижней границами оно может быть устойчивым или неустойчивым. Конвекция имеет пороговый характер и возникает при достижении числом Рэлея определенного (критического) значения;
в) равновесие устойчиво всегда (подогрев сверху или охлаждение снизу).
Случай наклонного слоя является промежуточным между случаями а) и б), в этом случае, как и в случае а) равновесие всегда отсутствует, но характер течения существенным образом зависит от угла наклона.
Вертикальный слой при боковом подогреве. Базовый практикум целесообразно начать с рассмотрения какой-либо классической задачи. В нашем случае была рассмотрена задача о тепловой гравитационной конвекции в вертикальном слое воздуха, подогреваемом сбоку; на двух его вертикальных поверхностях поддерживаются различные, но постоянные по высоте температуры. Основания слоя теплоизолированы. Конвекция в этом случае имеет наиболее простую структуру и в определенном диапазоне параметров адекватна экспериментальным данным даже в двумерном случае. Для модели конвекции в приближении Буссинеска (выводу и обоснованию которого в задачах конвекции должно быть посвящено отдельное занятие) течение и тепломассообмен определяются тремя безразмерными критериями: числом Грасгофа вг, числом Прандтля Рг и соотношением сторон И/Ь,
А
1,04
Б
Nu
1,00-
0,96
где Рг= у/а, в^в^Т^Т^И/V . Важным понятием, роль которого будет раскрываться в дальнейшем по мере получения и анализа численных решений, являются режимы течения и теплообмена в диапазонах изменения этих критериев. Границы режимов (режим теплопроводности, промежуточный режим, режим пограничного слоя) экспериментально представлены на диаграмме вг, Рг для воздуха при Рг=0,71 в работе [11]. Эту работу рекомендуется тщательно изучить для понимания методов и возможностей экспериментальных средств исследования конвекции. Один из первых подходов к определению границ режимов на основе прямого численного моделирования дан в [12], но возможности существующих сегодня средств намного выше.
На рис. 1 показан один из случаев, когда число Рэлея ЯаЬ, определенное по ширине области (Яа = вг Рг = = в(Т\-Т2^Ьъ/(а\)), равно 50, а отношение сторон слоя Н/Ь равно 10. Этому значению соответствует ламинарный режим конвекции, промежуточный между режимами теплопроводности и пограничного слоя. Такое число Релея может реализоваться при малом геометрическом размере, низком давлении, пониженной силе тяжести (условия микрогравитации), большой вязкости и малом коэффициенте температурного расширения. При небольшом числе ЯаЬ в примере, соответствующем рис. 1, движение влияет на поле температур лишь в верхней и нижней части области, где локальный тепловой поток заметно отличается от единицы (см. рис. 1Б). Течение имеет ламинарный подъемно - опускной характер, профили вертикальной скорости на различных высотах в центральной части слоя мало отличаются друг от друга (рис. 1В).
10
Y
Рис. 1. Тепловая гравитационная конвекция в вертикальном слое ЯаЬ=50, Ь/Н=0,1; Рг=0,717, подогреваемом сбоку. А- поля температуры и функции тока; Б - локальный тепловой поток на правой и левой стенках в стационарном режиме (сплошная линия - локальный № на горячей стенке, пунктир - на холодной); В - профили вертикальной скорости в различных горизонтальных сечениях области (сплошная у=2, крупный пунктир у=5, мелкий пунктир у=8)
Среднее число Нуссельта, которое входит в совокупность основных характеристик, рассчитываемых в постпроцессоре компьютерной системы, мало отличается от единицы. При увеличении числа Рэлея в 100 раз, чему может соответствовать увеличение любого из параметров, входящих в его определение (например, силы тяжести при переходе от условий микрогравитации к земным условиям), конвективный перенос начинает преобладать над диффузионным (рис. 2). Профили вертикальной скорости отличаются по высоте, вклад конвекции в теплопередачу значительно выше, что характерно для режима пограничного слоя. Его формирование можно видеть на боковых нагретой и холодной стенках на рис 2А. Однако в этом случае, хотя интегральный тепловой поток на правой и левой стенках заметно больше единицы (рис. 2Б), существуют участки, где локальное число Нуссельта меньше единицы. Это важно в теплотехнических приложениях: при слабой конвекции могут существовать области, в которых теплоотвод от горячей стенки может быть меньше, чем в случае тепло-
4-
Nu 2
А
Б
проводного режима, т.е. возможен локальный перегрев некоторых участков поверхностей нагрева. Располагая всеми средствами, имеющимися в компьютерной лаборатории, следует уделить внимание анализу структуры течения, недостаточно отраженному в литературе. Отдельное лабораторное занятие может быть посвящено построению графика средней теплопередачи от числа Рэлея №(Яа), пояснению связи ее закономерностей с особенностями течения и локальными характеристиками теплообмена. Эту работу можно выполнить для веществ с другими теплофизи-ческими свойствами, а также для модели Бусинеска -Дарси в проницаемой пористой среде. В качестве расширения практикума можно предложить рассмотрение влияние тепловых граничных условий на торцах слоя или условия заданного потока тепла на боковых поверхностях, а также более детальное изучение границ режимов течения и теплопередачи при различных удлинениях слоя и построение этих границ диаграмме Яа, Н/Ь. Интересно повторить расчеты этой же диаграммы, данной в [13].
5 Y
—I 10
3
1
0
V
В
60-,
30-
0-
-30'
-60'
0,0
0,5 X
1,0
Рис. 2. Тепловая гравитационная конвекция в вертикальном слое ЯаЬ=5 10 , Ь/Н=0,1; Рг=0,717, подогреваемом сбоку. А - поля температуры и функции тока; Б - локальный тепловой поток на правой и левой стенках в стационарном режиме (сплошная линия - локальный № на горячей стенке, пунктир - на холодной); В - профили вертикальной скорости в различных горизонтальных сечениях области (сплошная у=2, крупный пунктир у=5, мелкий пунктир у=8)
Подробно разобранный пример конвекции в вертикальном слое поможет углубить понимание роли и места методов теории конвективной устойчивости для течений в замкнутых областях, характер предположений, принятых в теоретических моделях и их ограничения. Например, в понимании режимов конвекции и их границ, которые отсутствуют не только в учебниках, но и в известных монографиях по конвективной устойчивости [6, 10].
Проделанная по указанному плану самостоятельная вычислительная работа, а также знакомство с литературой позволяют усвоить основные понятия, относящиеся к особенностям тепловой гравитационной конвекции в замкнутых областях при боковом подводе тепла и дают основу изучения более сложной техники прямого моделирования переходных и турбулентных течений на основе уравнений Навье - Сто-кса.
Горизонтальный слой, подогреваемый сбоку (адвекция). Этот случай, важный для природных и технологических приложений, реализуется в компьютерной лаборатории формально лишь путем изменения отношения сторон слоя (Н/Ь << 1), но структура течения принципиально изменяется в сравнении вертикальным слоем. Поэтому ему уделено значительное место в цитировавшейся литературе - как в моделях теории устойчивости, так и прямого численного моделирования по данным технологических экспериментов в земных и космических условиях [1]. Ввиду ограниченности объема статьи мы не раскрываем детально этот раздел, отметив, в чем можно убедиться и в приводимых ниже примерах, богатство и разнообразие элементарных конвективных процессов в замкнутых областях. При технологической ориентации ос-
новного курса этому примеру может быть уделено столько же внимания, сколько более полно рассмотренному выше случаю вертикального слоя.
Горизонтальный слой, подогреваемый снизу. В случае подогрева горизонтального слоя снизу конвекция развивается за порогом устойчивости гидростатического равновесия. Эта задача более известна в теоретической гидродинамике, чем задача о конвекции в вертикальном слое благодаря развитию аппарата конвективной устойчивости, начатому Рэлеем [6, 7]. Порогу соответствует критическое число Рэлея. При небольшой надкритичности (отношение числа Рэлея, характеризующего задачу, к критическому числу Рэлея) течение имеет валиковую структуру (рис. 3). Прежде чем получать решения численно, следует ознакомиться с простейшими аналитическими решениями линеаризованных задач на устойчивость [6, 7], в которых получены критические числа Рэлея и горизонтальные масштабы конвективных структур. Численно эта задача решалась еще в начале 70-х гг. на компьютерах невысокой производительности [6, 14], что позволяло получать решения в замкнутой области или ячейке с фиксированным горизонтальным масштабом и при небольшой надкритичности. Эти результаты, в том числе зависимость интегрального теплового потока через слой от горизонтального масштаба (числа конвективных ячеек), теперь легко повторить на персональном компьютере. В течение занятия можно изучить течение и поля температуры, рассмотреть локальные характеристики течения в любых точках и сечениях исследуемой области. В то же время на основе компьютерной лаборатории сегодня можно рассматривать структуры с самоорганизацией, когда горизонтальный масштаб не задан.
А
У
Б ±_
--1-1-'-1
0 5 10
X
Рис. 3. Поля температуры и функции тока в задаче о тепловой гравитационной конвекции при подогреве снизу горизонтального слоя Ь/Н=10, Рг=0,717, Яан=5-103. А - поля температуры и функции тока; Б - локальный тепловой поток на нижней и верхней стенках в стационарном режиме. Сплошная линия - локальный № на горячей стенке (нижней), пунктир - на холодной (верхней)
□zanrrn о о
3-
Nu
2-
1 -
Тепловая гравитационная конвекция в наклонном слое. При наклоне слоя на небольшой угол (в компьютерной лаборатории это реализуется наклоном массовой силы) конвекция при сохранении значений остальных параметров из прежнего примера сохраняет ячейковый характер, но размер ячеек увеличится (рис. 4). По мере наклона области конвекция переходит из режима многоячейковой конвекции в режим одноячейко-вой структуры, характерной для подъемно- опускного течения в вертикальном слое. Такой переход сопровождается перестроениями структуры течения, что оказывает влияние на интегральный тепловой поток через слой. В этом случае можно наблюдать «гистерезис» -различные стационарные решения для одних и тех же параметров наклонного слоя, но при различных начальных условиях.
А
Б
X
Рис. 4. Поля температуры и функции тока в задаче о тепловой гравитационной конвекции при боковом подогреве слоя Ь/Н=10, Рг=0,717, Яа=5000. Сила тяжести отклонена от вертикального положения на 30 градусов
Следует заметить, что в случае наклонного слоя существуют такие режимы, когда два механизма конвекции (рэлей - бенаровский и реализующийся при боковом подогреве), значительно ослабляют друг друга. В этом случае в центральных частях области тепло через слой передается почти так же, как при диффузионном режиме, и локальные числа Нуссельта близки к единице (рис. 5).
Слой, изменяющий ориентацию во времени. Дальнейшим этапом первоначального практикума может быть (в описываемом случае было именно так) задача о свободной конвекции в слое, ориентация которого изменяется во времени. Этот пример был взят
за основу специализированного практикума по конвекции в условиях невесомости, о котором речь пойдет ниже. Изменяя последовательно ориентацию силы тяжести относительно исходного градиента температуры, можно наблюдать переход во времени от многоячейковой конвекции (случай подогрева снизу) к случаю одноячейковой конвекции (случай подогрева с боку) и обратно. Повторяя пример из статьи [3], можно показать также, что медленное вращение является одним из способов управления концентрационной неоднородностью в горизонтальном слое.
Временная граница возникновения и начала влияния тепловой гравитационной конвекции на поле температуры в горизонтальном слое. В завершение начального этапа обучения может быть выбрана тема бакалаврской работы, содержащей элементы исследовательской. В нашем случае выбрано изучение временной границы начала влияния тепловой гравитационной конвекции на теплопередачу в горизонтальном слое, содержащем неподвижную изотермическую жидкость, внезапно подогреваемую снизу. При этом на начальном этапе возникают конвективные течения в виде термиков, сведения о которых в литературе представлены недостаточно. Отметим, что в этом случае, в отличие от упоминавшихся первых расчетов с фиксированным масштабом [14], горизонтальный масштаб не был заранее задан. Результаты этой работы подробно изложены в [15].
А
Б
Nu
-Г"
5 X
10
Тесты некоторых задач из диссертационных работ. В процессе начального этапа обучения были повторены некоторые задачи из кандидатских диссертационных работ, где изучалась задача Рэлея - Бенара для случая фильтрационной конвекции [16], а также совместного действия тепловой и концентрационной гравитационной конвекции или «двойной диффузии» [17] (см. иллюстрации фрагментов этих задач на рис. 6).
Таким образом, начальный этап обучения представляет наряду с изучением теоретических основ гидромеханики и процессов теплообмена иллюстрацию их основных положений на простых примерах, углубленное изучение литературы, сопровождающееся решением некоторых известных задач и постановкой новых, ранее не решавшихся задач из обширного класса задач конвекции в замкнутых двумерных областях.
А
Рис. 5. Поля температуры и функции тока в задаче о тепловой гравитационной конвекции при боковом подогреве слоя Ь/И=10, Рг=0,717, Яа=5000. Сила тяжести отклоняется от вертикального положения на 60 градусов
Рис. 6. Примеры расчета:
А- поля температуры и функции тока в случае тепловой гравитационной конвекции в проницаемой пористой среде в приближении Буссинеска-Дарси. Пример из [15], повторенный с помощью компьютерной лаборатории; Б- поле температуры, концентрации функции тока в случае термоконцентрационной конвекции. Пример из [16], повторенный с помощью компьютерной лаборатории
Базовая версия системы: дальнейший этап обучения
Следующим этапом обучения является выбор темы и подготовка дипломной работы, в процессе которой студент может решать задачи, имеющие как научный, так и практический интерес, с некоторым «прицелом», в зависимости от наклонностей обучающегося, к теме кандидатской работы. В качестве таковой в данном случае была выбрана задача о взаимодействии тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции, которые являются простейшими видами современной классификации естественной (гравитационной и негравитационной) разновидностей конвекции в земных и космических условиях. Ниже показано, как в рамках дипломной работы [18] аппа-
3
2
0
рат компьютерной лаборатории применялся для изучения конвективного взаимодействия такого вида.
Термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое: условия возникновения и взаимодействие с тепловой вибрационной конвекцией. Термокапиллярная конвекция, движущей силой которой является градиент сил поверхностного натяжения, относится к числу элементарных механизмов конвекции. Мы помещаем ее в этом разделе, чтобы не усложнять первоначальный практикум, хотя эта задача в принципе может быть отнесена к одному из этапов первоначального обучения. Вначале приведем пример численного решения классической задачи о термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое со свободной поверхностью жидкости при подогреве снизу при нулевой силе тяжести. Решение линеаризованной задачи на устойчивость, позволившее определить критическое значение числа Марангони, было получено Пирсоном [19]. Численный расчет, выполненный с помощью компьютерной лаборатории при следующих параметрах: Ь/Н=10, Рг=1, Ы=1, показан на рис. 7. Рис. 7А иллюстрирует структуру полей функции тока и температуры при числе Марангони (Мп=84), относящемся к уровню малой надкритичности. При числах Мп меньших, чем критическое число (по аналогии со случаем конвекции Рэлея - Бенара) термокапилярная конвекция отсутствует. На рис. 7В представлена зависимость разности между минимальным и максимальным значением функции тока, которая пропорциональна интенсивности течения, от числа Марангони Мп. Отсюда можно найти критическое Мп=82±12, что согласуется с результатом [19], где Мп = 83,43. С помощью компьютерной лаборатории это критическое число может быть найдено в течение нескольких минут. Дальнейший этап применения базовой версии лаборатории содержит задачи, сравнительно простые по постановке, представляющие, однако, самостоятельный интерес для специалистов, использующих теоретические методы в рамках типичных для этих методов ограничений (бесконечность слоя, линеаризация и др.).
а) Время начала влияния термокапиллярной конвекции на теплопередачу. Время начала влияния на теплопередачу конвекции Марангони может быть определено по аналогии с упоминавшимися временем начала влияния тепловой гравитационной конвекции по отклонению среднего числа Нуссельта при наличии конвекции от его значения в случае, когда конвекция отсутствует в режиме диффузионного переноса тепла. При этом получены и некоторые результаты совместного действия термогравитационной и термокапиллярной конвекции. Таким же путем могут быть найдены границы режимов и структуры течения при взаимодействии этих двух видов конвекции. Времена
А
начала влияния на теплопередачу двух упомянутых механизмов конвекции могут существенно различаться, что и было использовано при экспериментальном исследовании термокапиллярной конвекции, без искажающего воздействия тепловой гравитационной конвекции, в работе [20].
б) Термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое в случае вертикальных вибрационных воздействий. В рамках дипломной работы [18] исследованы случаи влияния поступательных вибраций на конвекцию, вызванную термокапиллярными силами. Следует учитывать, что применяемая здесь модель имеет ограничения, связанные с использованием приближения недеформируемой свободной поверхности.
Рассмотрим случай вертикальных вибраций. Для определения критического числа Марангони проведена серия расчетов средней теплопередачи, результаты которых показаны на рис. 7В пунктирной линией. Поля температуры и функции тока при воздействии вертикальных вибраций на конвекцию Марангони для случая небольшой надкритичности представлены на рис. 7Б.
При сопоставлении результатов следует учитывать, что подход, который используется для изучения задач устойчивости осредненных уравнений [10, 21-23] в методическом отношении отличается от подхода на основе прямого численного решения уравнений конвекции, где результатом расчета является мгновенное вибрационное течение. Результат расчета на рис. 7В дает оценку критического числа Марангони в присутствии вертикальных вибраций: Мп ~125, что ниже значения Мп*~143, полученного в [21, 22] для задачи устойчивости на основе осредненных уравнений конвекции в бесконечно длинном слое при учете деформируемости свободной границы. Оба этих результата согласуются в выводе о том, что поперечные вибрации стабилизируют термокапиллярную конвекцию. Это имеет практическое значение для управления конвекцией. Разница в критических числах, помимо упоминавшегося различия в методическом подходе, может быть связана с двумя существенными отличиями в исходных моделях: в численной модели предполагалась фиксированная свободная поверхность и конечность горизонтального размера слоя. Отметим, что в случае продольных вибраций обнаружено существенное стабилизирующее влияние, приводящее к увеличению критического числа Марангони почти на порядок, что находится в противоречии с выводами работ [16, 17] при отличающихся предположениях (бесконечный слой, деформируемая поверхность раздела, обобщенная модель Буссинеска). Объяснение этого интересного вопроса не столь просто и выходит за рамки этой работы.
Б
В
100
200
Mn
Рис. 7. Термокапиллярная конвекция в отсутствии и при наличии вертикальных вибраций: А- мгновенные картины поля температуры (сверху) и функции тока (внизу) вблизи порога устойчивости в невесомости без вибраций (Мпс =84); Б- мгновеные картины поля температуры (сверху) и функции тока (внизу) вблизи порога устойчивости при наличии вертикальных вибраций (Мпс =131); В- зависимость разности между минимумом и максимумом функции тока Ау от Мп: - случай отсутствия вибраций Яеу= 0 (сплошная линия); - вертикальные вибрации Яеу= 103 (пунктирная линия)
в) Тепловая вибрационная конвекция. Течения при наличии вибрационного воздействия сами по себе являются довольно сложными. Поэтому полезно отдельное занятие посвятить, например, численному расчету термовибрационной конвекции и сопоставлению с данными работ по конвективной устойчивости в слое при отсутствии термокапиллярных сил. Для рассмотренного примера этот раздел имеет вспомогательное значение - его целью является помощь в анализе и интерпретации рассмотренных выше случаев воздействия вибраций на термокапиллярную конвекцию, которое осуществляется посредством конвективного взаимодействия, и этот пример направлен на выяснение природы конвективного взаимодействия в замкнутых областях, которая недостаточно изучена.
Некоторые прикладные разделы и практикумы
В приводимых выше классических постановках задач теоретические методы играют важную роль и являются в некотором смысле путеводителем при прямом численном моделировании. Однако при изучении специализированных моделей роль последнего являются доминирующей.
Ввиду ограничения объема статьи в этом разделе мы можем дать только краткие аннотации и ссылки на специализированные практикумы, в которых методология компьютерной лаборатории наиболее продви-
нута в тесной связи с исследовательскими работами (подробнее см. [5]).
Гидродинамика, тепло- и массообмен в условиях невесомости. В специальном разделе системы для приложений в условиях микрогравитации уравнения Навье - Стокса записаны в системе координат, связанной с движущимся космическим объектом, с учетом сил, действующих в космическом полете (вращение относительно центра масс, ускоренное вращение, градиент гравитационного поля, аэродинамическое торможение). В этом случае компьютерная лаборатория дает возможность изучения задач конвекции, встречающихся при использовании условий микрогравитации как технологической среды [5], что актуально, в частности, для постановки экспериментов на международной космической станции (МКС). Данный практикум тесно связан с американским практикумом MEIT («Microgravity Environment Interpretation Tutorial»), задачей которого является обучение использованию данных измерения микроускорений на МКС.
Практикуму на основе компьютерной лаборатории предшествует определение составляющих микроускорения с учетом природы их возникновения, а моделирование позволяет дать анализ элементарных конвективных процессов и их взаимодействия при получении материалов, разделении веществ, их гравитационной чувствительности, требований к амплитудно-частотным характеристикам микроускорений и т. д. Таким образом, выполнение этого практикума вплот-
ную подводит учащегося к переднему краю исследований в этой области [24].
Гидродинамика и теплообмен в модели роста кристаллов методом вытягивания из расплава (метод Чохральского). Данный практикум относится к технологическим приложениям гидродинамической модели метода выращивания кристаллов вытягиванием из расплава (метод Чохральского). Этот метод является наиболее распространенным для получения монокристаллов, используемых в электронной и оп-тоэлектронной технике. В гидродинамической (ее называют также «идеализированной») модели метода Чохральского рассматриваются процессы переноса в тигле, содержащем расплав при подводе тепла к поверхности тигля (в рассматриваемом варианте - к боковой поверхности). При этом кристалл и тигель могут вращаться в одну или в разные стороны. Одной из важных задач является поддержание в процессе вытягивания кристалла устойчивого режима конвекции, при котором в расплаве отсутствуют температурные колебания, вызывающие микронеоднородности в кристалле. В этом случае система определяющих уравнений, начальных и граничных условий модели метода Чохральского представляет нелинейную многопараметрическую гидродинамическую систему с широкой областью изменения управляющих параметров [25].
В процессе обучения вначале даются некоторые сведения о процессах роста кристаллов, их физических свойствах и требованиях, предъявляемых к описанию процессов конвективного теплообмена. Далее формулируются задачи по изучению отдельных механизмов вынужденного и естественно-конвективного видов движения, изучается влияние различных параметров по отдельности. Например, вначале изучаются особенности переноса тепла теплопроводностью в простейшей модели тигля при отсутствии конвективного движения при различных типах граничных условий на поверхности расплава. Затем исследуется действие вынужденной конвекции, связанной с вращением тигля или кристалла. Вслед за этим изучается конвекция, вызванная наличием силы тяжести без учета вращения тигля, кристалла и капиллярных эффектов, возникающих на свободной поверхности. Ссылки в Интернет: http ://www. ipmnet. ru/~varem/paper3 и http://www.ipmnet.ru/~polezh/paperi позволяют иллюстрировать эту часть курса обучения с помощью видеороликов, которые в дальнейшем могут готовиться и самими студентами для своих курсовых и дипломных работ. По аналогии с этими двумя практикумами могут быть подготовлены практикумы в области теплофизики и теплоэнергетики (теплопередача в элементах тепловой изоляции, тепловой режим и температурное расслоение при хранении жидкостей в резервуарах) и др.
Комплексный экспериментальный и теоретический практикум по конвекции. В этом практикуме, инициаторами которого являются сотрудники кафедры общей физики Пермского государственного университета, удалось совместить экспериментальные занятия по изучению теплопереноса, проводимые со студентами на этой кафедре, с моделированием некоторых из лабораторных экспериментов с помощью компьютерной лаборатории [26].
Заключение
В течение 1999-2004 гг. авторами статьи реализована последовательность этапов обучения основам моделирования элементарных процессов конвективного тепло- и массообмена на основе уравнений Навье-Стокса. Подготовлены общие и технологические практикумы, ориентированные на применение в аэрокосмической технике, теплоэнергетике, теплофизике. Изложенный опыт явился важным звеном подготовки диссертационной работы [27]. Этот опыт может быть использован для подготовки специалистов в области гидромеханики, теплообмена, вычислительной гидромеханики. Помимо поддержки существующих курсов настало время создания новых курсов, причем значительный запас элементарных процессов, которые имеют множество применений и мало изучены, делает создание разновидностей базовых и прикладных практикумов к таким курсам творческим процессом, интересным как преподавателям, так и студентам.
Вместе с тем компьютерная лаборатория не может заменить теоретических основ гидродинамики, конвективного тепло- и массообмена, вычислительных методов, а является лишь современным средством численного исследования основных задач конвекции, причем в рассмотренной версии - при существенных ограничениях. В данном случае упрощена генерация сеток в связи с фиксированной формой расчетной области и упрощением граничных условий и др. Поэтому данный подход к обучению является промежуточным этапом рационального применения сложных промышленных (коммерческих) программных пакетов, которые получают все более широкое распространение на практике, но трудны для первоначального применения.
В отличие от сегодняшней тенденции коммерческой индустрии, главным принципом рассмотренной методики обучения является последовательное усложнение моделей от моделей общего назначения, содержащих лишь элементарные процессы, к специализированным, более полно учитывающим основные особенности прикладных задач. Одним из актуальных направлений дальнейшего развития этого методического подхода является его использование в коммерческих программах, таких, например, как Р1шеп1 Наиболее целесообразным для этого может быть моделирование более сложных процессов, например, двухслойных систем, в которых имеются обширные классы элементарных процессов, постепенно усложняя постановку задачи (например, вводя учет деформируемости свободной поверхности и др.) [28]. С другой стороны, компьютерная лаборатория данного типа более всего подходит для цели обучения теоретическим задачам конвективной устойчивости, а также их прямому численному решению на основе трехмерных моделей, что может быть включено в программу следующего этапа обучения, так как необходимые предпосылки для этого имеются.
Авторы выражают благодарность разработчикам различных версий компьютерной лаборатории, принимавшим активное участие в отдельных этапах выполнения этой работы, с.н.с. С.А. Никитину и с.н.с., к.ф-м.н. М.К. Ермакову, а также проф. В.И. Юдовичу и коллективу его кафедры в Ростовском государствен-
ном университете, в особенности доценту, к.ф.-м.н. С.М. Зеньковской, за обсуждения и полезные замечания. Работа частично поддержана грантами РФФИ № 03-01-00682, РФФИ-ГФЕН № 04-01-39021 и проектом «Интеграция» министерства образования РФ № 74 под эгидой РГУ.
Литература
1. Полежаев В.И., Буне А.В., Верезуб Н.А.и др. Математическое моделирование конвективного тепло-и массообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М., 1987.
2. Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб Н.А.и др. Конвективные процессы в невесомости. М., 1991.
3. Ермаков М.К. и др. // Изв. РАН. МЖГ 1997. № 3. С. 22-38.
4. Ермаков М.К. и др. // Компьютерная лаборатория и компьютерный практикум по тепло- и массообмену: Тр. 3-й Российской национальной конф. по теплообмену. Т. 3. Свободная конвекция. Теплообмен при химических превращениях. М., 2002. С. 72-75.
5. Ermakov M.K et al. // J. Crystal Growth. Vol. 266. 2004. P. 388.
6. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М., 1972.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. М., 1986.
8. Петухов Б.С. Теплообмен в движущейся однофазной среде. М., 1993.
9. Джалурия Й. Естественная конвекция. М., 1983.
10. Гершуни Г.З. и др. Устойчивость конвективных течений. М., 1989.
11. Eckert E.R., Carlson W.O. // Intern. Journ. Heat and Mass Transfer. 1960. Vol. 2. № 1/2.
12. Полежаев В.И. // Тепло-и массоперенос. Т. 1. Энергия. 1968. С. 631-640.
13. aenoweth D.R., Paolucci S.J. // J.Fluid Mech. 1986. Vol. 169. P. 173-210.
14. Полежаев В.И., Власюк М.П. // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195. № 5. С. 1058-1061.
15. Полежаев В.И., Яремчук В.П. // Изв. РАН. МЖГ. 2001.
№ 4. С. 34-45.
16. Говорухин В.Н. Численное исследование плоской фильтрационной конвекции: Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1999. 19 с.
17. Попов В.Н. О применении интегрального метода Фурье к исследованию турбулентной тепло-солевой конвекции со сплошным пространственным спектром: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1999. 24 с.
18. Яремчук В.П. Конвективные процессы в земных и космических условиях при наличии вибрационных воздействий. Дипломная (магистрская) работа / ИПМ РАН. М., 2001.
19. Pearson. J.K.A. // J. Fluid Mech. 1958. Vol. 5. № 4. Р. 489-500.
20. Кирдяшкин А.Г. Термокапиллярные периодические течения: Препринт № 8. Институт геологии и геофизики АН СССР, Сибирское отделение. Новосибирск, 1985.
21. Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. // ПММ. 2002. Т. 66. С. 573-583.
22. Зеньковская С.М., Шлейкель А.Л. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск «Математическое моделирование». С. 78-81.
23. Зеньковская С.М., Овчинникова С.Н. // ПМТФ. № 2. 1991. Т. 186. С. 84-90.
24. Polezhaev V.I., Ermakov M.K., Nikitin N.V., Nikitin S.A., Yaremchuk V.P. The use of microaccelerations data for convection modeling & analysis of the microacceleration s limits In: 7th Annual Microgravity Environment Interpretation Tutorial. 2004. Vol. 2, № 24.
25. Никитин Н.В. и др. // Успехи механики. 2003. № 4. С. 1-45.
26. Брацун Д.А. и др. // Вестн. Пермского университета. 1999. Вып. 5. С. 183-186.
27. Яремчук В.П. Численное моделирование пространственных конвективных процессов в условиях космического полета. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2004. 16 с.
28. Fedyushkin A.I., Polezhaev V.I., Yaremchuk V.P. Education & tutorials in modeling in computation heat transfer: From Elementary Processes on the Basis of Computer Laboratory to the Industrial Complexes. CD ROM Proceedings of 4th ICCHMT, May 17-20, 2005, Paris, №. 97.
Институт проблем механики РАН (Москва)_23 сентября 2005 г.
