CC BY
58
Atmospheric Environment. - 2006. - №2 40. - Р. 674685.
5. High Resolution Limited Area Model [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://hirlam.org.
6. The European Centre for Medium-Range Weather Forecasts [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.ecmwf.int/about.
7. National Weather Service - Internet Weather Source. Comment on the NWS Information Activity Policy [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://weather. noaa. gov.
8. Официальный сайт гидрометеорологического центра Республики Беларусь [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.pogoda.by.
9. Numerical weather prediction models UKMET [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// meteocentre.com.
10. GRIB File Viewer - Weather data visualization [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// www.zygrib.org/index.php?page=abstract_ru.
11. Co-operative Program for Monitoring and Evaluation of the Long-range Transmission of Air Pollutants in Europe. Официальный сайт [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.emep.int.
12. A refinement of the emission data for Kola Peninsula based on inverse dispersion modeling / M. Prank, M. Sofiev, H.A.C. Denier van der Gon, M. Kaasik, T.M. Ruuskanen and J. Kukkonen // Atmospheric Chemistry & Physics. - 2010. - №10. -P. 10849-10865.
13. Grid Analysis and Display System (GrADS) [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// grads.iges.org/grads.
УДК 533
Кудрявцев Борис Юрьевич
кандидат физико-математических наук Московский государственный машиностроительный университет
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЛЩИНЫ ПЛАСТИНЫ В ЗАДАЧЕ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА
С применением поршневой теории исследована устойчивость прямоугольной пластины переменной толщины, находящейся в потоке газа. Предложен вариант решения задачи оптимизации распределения толщины. С использованием метода Галеркина в двучленном приближении найдена критическая скорость, проведен параметрический анализ.
Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, пластина переменной толщины, устойчивость.
Задача о флаттере пластины постоянной толщины изучена достаточно подробно как с использованием линейной поршневой теории, так и в случае некоторых других новых постановок [1-6]. При этом работ, где исследовалась бы устойчивость в потоке газа пластины переменной толщины или жесткости, не так много, и исследована в них, как правило, только бесконечная полоса [7]. Исключение составляют статьи [8; 9], в которых рассмотрена конечная пластина, составляющая часть поверхности тонкого клина. В предлагаемой работе представлено исследование задачи линейного флаттера прямоугольной пластины переменной толщины в рамках линейной поршневой теории. Предложен вариант решения задачи оптимизации распределения толщины для повышения устойчивости.
Рассмотрим прямоугольную пластину длины
11 и ширины 12 с шарнирно опертыми краями. В прямоугольной системе координат пластина занимает область {0 < х < 1/ s,0 < у < 1}, ось ОХ направлена по стороне длины 11. Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Вектор скорости потока лежит в плоскости пластины, угол между
ним и осью ОХ обозначим через д. Толщина пластины будет переменной величиной
h = /0 + 3 • f (х, у), где f (х, у) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, а 3 - малый параметр. Тогда цилиндрическую жёсткость с точностью до малых высшего порядка можно записать так:
Е
D'.
12(1 -V2)
(h3 + 3h028f (х,y)) = D0(1 + в/(x,y)),
где D0 = 0
38
0 - „ , б = —, Е - модуль Юнга, у -
0 12(1 -У2) /о
коэффициент Пуассона материала пластины. Согласно [6] линейное уравнение колебаний будет иметь вид
д2f 82w д2 f д2w д2f д2w д2 f д2w в' аХГ+~дуГ~дуг+V~дуг+V~дуГ+
„„ ,32f д2w „affs3w д3w +2(1 -v), : , , +I1+
дхду дхду дх 1 дх дхду
+2 f 1+2(1 -v) [f ^+f II
ду уду дх ду J 1 дх дхду ду дх ду J J
/1 ,м2 кр [ 1 Sw _ . „Sw . „SW |
+(1 + вf )A2w+—I--+ M cos0 — + M sm0— 1 +
D0 I c0 дt дх ду J
© Кудрявцев Б.Ю., 2014
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014
1 1
+fi + £ f = о
D0 ^ 3J )dt2
с соответствующими граничными условиями, где p и с0 - давление и скорость звука в покоящемся газе, w - прогибы пластины, р - плотность материала, к - показатель политропы, v - скорость
потока, число Маха M = — .
со
Пусть функция f может быть представлена в виде
f ( x, y) = /( x) + f2( y),
где /(x) и f2(y) - симметричные относительно соответствующих середин сторон пластины функции, удовлетворяющие условиям:
1/ s i
J fi( x)dx = 0, J f2(y)dy = 0.
(1)
Решения будем искать в классе функций
w = exp(mt )(C sin jsx sin к y + c2 sin 2ksx sin к y) ,
c1, c2 e R .
Критическую скорость потока v^ будем находить как наименьшую скорость v, при которой комплексная частота т переходит в правую полуплоскость. Проведя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Условие существования нетривиального решения составляет характеристическое уравнение, содержащее т и M. Переходу от устойчивого состояния к неустойчивому будет соответствовать чисто мнимое значение т . Приравняв к нулю действительные и мнимые части уравнения, получим с точностью до слагаемых первого порядка малости относительно S выражение для нахождения
= V / Co:
1/s
M2á = M02 + sMJ J fj(x)sin2 sjxdx +
o
1/s j
+sM2 J f (x) sin2 2sjxdx + sM3 J f2 (y) sin2 jydx.
oo
Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить такую функцию f при которой M á принимает наибольшее значение при некоторых дополнительных ограничениях. В качестве ограничений, следуя [10], возьмем условия (1) и
1/s 1
J (f"(x))2dx < С, J (f"(y))2dy < С .
o o
Первые условия означают постоянство перпендикулярного сечения пластины при фиксированной другой координате, вторые - что решение задачи ищется в классе гладких функций.
Функция Лагранжа рассматриваемой задачи имеет вид:
L( f) = f (x) sin2 ksx + A f1 (x) sin2 2ksx + +^2 (/'(x))2 + Af (x) + AJ2 (y) sin2 к y +
+A( Ж y))2+f y),
где a - неопределенные множители. Из условий стационарности получаем систему уравнений
sin2 ksx + a sin2 2ksx - 2A2f/(x) + A = 0 ,
A4 sin2 jy + A6 - 2A5f2"(y) = 0,
из которой находим
„, „ A + 2A +1 2 cos2jsx A cos4jsx
/(x) = r¡1 +ц2 x +-1-3-x +-—— + -1-—-,
8A2 16к s A2 64к s A2
, 2A6 + A4 2 A4 cos2jy
f2(y) = + »2y+"AA + -AJT
__ A + 2A3 +1 2Аб + A4 Обозначим ц3 = —1-3—, p3 = ——-и при-
8А0
8А<
мем условия нормировки 16ж2 s 2А2 = 1,
16жА
А
= 1.
Тогда
f ( x) = r1 + r¡2 x + r3 x2 + cos 2nsx +
А cos 4^sx
4 ;
f2(У) = M1 + M2y + Мзy2 +cos2жу .
Параметры r]i и находятся из граничных условий и ограничения (1).
Учитывая симметричность функций /(x) и f2(y), положим:
/'(0) = /'(1 / s) = , /2'(0) = f2'(1) = .
Из (1) получаем:
У
Ml = —, М2 = У= Мз =-У.
6
Окончательно будем иметь
f (x) = —^ + wx - W5x2 + cos 2^sx + —1 cos 4к sx, 1 6s2 4
У
f2( y) = - т+уу(1 - y)+cos 2^y.
6
При этом для достижения эффекта оптимизации знак S нужно выбирать в зависимости от коэффициентов M t.
В качестве примера рассмотрим стальную пластину, находящуюся в потоке воздуха, при следующих значениях параметров:
p = 105dr, к = 1,4, п0 = 330е /п,
E = 2 •1011dr,р= 8-103/ е 3,v = 0,3,
h0 = 0,001 е, l2/ h0 = 250.
Функцию f возьмем в виде:
1 2
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014
Таблица 1
Значения критической скорости для квадратной пластины
Параметры уравнения e = 0,01 e = -0,0l
m = n = 0, \ = 0, у = 0, — = 0 3,23 3,23
m = n = l, Xl = 0, у = 0, — = 0 3,l9 3,26
m = n = l, Я1 = 0, у = 12,— = 12 3,20 3,25
m = n = l, Xl = 0,у = -l2, — = -l2 3,l8 3,28
m = n = l,Al = 4,у = 0,— = 0 3,l7 3,29
m = n = l, Al = 4,у = -l2,— = -l2 3,l6 3,30
m = n = 0, Xl = 4,у = -l2,— = -l2 3,l9 3,26
m = n = l, \ = -4,у = -l2,— = -l2 3,20 3,26
m = n = l, Xl = -4,у = l2,— = l2 3,22 3,24
m = n = l,Al = 4,у = 0,— = -l2 3,l6 3,30
m = n = l,ll = 4,у = -l2,— = 0 3,l7 3,29
m = n = l,ll = 0,у = 0, — = -l2 3,l8 3,27
m = n = l,ll = 0,у = -l2, — = 0 3,l9 3,27
Таблица 2
Значения критической скорости для удлиненной вдоль потока пластины
Параметры уравнения e = 0,03 e = -0,03
m = n = 0, ll = 0, у = 0, — = 0 l,32 l,32
m = n = l, Xl = 4,у = -l2,— = -l2 l,28 l,38
m = n = l, Xl = -4,у = -l2,— = -l2 l,29 l,34
m = n = l,ll = 4,у = l2,— = l2 l,29 l,35
m = n = l, Xl = -4,у = l2,— = l2 l,3l l,33
m = n = l,ll = 4,у = l2, — = -l2 l,28 l,36
m = n = l,ll = 4,у = -l2,— = l2 l,29 l,36
Таблица 3
Значения критической скорости для удлиненной поперек потока пластины
Параметры уравнения e = 0,0l e = -0,0l
m = n = 0,ll = 0,у = 0,— = 0 2,72 2,72
m = n = l,Al = 4,у = -l2,— = -l2 2,64 2,80
m = n = l,Al = -4,у = -l2,— = -l2 2,69 2,75
m = n = l, Xl = 4,у = l2,— = l2 2,67 2,76
m = « = l,Al = -4,у = l2,— = l2 2,72 2,7l
m = n = l,ll = 4,у = l2,— = -l2 2,64 2,79
m = n = l,ll = 4,у = -l2,— = l2 2,66 2,77
f (x, y) = —у + ух - у/sx2 + m cos 2nsx + 6s
+—cos4xsx- — + — y(l- y) + ncos2^y. 46
Результаты вычислений критической скорости содержатся в таблицах. В таблице l - для квадратной пластины (s = 1,в = 0), в таблице 2 - для удли-
ненной вдоль потока (5 = 2/3,0 = 0), в таблице 3 -для удлиненной поперек потока (5 = 2/3,0 = ж/2).
Из таблиц видно, что критическая скорость достигает экстремальных значений для функций f полученного выше вида (значения коэффициентов
ц/,У, и А могут варьироваться и выбираются с учетом требования достаточно малого изменения тол-
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № l, 2014
1 3
щины). Как и отмечалось ранее [8], утолщение к центру увеличивает критическую скорость, а к краям - понижает устойчивость. Концентрация материала пластины вдоль стороны, параллельной потоку, играет большую роль, чем вдоль перпендикулярной к нему. Наибольшую и наименьшую величину критическая скорость во всех случаях достигает при одинаковых минимальных и максимальных значениях е1 и е2 соответственно. Удлинение пластины поперек потока усиливает эффект изменения толщины, а вдоль - смягчает. Неравномерное распределение материала вдоль одной стороны не оказывает заметного влияния на зависимость критической скорости от изменения толщины вдоль другой стороны.
Библиографический список
1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. - 248 с.
2. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой полосы // Депонир. в ВИНИТИ. - 1994. - № 3059-В94.
3. Кудрявцев Б.Ю. Нелинейные аэроупругие колебания пластины // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004 - № 4 - С. 16-19.
4. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и ус-
тойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. - 2005. - Т. 401. - №3. - С. 342-344.
5. Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ, сер. Матем., мех., информатика. - 2005. - Т.11 - С.99-102.
6. Кийко И.А., Кудрявцев Б.Ю. Флаттер прямоугольной панели, составляющей часть поверхности тонкого клина // Вестн. МГУ Сер. 1: Мат. Мех. -2011. - № 2. - С. 59-62.
7. Кийко И.А., Кудрявцев Б.Ю. Флаттер упругой полосы переменной жесткости // Депонир. в ВИНИТИ. - 1997. - № 1103-В97.
8. Кудрявцев Б.Ю. Задача о флаттере пластины переменной толщины в уточненной и дополненной постановке // Известия МГТУ МАМИ. - 2011. -№ 1. - С. 231-234.
9. КадыровА.К. Флаттер пластины переменной жесткости // Изв. ТулГУ Сер. Мат., мех., инф. -2007. - Т. 13. - Вып. 2. - С. 76-81.
10. БрадусьА.С., КартвелишвилиВ.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций // Изв. АН СССР, МТТ. - 1981. - № 6. - С. 110-139.
УДК 543.544
Лапко Евгений Юрьевич
кандидат химических наук Военная академия радиационной, химической и биологической защиты им. Маршала Советского Союза С.К. Тимошенко
Лапко Ирина Викторовна
Военная академия радиационной, химической и биологической защиты им. Маршала Советского Союза С.К. Тимошенко
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К РАЗРАБОТКЕ СПОСОБОВ ПРОБОПОДГОТОВКИ ОБЪЕКТОВ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Авторами проведен анализ существующих подходов к разработке способов пробоподготовки образцов объектов окружающей среды для проведения количественного химического анализа с использованием методов хроматографии.
Ключевые слова: методический подход, пробоподготовка, газохроматографические методы анализа.
Результаты точного и тщательного анализа теряют всякий смысл в случае неправильного отбора пробы и неверной ее подготовки для выполнения анализа. Поэтому важно, чтобы в результате пробоотбора проба была не только представительной и достаточной для анализа, но и защищенной от любых случайных воздействий, вызывающих неконтролируемые изменения в ней определяемого вещества.
Аналитическая процедура определения компонентов в образцах различного агрегатного состояния включает предварительную обработку образца, связанную с необходимостью концентрирования анализируемых веществ и сокращения компонентного состава пробы. Это необходимо учиты-
вать при подборе методов и пробоотборных устройств, при этом желательно совмещение функций пробоотбора и концентрирования, хранения и транспортировки проб.
Основным требованием к отбору пробы является ее достаточная представительность относительно объекта исследования. Информация, полученная от пробы, должна быть математически точным отражением информации, заложенной в объекте исследования.
В настоящее время используется методический подход к разработке способов пробоподготовки образцов объектов окружающей среды при проведении их количественного химического анализа, основанный на установлении физико-химических
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 1, 2014
© Лапко Е.Ю., Лапко И.В., 2014
