CC BY
64
Б/2011 М1ВЕСТНИК
ОПТИМИЗАЦИЯ КОМПЛЕКСА СТРОИТЕЛЬНЫХ И ДОРОЖНЫХ МАШИН МЕТОДОМ ДЕЙКСТРЫ
OPTIMIZATION OF A COMPLEX OF BUILDING AND ROAD CARS BY METHOD DIJKSTRA
A.A. Демин, E.M. Кудрявцев
A.A. Demin , E.M.Kudryavtsev
ФГБОУ ВПО МГСУ
В статье излагаются методика и алгоритм оптимизации комплекса строительных и дорожных машин методом Дейкстры.
In article is describe technique and algorithm of optimization of a complex of building and road cars by method Dijkstra.
Любой строительный процесс можно выполнить строительными машинами, имеющими большое число разнообразных типов и типоразмеров. Из них можно сформировать еще большее число комплексов машин. Так, например, если строительный процесс включает пять операций, а каждая из операций может быть выполнена четырьмя различными машинами, то число различных комплексов машин для выполнения заданного строительного процесса составит N = 45 = 1024 варианта. В результате возникает проблема решения такого рода задач. Ниже излагаются соответствующие методики и методы определения оптимального комплекса машин.
1. Постановка задачи и выбор критерия оптимизации. Пусть задан некоторый строительный процесс, например, строительство дамбы. Этот процесс включает ряд операций: например, разработку грунта, транспортирование, разравнивание и уплотнение грунта. Эти технологические операции могут быть выполнены соответствующими машинами: например, экскаваторами (Э1, Э2, Э3), автосамосвалами (А1, A2, A3), скреперами (С1, С2), бульдозерами (Б1, Б2), катками (К1, K2). Известны затраты на выполнение каждой операции. Поскольку при выполнении смежных операций машины влияют друг на друга (конструктивно, технологически), то и затраты на выполнение операций могут быть различными.
Требуется определить такой комплекс машин, который обеспечит выполнение всего технологического процесса с минимальными затратами.
2. Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей. Для наглядности все возможные комплексы машин для строительства дамбы представим в виде сетевого графа (рис.1). Число возможных комплексов машин в данной задаче
n = 1- 2 • 2 • 2 + 2 • 3-2 • 2 + 2 • 2 • 2 = 8 + 24 + 8 = 40,
Индексом I обозначим номер выполняемой операции, индексами J и К - машину, участвующую в выполнении той или иной операции. Возможна ситуация, когда машина может выполнять несколько операций, как в нашем примере. Скрепер выполняет две операции: разработку грунта и его транспортирование. Индекс I указывает номер операции, выполняемой данной машиной.
Операция, выполняемая той или иной машиной, обозначается в виде стрелки на графе, над которой указана величина затрат C(I, J, К) на выполнение I - й операции К -
ВЕСТНИК 8/2011
й машиной после выполнения (I - 1) - й операции J - й машиной. Машина, выполняющая ту или иную операцию, представляется в виде кружочка (узла). Кружочек (I -1, J) в начале стрелки ассоциируется с машиной М(1 - 1, J), выполняющей предшествующую операцию, а кружочек в голове стрелки (I, К) ассоциируется с машиной М(1, К), выполняющей текущую I - ю операцию. Кружочек также означает завершение одной или нескольких операций машиной и начало выполнения другой операции. Начальный (0,1) и конечный (Ы, I) кружки сетевого графа представляют собой фиктивные машины: М(0,1) и М(Ы, I).
Рг^гопт- Транспорта- Рачрарлти- Уплотнение Фиктивная
ка грунта рование ванне операция
Рис. 1. Сетевой граф возможных комплексов машин
Если при выполнении какой-то операции машина не может по конструктивным, технологическим или каким-то другим причинам работать с предшествующей, то соответствующая связь (стрелка) на сетевом графике отсутствует. В нашей задаче автосамосвал А3 не может работать с экскаватором Э1.
Представление всех возможных комплексов машин в виде сетевого графа обеспечивает наглядность и простоту формирования допустимого множества комплексов машин. При увеличении числа операций и числа возможных машин, которые способны выполнять операции, количество возможных комплексов машин для выполнения заданного строительного процесса резко возрастает.
3. Построение математической модели. Для решения данной задачи разработано много методов. Рассмотрим один из наиболее эффективных: метод Дейкстры. Этот метод позволяет заменить перебор всех вариантов, многошаговой процедурой поиска оптимума, используя рекуррентное (функциональное) уравнение. Для удобства изложения алгоритма вместо названия "кружочек" будем использовать название "узел".
В методе Дейкстры функциональное уравнение записывается в таком виде: У (I, К) = шт|/(I -1, J) + С(I, J, К)],
J
где У (!К) - минимальные суммарные затраты при выполнении частичного технологического процесса, включающего I - е количество операций с начала процесса, I - я операция выполняется К - й машиной;
А/ЭПИ ВЕСТНИК
Y(I-1,3) - минимальные суммарные затраты при выполнении частичного технологического процесса, включающего (I-1) - е количество операций с начала процесса, (I-1) - я операция выполняется J - й машиной.
В методе Беллмана функциональное уравнение записывается в виде 2(I -1,3) = шт[с(1,3, K) + 2(I, K)], K
где 2^-1, 3) - минимальные суммарные затраты при выполнении частичного технологического процесса, включающего все последующие операции, начиная с I - й операции и с 3 - й машины до конца технологического процесса;
2(I, К) - минимальные суммарные затраты при выполнении частичного технологического процесса, включающего все операции, следующие за I - й операцией с К - й машины до конца процесса,
Особенностью рассматриваемых функциональных уравнений является их аддитивность критерия оптимизации. Это одно из основных требований к критерию оптимизации при использовании данных методов.
В методе Дейкстры весь процесс расчета локально-оптимальных решений для частичных технологических процессов ведется от начала технологического процесса к концу и только в конце расчета можно определить минимальные суммарные затраты на весь технологический процесс и соответствующий комплекс машин.
4. Исследование с помощью математической модели.
Алгоритм метода Дейкстры включает два основных этапа.
I. Определение для каждого узла (машины) минимальных суммарных затрат для частичного технологического процесса от начала к концу.
Для начального узла (см. рис. 1) или фиктивной машины М(0,1) минимальные затраты равны 0.
Y(0,1) = 0.
Для каждого следующего узла или машины М(.I, К) минимальные суммарные затраты определяются по формуле
У (I, К) = шш[у (I -1,3) + С (1,3, К)].
У
При этом число сумм, из которых определяется минимальная, равно числу стрелок, входящих в данный узел (машину). Каждая сумма равна минимальным суммарным затратам в узле, из которого выходит стрелка, и затратам на операцию, соответствующую стрелке, входящей в рассматриваемый узел.
В узел (1, 1) входит одна стрелка, следовательно, минимальные суммарные затраты составят:
У(1,1) = У (0,1) + С(1,1,1)= 0+46 = 46.
В узлах (1,2), (1,3) минимальные суммарные затраты соответственно: У(1,2) = У(0,1) + С(1,1,2) = 0 + 45 = 45, У(1,3) = У(0,1) + С(1,1,3) = 0 + 35 = 35.
Стрелки, которым соответствуют минимальные суммарные затраты, метятся штрихом.
В узел (2,1) входит уже три стрелки и для каждой из них определяются соответствующие суммы, а из них - минимальная.
У (1,1) + С(2,1,1) = 46 +157 = 203 У (2,1) = \ У (1,2) + С(2,2,1) = 48 +155 = 203 [ = 200. У (1,3) + С(2,3,1) = 35 +165 = 200
ВЕСТНИК Б/2011
Последняя сумма затрат является минимальной, следовательно, стрелку, которой соответствует минимальная сумма, отмечаем штрихом.
В узел (2,2) тоже входит три стрелки, для каждой из них определяются суммы и из них - минимальная.
Y (1,1) + С(2,1,2) = 46 +150 = 196
Y (2,2) = <j Y (1,2) + С (2,2,2) = 45 +150 = 195 1 = 195.
Y (1,3) + С(2,3,2) = 35 +162 = 197
Вторая сумма затрат минимальная, следовательно, эту стрелку отмечаем штрихом. И так далее. Результаты расчета для остальных узлов представлены на рис. 1 над каждым кружочком.
2. Определение оптимального, комплекса машин (пути), обеспечивающего минимальные суммарные затраты, для всего технологического процесса.
Для этого в последнем фиктивном узле (машине) находят помеченную стрелку, входящую в этот узел, - ее выделяют жирной линией. Затем находят узел, из которого вышла выделенная стрелка, и метят его (обводят жирной линией). Далее определяется и выделяется жирной линией помеченная строка, входящая в помеченный узел. Этот процесс продолжается до начала графа. Окончательно определяем оптимальный комплекс машин, в который входят следующие машины: М(1,2) - М(2,3) - M(3,I) - М(4,1). Это можно расшифровать так: в оптимальный комплекс машин входит экскаватор 2-го для разработки грунта, автосамосвал 3-го для транспортирования грунта, бульдозер и каток 1-го типоразмера для разравнивания и уплотнения грунта. При этом затраты на выполнение всего строительного процесса составят 270 ед.
Анализируя эффективность выполнения всего строительного процесса, можно заметить, что другой вариант с катком 2-го типоразмера обеспечивает минимальные суммарные затраты в размере 271 ед., но тогда в комплекс машин будут уже входить другие машины: М(1,1) - М(2.3) - М(3,2) - М(4,2).
Вывод. В статье представлены: методика и алгоритм оптимизации комплекса строительных и дорожных машин методом Дейкстры.
Литература:
1. Кудрявцев Е.М. Комплексная механизация строительства. Учебник. Издание третье, перераб. и доп. -М.: АСВ, 2010, -464 c.
2. Кудрявцев Е.М. Mathcad 11. Полное руководство по русской версии. -М.: ДМК, 2005, -592 c/
Literatura:
1. Kudryavtsev E.M. Complex mechanization of building. Manual. Edition -3. M.: ASV. 2010, -
464 p.
2. Kudryavtsev E.M. Mathcad 11. Total handbook on Russian version. -M.: DMK, 2005, -592 p.
Ключевые слова: строительство, механизация, моделирование, технология, оптимизация, оценка, комплект машин, автосамосвал, экскаватор
Keywords: building, mechanization, simulation, technology, optimization, estimate, complex machinery, autodump-body truck, excavator
Телефон автора 8-499-181-83-53 Рецензент: Плавелъский E. П., проф., д. т. н., ОАО "ЦНИПСтройдормаш
