Оптимизация границ отклонений для двумерных множеств ограниченного остатка Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MS С 11J68

ОПТИМИЗАЦИЯ ГРАНИЦ ОТКЛОНЕНИЙ

ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ МНОЖЕСТВ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА

А.А. Абросимова, Д.А. Блинов

Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. Рассматривается оптимизация границ отклонений для двумерных множеств ш'раниченнш'о остатка, построенных на основе выпуклых гексагональных разверток.

Ключевые слова: развертка тора, множества ограниченного остатка, границы отклонений, метрики трехмерного пространства, оптимизация границ.

Введение. В работе |1| были построены двумерные множества ограниченного остатка или BR-мпожеетва па основе выпуклых гексагональных разверток тора (рис. 1).

Форма развертки задается параметром с = (с1; с2). Для каждой области Т?,к =

0,1, 2, изображенной на рис. 1, введем считающие функции

Гк(г) = Ш : (0) ^ Т? 0 < з < г}, (1)

как количество попаданий точек в каждую из областей Ти отклонения считающих функций

4(г) = Гк (г) - гвк

от ожидаемой величины г$к, где вк — площади областей Т? и они соответственно равны во = 1 — а — а? = ао, ^1 = в? = а?.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №11-01-00578-а).

В работе |1| также была доказана теорема о точных границах остаточных членов этих множеств. В работе |2| было проведено обобщение на случай невынуклых шестиугольников (рис. 2), а также доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть дан сдвиг тора. Ба на вектор а, и а — иррациональный, т.е. числа а1; а2,1 линейно независимы над Z, пусть тор Т2 разбит на области Т?: Т2 = Т? иТ? и Т?. Тогда для отклонений выполняются точные неравенства:

В настоящей работе приведен общий метод построения двумерных множеств ограниченного остатка на основе гексагональных разверток и получены точные граници отклонений дня этих множеств. Дня приложений необходимо чтобы границы всех отклонений 5к (і) одновременно были бы как можно меньше, например, для построения сбалансированных слов, которые в свою очередь широко используются в криптографии. Поэтому в работе получена оптимизация границ отклонений.

1. Двумерные множества ограниченного остатка. Для построения двумерных множеств ограниченного остатка выберем точку с = (сі,с2), такую что с = (с^с2) Є С = Ссоп и СПсоп1 и Спсоп2, где облас ть С изображена на рис. 3.

Отложим вектор — с от точек с координатами (0,1), (1,1), (1, 0) и соединим полученные точки. Построенный шестиугольник Т2(с) будет иметь вершины с координатами (0, 0), (1 — с1, — с2), (1, 0), (—с1, — с2), (0,1) (—с1,1 — с2). Причем, шестиугольник Т2(с) будет выпуклым, если точка с Є Ссоп, и невыпуклым, если с Є Спсоп = Спс0п1 и Спсоп2.

Рассмотрим два случая.

1. В случае с Є Ссоп и Спсоп1 отложим век тор —а = (—а1, — а2), оде а = іс, от точек (0,1), (—с1,1 — с2), (1, 0) и получим разбиение шестиугольника Т2(с) на множества ограниченного остатка Т|,к = 0,1, 2. Выбор параметра і зависит от выбора области, которой принадлежит точка с. Если с Є Ссоп, то параметр і будет изменяться в границах

0 < 5о(г, 0) < 2 — с1 — 02 для с > 0, с1 + с2 < 1;

1 — с1 — с2 < £о(г, 0) < 1 для с1 + с2 > 1;

— 1 < Мі 0) < с1;

— 1 < ^2(і, 0) < с2.

(2)

Рис. 2.

от 0 до 1, если с Є Спсоп1, то 0 < і < (с1 + с2)-1. В этом случае относительно границ отклонений доказана теорема 1.

2. В случае с Є Спсоп2 вместо вектора а будем использовать вектор а = (а1, а2 = іс, с = стосі Ъ2.; оде Z2 — квадратная решетка, заданная базисом с векторами е1 = (1, 0), е2 = (0,1). Есл и с1 > 0, с2 < 0, то с = е2 — с = (—с1,1 — с2) и 0 < і < (с1 + с2)/с1, если же с1 < 0, с2 > 0, то с = е1 — с = (1 — с1, —с2) и 0 < і < (1 — с2)/(1 — с1 — с2).

□-ся

И -

т-с„

Рис. 3.

В случае 2 справедлива теорема аналогичная теореме 1.

Теорема 2. Пусть дан сдвиг тора Ба на вектор а, и а — иррациональное число и пусть тор Т2 разбит на области Т|: Т2 = ТОиТиТ^ Тогда для отклонений выполняются точные неравенства:

0 < $о(і) < 1 — с2, —с1 < $1(2) < 1, с1 + с2 — 2 < $2(2) < 0

для с Є Спсоп2, с1 > 0, с2 < 0;

0 < $о(2) < 1 — с1, с1 + с2 — 2 < $1(2) < 0, —с2 < $2(2) < 1.

(3)

(4)

ДЛЯ С е Спсоп2, С1 < 0, С2 > 0.

2. Оптимизация границ отклонений. Геометрическая интерпретация неравенств (1), (2), (3) заключается в том, что границы отклонений определяются границами шестиугольника Т2(с), которые в свою очередь зависят от выбора параметра с = (с1; с2) из области С. Для приложений необходимо, чтобы границы всех трех отклонений 6к(г), к =

0,1, 2, были как можно меньше. Но, если уменьшать границы хотя бы одного из отклонений, то неминуемо будут расширяться границы других отклонений, поэтому дня оптимизации границ отклонений 6к(г) необходим параметр, связывающий все три отклонения. В связи с этим будем рассматривать отклонения 6к (г) как координаты трехмерного вектора х = (ж1,ж2,жз), соответственно

$1(і) = Х1, $2(і) = Х2, $о(І) = Хз .

(5)

В качестве величины, связывающей все три отклонения будем рассматривать метрику трехмерного пространства, которую зададим в виде

de(x) = (\хі\в + \х2\в + \х3\в)К (6)

где І < в < то, а | • | обозначает абсолютную величину.

Наиболее интересными для приложений являются случаи в = І, 2, то.

1. Если взять в = І, выражение (6) для метрики трехмерного пространства примет

dl(X) = |X11 + |X2| + IX3I. (7)

Эта метрика используется в кристаллографии при изучении роста кристаллов. в=2

d2(z) = \/\xi\2 + Ы2 + Ы2 . (8)

в=то

d^(x) = max (|xi|, |X2|, |X31). (9)

Рассмотрим суммарное векторное отклонение

5(i) = ia + Гі(і)єі + r 2 (i)e2

для отклонений Sk(i),k = О, І, 2, определенное в [2], где e1,e2 — векторы базиса квадратной решетки Z2, а r1(i),r2(i) — считающие функции, определенные в (1),

Назовем

Де (c) = sup de (5(i)) (10)

ІЄ N

верхней границей векторного отклонения 5 (і) в метрике de (x) при фиксироваином c. Тогда

Де = inf Де (c) (11)

c€X

нижняя граница Де (c) берется по в сем c из некоторой области X,

Рассмотрим оптимизацию границ отклонений во всех трех метриках (7), (8), (9) дня с.нучая, когда развертка тора представляет собой выпуклый шестиугольник (рис. 1), то c Є Ccon

Ccon = {c = (cb c2) Є R2; ci > ° C1 + c2 < І} . (12)

Для нижней границы Де (c) по всем c го области Ccon справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть отклонения 5k, k = О, І, 2 задают трехмерный вектор x, и пусть его длина dе(x) определена в (6). Тогда, если c Є Ccon, где Ccon определена в (12), для Де

Д1 = 2,

Д2 = >Д/2 , (14)

Д^ = 1. (15)

где Дд опрелены в (10). Равенства (12) и (14) достнгаются нрн с1 + с2 = 1, равенство (13) - ирис = (1/2,1/2).

□ Приведем общую схему доказательства для всех трех равенств (12), (13), (14), Определим верхнюю границу Дд(с), определенную в (9), векторного отклонения 5(2), и, с

рики (7), (8), (9) выпуклые, то для определения Дд(с), достаточно найти длины ^(5(2)) векторного отклонения 5(г) для всех вершин шестиугольника Т2(с), а затем выбрать наибольшее значение.

Для в =1, получим набор значений, представленный в таблице 1,

Координаты вершины Значение <1(5(г))

1. (0,0) 0

2. (1 - С\, -с2) 2(1 — С1)

3. (1,0) 2

4. (1 - Си 1 - С2) 4 — '2(с.\ + с2)

5. (ОД) 2

6. ( — С1,1 — с2) 2(1 - с2)

Таблица 1.

Тогда Д1(с) = 4—2(с1+с2) и при с1+с2 = 1 получим нижнюю границу Д1 = 2. Равенство (12) доказано, в=2

Координаты вершины Значение <1(5(г))

1. (0,0) 0

2. (1 - Си -с2) (2(1 — 2С\ — С-2 + СгС2 + с2 + с|))з

3. (1,0) у/2

4. (1 - Сь 1 - с2) (2(3 — 3с1 — Зс2 + С1С2 + с2 + с|))з

5. (ОД) у/2

6. ( — С1,1 — с2) (2(1 — С1 — 2с2 + С1С2 + с2 + с|))з

Таблица 2.

Тогда Д2(с) = (2(3 - 3с1 - Зс2 + с^ + с2 + с2))1, и Д2(1/2,1/2) = ^/Щ. Равенство (13) доказано,

В случае в = то, получим

Координаты вершины Значение с?оо(5('г))

1. (0,0) 0

2. (1 -сь -с2) 1 - С1

3. (1.0) 1

4. (1 - С[, 1 - с2) 2 — С-1 — С-2

5. (0.1) 1

6. (-Сь 1 - с2) 1 - с2

Таблица 3.

Тогда Дте(с) = 2 — с1 — с2, и при с1 +с2 = 1 получим значение нижней границы Дте = 1 ■ Рассмотрим теперь случай с Е Спсоп2. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Пусть отклонения ёк,к = 0,1, 2 задают трехмерный вектор х, н пусть его длина (1в(х) определена в (6). Тогда, если с Е Спсоп2 (рис. 3), для Дд справедливы следующие равенства:

Д1 = 2, (16)

д2 = у/2 , (17)

Д^ = 1. (18)

где Дд опрелены в (10).

□ Доказательство аналогично доказательству теоремы 3. Все верхние границы отклонений Дд (с) такие же как и в случае выпуклого шестиугольника, единственное отличие заключается в том, что все нижние значения Дд достигаются в двух точках (1, 0) и (0,1). ■

Более сложной является задача в случае с € Спсоп1.

Теорема 5. Пусть отклонения ёк ,к = 0,1, 2 задают трехмерный вектор х, и пусть его длина в,в(х) определена в (6). Тогда, если с Е Спсоп1 (рис. 3), для Дд справедливы следующие равенства:

Д1 = 0, (19)

Д2 = \/2/3 , (20)

Дте = 1/2, для с Е С\и с Е С2; ^

Дте = 2/3, для с Е С3. 1 }

где Дд опрелены в (10).

□

1 и сравнивая полученные в ней значения, можно заключить, что в области С\ (рис. 4) Д1(с) = 2(1 — с2) и в этой области Д\ = 0 при с2 = 1.

Рис. 4.

Область С2 симметрична области Сі и для н ее А і (с) = 2(1 — сі) и Ді = 0 при с1 = 1. Для области Сз, получим Д1 (с) = 4 — 2(с1 — с2) и Д1 = 0 в точке (1,1).

Теперь пользуясь результатами таблицы 2 для метрики г/2 получим, что если с\ + 2с2 < 2 и 2сі + с2 < 2 (рис. 5), то Д2(с) = (2(3 —Зеї — Зс2 + сіс2 + с^ + с%))^ и Д2 = л^/2/3 в точке (2/3, 2/3) В этой же точке достигаются нижние границы Д2(с) для двух других случаев.

Если с\ + 2с2 > 2 и с2 > с\ то Д2(с) = (2(1 — 2с1 — с2 + С1С2 + с^ + с|))2 и Д2 = а/2/3. Если же 2с1 + с2 > 2 и С1 > с2, то Д2(с) = (2(1 — С1 — 2с2 + С1С2 + с^ + с|))2 и Д2 = а/2/3. Таким образом, выражение (19) также доказано.

Осталось доказать равенство (21). Составим для этого новую таблицу

Координаты вершины Значение жі Значение |ж2| Значение жз

1. (0,0) 0 0 0

2. 1 0 1 о Ю 1-і - с2 Сі + с2 - 1

3. (1,0) 1 0 1

4. (1 - сь 1 - с2) 1 - Сі 1 - с2 С-1 + с2 — 2

5. (0,1) 0 1 1

6. (-С1.1 - с2) ~ і 1 — 2 Сі + с2 - 1

Таблица 4.

Чтобы найти верхнее значение (с), достаточно сравнить значения в таблице 4.

Рассмотрим пункт 2 таблицы 4, возможны 2 варианта:

1) ci > 1, |1 — ci| = ci — 1, | — с21 = с2, |ci + с2 — 1| = ci + c2 — 1 — это соответствует

области Ci на рис. 4. В этой области максимальной является функция ci + с2 — 1.

2) ci < 1, |1 — ci| = 1 — ci? | — с21 = с2, |ci + с2 — 1| = ci + c2 — 1 — это соответствует областям C2 и C3 на рис. 4. В этой области максимальной явл яется функция с2.

Для пункта 6 проведем аналогичные рассуждения:

1) с2 > 1, | — ci| = ci? |1 — с21 = с2 — 1, |ci + с2 — 1| = ci + с2 — 1 — это соответствует области С2 на рис. 4. В этой области максимальной явл яется функция ci + с2 — 1.

2) с2 < 1, |—ci| = ci? |—с21 = 1— с2, |ci+c2 —1| = ci +с2 —1 — это соответствует областям Ci yl C3 на рис. 4. В этой области максимальной является функция с2. Учитывая, что выше прямой ci = с2 больше функцня с2, а ниже ci? разделим область С3 прямой ci = с2.

Теперь рассмотрим пункт 4 таблицы 4, получим следующие варианты

Значение Ж1 Значение ж2 Значение ж3 Максимальное значение

1. Cl > 1, Cl — 1 c2 < 1,1 c2 Ci + c2 > 2, Ci + c2 — 2 Ci - 1

2. Cl > 1, Cl — 1 c2 < 1,1 c2 Ci + c2 < 2, 2 — Ci — c2 1 - c2

3. Cl < 1, 1 — Cl c2 > l,c2 - 1 Ci + c2 > 2, Ci + c2 — 2 c2 - 1

4. Cl < 1, 1 — Cl c2 > l,c2 - 1 Ci + c2 < 2, 2 — Ci — c2 1 - Cl

5. Cl < 1, 1 — Cl c2 < 1,1 c2 2 — Ci — c2 2 - ci - c2

Таблица 5.

Сравнивая выражения, найденные для пунктов 2, 4 и 6 таблицы 4, получим следующие результаты (рис. 6).

щ-<--» м-с»

□ -с„

И ■(

■ -<

Рис. 6.

Для области Си Доо(с) = С\ + с2 — 1, и Доо = | достигается в точке (1,1/2). Для области С12 Дте(с) = 1 — с2, и Дте = 1/2 достигается также в точке (1,1/2). Для области С21 Дю(с) = с1 + с2 — 1 и Дте = 1/2 достигается в точке (1/2,1). Для области С22 Дю(с) = 1 — ^ и Дте = 1 /2 достигается в точке (1/2,1) Для области С31 Дте (с) = с1; и ее Дте = 2/3 достигается в точке (2/3, 2/3) Для обла сти С32 Дте (с) = с2, и Дте = 2/3 достигается в точке (2/3, 2/3).

Для области C33 Дте(с) = 2 — (ci + с2), и ее Дте = 2/3 в точке (2/3, 2/3).

Таким образом, действительно для областей Ci = Cii UCi2UCi3 и C2 = C2iUC22UC23 получили Дте = 1/2 и для области C3 = C3i U C32 U C33 Дте = 2/3 ■

Литература

1. Абросимова А.А. Средние значения отклонений для распределения точек на торе /7 Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. Бе.;п'ород: НИУ БелГУ. 2012. №.5(124); Вып.26. С.5-11.

2. Абросимова А.А. Множества охраниченши'о остатка на двумерном торе /7 Чебышевекин

сборник. 2011. 12;Вып.4(40). С.15-23.

BOUNDARIES OPTIMIZATION OF TWO-DIMENSIONAL BOUNDED REMAINDER SETS

A.A. Abrosimova, D.A. Blinov

Vladimir State University named A. and N. Stoletovs,

Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected],

[email protected]

Abstract. Two-dimensional bounded remainder sets which are constructed by a hexagonal development of torus are under study. Optimization of boundaries for these sets are found.

Key words: bounded remainder sets, distribution of fractional parts, toric development, exchanged domains, three-dimensional metric.