CC BY
33
МАТЕМАТИКА
MSC 11J68
ГРАНИЦЫ ОТКЛОНЕНИЙ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ МНОЖЕСТВ ОГРАНИЧЕННОГО ОСТАТКА
А.А. Абросимова
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Рассматриваются трехмерные BR-множества и метод их построения на основе произведения торических разверток. Для полученных множеств найдены точные границы остаточного члена.
Ключевые слова: развертка тора, BR-множества, границы отклонений, произведение торических разверток.
1. Введение. В 1916 г. Г. Вейль [1] впервые ввел понятие последовательности равномерно распределенной по модулю 1, а так же доказал критерий равномерного распределения. Пример такой последовательности — это последовательность {ia}^ при иррациональном а.
Рассмотрим теперь некоторый интервал X и определим для него считающую функцию r(a,i,X) = §{j : 0 < j < i, {ja} £ X}, где {x} обозначает дробную долю, как количество попаданий точек в этот интервал. Тогда критерий равномерного распределения Вейля может быть записан в следующем виде
r(a,i,X) = i|X| + 5(a,i,X),
где 8(a,i,X) = o(i) — остаточный член этой формулы.
Множество X называется множеством ограниченного остатка или BR-множеством (bounded remainder set), если существует такая константа C, что выполняется неравенство
|£(a,i,X)| < C
для всех i.
Первые примеры таких множеств были построены 1921 г. Э. Гекке [2]. Это интервалы X длинны 0 < |b + aa| < 1, где a, b £ Z. Для них Э. Гекке получил следующую оценку остаточного члена
|£(a, i, X)| < |a| .
Более сложной является задача нахождения BR-множеств и определения границ отклонений в многомерном случае. Подход Э. Гекке, к сожалению, не позволяет получить многомерное обобщение.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №11-01-00578-а).
В двумерном случае первый пример BR-множеств был получен в 1954 г. R. Sziisz [3]. Это было семейство параметрических параллелограмов, для которых выполняется оценка 8(г) = 0(1). Анализ конструкции SzUsz привел P.Liardet [4] к открытию возможной редукции от BR-множеств размерности D к аналогичным множествам размерности D — 1. Абсолютно другой подход к построению множеств ограниченного остатка обнаружили Ж. Рози [5] и S. Ferenczi [6]. Они связали свойство быть BR-множеством со свойствами отображения первого возвращения. Но получить точные оценки остаточного члена никому из вышеперечисленных так и не удалось.
В 2012 г. В.Г. Журавлев [7] нашел способ построения множеств ограниченного остатка на основе многогранников Е.С. Федорова для трехмерного случая, параллелоэдров Г.Ф. Вороного для четырехмерного случая, а для размерности D > 5 с помощью вытягивания многомерного куба. Эта конструкция обобщается на все размерности. Автор данной работы строит двумерные множества ограниченного остатка на основе шестиугольных разверток тора [8], для них получены точные границы отклонений. Теперь, когда мы можем строить одномерные и двумерные множества ограниченного остатка, возникает естественный вопрос, можно ли на основе множеств ограниченного остатка малых размерностей построить новые множества ограниченного остатка более высоких размерностей. В настоящей работе на основе k-произведения [9] интервалов ограниченного остатка Гекке и гексагональных разверток тора построены трехмерные множества ограниченного остатка, для них вычислены точные оценки остаточного члена, а также получены средние значения отклонений.
2. Перекладывающиеся торические развертки. Пусть дан D-мерный тор TD = RD/L, где L — полная решетка, имеющая размерность D над R. Пусть задан сдвиг тора
SaD : TD м TD : x м SaD (x) = x + aD mod L
на вектор aD = (aD,..., aD).
Перекладывающейся разверткой тора TD назовем подмножество TD из RD, удовлетворяющее условиям:
1. Множество TD ограничено.
2. Задано разбиение
TD = T0D U TD u ... U TD (1)
на непересекающиеся подмножества TD.
3. C помощью разбиения (1) и некоторой фиксированной системы векторов и = (и0, и1,... ,uD) из RD задано перекладывание
Su(TD) = Su(TD) и SU(TD) и... и SU(TDD), (2)
где SU(TD) = x + uk, x £ TD.
4. Множество TD замкнуто относительно прекладывания Su, т.е. перекладывание переводит подмножество TD в себя.
5. Отображение факторизации
TD TD і x ^ x mod L
задает биекцию между Ти и тором Ти, где
Ь = й[/і , . . . , /д ]
— полная решетка из с базисом — м0 для к = 1,
6. Коммутативна следующая диаграмма
Т д шогї £
Т д ^ т-Д
(З)
., D.
где SaD (x) = x + аD mod L — сдвиг тора TD на вектор а° = u0 mod L.
Заметим, что разбиению (1) развертки TD соответствует разбиение
TD = TD u TD u ... и TD
тора TD на области TkD = TkD mod L.
В одномерном случае примером развертки может быть единичный полуинтервал T1 = [О, І), изоморфный окружности T1, для которой задан поворот Sai і x і—> x + а1 mod І на иррациональный вектор а1. Полуинтервал T1 может быть разбит на два. полуинтервала
T1 = T01 и T11 , (4)
где Tq = [О, І і а1) и Tq = [і і а1, І). Повороту Sai окружности T1 на вектор а1
соответствует перекладывание полуинтервалов Tq1 и T/ Sv і T1 ^ T1 і Sv (x) = x + vk, ^1
где x Є Tk, k = 0,1, а векторы перекладывания соответственно равны
v0
а
v1
а1 І .
(5)
Пример двумерного случая перекладывающихся торических разверток был построен в работе [8]. Это класс гексагональных разверток Т2 (с) двумерного тора Т2 = М2^2, определенных следующим образом: любой точке с = (сі,с2) из области с Є С = {с = (сі, с2) Є М2; Сі > 0, шіп(с1,с2) < 1 соответствует шестиугольник Т2(с) с координатами вершин (0, 0), (—с1; 1 — с2), (0,1), (1 — с1; 1 — с2), (1, 0), (1 — с1; — с2). У шесугольника Т2 (с) противоположные стороны попарно параллельны и равны. Если функция а (с) = с1 + с2 не превосходит 1, то шестиугольник выпуклый, и не выпуклый в противном случае. Полученным шестиугольником можно замостить Т = Цте^2 Т2 [т] плоскость М2, используя параллельные переносы на векторы т из квадратной решетки Z2. Сдвинув Т относительно развертки Т2(с) на вектор —а2 = (—а1, — а2), получим ее разбиение на три фигуры
T 2(c)
T02 и T12 и T22
(б)
Т02 — шестиугольник, Т2 и Т22 — параллелограммы, с площадями соответственно
з0 = 1 — «2 — а2 = а2 , в1 = а2, з2 = а2 ,
где а2 = £с, 0 < £ < 1. На рис. 1 изображено разбиение выпуклого и невыпуклого шестиугольника на области Т)?, к' = 0,1, 2.
Если на торе Т2 задан сдвиг 50,2 на вектор а2, такой что 50,2 : Т2 ^ Т2 : х ——> 5а2 (х) =
х + а2шod Z2, то ему будет изоморфно перекладывание : Т2 (с) і—> Т2 (с) : х ^ (х) = х + и^/, где и у — вектора перекладывания для областей Т^,, к' = 0, 1, 2 и они соответственно равны
и0 = (а2, а2), и1 = (а2 — 1, а2), и2 = (а2, а2 — 1).
(7)
3. Векторная дробная часть. Для любого х Є определим векторную дробную часть Рг(х), полагая
Е¥(х) = х', (8)
где х' = xmod Ь и х' Є Тд.
Предложение. Пусть
ДЕг(х) = Рг(х + ад) — Рг(х) , к = 0,1
(9)
— векторно-значная разностная функция с шагом а?, где а? вектор сдвига тора Т?. Тогда выполняется равенство
ДЕг(х) = и(х) (10)
для любого х € , где вектор
м(х) = ад + /(х)
(11)
при этом /(х) — это векторы решетки Ь, если х € Т? = 0,1,..., Д.
□ Для любого х из развертки Т? имеем представление
SaD (x) = x + u(x) , (12)
: TfcD. Та
откуда вытекает формула
при этом u(x) = u fc для x £ TD. Так как u & = aDmod L, то выполняется равенство (11)
(х) = х + а? + / (х) ,
причем для любого х из Т? его образ х + а? + /(х) принадлежит торической развертке Т?. Отсюда получаем следующие равенства
Рг(х + а?) = х + а? + /(х) = х + и(х) , (13)
справедливые при любом х € Т?.
Для доказательства (10) заметим, что
х + а? = х + а? + /(x)mod Ь, (14)
где /(х) € Ь, и в силу (12) выполняется включение
х + а? + /(х) € Т? . (15)
Из (13) следует
ДРг(х) = Рг(х + а?) — Рг(х) = х + а? + /(х) — х = а? + /(х) = и(х) для любого х € Т?.
Рассмотрим теперь общий случай х € К?. Так как разверткой Т? можно замостить
пространство, любое х можно представить в виде х = х' + / для некоторых х' € Т? и
/ € Ь, и тогда получаем (8). По (14) и (15) имеем
ДРг(х) = Рг(х + а?) — Ег(х) =
= х' + а? + /(х) — х' = а? + /(х) = и(х),
то есть снова получили равенство (10). I
4. Суммарное векторное отклонение. Теперь определим суммарное векторное отклонение, как векторно-значную функцию
£(г,хо)= ^ ДЕф'в? + хо) (16)
0<?<г
для i = 0,1, 2,..., где
при этом h — натуральное число, l — вектор из L. Из равенств (10) и (11) можем функцию (16) записать так
S(i, x0) = (aD + l(x0 + jaD)) = iaD + l(x0 + jaD).
0<j<i 0<j<i
Откуда можем записать в виде
S(i,x0) = iaD + 1,
0< j<i,
Pr(x0 + jaD)
или в следующей форме
S(i, x0) = iaD + ri(i, x0)li + ... + rD(i, x0)Id , (18)
где
rfc(i, x0) = tt{j : Fr(jeD + x0) £ TD, 0 < j < i} , (19)
или, если воспользоваться сдвигом тора, то счетную функцию (19) можно также запи-
сать
rfc(^ x0) = tt{j : Sed (x0) £ tD 0 < j < i} , (20)
где S^d — сдвиг тора на вектор вD, определенный в (17), и S^d : TD м TD : x м S^d =
x + вD mod L.
Сумму (16) можно вычислить иным способом. Исходя из определения (16), запишем S(i, x0) как разность сумм
^(i,x0) = ^ Fr(jeD + aD + x0) — ^ Fr(jeD). (21)
0<j<i 0<j<i
Из (17) имеем
aD = heD mod L . (22)
Тогда из (22) и определения (8) следует равенство
Fr(jeD + aD + x0) = Fr(jeD + heD + x0). (23)
Из (23) получаем
^2 Fr(jeD + aD + x0)^ Fr(jeD + heD + x0) = Fr(jeD + x0).
0<j<i 0<j<i n<j<i+n
Из полученного равенства и формулы (21) получаем еще одно представление для S(i, x0) S(i,x0) = ^2 Fr(jeD + x0) — ^2 Fr(jeD + x0). (24)
n< j<i+n 0<j<i
Предположим, что г > Л, тогда из (24) следует равенство
£(г, хо) = ^ (ВДв? + гв? + хо) — ВДв? + хо)), (25)
0<^<^-1
или при 0 < г < Л получим
£(г,хо) = ^ (Гг('в? + гв? + хо) — Рг('в? + хо)). (26)
о<?<г
Это равенство вытекает из определения (16) и сравнения (22).
5. Отклонения для считающих функций. По условию Ь — полная решетка (3). Для ее базиса /1,... , /? существует двойственный базис /*,..., /?, связанный с исходным соотношением
0, при к = т
1, при к = т ,
где • обозначает скалярное произведение.
Используя (27) и (18), получаем равенства
/*к • /т и o, при к=т (27)
/£ • £(г, хо) = гк(г, хо) + г/^ • а? для к = 1,..., Д . (28)
Обозначим
4(г,хо) = /£ • ^(г,хо) (29)
и перепишем
4(г, хо) = Г)(г, хо) — гв) для к = 1,.. .,Д (30)
где
5) = — / ^ • а? . (31)
Назовем ^(г,хо) из (30) отклонением распределения точек орбиты
ОгЬ^^д (хо) = {££ю (хо) = хо + гв? mod Ь, г = 0,1, 2,...}
относительно области Т? С Т? или отклонением считающей функции Г)(г,хо) (20) от ожидаемой величины гв), где в) определяется формулой (31).
Из равенств (28) и (30) следует, что ^(г,хо) связано с отклонениями ^(г,хо) соотношениями
^(г,хо) = ^1 (г, хо)/1 + ... + (г,хо)/?.
Найдем теперь формулу для вычисления отклонения $о(г, хо) относительно области Т?.
Из определений (19) и (20) считающих функций Г)(г,хо) следует, что они удовлетворяют тождеству
Го(г,хо) + Г1(г,хо) + ... + г? (г,хо) = г (32)
для любого г = 0, 1, 2,... Определим во равенством
во + в1 + ... + в? = 1. (33)
Из (32) и (33) получаем
[го(г,хо) — гво] + [п(г,хо) — гв1] + ... + [г?(г,хо) — гв?] = 0.
По аналогии с отклонениями ^1(г, хо),... , (г, хо) (29) определим нулевое отклонение
6о(г,хо) = Го(г,хо) — гво .
Тогда между всеми отклонениями ^(г, хо), к = 0,1,..., Д выполняется соотношение
£о(г,хо) + ^1(г,хо) + ... + (г,хо) = 0
для всех г = 0,1, 2,..., и для нулевого отклонения получаем представление
6о(г,хо) = — 4(г,хо) — ... — (г,хо), (34)
или согласно (29) и (34) для отклонения $о(г,хо) можем записать
^о(г, хо) = — /*$(г, хо) — ... — /?$(г, хо) = — (/ * + ... + /?)$(г, хо).
Определим в дополнение к векторам (27) вектор /* равенством
7* _ 7* 7*
^о = —1 1 — ... — 1В , тогда для нулевого отклонения £о(г,хо) будет следовать представление
^о(г,хо) = /*^(г,хо). (35)
Сравнивая полученную формулу с выражением (29) легко заметить, что нам удалось восстановить симметрию между всеми отклонениями 4, к = 0,1,..., Д.
6. Точные границы для отклонений. Все готово, чтобы получить следующий результат.
Предложение 1. Пусть вектор сдвига в? определен равенством (17) и определены отклонения ^ (г, хо) = г ) (г, хо) — га к для к = 0,1,..., Д. Тогда отклонения могут быть представлены еще в одной из двух форм:
к (г, хо) = ^ (Р ) (?в? + гв? + хо) — ^(^'в? + хо)) (36)
о<7<^-1
для г > Л, и
5(г, хо) = ^ (Рг(^в? + гв? + хо) — ВДв? + хо)) (37)
о<?<г
для 0 < г < Л, где Fгk(x) = / * • Рг(х) для к = 0,1,..., Д, и Рг(х) определено в (8).
□ Равенство (36) вытекает непосредственно из определения (16) и формул для отклонений ^(г, хо), к = 0,1,..., Д, (29), (35), а равенство (37) из (25). ■
Используя предложение 1, можем доказать теорему о границах отклонений для сдвига на вектор •
Теорема 1. Пусть задан вектор /3п = + /), где к — натуральное число, п
I — вектор из решетки Ь, определенной в (3). Тогда при любом к = 0,1,..., О для отклонений ^ выполняются неравенства
для любого вектора / из решетки Ь, т.е. Р(х,хо) — периодическая функция на пространстве К? с полной решеткой периодов Ь. В терминах функции Р(х,хо) равенство (25) можем записать как композицию
обладающую, согласно определению (8) векторной дробной части Рг(х), свойством периодичности
с периодами из решетки Ь. Используя (42), функцию Р(х,хо) можно будет переписать в виде
іііііі.і І'1') < 6к(х,хо) < Ьт.кіТ0) для0 < і < к,
(38)
////;.(I'1') < 5к(х,х0) < гт.к(Тп) для і > к, где крайние значения тк(Х) п Шк(Х) определяются формулами
(39)
тк(х) = -''-г. \1'к ■ х-> тк(Х) = вирхеХ1*к ■ х .
(40)
□ Пусть х Є • Определим векторно-значную функцию
£>(х, хо) = ^ (Рг(^'вД + хо + х) - ВДв° + хо)).
0<І<^-1
Из определения (8) векторной дробной части Е¥(х) вытекает равенство
Р(х + /, х0) = "Р(х, х0)
5(г,хо) = Д),хо)
(41)
функций Е¥(х) и Р(х,хо).
Пусть і > Л,. Определим разностную функцию
А(х, у) = Е¥(х + у) — Р(у) ,
(42)
А(х + /,у + /') = А(х,у),
(43)
о<^'<^-1
Из определения (42) разностной функции Д(х,у) следует, что для любых х,у € К? справедливо включение
А(х, у) Є Т£ ,
(44)
где Тд = {і—і7; і, і' Є Т— разностное множество для развертки Т°. Из определения следует, что разностное множество Тд центрально-симметрично относительно начала координат в . Из (43) и (44) вытекает включение
Р(х,хо) Є кГ£ (45)
для любого х из где умножение на к означает гомотетию і ^ кі с натуральным коэффициентом к.
Следовательно из (44) получим последовательность включений для любых х, у Є
11 • А(х,у) Є (/£ • Тд) д для к = 0,1,...,О, (46)
так как I*к • (Тд)д в силу равенства I*к • Тд = { *к • і; і Є Т°}. Если обозначить
Р(х,хо) = Iк ^Р(х,хо) , (47)
то из формул (45) — (47) для любого х Є получаем включения
Р (х,хо) Є к(/ к • Т-° )д для к = 0,1,...,О. (48)
Из (48) и (40) следует неравенство
ктк[ Г1,УПк[.г.х„) < ктк(Тп) (49)
для любого х Є и к = 0,1,..., О. Согласно формулам (41) и (49) получаем неравенства (38). В случае 0 < і < к, используя аналогичные рассуждения, равенство (26) и включение (45), получаем (39). I
В одномерном случае для полуинтервалов Тд и Т/ Э. Гекке получил следующую оценку остаточных членов
Мі)І< 1, Мі)І< 1
для всех і = 0,1, 2,....
Для двумерного случая в [8] были получены точные границы отклонений в случае сдвига на вектор а2. Для сдвига 5^2 тора Т2 на вектор в2 справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть дан сдвиг тора Ярі на вектор /З2 = а2 + с1), где к Є асі вектор из решетки Z2. Пусть тор Т2 разбит на области Т|,: Т2 = То и Т2 и Т2, тогда области Т|, являются множествами ограниченного остатка относительно сдвига на вектор в2 и для отклонений выполняются неравенства:
—к(хоі + хо2) < £о(і,хо) < к(2 — а(с) — хоі — хо2) для а (с) <;
— к(хоі + хо2 + а (с) — 1) < 6о(і,хо) < к(1 — хоі — хо2) для а (с) > 1; ( )
к(хоі — 1) < ^і(і,хо) < к(хоі + сі);
к(хо2 — 1) < ^2(і, хо) < к(хоі + С2).
□ Справедливость неравенств (50) вытекает из теоремы 1. I
Эта теорема является обобщением теоремы Гекке на случай двумерных торов. В этом случае границы отклонений ^(г,х°) зависят только от формы развертки тора Т2(с) и выбора параметра к вектора в2 и не зависят от выбора вектора а2.
7. Произведение торических разверток.
7.1. Определение. В [9] определено понятие произведения торических разверток. Рассмотрим определение применительно к случаю произведения полуинтерва Т1 и шестиугольной развертки двумерного тора Т2(с), имеющих разбиения (4) и (6) и векторы перекладывания (5) и (7) соответственно.
Определим к-произведение Т1 0к Т2(с), к = 0,1 следующими свойствами:
1)
Т1 0к Т2(с) = {(ж, у, г); ж € Т1, у, г € Т2(с)} С К3, (51)
то есть как множество произведение Т1 0^ Т2 (с) совпадает с прямым произведением Т1 х Т2(с) множеств Т1 и Т2(с);
2) на множестве (51) задано разбиение
Т10*Т2(с) = Ц Т3 Ц ТЗт (52)
0 < п < 1, 0-т-2
п = к
Тп3 = ТП х Т2 для п = 0,1, п = к,
на множества
а также определено перекладывание этих множеств
™ : ТП I—^ ТП + (^п, 0) для п = 0,1, п = к,
ад * Тк т 1 ^ Тк т + (^к, ^т) для т 0, 1 2*
(53)
Замечание 1.
1. Количество множеств в разбиении (52) равно Д1 + Д2 + 1 = 4.
2. Непосредственно из определения (51) следует некоммутативность операции умножения Т1 0к Т2(с).
3. Для торических разверток Т1 и Т2(с) с учетом перестановок Т10кТ2(с) и Т2(с) 0к Т1 и выбора индексов к, к существует пять различных произведений.
Из леммы 3.1., доказанной в [9], следует, что перекладывание (53) множества (52) замкнуто, и множества Т10кТ2(с) и Т2(с)0кТ1 имеют объем уо1 Т101 Т2(с) = уо1 Т2(с)0к Т1 = уо1 Т1 ■ уо1 Т2 (с) = уо1 Т2 (с) ■ уо1 Т1 = 1.
7.2. Случай к = 0. Рассмотрим 0-произведение полуинтервала на шестиугольник, то есть случай к = 0. Формула (51) примет вид
Т1 0° Т2(с) = {(ж, у, г); х € Т1, у, г € Т2(с)} С К3.
Геометрически множество Т1 0° Т2 (с) представляет собой шестиугольную призму Е.С. Федорова [10] с координатами вершин (0, 0, 0), (0,1—с1, —с2), (0,1, 0), (0,1—с1,1—с2),
(0, 0,1), (0, -сі, 1 - С2), (1, 0, 0), (1,1 - сі, -С2), (1,1, 0), (1, -сі, -С2), (1, 0,1), (1, -сі, 1 - с2) в ортонормированном базисе (е1,е2,вз).
Разбиение (52) осуществляется на множества (рис. 2)
Т3 = Т/ х Т2 — шестиугольная призма,
шестиугольная призма, параллелепипед, параллелепипед.
гр3 Т 0,0 гр3 Т 0,1 гр3 Т 0,2
Т1 Т0 Т1 Т0 Т1 Т0
х Т2
х Т12 х Т22
(54)
Рис. 2.
В соответствии с определением (53) для множеств (10) имеем следующее множество векторов перекладывания
V 00 Ш = {(VI, 0), (зд,^0), (зд,^і), (^0,^2)} =
(55)
= {(аі - 1, 0, 0), (аі, «2, а2), (аі, а2 - 1, а2), (аі, а2, а2 - 1)} .
За начальный или нулевой вектор примем вектор ^0,ш0) = (а^а^а2), тогда векторы (55) задают решетку
Ь1 О0 Ь2 = 2Й,тьт2], (56)
порождаемую векторами
= (V!, 0) - (зд,Ш0) = (I0, -Ш0) ,
тг = (г;0, «)і) - (г?0, ш0) = (0,?пі), (57)
т-2 = (г;0, «)2) - (г?0, ш0) = (0,?п2),
где
Ь і = Ж[г 0], Ь2 = 2[ш і, Ш2І (58)
с векторами I0 = -1 и ті = (-1, 0),т2 = (0,-1) обозначают полные решетки соответственно для полуинтервала Т і и шестиугольной развертки Т2 (с) двумерного тора Т2.
Исходя из леммы 3.2. [9] решетка Ьі 00 Ь2 — полная и ее обьем равен
уоі Ь і 00 Ь2 = уоі Ь і • уоі Ь2 .
Шестиугольной призмой Федорова Т1 ®о Т2(с) можно замостить пространство К3, таким образом Т1 ®0 Т2 (с) можно считать фундаментальной областью для решетки (56) и ее можно считать разверткой трехмерного тора Т3 = К3^3.
В качестве вектора сдвига тора Т3 выберем начальный вектор 7° = (^0,^0). Для полуинтервала Т1 и шестиугольной развертки Т2 (с) разложение векторов сдвига ^° и и>° по базисам (58) имееют вид: ^° = а1/°,^° = а1т1 + а2т2. По (57) и данному разложению имеем равенство
7° — аХ = (0, (а-1 + 1)«>0) , и для вектора 7° получаем разложение в базисе (57)
7° = аХ + (а-1 + 1)а'2т-і + (а-1 + 1)а|?в2.
Отсюда вытекает, что вектор 7° = (г>°, и>°) = (а1, а2, а2) иррационален относительно решетки Ь1 ®° Ь2 тогда и только тогда, когда числа а1, (а1 + 1)а1, (а1 + 1)а2,1 линейно независимы над кольцом целых чисел Z.
Сдвиг тора Т3 на вектор 7° задает орбиту распределения точек на нем. Рассмотрим орбиту с произвольной начальной точкой х° = (х°1, х°2, х°3). Так как тору Т3 изоморфна его развертка Т1 ®°Т2(с), то для каждой ее области (10) определим считающие функции
г 1 (і, х°) = Ш : (х°) Є Т3 , 0 < і < і} ,
г°,т(*,х°) = Й(і : #уо(х°) Є Т°3°, 0 < і < і}, т = 0,1, 2
(59)
как количество попаданий точек в соответствующую область. Также определим отклонения функций (59) от ожидаемой величины
^1 (і, х°) = г 1 (і, х°) - і УОІТ3, (60)
£°,о(і,х°) = го,о(і,хо) - і УОІ Т03°, т = 0,1, 2 ,
где уоі Т3, уоі Т°3т, т = 0,1, 2 — объемы областей Т3, Т°3т, т = 0,1, 2 с одной стороны, а с другой, — частота попадания точек в соответствующую область, так как общий объем призмы Т1 ®° Т2 (с) равен 1.
Для отклонений докажем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть задан трехмерный тор Т3 = К3^3 с разбиением Т3 и Т°3° и Т°31 и Т32, которое задается произведением Т1 ®° Т2(с). Пусть кроме того задан иррациональный вектор 7° сдвига тора Т3, тогда для отклонений ^1(і, х°), $°,т(і, х°), т = 0,1, 2 справедливы следующие точные неравенства:
-а(х°) < <^о,о(і? х°) < 3 - а(с)(£ +1) - а(х°) для а (с) < 1
)° - (с) < Мі х°) < 2- )° - с) V для а (с) > 1
х°1 - 1 < ^х(і) < Х°1
Х°2 - 1 < Мі х°) < х°2 + а2 + с1;
Х°3 - 1 < <^о,2 (і? х°) < х°3 + а2 + с2 •
□ Для доказательства неравенств (61) определим для решетки Ь1 ®о Ь2 двойственный базис. Так как Ь1 ®0Ь2 — полная, тогда для ее базиса (57) существует двойственный
_0 чЦ
базис 1Л связанный с исходным базисом соотношениями (27). Полученный ба-
зис будет иметь следующие координаты
/^* = (—1,0,0), т1 = (а-2, — 1, 0), т^ = (а|, 0,-1). (62)
Из выражения (18) следует, что суммарное векторное отклонение может быть записано следующим образом
8(г, хо) = *7° + гд(г, х0)1°1 + г0д (г, хо)тг + г0,г(г, хо)т2 . (63)
Используя двойственный базис (62) и представление $(г) (63), получаем следующие равенства
С • *(») =п(*)- *!?*■ 7° = <ВД,
т5;-5(г) = Год (г) - ът\ • 7° = £0д(г) , (64)
т*2 ■ 8 (г) = г0,2(г) - гт^7° = 50,2(г) ,
где объемы областей (10) рассчитываются по следующим формулам
_Пф
уо\Т? = 1г -7° = а1, уо 1Т31=т^-7° = а'2(1-а'1), уо1Т32 = т* • 7° = а|(1 - а1).
Вычислим также вектор решетки для определения отклонения $0>0(г,ж0). Из определения (59) считающих функций следует, что они удовлетворяют тождеству
Г1(г,Ж0) + Г0,0(*,Ж0) + Г0д(г,Ж0) + Го^Х)) = г (65)
для любого г = 0,1, 2,.... Объем области Т030 определим равенством
уо1 Т3 + уо1 Т030 + уо1 Т03д + уо1 Т032 = 1. (66)
Согласно (65) и (66), имеем
^0,0(г, х) = -^1(г,Х0) - £0д(г,Х0) - ^(г,^)
или можем записать
5о.о(г, х0) = —1°1* ■ 8(?,, х0) — т^ • £(г, хо) — т2 ■ £(г, х0) = (—1°1 — т1 — т2) ■ 8(?,). (67)
Обозначим вектор
/0 = — 1>і — — т*2 = (1 — а'2 — а|, 1,1). (68)
Так как развертка Т1 ®0 Т2(с) перекладывающаяся, можно записать
Х0 + £(г, Х0) € Т1 00 Т2(с).
Спроектировав это выражение на векторы двойственного базиса (62) и (68) получим доказываемые неравенства (61). Таким образом границы отклонений определяются вершинами развертки. I
Заметим, что полученные границы отклонений не зависят от выбора вектора а1, так как геометрически границы отклонений определяются проекциями афинного образа развертки Т1 ®о Т2(с) в ортонормированном базисе, а они не зависят от вектора а1. В случае остальных четырех произведений границы отклонений также не зависят от выбора вектора сдвига первого множителя.
Следствие 1. Если в качестве вектора сдвига выбрать вектор У = ^(7° + <$)■, гДе к Є N й Є Ь1 0о Ь2 для произведения Т1 0о Т2(с), то границы отклонений примут вид:
— ка(х°) < х°) < к(3 — а(с)(£ + 1) — а(х°)) для а (с) < 1
)° V 1 с) V 1 к( < ^°,°(*, Х°) < к(2 — )° V 1 с) V для а (с) > 1
к(х°1 — 1) < ад < кх°1 ;
к(х°2 — 1) < , 1 (х°) < к(х°2 + ^1 + с1);
к(х°з — 1) < ,2 (х°) < к(х°з + в + С2) .
(69)
□ вытекает из теорем 1 и 2. I
Следствие 1 является обобщением теоремы Гекке на случай разбиений трехмерных торов. Аналогичные рассуждения можно провести для 1-произведения полуинтервала на шестиугольник и ^-произведений, к' = 0,1, 2, шестиугольника и полуинтервала.
8. Средние значения отклонений. Определим теперь среднее значение векторного отклонения
{5(хо)) = ^2 5(і,хо), (70)
1<г<М
если указанный предел существует.
Относительно средних значений отклонений доказана следующая теорема. Теорема 4. Пусть дан сдвиг тора Т3 на вектор 7°. Пусть вектор 7° иррациональный.
1. Тогда существует среднее значение (^(ж°)) (70) суммарного векторного отклонения $(*), и оно вычисляется по формуле
(^(Ж°)) = СГ^оТ^с) — х°, (71)
где СТі^оТ2(с) = (1/2, (1 — с1)/2, (1 — с2)/2) — центр тяжести призмы Т1 0° Т2(с).
2. Также Т3, Т°3т, т = 0,1, 2 существуют средние значения отклонений
(«5,(10))= 1І1П і 5] ад,*о)
N N
1< ^N
(6ол(хо)) = ІІП1 60<1 (і,х0)
М—± + Г-0 /\/ ( ^
N N
1< ^N
и они соответственно равны
(£о,о(хо)) = a(x) + ^(c)/2 - 3/2
(£i(xo)) = 1/2 - xoi ,
(^o.i(xo)) = (1 - Ci)/2 - Xo2 ,
(^0,2(x0)) = (1 - c2)xo3/2 •
(72)
□ Из определения (10), формул (9)и (70) следует
^ 5(i,xo)= У (Fr(xo + *Yo) - Fr(xo)) • (73)
1<i<N 1<i<N
Для доказательства (71) воспользуемся формулой (73) и критерием Вейля lim У 8(i,x0)= lim V (Fr(^0 + *7°) - Fr(^o) =
1<i<N 1<i<N
= J xdx - xo J dx = CTi^oT2(c) - xo vol T1 ®o T2(c) ,
T1®oT2(c) T1®oT2(c)
где vol : T1 ®o T2(c) — объем развертки тора vol T1 ®o T2(c), и он равен 1. Таким образом утверждение (71) доказано.
Для доказательства формулы (72) воспользуемся выражениями (64), (67) и формулой (71). ■
Справедливо следующее следствие из теоремы 3.
Следствие 2. Если начальная точка орбиты xo = (xo1, xo2, xo3) расположена в центре тяжести CT2(c) = (1/2, (1 - c1)/2, (1 - c2)/2), то
1) среднее суммарное векторное отклонение
(5(xo)) = 0;
2) средние отклонения выражаются формулами
(4(xo)) = о, (Vm(xo)) = 0, m = 0,1, 2 .
Аналогичным образом можно получить средние значения отклонений для 1-произведения полуинтервала на шестиугольник и 0, 1,2-произведений шестиугольника и полуинтервала.
Литература
1. Weyl H. Uber die Gibbssche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene // Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo. - 1910. - 30. - P.377-407.
2. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins // Math. Sem. Hamburg. Univ. - 1921. - 1. - P.54-76.
3. Sztisz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1954. - 5. - S.35-39.
4. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. - 1987. - 61. - P.267-293.
5. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France - 1982. - 110. -S.147-178.
6. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. - 1992. - 61. - P.319-326.
7. Журавлев В.Г. Многогранники ограниченного остатка // Труды математического института им. В.А. Стеклова, Современные проблемы математики. - 2012. - 16. - C 82-102.
8. Абросимова А.А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевский сборник. - 2011. - 12. - 4(40). - С. 15-23.
9. Журавлев В.Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2011.- №392. - С. 95-145.
10. Федоров Е.С. Симметрия и структура кристаллов. Основные работы / М.: Изд-во Академии наук СССР, 1949.
BOUNDARIES OF DEVIATIONS FOR THREE-DIMENSIONAL BOUNDED REMAINDER SETS
A.A. Abrosimova
Vladimir State University named after A. and N. Stoletovs,
Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Three-dimensional bounded remainder sets and method of their construction is studied. It is found deviation boundaries of these sets.
Key words: bounded remainder sets, distribution of fractional parts, toric development, exchanged domains.
