Оптимизация формы ступенчато-призматической балки при изгибе Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Оптимизация формы ступенчато-призматической балки при изгибе

11 12 А.А. Карамышева , Б.М. Языев , А. С. Чепурненко , С.Б. Языева

1 Ростовский государственный строительный университет 2Южный Федеральный университет

Аннотация: Получено решение задачи оптимизации ступенчато-призматической балки из условия минимума потенциальной энергии деформации при заданном объеме. Задача решена для случая шарнирного опирания по концам и равномерно распределенной по длине нагрузки. Найдено оптимальное значение параметра а, равного отношению высоты средней ступени к высоте крайней, при котором жесткость балки при постоянных объеме и ширине поперечного сечения максимальна.

Ключевые слова: оптимизация, ступенчато-призматическая балка, потенциальная энергия деформации, переменная жесткость, минимальный объем.

Рассмотрим ступенчато-призматическую балку прямоугольного сечения, шарнирно опертую по концам, загруженную равномерно распределенной нагрузкой д (рис. 1). Пусть ширина балки постоянна и равна Ь, высота крайних ступеней равна И, а средней ступени - аН.

Ч

Рис. 1. - Расчетная схема Согласно [1,2] интегральной мерой, определяющей уровень напряженно-деформированного состояния, может служить потенциальная энергия деформации и. Чем меньше величина и, тем лучше система сопротивляется внешним воздействиям. При изгибе потенциальная энергия деформации (ПЭД) определяется следующим образом:

1 1

и = 11

М (х)2

2 0 Е (х) I (х)

-йх.

(1)

Найдем такую величину параметра а, при которой потенциальная энергия деформации принимает минимальное значение при заданном объеме балки V. Объем рассматриваемой балки определяется следующим образом:

V = Ь(2ак + (/ - 2а)ак) = Ьк(2а + (/ - 2а)а). (2)

Выразим из (2) величину к:

к(а) =

V

(3)

Ь(2а + (/ - 2а)а)

Для определения оптимального значения а потребуется вычислить йк

производную

йк

й а

V

(/ -2а) = -к-

/ - 2а

(4)

йа Ь(2а + (/ - 2а)а)2 4 У 2а + (/ - 2а)а Моменты инерции крайних ступеней 11 и средней ступени /2 определяются следующим образом:

ьк

= , = ^ = а3!

1 12 2 12 1

Выражение для изгибающего момента имеет вид:

М(х) = Ч-(I - х).

Подставив (5) в (1), получим:

(5)

(6)

и

ч

8Е1

а 1 1-а

2[х2(/ -х)2йх +—- [ х2(/ -х)2йх I а3 {

ч

8Е1

К + К

а3

(7)

Коэффициенты К1 и К2 вычисляются следующим образом:

а

К = 21 х 2(/ - х )2 йх = 2

'а3/2

/а4 а — + —

2 5

5 Л

(8)

7 1-а 2,1 \2 л ; 4 2а5 2аъ/2 /5 к2 = х (/ - х) ах = 1а-----1--.

2 5 3 30

а

Оптимальное значение а найдем, продифференцировав ПЭД по а и приравняв к нулю:

аэ д2

а а 8Е

а

а а

' I'

V11 у

к + ""2т

к2 ^ а3 у

3к2

а42!

= 0.

(9)

Производную

а

а

а а

' IЛ

у

а а 1 01,

с л \

¡1 у

вычислим как от сложной функции:

1 а

¡1 а а ¡1 а а

12

1 3ЬН2 ан 36

I - 2а

Ц 12 а а ЬН 2а + (I - 2а )а

Окончательно задача сводится к следующему уравнению: а4(/ - 2а )к1 - 2ак2 = 0,

(10)

откуда ^ = 4

V

2ак„

(/ - 2а )к1

Из полученной формулы видно, что оптимальная величина параметра а не зависит от ширины сечения Ь. Следовательно, с ростом Ь будет расти минимальный объем балки, необходимый для выполнения условия прочности. Таким образом, величину Ь нужно назначать наименьшей из условия устойчивости плоской формы изгиба балки, либо из конструктивных соображений. Кроме того, аопт не зависит от материала балки, а также величины нагрузки д.

На рис. 2 сплошной линией показан график изменения потенциальной энергии деформации балки переменного сечения и(а) по отношению к ПЭД балки постоянного объема и0 в зависимости от а при Ь = 10 см, а = 1 м, / = 6 м. Штриховой линии соответствует график изменения максимального прогиба балки /(а) по отношению к прогибу балки постоянного сечения /0.

Минимуму потенциальной энергии деформации при указанных исходных данных соответствует аопт = 1.6. Балка, характеризующаяся минимумом ПЭД, обладает максимальной жесткостью при заданном объеме [1,2].

Рис. 2. - Изменение потенциальной энергии деформации и прогиба в середине пролета в зависимости от а Из рис. 2 видно, что относительно аопт минимум прогиба смещен

немного вправо. Это объясняется тем, что прогиб в середине пролета определяется умножением грузовой эпюры на единичную, а характер эпюры М1 при действии равномерно распределенной нагрузки отличается от МР.

Отметим, что балка наибольшей жесткости не является равнопрочной. При указанных исходных данных максимальные напряжения в крайних ступенях в 1.42 раза больше, чем в средней. Построение моделей

равнопрочных балок и стержней рассматривается в работах [3-5]. Методики создания равнонапряженных конструкций приводятся в статьях [6-10].

Литература

1. Васильков Г.В. Теория адаптивной эволюции механических систем. Ростов н/Д: Терра-Принт, 2007. 248 с.

2. Васильков Г.В. Эволюционные задачи строительной механики: синергетическая парадигма. Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2003. 179 с.

3. Барменкова Е.В., Андреев В.И. Изгиб двухслойной балки на упругом основании с учетом изменения жесткости балки по длине // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2011. Т. 7. № 3. С. 50-54.

4. Чепурненко А.С., Языев Б.М. Оптимизация формы поперечного сечения сжатых стержней из условия устойчивости // Научное обозрение. 2012. № 6. С. 202-204.

5. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнопрочной многопролетной балки // Инженерный вестник Дона. 2013. №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1571.

6. Языев Б.М., Чепурненко А.С., Муханов А.В. Оптимизация толстостенной сферической оболочки на основе теории прочности Мора // Инженерный вестник Дона. 2013. №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1890.

7. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Jazyjev B.M. Model of Equal-stressed Cylinder based on the Mohr Failure Criterion //Advanced Materials Research Vols. 887-888 (2014) pp 869-872. Trans Tech Publications, Switzerland.

8. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Построение модели равнонапряженного цилиндра на основе теории прочности Мора // Вестник МГСУ. 2013. №5. С.56-61.

9. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary problem moisture elasticity for a nonhomogeneous hollow thick-walled cylinder // WIT Transactions on the Built Environment. Fluid Structure Interaction VII. 2013. pp. 123-132.

10. Андреев В.И., Потехин И.А. О способе создания оптимальных конструкций на основе решения обратных задач теории упругости неоднородных тел // Вестник Отделения строительных наук Российской академии архитектуры и строительных наук. 2007. № 11. С. 48-52.

References

1. Vasil'kov G.V. Teoriya adaptivnoy evolyutsii mekhanicheskikh system [The theory of adaptive evolution of mechanical systems]. Rostov n/D: Terra-Print, 2007. 248 p.

2. Vasil'kov G.V. Evolyutsionnye zadachi stroitel'noy mekhaniki: sinergeticheskaya paradigma [Evolutional problems of structural mechanics: synergetic paradigm]. Rostov n/D: InfoServis, 2003. 179 p.

3. Barmenkova E.V., Andreev V.I. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2011. T. 7. № 3. pp. 50-54.

4. Chepurnenko A.S., Yazyev B.M. Nauchnoe obozrenie. 2012. № 6. pp. 202204.

5. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2013. №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1571.

6. Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Mukhanov A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2013. №3. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1890.

7. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Jazyjev B.M. Advanced Materials Research Vols. 887-888 (2014) pp 869-872. Trans Tech Publications, Switzerland.

8. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. 2013. №5. pp.56-61.

9. Andreev V.I., Avershyev A.S. WIT Transactions on the Built Environment. Fluid Structure Interaction VII. 2013. pp. 123-132.

10. Andreev У.1., Potekhin 1.А. УеБ1п1к Otdeleniya stroitel,nykh паик Ко8Б1увкоу akademii arkhitektury i stroitel,nykh nauk. 2007. № 11. рр. 48-52.