Оптимизация бизнес-процессов предприятия с учетом ограничений на их число Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.114.2

ОПТИМИЗАЦИЯ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ ПРЕДПРИЯТИЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ИХ ЧИСЛО

В.Е. Белоусов, Л.Н. Крахт, И.В. Поцебнева

В настоящей статье рассматривается способ решения задачи оптимизации бизнес-процессов предприятия с учетом ограничений на их число с помощью метода дихотомического программирования

Ключевые слова: бизнес, матрица, программирование, представление

Введение

Рассмотрим различные постановки задач оптимизации корпоративных бизнес-процессов.* Различные варианты бизнес-процессов корпорации можно представить в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют предприятиям корпорации, а дуги отражают возможность организации бизнеса [1], включающего соответствующую пару предприятий (вертикальная интеграция), рис. 1. Организация каждого бизнес-процесса требует определенных затрат для каждого предприятия, участвующего в нем (приобретение и установка необходимого оборудования, реконструкция помещений, подготовка кадров и т.д.).

Рис. 1. Ориентированный граф бизнес-процессов предприятия

Возможны различные постановки задач оптимизации выбора бизнес-процессов корпорации в зависимости от возможностей совмещения различных вариантов на одном предприятии, ограничений на объемы выпускаемой продукции или услуг и т.д.

Решение задачи оптимизации бизнес-процессов с учетом ограничений на их число

Сначала рассмотрим алгоритм решения задачи при отсутствии ограничений на число допустимых бизнес-процессов. Тогда мы получаем классическую «задачу о ранце» [2].

Белоусов Вадим Евгеньевич - ВГАСУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 76-40-07

Крахт Людмила Николаевна - СТИ МИСИС, канд. техн. наук, докторант, тел. 8(920) 202-37-68 Поцебнева Ирина Валерьевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Дихотомическое представление задачи имеет структуру дерева.

Покажем, что оптимальной в смысле объема вычислений является структура, максимально близкая к симметричной [3].

Объем вычислений пропорционален суммарному числу клеток матриц дихотомического представления. На рис. 1 приведено дихотомического представление для случая п=4 и двух крайних структур. Структура рис. 1 а является ветвью дерева (она максимально ассиметрична), что соответствует методу динамическое программирования

Беллмана. Максимальное число клеток (элементов) каждой матрицы равно произведению элементов нижележащих матриц (максимальное число эле-

ментов указано в скобках у вершин дерева).

а) (7) (16) б) (7)(щ

( Уї і І*4) ґЧ VI

({/Ай (у,) (у?)

Ы ҐО

(2)/\(2) (2)/ \(2) (2/ V)

(х0 (х0 ( Х| ) ( ) ( Хз ) ( Х4 )

Рис. 2. Дихотомическое представление бизнес-

процессов предприятия

Для структуры рис. 2а имеем три матрицы ( у1, у2 и 2) с суммарным числом элементов.

4+8+16=28

Для структуры рис. 2б также имеем три матрицы с суммарным числом элементов.

4+4+6<28

Нетрудно вычислить суммарное число элементов для любого п.

Для структуры рис.3.9 а.

Ы,(н) = Ы,(п -1) + 2 п Для структуры 3.9 б имеем: если п=2к, то

Ж2(п) = 2Ы1(к) + 2п если п=2к+1, то

Ъ(п) = Ы2(к) + Ы2(к+1)+2п Таблица значений N (п) и К2(п) для различных п приведена ниже.

Таблица 1

п 4 5 6 7

N1 28 60 124 252

N2 24 48 88 164

Легко видеть, что при больших п максимально симметричная структура примерно в два раза эффективнее Беллмановской структуры.

Пример 1. Пусть п=6. Данные о бизнесах приведены в таблице.

Таблица 2

І 1 2 3 4 5 6

а} 15 12 6 4 3 2

Ьі 7 6 4 3 2 1

Пусть фонд развития корпорации Я=9.

1 шаг. Решаем задачу оптимизации для первого и второго бизнес-процесса. Для этого строим матрицу (у0, первая строка которой соответствует вариантам для первого бизнеса (включать его в программу развития или не включать), а первый столбец - соответствующим вариантам для второго бизнеса. В каждой клетке матрицы записаны два числа. Верхнее число равно эффекту от бизнеса, а нижнее - затратам на его развитие. В клетке на пересечении второй строки и второго столбца естественно записывается суммарный эффект от развития двух бизнес-процессы и суммарные затраты на их развитие.

(уі) =

2 шаг. Решаем задачу для третьего и четвертого бизнес-процессов.________________________

ы=

4 з 10

Х4 Хз 6 4

3 шаг. Решаем задачу оптимизации для пятого и шестого бизнес-процессов._______________

2 // 1 5 / 3

Хб х5 3 2

4 шаг. Решаем задачу для первых четырех бизнес-процессов.

Оптимальное решение Атах= 18. Для определения этого решения движемся с конца, начиная с матрицы (у5) определяем:

У5 =(18;9), у4 =(15;7),

Из матрицы (у4) получаем:

У1=(15; 7), у2 =(0; 0)

(бизнесы 3 и 4 не развиваются, т. к. у2 =(0;0). Из матрицы у3 получаем:

х5=1; х6 =0.

Из матрицы (у1) получаем: х1=1; х2 =0.

Итак, в программу развития включаются два бизнеса - первый и пятый с эффектом А=8.

Учтем теперь ограничения несовместимости бизнес-процессов. Пусть несовместимыми являются бизнесы (1;5), (1;6), (5;6). Применим метод ветвей и границ.

1шаг. Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом - бизнес 1 включается в программу, а во втором - не включается.

Оценка первого подмножества очевидна А(1) = 15, так как при включении бизнеса 1 в программу больше ни один бизнес не может быть включен.

Оценка второго подмножества. Решаем задачу о ранце без первого бизнеса. Для этого применяем уже полученные матрицы, исключив из них все клетки, соответствующие бизнесу 1. Так в матрице (у1) исключается второй столбец, в матрице (У4 ) - третья строка, а в матрице (у5) - пятый

столбец.

Теперь оптимальное решение А(1) = 17.

2 шаг. Выбираем второе подмножество. Соответствующее решение х2 = х5 = х6 =1,

остальные х{= 0. Поскольку бизнесы 5 и 6 несовместимы, то разбиваем второе подмножество на два. В первом из них бизнес 5 включается в программу, а во втором - не включается.

Оценка первого подмножества. Поскольку х5 =1, то х6 =0. Поэтому исключаем из матрицы все строки и столбцы, соответствующие значению х6 = 1. а именно, в матрице (у3) исключаем вторую строку, в матрице (у5 ) - первую и третью строки (заметим, что поскольку х=0, то в матрице (xi) был также исключен пятый столбец). Получаем решение с величиной А(1 ;5) = 15.

Оценка второго подмножества. Поскольку Х5 = 0, то исключая из матриц соответствующие строки и столбцы, получаем

а(1;5)=14.

Выбираем первое подмножество. Ему соответствует следующее решение: х2 = х6 = 1, остальные х{ = 0. Поскольку бизнесы 2 и 6 совместимы, то полученное решение является допустимым, а значит оптимальным. Дерево ветвлений приведено на рис. 3.

т f и)

(ЯJ/\(5) (15] [14

Рис. 3. Дерево ветвлений

Мы получили два оптимальных решения с величиной эффекта А = 15:

1. х1 = 1, остальные х{ = 0.

2. х2 = х6 = 1, остальные xi = 0. Заключение

Таким образом, получен способ решения задачи оптимизации бизнес-процессов с учетом ограничений на их число с помощью метода дихотомического программирования.

Литература

1. Бурков В.Н., Буркова И.В., Горгидзе И.А. и др. Задачи управления в социальных и экономических системах. - М.: Синтег, 2005.

2. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять организациями. - М.: Синтег, 2004.

3. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять проектами. - М: Синтег, 1997.

4. Бурков В.Н., Агеев И.А., Баранникова Е.А., Крюков С.В., Семенов П.И. Механизмы

корпоративного управления. - М. 2004 (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН). - 110 с.1

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

Старооскольский технологический институт (филиал Московского института стали и сплавов)

OPTIMIZATION BUSINESS-PROCESSES OF THE ENTERPRISE IN VIEW OF RESTRICTIONS

ON THEIR NUMBER

V.E. Belousov, L.N. Kraht, I.V. Potsebneva

In present clause the way of the decision of a problem of optimization business-processes of the enterprise in view of restrictions on their number by means of a method of dichotomizing programming is considered

Key words: business, a matrix, programming, representation