CC BY
56
УДК 654.18. 4
РАЗРАБОТКА СОГЛАСОВАННОГО КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ
А.И. Половинкина
Рассматривается задача определения программы обеспечения безопасности, позволяющая преобразовать в календарный план работ. Для этого, помимо стоимости работ, определяются их нормативные продолжительности
Ключевые слова: безопасность, календарный план, нормативная продолжительность
Введение
В работе [1] поставлена и решена задача формирования и программы обеспечения безопасности технических систем (ГТС), то есть набора мероприятий (работ), выполнение которых дает заданную величину комплексной оценки уровня безопасности ГТС и требует минимальных затрат финансовых ресурсов. Эту программу необходимо преобразовать в календарный план работ. Для этого, помимо стоимости работ, определяются их нормативные продолжительности.
Продолжительности работ определяются на основе соответствующих нормативов (если имеется нормативная база), либо экспертным путем. Часто в качестве экспертов выступают исполнители работ. Если организуется тендер на выполнение работ, то их стоимость и продолжительность являются одним из факторов, которые принимаются во внимание при определении победителей. Следует отметить, что различные работы программы связаны между собой, в том смысле, что существует необходимая очередность в выполнении тех или иных работ.
Постановка задачи
Наиболее распространенными являются связи между парами работ, которые называются зависимостями. Зависимость двух работ означает, что одну из них нельзя начинать, пока не закончена другая. Это зависимость типа «старт-финиш».
Существуют еще три типа зависимостей: «финиш-финиш» (одну работу нельзя закончить, пока не закончена другая), «финиш-старт» (одну работу нельзя закончить, пока не начата другая) и «старт-старт» (одну работу нельзя начать, пока не начата другая), но они встречаются гораздо реже.
Анализ зависимостей между типичными работами программ обеспечения безопасности ГТС показал, что они относятся к типу «старт-финиш». Такие зависимости удобно представлять в виде сетевого графика. Пример такого графика приведен на рис. 1.
Половинкина Алла Ивановна - ВГАСУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732) 76-40-07
Рис. 1
Работам соответствуют вершины сетевого графика, а зависимостям между работами - дуги. Номера работ указаны в верхней части соответствующей вершины, их продолжительности - в нижней левой, а ранние моменты окончания - в нижней правой. Продолжительность всей программы Т0 определяется длиной критического пути (самого длинного пути в сетевом графике). В нашем примере продолжительность программы составляет 15 месяцев. Если полученный срок завершения программы не удовлетворяет требуемому сроку (Т0> Т^, то необходимо принять меры к сокращению продолжительностей ряда работ так, чтобы длина критического пути была не больше Тдир.
Сокращение продолжительности работ, естественно, потребует увеличения затрат. Задача заключается в сокращении продолжительности работ таким образом, чтобы программа была реализована в требуемые сроки, а дополнительные затраты были минимальными. Это известная в управлении проектами задача оптимизации сети по стоимости [1,2].
Существуют методы ее решения для кусочно-линейных и выпуклых зависимостей стоимости работы от ее продолжительности.
На практике, зависимость стоимости работы от ее продолжительности является часто дискретной, то есть имеется конечное число вариантов, отличающихся по стоимости и продолжительности. В этом случае задача становится сложной комбинаторной задачей, для решения которой необходимо применять методы дискретной оптимизации.
Рассмотрим сначала случай полной информированности, когда заданы все возможные варианты выполнения работ, отличающиеся по стоимости и эффективности. Покажем, что для описанной задачи можно применить метод дихотомического программирования [3].
Теорема 1. Продолжительность программы, как функция продолжительностей работ, допускает дихотомическое представление.
Доказательство. Обозначим через Qi множество работ, непосредственно предшествующих работе i. Пусть R - множество конечных работ сетевого графика, то есть работ, не имеющих исходящих дуг.
Очевидно, что
T = max ti i е R
где ti - момент окончания работы i.
Как известно, функция «max» допускает дихотомическое представление. В свою очередь
ti = Tj +©j
где ii - продолжительность работы i,
©i = max tj j е Q,
момент начала работы i.
Обе функции и ti, и ©i допускают дихотомическое представление. Далее
где
и т. д.
V V j
©j = max tq
q е Qj
Таким образом, момент завершения программы Т, как функции продолжительности работ т допускает дихотомическое представление.
На рис. 2 приведено дихотомическое представление для сетевого графика (рис. 1).
В вершинах сети приведены соответствующие функции (это либо взятие максимума двух переменных, либо сумм двух переменных).
Определение 1. Последовательным множеством работ называется подмножество работ сетевого графика, образующих путь такой, что любая вершина, за исключением начальной, имеет степень захода 1, и любая вершина, за исключением конечной имеет степень исхода 1 (рис. 3).
Заметим, что последовательное множество работ можно агрегировать в одну работу с зависимостью затрат от продолжительности, получаемой в результате решения задач минимизации затрат при различных продолжительностях для этого множества.
Определение 2. Параллельным множеством работ называется подмножество работ сетевого графика, у которых множество неопределенно предшествующих работ одно и то же, и множество непосредственно следующих работ одно и то же.
Параллельное множество работ можно агрегировать в одну работу с зависимостью затрат от продолжительности, получаемой в результате решения задачи минимизации затрат, при различных продолжительностях для этого подмножества.
Определение 3 Сетевой график называется агрегируемым, если путем агрегирования последовательных и (или) параллельных множеств работ его можно свести к одной работе.
Теорема 2 Для того, чтобы продолжительность программы Т(т) допускает дихотомическое представление типа дерева необходимо и достаточно, чтобы сетевой график был агрегируемым.
Необходимость. Пусть Т(т) допускает дихотомическое представление типа дерева. Будем рассматривать операции свертки двух переменных, двигаясь «снизу-вверх», то есть от висячих вершин дерева, соответствующих отдельным работам, к корневой вершине. Каждая операция свертки либо является суммой двух переменных, либо максимумом двух переменных. Покажем, что, если это сумма, то соответствующие работы образуют последовательное множество.
Действительно, если предшествующая работа имеет степень исхода больше единицы, то ее продолжительность будет использована еще хотя бы в одной операции свертки, а это противоречит дихотомическому представлению типа дерева. Если последующая работа имеет степень захода больше единицы, то мы не можем применять операцию суммирования. Действительно, в этом случае время начала этой работы определяется операцией максимума.
Пусть операция свертки является операцией максимума. Покажем, что в этом случае эти работы образуют параллельное множество. Если работы имеют разные множества непосредственно предшествующих работ, то в общем случае они могут начинаться в разные моменты времени.
Аналогично, если работы имеют разные множества непосредственно следующих работ, то нельзя утверждать, что моменты начала работ этих
множеств определяются максимальным из моментов окончания рассматриваемых работ. Следовательно, для того, чтобы операция взятия максимума была корректной во всех случаях, необходимо чтобы обе работы имели одни и те же множества непосредственно предшествующих работ, а так же одни и те же множества непосредственно следующих работ, то есть образовывать параллельное множество. Фактически мы показали, что дерево свертки является деревом агрегирования работ в одну агрегированную работу.
Достаточность. Пусть сетевой график агрегируем. В этом случае достаточно очевидно, что дерево агрегирования представляет собой укрупненное описание дерева свертки. Действительно, операцию взятия максимума продолжительностей нескольких работ, образующих параллельное множество, легко представить в виде дихотомического представления типа дерева. Аналогично, операцию суммирования продолжительностей нескольких работ также легко представить в виде дихотомического представления типа дерева. Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим сетевой график рис 2.
Представим работу 1 в виде двух работ 1а и 1Ь (рис. 4).
При этом работа 1а связана дугой (1а; 4) с работой 4, а работа 1Ь связана дугой (1Ь; 3) с рабо-
Рис. 4
Заметим, что если продолжительности работ совпадают, то такое преобразование не влияет на результаты сетевого графика. Не трудно убедиться, что полученный сетевой график агрегируем.
Дерево агрегирования приведено на рис. 5.
Как показано в теореме, это дерево агрегирования определяет дихотомическое представление типа дерева функции Т(т). В данном случае дерево агрегирования является дихотомическим представлением, поскольку все операции агрегирования содержат по две переменных.
Получив дихотомическое представление, мы можем применить метод дихотомического программирования. Для рассматриваемого примера в таблице 1 приведены данные о возможных вариантах затрат и продолжительностях работ.
Таблица 1
№ работы 1а 1Ь 2 3 4
№ варианта 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Ъ 7 4 7 4 10 5 5 2 6 4
С1 6 10 6 10 5 8 4 9 7 12
Дихотомическое представление функции Т(т), построенное на основе дерева агрегирования (рис. 2 и таблица 1), представлено на рис.6.
В верхних треугольниках каждого квадрата указаны продолжительности работ (либо агрегированных работ), а в нижних - затраты.
При построении дихотомического представления мы исключили заведомо не оптимальные варианты. Так в матрице 23 клетка со значением 23 = 14 и затратами 26 исключается из рассмотрения, поскольку существует клетка со значением 23 = 13 и затратами 24, то есть лучшая и по продолжительности, и по затратам.
Аналогично, в матрице 24 исключается клетка 23 = 11, С(23) = 18, поскольку существует «лучшая» клетка = 10, С(23) = 17.
Рис. 6
Теперь можно получить решение задачи минимизации затрат при любом значении Т. Рассмотрим, например, случай Т = 13.
I шаг. В верхней (корневой) матрице дихотомического представления (рис 6) среди всех клеток с продолжительностью программы Т = 13. Находим клетку с минимальными затратами. Эта клетка выделена на рис 6. Ей соответствует Ъ3 = Ъ4 = 13.
II шаг. Рассматриваем матрицу Ъ3 и среди клеток со значением Ъ3 =13 находим клетку с минимальными затратами. Это клетка т5 =3, Ъ2 = 10.
III шаг. Рассматриваем матрицу Ъ4 и находим клетку со значением Ъ4 = 13. Ей соответствует ті4 = 7 и т4 = 6.
!Ушаг. Рассматриваем матрицу Ъ2, и среди клеток со значением Ъ2=10, находим с минимальными затратами. Ей соответствует Ъ1 = 9, т2=10.
У шаг. Рассматриваем матрицу Ъ, и среди клеток со значением Ъ1=9 находим с минимальными затратами. Ей соответствует т1Ь = 4 и т3 = 5.
Окончательно получаем решение
т1а = 7, т1Ь = 4, т2 = 10, т3 = 5, т4 = 6, т5 = 3.
Продолжительность программы составляет Т = 13, а затраты С = 37.
Заметим, что т1а Ф т1Ь. Поэтому полученная величина затрат дает оценку снизу для исходной задачи. Попробуем улучшить эту оценку, изменив распределение затрат между работами 1а и 1Ь. А именно, положение при т1а= 7, С1а = 8, а С1Ь = 4 (рис. 7). Повторяя описанные выше шаги алгоритма, получаем решение:
15 18 15 40 15 35 15 33
£ 13 45 13 40 13 38
12 12 12 13 41
26 48 43
9 9 10 13
32 54 49 47
8 8 10 55 13
38 60 53
ъ, 8 10 и<
Ъ, 22 17 15
1 9 32 12 26 13 23 13
12 29 14* 24
* 2 11 3 38 11* 32
5 її 6 27 9 21 ю ( 18 э 13
С 11 20 13 15
8 10
4 22 17
10 с
1 К
а 4 6
4 12 7
О
4
10
С
6
19
■0
її
!( 8 % 12 13 Г*
Г ІІЬ
.. 13 ' 21 ►13
6 19 6 27 1 0 24
I і 2 5 8 С 5
Рис. 7
т1а = т1Ь = 7, т2 = 10, т3 = 2, т4 = 6, т5 = 3 с продолжительностью программы Т = 13 и затратами С = 38.
Так как т1а = т1Ь, то это решение является допустимым для исходной задачи, а значит оптимальным.
Рассмотрим вариант Т = 12 для дихотомического представления (рис. 6). Действуя, как описано выше, получаем решение:
Т1а = Т1Ь = 4, Т2 = 5, Т3 = 5, Т4 = 6, Т5 = 3 с величиной затрат С(12) = 44. Поскольку т1а = т1Ь, то это решение оптимально.
Аналогично рассматриваем все другие варианты Т = 8, 9, 10, 15. Окончательно получаем зависимость затрат на программу от ее продолжительности (табл.2).
Таблица 2
Продолжительность Т 8 9 10 12 13 15
Затраты С 60 54 49 44 37 33
Литература 3. Бурков В.Н. Новиков Д.А. Как управлять ор-
1. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять ганизациями. - М.: СИНТЕГ, 2004. проектами. М.: Синтег, 1997. - 188 с.
2. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. М.: СИНТЕГ, 1999. -128 с.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
DEVELOPMENT OF THE COORDINATED PLANNED SCHEDULE OF REALIZATION OF THE
PROGRAM OF THE SAFETY
A.I. Polovinkina
The problem of definition of the program of the safety is considered, allowing to transform to the planned schedule of works. For this purpose, besides cost of works, their normative durations are defined
Key words: safety, the planned schedule, normative duration
