Оптимальный вывод твёрдого тела с одной неподвижной точкой на программное движение с учётом сопротивления среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Сапунков Я. Г. Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9. С. 145-147.

УДК 629.78

Я.Г. Сапунков, A.B. Молоденков, А.Н. Державина

ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫВОД ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ

НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ НА ПРОГРАММНОЕ ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Решение задачи оптимального управления о выводе твердого тела с одной неподвижной точкой на программное движение с учетом момента сопротивления принципом максимума Понтрягина сводится к решению краевой задачи, которая решается методом Ньютона. Приводятся результаты численного решения задачи с учетом и без учета сопротивления среды.

1. Вращательное движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием управляющего момента М и момента сил сопротивления — (в + М) U (А = const > 0, i = 1, 2) описывается системой уравнений [1]:

^ = 1l (Л) и , du = RoM — Ri Ми (1)

где t — врем я; Л = (Л0, Л1, Л2, Л3) — кватернион положени я тела; и = (и1, и2, и3) — вектор угловой скорости и его проекции на оси подвижной системы координат, оси которой совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки тела; A,B,C — главные моменты инерции, L (Л) , Rq , R1 (и) — матрицы, определенные в [1]. На управляющий момент наложено ограничение

|M| < M*. (2)

Вращательное программное движение тела описывается кватернионным соотношением Л = Лрг(р), 0 < t < то. Вектор угловой скорости программного движения upr(t) связан с Лрг(р) уравнением

dtp = 2L (ЛРГ) иРг (t).

t

Л = An , и = un. (3)

Условие вывода управляемого тела на программное движение при t = tT=?

vect ^A (tT) о ÄprJ = 0, и = upr . (4)

Требуется найти оптимальное управление М = М(£), удовлетворяющее ограничению (2), которое выводит управляемую систему (1) из начального состояния (4) на программное движение и сообщает минимальное значение функционалу качества

Ьг

I = У (а 1 + а2|М|) (£, « > 0 , а2 > 0 . о

2. Для решения задачи с помощью принципа максимума составляется функция Гамильтона - Понтрягина с сопряженными переменными р , ф:

Морь = ,р0ф М*, |Ло ф (£)| > «2, Морь = 0. (6)

Н = - («1 + «2|М|) + 2 (р , Ь (Л) и) + (ф, ЛоМ - Я1 (и) и), р = (ро , Р1 , Р2 , Рз) , ф = (ф1 , ф2 , фз) .

Сопряженные переменные удовлетворяют системе уравнений

Ж = 2Ь (Р) и,? = - 2ЬТ <Л' Р + * (и) ф, (5)

где ЬТ(Л) — транспонированная матрпца, Л2 (и) — матрица.

Из условия максимума для функции Гамильтона - Понтрягина следует, что оптимальное управление МорЬ(£) определяется по формуле

Лоф (£) |Лоф (£)|

Согласно условию (4) правый конец траектории в фазовом пространстве Л х и должен находиться на перемещающемся многообразии и, следовательно, на нем должны выполняться условия трансверсальности

(р , Лрг) = 0, н = 1 (Р, ь (Л) ирг) + (ф, (и^) . (7)

Решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (1), (5) с учетом (6) с граничными условиями (3) при £=0, условиями (4), (7) при £ = £т-

3. Для проведения расчетов вводятся безразмерные переменные по формулам т = £Т-1, г = иТ, и = ММ-1, а = А!-1, Ь = Я!-1, с = С!-1,

«2 = «2 М,, А = А Т!-1, А = &1-1, I* = ^3 (А2 + В2 + С2), Т =

Расчеты проводились при следующих значениях параметров: А = 0.25, /З2 = 0.125 «1 = 0.25, «2 = 0.35, а = 1.4324, Ь = 0.7358, с = 0.6377.

Начальное состояние управляемого тела определяется значениями кватерниона положения и вектора угловой скорости в безразмерных переменных Ло = 0.7898, Л1 = 0.2468, Л2 = -0.5528, Лз = 0.0987; п = 0.5, Г2 = 0.75, Гз = -0.75.

Начальное состояние для программного движения тела определяется значениями кватерниона положения и вектора угловой скорости в безразмерных переменных Л0рг = 0.0, Л1рг = 0.6, Л2рг = 0.8, Л3рг = 0.0, r1pr = 0.1, r2pr = -0.15, r'3pr = 0.1.

Угловое ускорение для программного движения тела постоянное и в безразмерных переменных определяется координатами £1 = 0.02,е2 = 0.01,

£з = -0.02.

Общее безразмерное время движения до вывода на программное движение составляет тк = 3.5435. На промежутке 1.3379 < т < 3.0759 управляющий момент равен нулю. На двух других промежутках времени модуль управляющего момента принимает постоянное максимальное значение. Результаты расчета без учета сопротивления показывают, что в этом случае общее безразмерное время движения т&=3.3682, причем па промежутке 0.5384 < т < 2.2954

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект №08-01-00310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я.Г., Молоденков A.B., Глазков К.А. Оптимальное управление угловым движением твердого тела е учетом сил сопротивления // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 216-219.

УДК 539.3

P.A. Сафонов

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОГО ИЗГИБА ПАРАЛЛЕЛОГРАММНЫХ ПЛАСТИН

Элементы, имеющие форму тонких пластинок, работающих на изгиб, являются составными частями многих конструкций и механизмов. Напряженно-деформированное состяние таких объектов можно исследовать методом сеток, вариационными методами, методом приведения, методом конечных элементов и другими методами. Одним из наиболее эффективных является метод спл айн-кол локации, в ходе которого двумерная задача сводится к одномерной и последняя решается численно [1]. Чаще всего для этого применяются методы Абрамова, Годунова или Виноградова [2, 3].

В статье рассматриваются тонкие пластинки, сечение которых срединной плоскоскостью имеет форму параллелограмма со сторонами а и b (рис. 1).

Разрешающее уравнение для определения прогиба пластинки имеет вид

DV2V2w(x, y, t) = q(x, y, t). (1)