CC BY
20
Ниже приводятся результаты расчетов в безразмерных переменных для а! = 0.2, а2 = 40, е = 0.1, 5 = 0.000125, что соответствует влиянию Луны на движение КА вокруг Земли с радиусом орбиты Я0= 38647.4 км. В таблице представлены координаты радиуса вектора положения и вектора скорости управляемого КА в начальный момент времени (первая строка), неуправляемого КА в начальный момент времени (вторая строка), те же величины в момент мягкой встречи без учета влияния Луны (третья строка) и с учетом влияния Луны (четвертая строка).
/ 1 ; Х2 К, уз
0.0 1.2100 0.0 0.0 0.0 0.9091 0.0
0.0 2.3100 0.7500 0.1750 -0.1006 0.6037 0.1409
19.8683 1.9433 -0.8998 -0.2100 0.3934 0.5743 0.1340
19.8683 1.9462 -0.8964 -0.2094 0.3922 0.5745 0.1340
Для перехода к размерным переменным необходимо использовать масштабы длины Я0= 38647.4 км, времени Т= 12034 с= 3.3428 ч, скорости V = 3.2115 км/с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я. Г. Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2003. Вып. 5. С. 171-174.
УДК 629.78
Я. Г. Сапунков, А. В. Молоденков, К. А. Глазков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ
ТВЕРДОГО ТЕЛА С УЧЕТОМ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ*
В статье с помощью принципа максимума Понтрягина решается задача об оптимальном управлении угловым движением твердого тела с одной неподвижной точкой с учетом момента сопротивления. Приводятся результаты численного решения с учетом и без учета сопротивления краевой задачи, к которой принцип максимума сводит задачу оптимального управления.
1. Вращательное движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием управляющего момента М и момента сил сопротивления ~(Р| + Р2 |<й|)ш, (р, = сопз1>0, / = 1,2) описывается системой уравнений:
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00347).
Л 2
1(Л) =
со
<Ло
= Яо М
-Л, -л2 -Л
А0 -А3 Л2
Лз А0 -л
-Л2 л, А0
Д0 =
со
А-] 0 0
0 В 0
0 0 С'
/Г'(С - ¿?) ©2
О
С~'(Я-Л)а>, С~'(р,+р2!ш|)
(1)
где t - время, Л = (Л0,А1,Л2,Аз) - кватернион положения тела, о) = (й)|,ю2,(йз) - вектор угловой скорости и его проекции на оси подвижной системы координат, оси которой совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки тела, А, В, С - главные моменты инерции. На управляющий момент наложено ограничение
|М( < М.. (2)
В начальный момент времени фазовое состояние определяется условиями:
? = О
Л = Л,
СО = СО >
(3)
В конечный момент времени, который заранее не задается, фазовое состояние тела задается условиями:
Г = /г=? уеа(л(гг)° Лг)=0, со = юг, (4)
где Ат -кватернион конечного положения тела.
Требуется найти оптимальное управление М - М(<), удовлетворяющее ограничению (2), которое переводит управляемую систему (1) из начального состояния (3) в конечное состояние (4) и сообщает минимальное значение функционалу качества 'г
/= /(а, +а2|м|)Л, а, >0, а2>0. (5)
о
2. Для решения задачи с помощью принципа максимума составляется функция Гамильтона - Понтрягина с сопряженными переменными р, ц/:
Я = -(а, + а2|М|) + ^(р, ДА)со) + (у,Я0М - Л,(со)со),
Р = (Ро > > Рг. Рз )> ¥ = (¥ 1,Ч/2,\|/3). Сопряженные переменные удовлетворяют системе уравнений
ш 2 ш 2
(6)
iLll 1
HJJ 5
to [СО2
N
<0,(03 1
м в
(А - С)со3 + р2 —¡^р
Р.+Р2
(А - С)со, +р2
l!
(В-Л)со2+р2^1
(В - Л)сО| +р
CDjCOJ
- Р,+МИ)+:
V !
где I (Л) - транспонированная матрица.
Из условия максимума для функции Гамильтона — Понтрягина следует, что оптимальное управление М„„,(0 определяется по формуле:
если |Л0у(/)|>а2 , иначеМор, =0.
(8)
Согласно условию (4) правый конец траектории в фазовом пространстве Лхш является подвижным и, следовательно, на нем должно выполняться условие трансверсальности
(р,Лг)=0. (9)
Решение задачи оптиматьного управления сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (1), (7) с учетом (8) с граничными условиями (3) при t =0, условиями (4), (9) и условием Н = 0 при Г = tr-
3. Удобно ввести вместо кватернионной переменной р векторную переменную v с помощью соотношения
v=Ir(A)p, v = (v„v2,v3). (10)
Система сопряженных уравнений (7) с участием v примет вид
£ = [«у], fJU-Iv + ^Ич,, (11)
at at 2
а функция Гамильтона - Понтрягина предстанет в виде
Я = -(а | +а2|М|)+^(у,о))+(ч»,Л0М-Л,(ю)©). (12)
Тогда решение задачи оптимального управления сведется к решению краевой задачи для системы уравнений (1), (11) с учетом (8) с граничными условиями (3) при t = 0, условиями (4) и условием //=0 при t = tT.
4. Для численного решения краевой задачи п. 3 с использованием ЭВМ составлена программа на языке PASCAL, в которой реализована комбинация метода Ньютона и градиентного метода. На рис. 1 с учетом момента сопротивления представлены графики изменения компонент кватерниона Л, угловой скорости и управляющего момента. Результаты расчетов представлены в безразмерных переменных:
X = f 7 1, г = <аГ, u = М МГ1, а = Л 7,' ,Ь = В1.1 , с = С/,"\
а2=а2М,, (3, =Р, 77."1 , Р2=Р2/;
Т.Щ. „3,
Расчеты проведены для следующих исходных данных: Р, = 0.25, Р2 = 0.125, а, = 0.25, а2 = 0.35, А = 1.4324, В = 0.7358, С = 0.6377; т = 0, Л0 = 0.7898, Л, =0.2468, Л2 =-0.5528, Л3 =0.0987, г, =0.5, г2=0,75, г3=- 0.75;
т = тг, Д0 =0.0, Л, =0.6, Л2 =0.8, Л3 =0.0, г, =0.0, г2 =0.0, г3= 0.0.
Рис. 1
Время движения тт = 3.7249, интервал движения с М = 0 1.1976 <г< 3.2669.
На рис. 2 для тех же исходных данных приведены результаты расчетов без момента сопротивления. В этом случае время движения тГ= 3.3682, интервал движения с М = 0 0.5384 < т < 2.2954.
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я. Г., Моподенков А. В. Оптимальное управление угловым движением твердого тела с произвольным распределением массы // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Сб. тр. Междунар. конф. Саратов, 14-19 окт. 2002 г. ИГ1ТМУ РАН. Саратов, 2002. С. 102 - 104.
