ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ КРУГЛЫХ БИМОРФНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

ОПТИМАЛЬНЫИ ВЫБОР ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ КРУГЛЫХ БИМОРФНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН

© Д. А. Шляхин, О. В. Ратманова*

Самарский государственный технический университет Россия, 443100 г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

*Email: [email protected]

Разработана математическая модель расчета биморфных пластин. Рассмотрены многослойные сплошные жестко и шарнирно закрепленные конструкции, в работе которых используется принцип обратного пьезоэффекта. Построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач теории электроупругости для многослойных конструкций методом конечных интегральных преобразований.

На основании анализа численных результатов расчета, представлены практические рекомендации по проектированию пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов. Разработан алгоритм оптимизации работы рассматриваемых конструкций путем подбора их геометрических размеров и используемого материала, позволяющий наиболее эффективно преобразовать приложенную электрическую нагрузку в механические перемещения. Кроме того, представленные результаты дают возможность уточнить допущения о характере распределения электрического поля, которые необходимо использовать при проектировании биморфных конструкций других конфигураций, расчет которых возможен только с помощью прикладных теорий для тонких пластин.

Ключевые слова: биморфная пьезокерамическая пластина, нестационарная осесиммет-ричная задача, конечные интегральные преобразования.

Введение

В различных технических устройствах широко используются пьезокерамические преобразователи в виде тонких биморфных пластин [1-5]. Данные конструкции представляют собой симметричные или асимметричные многослойные системы, состоящие из электроупругих и упругих тонких элементов. Изгибные колебаний, в случае использования явления обратного пьезоэффекта, создаются с помощью электрического напряжения, приложенного на электродированные поверхности пьезоке-рамических пластин.

Для наиболее эффективного преобразования электрической энергии в механические колебания возникает необходимость углубленного анализа связанности физических полей различной природы в многослойных конструкциях. Для решения данной проблемы используется теории электроупругости в пространственной постановке [6-7], математическая постановка которых включает сложные расчетных соотношений в частных производных. Для их реализации, как правило, используются прикладные теории, в которых применяются различные кинематические гипотезы и допущения о характере распределения напряженности электрического поля в пьезокерамических пластинах [8-14].

В настоящей работе на основании представленного алгоритма расчета нестационарных осе-симметричных задач для шарнирно и жестко закрепленных сплошных биморфных пластин в трехмерной постановке (без использования упрощений), а также анализа численных результатов, разработаны практические рекомендации по оптимизации работы рассматриваемых конструкций. Кро-

ме того, для пластин, имеющих другое конструктивное решение, работу которых можно исследовать только с помощью прикладных теорий, сформулированы законы изменения электрического поля.

Постановка задачи

В общем случае круглая биморфная конструкция, занимающая в цилиндрической системе координат (г,в,) (г*, 9, 7область О:

{0 < г < Ь, 0<в<2л, 0< < А*},

представляет многослойную систему в виде жестко соединенных между собой электроупругих (пьезо-керамических) и упругих тонких пластин. Для определенности рассмотрим два конструктивных решения (рис. 1а, б): 1) электроупругая система состоит из двух пьезокерамических пластин высотой А (А * = 2А[*); 2) конструкция включает металлическую подложку толщиной А* и две пьезокерамические пластины (А = 21\+ А*).

Изгибные осесимметричные колебания конструкций индуцируются в результате подведения к торцевым электродированным поверхностям пье-зокерамических пластин, выполненных из материала гексагональной системы класса 6тт [15] с параллельным направлением вектора аксиальной поляризации, электрического напряжения V*(г , К ).

Рассматриваются случаи жесткого и шарнирного закрепления цилиндрической поверхности электроупругих систем.

V '(к,и)

»

К

z.

а)

V*(к,4)

б)

Рис. 1. Расчетная схема биморфных пластин.

Математическая формулировка рассматриваемых начально - краевых задач в безразмерной форме включает [7]:

- систему линейных осесимметричных дифференциальных уравнений движения и электростатики относительно компонент вектора перемещений и, Ж, а также потенциала электрического

поля ф :

LpmN(r, z, t) = 0 (p, m = 1,з)

(1)

- механические и электрические граничные условия:

D , = 0.

r\r=1

г = 0,1 ж(0,2, г)<<», и (о, 2, г)<<х>

ф(0,2,г) <ГО,

ж (1,2, г ) = о,

жесткое закрепление: и (1,2, г) = 0; шарнирное закрепление: а^ (1,2, г) = 0;

2 = 0, И а=а= о,

(2)

(3)

(4)

(5)

конструктивное решение 1 (рис. 1а): ф = V (г,г) /2, конструктивное решение 2 (рис. 1б): ф = +у (г,г) / 2;

z = к , К + К2

a„(z + 0) = CTzz (z - 0).

^ rz (z + 0) = &rz (z - 0).

(6)

ж (2 + 0) = Ж (2-0), и (2 + 0) = и (2 - 0),

конструктивное решение 1 (рис. 1а):

ф( И, 2, г) = -V (г,г)/2, конструктивное решение 2 (рис. 1б): ф = 0; - начальные условия:

г = 0 и (г, 2,0) = Ж(г, 2,0) = 0,

dü (r, z, t) dW (r, z, t)

dt

dt

= 0;

(7;

\t=0

где Ь - дифференциальные операторы в частных

рт

производных

t = t*b~\\C

й/д

N (r, z, t) = [ü (r, z, t), W (r, z, t), ф(т, z, t)]°, [ü,W,h,r,z]= [ü*,W*,h*,r*,z*]/b ,

— компонен-

[ф, V]=ф , V * ] ^ / (ф ) , и*Жф

ты вектора перемещений и потенциал электриче-с ко го по ля в размерной форме, а к- компоненты

тензора напряжений (р, к = г, 2), Ц - радиальная компонента вектора индукции электрического поля, С1(1),р(1) - модуль упругости и плотность анизотропного пьезокерамического материала.

Следует отметить, что при исследовании упругой среды (рис. 1б) система (1) состоит только из уравнений движения, сформулированных относительно компонент вектора перемещений, а при формировании соотношений (6) для первого конструктивного решения (рис. 1а) условия совместности механических напряжении и перемещений при 2 = И + И отсутствуют.

Построение общего замкнутого решения

Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований с последовательным использованием преобразования Фурье-Бесселя [16] по радиальной координате г и обобщенного преобразования [17] по аксиальной переменной 2. При этом каждый раз предварительно выполняется процедура стандартизации [18] (приведение граничных условий к виду, позволяющему применить соответствующее преобразование).

Трансформанты Я (п, 2, г ), G (Хш, п, г) и

формулы обращения соответствующих преобразований имеют вид:

R(n, z, t) = J N(r, z, t)p(n, r )rdr,

0

__ад __

N*=£Ц—1■ PR ,

n=0

h _ _ G(4, n, t ) = J Y (Äin, z )R>, z, t )d

h

r

t=0

b

b

r

k

Я'=£ GK\\Kin

(9)

где p = [am„] - диагональная матрица 3-го по-

а22 = a33 = J0 (jnr ))

Jn

по-

РяДка ( a11 = J1 (Jnr ), ложительные нули функций J (jn ) при жестком и

Jq(Jn) шарнирном закреплениях (n = 0,1,2...), R = H к + R , h - трехкомпонентная ( к = 1,2,3)

стандартизирующая

вектор

Г = [K1,K24 k = [K1,K2,K3P

функции, - положительные параметры, образующие счетное множество (г = 1,2,3...); О,|| 12 - квадрат нормы ядра преобразований.

В результате получаем расчетные соотношения для функций и, Ж, ф в виде спектральных разложений по найденной системе собственных функций К ^ К, которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных функций Бесселя:

N (r, z, t )= £ Q-1 P(n, r ) n=0

œ /

H- + £

к

, n, t )

i=1

K (^in, r I Kin

1-2

(70)

Круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра <оы связаны с зависимостью

с (1) с11

ч Р1.

Алгоритм решения начально-краевых задач (1)-(7) подробно описан в работах авторов [19-20].

Численный анализ результатов и выводы

На основании представленного алгоритма и разработанного программного комплекса получены численные результаты расчета, которые позволяют, путем подбора геометрических размеров и материала рассматриваемых конструкций, оптимизировать их работу, т.е. добиться наиболее эффективного преобразования приложенной электрической нагрузки в механические перемещения.

В качестве первого примера рассматривается жесткозакрепленная биморфная конструкция ( b = 14 х10-3 м), состоящая из двух пьезокерамических пластин состава ЦТС-19 (рис. 1а) и имеющая следующие физические характеристики материала:

2

{е31, е33, е15 } = {-4.9, 14.9, 10.6} Кл/м , fcn ,£зз} = {7-73, 7.26} х10-9 Ф/м, р = 7730 кг/м3,

ir(1) Г(1) Г(1) Г(1) Г(1)) )С11 , С33 , С12 ,С13 , С55 j

{10.9, 9.1, 6.1, 5.4, 2.4} х1010 H/м2.

Численные результаты расчета дают возможность сделать следующие выводы:

1) Для наиболее эффективного преобразования внешнего электрического воздействия в меха-

нические колебания на торцевых электродирован-ных поверхностях пьезокерамических пластин необходимо использовать систему разрезных кольцевых электродов (количество и размеры электродов определяют нулевые значения функции J ( j ) ) с

подключением соседних электродов в противофазе. Причем при сплошном электродном покрытии механические колебания в жесткозакрепленной конструкции не возбуждаются.

На основании данного вывода анализ напряженно-деформированного состояния и электрического поля биморфной пластины, работающей на первой резонансной частоте, проводится при использовании двух электродов на торцевых поверхностях с радиусом раздела а = 8.8х10-3м (R = a/b = 0.628). Для этого представляем электрическую нагрузку V ( r, t ) в виде:

V (r, t ) = V0 [H (r - r )-H (r - R )]sm ßt,

где V - амплитудное значение интенсивности в безразмерной форме, ß- относительная частота вынужденных колебаний ( ß = ß'b^Jр(1)/C^, ß*-

круговая частота вынужденных колебаний);

2) При проектировании изгибных преобразователей необходимо учитывать, что один из способов повышения чувствительности прибора является уменьшение его толщины. Это приводит к снижению жесткости конструкции и увеличению амплитудных значений вертикальных перемещений. Однако в этом случае наблюдается увеличение аксиальной компоненты векторов напряженности

E ( r, z, t) и индукции D ( r, z, t ) электрического поля (рис. 2а, б). Данный факт необходимо учитывать, поскольку при больших значениях Ez (r, z, t)

происходит деполяризация пьезокерамического материала. В частности, образование в пьезокера-мическом материале состава ЦТС-19 напряженности электрического поля более 300 кВ/м приводит к снижению численных значений коэффициентов диэлектрической проницаемости и пьезомодулей. В рассматриваемой системе оптимальная толщина h* = 0.2 х 10-3 м (v; = 20 В);

3) Сравнение численных значений аксиальной (рис. 2) и радиальной (рис. 3) компонент электрического поля позволяют сделать вывод, что при расчете пьезокерамических пластин с помощью прикладных теорий радиальными составляющими можно пренебречь, поскольку их численные значения существенно меньше соответствующих аксиальных величин. Кроме того, принимая во внимание, что в пределах электрода, аксиальная компонента напряженности по радиальной координате практически не меняется, на основании полученных результатов, можно для расчета сформулировать гипотезу о характере изменения напряженности электрического поля в виде простой зависимо-

Ег (r, z, t) = E2 (z, 0 = ±^ v (t) ( f(z)-

сти

мно-

гочлен, аппроксимирующий функцию (рис. 2, график 1)).

соответствующую

i=1

z / h 1

z / h

т

1 / t t t

/ 1 1 1 1

f »

1 \ l \

1 1 1

х103 — 500

0 500 1х103

2, г )х 300, £2(0,2,г )х 3, Ц (0,2,г)} / Vо {ф( 0, 2, г ) х 300, Ег (0, 2, г) х3, Ц (0,2, г)} / V

а) И* = 0.5х10-3 м б) И* = 0.25 х10-3 м

Рис. 2. Графики изменения амплитудных значений ф (г, 2, г), Ег ( г, 2, г) , Ц (г, 2, г) по высоте биморфной пластины при ¡3 = 0.8^ (1-£ , 2-Ц , пунктирная линия-ф , ^ - собственное значение, соответствующее первой частоте собственных осесимметричных колебаний).

г, г у 5, Ц ^ г, г 1! / V

-4 2

X/

1 .

—/

Рис. 3. Графики изменения амплитудных значений радиальных компонент вектора электрического поля по радиальной координате: 1 - £ , 2 - Ц (И; = 0.5 х10-3 м).

В качестве следующего примера рассматривается шарнирно закрепленная биморфная конструкция (рис. 1б), состоящая из металлической подложки и двух пьезокерамических пластин состава ЦТС-19. При этом подложка (И = 10-3 м) изготавливается из различных сплавов (дюралюминий - у = 0.34,

2 3

Е = 7.3 х 10 Н/м , р = 2800 кг/м ; латунь -

2 3

у = 0.35, Е = 9.8х 1010 Н/м , р = 8600 кг/м ;

Е, у, р- модуль упругости, коэффициент Пуассо-

на и плотность изотропного материала).

Данное конструктивное решение позволяет повысить прочностные свойства многослойной электроупругой системы, поскольку пьезокерамика является хрупким материалом.

Здесь принимается во внимание выражения для модулей упругости металлической подложки:

C(2) = C(2) = C11 C33

'(2) _ Г(2) _

Г<(2) _ r<(2> _

C12 C13

E Q—у)

(1 + у )(1 — 2у)'

Ey E

(1 + у )(1 — 2У )

r(2) _

2 (! + у)

2

1

2

/

/

4

— 400

— 200

200

400

8

6

4

2

0

r

2

0

Рассматривается работа электроупругой системы также на первой резонансной частоте. В этом случае для наиболее эффективного преобразования внешнего электрического воздействия на лицевых поверхностях конструкции используется сплошное электродное покрытие. Поэтому электрическая гармоническая нагрузка V ( r, t) представляется в виде:

V(r, t) = V sin ft

На рис. 4-7 изображены графики, характеризующие изменение по пространственным координатам и времени составляющих механических и электрических полей напряжений (f = 0.8¿).

На основании анализа результатов расчета можно сделать следующие выводы:

1. При заданных геометрических размерах конструкции физические характеристики материала подложки оказывают влияние на частотный спектр собственных колебаний (таблица) и практически не оказывают влияние на амплитудные значения вектора перемещений. На рис. 4 пунктирной линией обозначены результате расчета при использовании в качестве материала подложки латунь, а сплошной - дюралюминий;

2. Графики изменения амплитудных значений нормальных напряжений r, z, t) по радиальной

координате показывают, что при шарнирном закреплении пластины максимальные значения наблюдаются в центре пластины при z = 0,h (рис. 5). При

этом в области соединения двух элементов с разными физическими характеристиками присутствует разное значение напряжений;

3. Анализ графиков « и (г, 2, г) - 2 », представленных на рис. 6, показывает, что гипотезу плоских сечений, применяемую в прикладной теории для тонких систем, можно использовать также при исследовании составных тонких пластин, имеющих различные физические характеристики по высоте сечения;

4. Амплитудные значения вектора напряженности электрического поля £ (г, 2, г) по толщине

пьезокерамической пластины изменяется по линейной зависимости и данный характер не зависит от радиальной координаты. На рис. 7 цифрами 1, 2, 3 обозначены результаты при г = 0, 0.4, 0.8 . Причем

наибольшие значения £ (г, 2, г) наблюдаются в области соединения металлической и пьезокерами-ческой пластин (2 = И, И + И );

5. На основании полученных результатов, аналогично предыдущему примеру, можно сформулировать гипотезу о характере изменения напряженности электрического поля. При этом функция у ( 2 ) является линейной (рис. 7).

Таблица 1

Дюралюминий Латунь

¿11 ¿12 ¿3 ¿и ¿12 ¿13

h* = 0.2 х10-3 > м 0.057 0.296 0.716 0.059 0.312 0.756

h* = 0.5х10-3> м 0.072 0.373 0.888 0.082 0.427 1.020

W (0,0, t) / Vo

1x10"

5х10~

- 5х10~

1x104

200

400

600

t

0

0

а) h* = 0.2 х 10~3 м

w (0,0, t) / V

- 1x10'

100

200

300

400

500

б) = 0.5 х10-3 м

Рис. 4. Графики изменения Ж(0,0,Г) во времени Г (сплошная линия -подложка из дюралюминия, пунктирная - из латуни).

^ (Г, z,t) / V0

- 50

- 150

1

2 ф*

......-■ ■

0.2

0.4

0.6

Рис.5. Графики изменения амплитудных значений нормальных напряжений (г,г,Г) / V0 по радиальной координате (1 - г = / -0, 2- г = / + 0, пунктирная - г = 0).

и (г, г, Г) / V

/

\ 1

/ \ 2

Рис. 6. Графики изменения амплитудных значений радиальной компоненты вектора перемещений и (г, г, Г) по высоте пластины (1 - г = 1, 2 - г = 0.3).

3x10

2x10

1 x10

t

2x10

3x10

0

0

Г

100

0

z

0

100

50

0

50

00

Ег (г, z, t) / V0

2 \ V

V

/ 3

Рис.7. Изменения амплитудных значений аксиальной компоненты напряженности Ez (г, z, t) по высоте пластины ( 1- г = 0 , 2- г = 0.4, 3- г = 0.8).

В заключении следует отметить, что при действии гармонической электрической нагрузки использование допущения об установившемся режиме вынужденных колебаний, применяемое при исследовании большинства подобных динамических задач, можно применять, когда частота вынужденных колебаний существенно меньше первой моды собственных колебаний. При высокочастотном внешнем воздействии, вследствие наложения отраженных волн деформирования, наблюю-дается более сложная зависимость (рис. 4) и в этом случае необходимо использовать построенный авторами алгоритм расчета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подводные электроакустические преобразователи. Справочник / под ред. В. В. Богородского. Л.: Судостроение, 1983. 248 с.

2. Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer Verlag, 2010. 498 p.

3. Джагуров Р. Г. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. СПб.: Политехника, 1994. 608 с.

4. Домаркас В. И., Кажис Р-И. Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс: Минтис, 1975. 255 с.

5. Gabbert U., Tzou H. S. Smart Structures and Structronic Systems. London, Kluwer Academic Pub, 2001. 384 p.

6. Новожилов Ю. В. Электродинамика / Ю. В. Новожилов, Ю. А. Яппа. М.: Наука, 1978, 352 с.

7. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Шульга Н. А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев: Наук. думка, 1989. 279 с.

8. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester, J. of Power and Energy Eng. №3(2015). Р. 63-68.

9. Smits J. G., Dalke S. I., Cooney T. K. The constituent equations of piezoelectric bimorphs// Sensors and Actuators A, 1991. No.28, Р. 41-61.

10. Ватульян А. О. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложение // Изв. РАН. МТТ, 2007. №4. С. 114-122.

11. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov, K. Disk Bimorph-Type Piezoelectric Energy Harvester // Journal of Power and Energy Engineering, 2015. No. 3, Р. 63-68. Doi: org/10.4236/jpee.2015. 34010.

12. Петрищев О. Н. и др. Исследование параметров динамического напряженно-деформированного состояния асимметричных биморфных пьезокерамических элементов // Вюник ЧДТУ, 2013. №4. C. 38-48.

13. Янчевский И. В. Минимизация прогибов электроупругой биморфной пластины при импульсном нагружении // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. Харьков. 2011. Вып. 16. С. 303-313.

14. Шляхин Д. А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамической тонкой биморфной пластины // Изв. РАН. МТТ, 2013. №2. С. 77-85.

15. Бардзокас Д. И. Распространение волн в электроупругих средах / Д. И. Бардзокас, Б. А. Кудрявцев, Н. А. Сеник. М.: Комкнига, 2003. 336 с.

16. Снеддон И. Н. Преобразования Фурье. М.: изд-во иностр. лит., 1955. 668 с.

17. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований / Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1985. 174 с.

18. Шляхин Д. А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины // Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. 2011. №8(89). С. 142-152.

19. Shlyakhin D. A., Kazakoa O. V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multilayer plate // Procedia Engineering (2016) Vol. 153. Р. 662666. DOI information: 10.1016/j.proeng.2016.08.219.

20. Шляхин Д. А. Уточненное решение динамической задачи электроупругости для биморфной пластины // Вестник КРСУ. 2016. Т. 16. №5. С. 108-113.

z

3

5x10

0

140

- 130

120

- 110

- 100

90

Поступила в редакцию 22.01.2019 г.

OPTIMAL CHOICE OF GEOMETRICAL SIZES OF ROUND BIMORPHIC PIEZOCERAMIC PLATES

© D. A. Shlyakhin, O. V. Ratmanova*

Samara State Technical University 244 Molodogvardeyskaya Street, 443100 Samara, Russia.

*Email: [email protected]

A mathematical model for the calculation of bimorphic plates was developed. The authors considered multi-layered solid rigid and hinged structures, which involve the use of the principle of reverse piezoelectric effect. Closed solutions of non-stationary axisymme-tric problems of the electroelasticity theory for multilayer structures were formulated according to the method of finite integral transformations. Based on the analysis of numerical results of the calculation, practical recommendations for the design of piezoceramic transducers of resonance and non-resonance classes were presented. An algorithm for optimizing the operation of the structures under consideration by selecting their geometric dimensions and the material used, which enables the most effective transformation of the applied electrical load into mechanical displacement was developed. In addition, the presented results make it possible to clarify the assumptions about the nature of the electric field distribution; these assumptions are used in the design of bimorphic structures of other configurations, which calculation is possible only with the help of applied theories for thin plates.

Keywords: bimorphic piezoceramic plate, non-stationary axisymmetric problem, finite integral transformations.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Podvodnye elektroakusticheskie preobrazovateli. Spravochnik. Ed. V. V. Bogorodskogo. Leningrad: Sudostroenie, 1983.

2. Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer Verlag, 2010.

3. Dzhagurov R. G. P'ezoelektronnye ustroistva vychislitel'noi tekhniki, sistem kontrolya i upravleniya. Saint Petersburg: Politekhnika, 1994.

4. Domarkas V. I., Kazhis R-I. Yu. Kontrol'no-izmeri-tel'nye p'ezoelektricheskie preobrazovateli. Vil'nyus: Mintis, 1975.

5. Gabbert U., Tzou H. S. Smart Structures and Structronic Systems. London, Kluwer Academic Pub, 2001.

6. Novozhilov Yu. V. Elektrodinamika / Yu. V. Novozhilov, Yu. A. Yappa. Moscow: Nauka, 1978,

7. Grinchenko V. T., Ulitko A. F., Shul'ga N. A. Mekhanika svyazannykh polei v elementakh konstruktsii. Kiev: Nauk. dumka, 1989.

8. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester, J. of Power and Energy Eng. No. 3(2015). Pp. 63-68.

9. Smits J. G., Dalke S. I., Cooney T. K. Sensors and Actuators A, 1991. No.28, Pp. 41-61.

10. Vatul'yan A. O. Izv. RAN. MTT, 2007. No. 4. Pp. 114-122.

11. Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov, K. Journal of Power and Energy Engineering, 2015. No. 3, Pp. 63-68. Doi: org/10.423 6/jpee.2015. 34010.

12. Petrishchev O. N. i dr. Issledovanie parametrov dinamicheskogo napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya asimmetrichnykh bi-morfnykh p'ezokeramicheskikh elementov. Visnik ChDTU, 2013. No. 4. Pp. 38-48.

13. Yanchevskii I. V. Problemy vychislitel'noi mekhaniki i prochnosti konstruktsii. Khar'kov. 2011. No. 16. Pp. 303-313.

14. Shlyakhin D. A. Izv. RAN. MTT, 2013. No. 2. Pp. 77-85.

15. Bardzokas D. I. Rasprostranenie voln v elektrouprugikh sredakh / D. I. Bardzokas, B. A. Kudryavtsev, N. A. Senik. Moscow: Komkni-ga, 2003.

16. Sneddon I. N. Preobrazovaniya Fur'e. Moscow: izd-vo inostr. lit., 1955.

17. Senitskii Yu. E. Issledovanie uprugogo deformirovaniya elementov konstruktsii pri dinamicheskikh vozdeistviyakh metodom konech-nykh integral'nykh preobrazovanii / Saratov: izd-vo Sarat. un-ta, 1985.

18. Shlyakhin D. A. Vestnik Samarsk. gos. un-ta. Estestvennonauchn. seriya. 2011. No. 8(89). Pp. 142-152.

19. Shlyakhin D. A., Kazakova O. V. Procedia Engineering (2016) Vol. 153. Pp. 662-666. DOI information: 10.1016/j.proeng.2016.08.219.

20. Shlyakhin D. A. Vestnik KRSU. 2016. Vol. 16. No. 5. Pp. 108-113.

Received 22.01.2019.