Оптимальное конструктивное решение круглых многослойных биморфных пластин Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 539.3

БОТ: 10.18698/2308-6033-2019-1-1844

Оптимальное конструктивное решение круглых многослойных биморфных пластин

© Д.А. Шляхин, О.В. Ратманова Самарский государственный технический университет, Самара, 443100, Россия

Разработана математическая модель расчета биморфных пластин. Рассмотрены многослойные сплошные жестко и шарнирно закрепленные конструкции, в работе которых используется принцип обратного пьезоэффекта. Построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач теории электроупругости для многослойных конструкций методом конечных интегральных преобразований. На основании анализа численных результатов расчета представлены практические рекомендации по проектированию пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов. Разработан алгоритм оптимизации работы рассматриваемых конструкций путем подбора их геометрических размеров и используемого материала, позволяющий наиболее эффективно преобразовывать приложенную электрическую нагрузку в механические перемещения. Кроме того, представленные результаты дают возможность уточнить допущения о характере распределения электрического поля, необходимые при проектировании биморфных конструкций других конфигураций, расчет которых возможен только с помощью прикладных теорий для тонких пластин.

Ключевые слова: биморфная пьезокерамическая пластина, нестационарная осе-симметричная задача, конечные интегральные преобразования

Введение. В различных технических устройствах широко используются пьезокерамические преобразователи в виде тонких биморфных пластин [1-5]. Такие конструкции представляют собой симметричные или асимметричные многослойные системы, состоящие из электроупругих и упругих тонких элементов. В случае использования явления обратного пьезоэффекта изгибные колебания создаются с помощью электрического напряжения, приложенного к электродированным поверхностям пьезокерамических пластин.

Для наиболее эффективного преобразования электрической энергии в механические колебания необходим углубленный анализ связанности физических полей различной природы в многослойных конструкциях. Для решения этой проблемы применяется теория электроупругости в пространственной постановке [6, 7]. Математическая ее постановка включает сложные расчетные соотношения в частных производных. Для их реализации, как правило, используются прикладные теории, в которых применяются различные кинематические гипотезы и допущения о характере распределения напряженности электрического поля в пьезокерамических пластинах [8-14].

Цель настоящего исследования — разработать практические рекомендации по оптимизации функционирования рассматриваемых конструкций на основании представленного алгоритма расчета нестационарных осесимметричных задач для шарнирно и жестко закрепленных сплошных биморфных пластин в трехмерной постановке (без использования упрощений), а также анализа численных результатов. Кроме того, для пластин ступенчато переменной толщины, работу которых можно исследовать только с помощью прикладных теорий, сформулированы гипотезы изменения электрического поля.

Постановка задачи. В общем случае круглая биморфная конструкция, занимающая в цилиндрической системе координат

(г*, 9, г*} область О: {0 < г < Ь, 0 < 9< 2 л, 0 < г» < к*|, представляет

собой многослойную систему в виде жестко соединенных электроупругих (пьезокерамических) и упругих тонких пластин. Для определенности рассмотрим два конструктивных решения: 1) электроупругая система состоит из двух пьезокерамических пластин высотой к* (к* = 2/*) — рис. 1, а; 2) конструкция включает металлическую подложку толщиной к** и две пьезокерамические пластины

(к* = 2/1* + к*) — рис. 1, б.

Изгибные осесимметричные колебания конструкций индуцируются в результате подведения к торцевым электродированным поверхностям пьезокерамических пластин, выполненных из материала гексагональной системы класса 6тт [15] с параллельным направлением вектора аксиальной поляризации электрического напряжения V* (г*, t*). Рассматриваются случаи жесткого и шарнирного закрепления цилиндрической поверхности электроупругих систем.

Математическая формулировка рассматриваемых начально краевых задач в безразмерной форме включает [7]:

- систему линейных осесимметричных дифференциальных уравнений движения и электростатики относительно компонент вектора перемещений и, Ж, а также потенциала электрического поля ф:

ЬртМ(г, г, ^ = 0 (р, т = 1з); (1)

- механические и электрические граничные условия:

г = 0,1 Ж(0, г, t)<ю, и(0, г, t) < ю, ф(0, г, t)<ю,

Ж (1, г, t) = 0, БАг=1 = 0;

при жестком закреплении

и (1, г, t) = 0;

(2) (3)

2

V*{r+, tj

О Q

-С 1

*1Ч

б

Рис. 1. Расчетная схема биморфных пластин:

а — две пьезокерамические пластины (конструктивное решение 1); б — то же и металлическая подложка (конструктивное решение 2)

при шарнирном закреплении

с^ (1, z, t) = 0;

z =0, h azz = a= 0; конструктивное решение 1 (см. рис. 1, а): ф = V (r, t) / 2; конструктивное решение 2 (см. рис. 1, б): ф = ±V (r, t) / 2;

z = h1, h + h2 С zz (z + 0 ) = С zz (z - 0), Crz (z + 0) = C^ (z - 0), W (z + 0) = W (z - 0), U(z + 0) = U (z - 0) ;

(4)

(5)

(6)

конструктивное решение 1 (см. рис. 1, а): ф(h1, z, t) = -V (r, t) / 2; конструктивное решение 2 (см. рис. 1, б): ф = 0;

- начальные условия:

t = 0 U(r, z, 0) = W(r, z, 0) = 0, ^^ =W;lIJl = o. (7)

dt |t=0 dt |t=0

Здесь Lpm — дифференциальные операторы в частных производных; N (r, z, t) = [U (r, z, t), W (r, z, t), Ф(г , z, t )f; t = t^yj cff/p«;

^33/ (C^b);

[U, W, h, r, z] = [u*, W*, h*, r*, z*] /b; [ф, F] = [ф*, F

W *, и *, ф* — компоненты вектора перемещений и потенциал электрического поля в размерной форме соответственно; Бг — радиальная компонента вектора индукции электрического поля; а рк — компоненты тензора напряжений (р, к = г, г); сЦ, р(1) — модуль упругости

и плотность анизотропного пьезокерамического материала соответственно.

Следует отметить, что при исследовании упругой среды (см. рис. 1, б) система уравнений (1) состоит только из уравнений движения, сформулированных относительно компонент вектора перемещений, а при формировании соотношений (6) для первого конструктивного решения (см. рис. 1, а) условия совместности механических напряжении и перемещений при г = \ + ^ отсутствуют.

Построение общего замкнутого решения. Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований, с последовательным использованием преобразования Фурье — Бесселя [16] по радиальной координате г и обобщенного преобразования [17] по аксиальной переменной 2. При этом каждый раз предварительно выполняется процедура стандартизации (приведение граничных условий к виду, позволяющему применить соответствующее преобразование) [18].

Трансформанты Я(п, г, I), G(к1п, п, I) и формулы обращения соответствующих преобразований имеют вид

_ 1_ _ _ « __

Я (п, г, I ) = { N (г, г, I )Р (п, г )г&, N РЯ, (8)

0 п=0

" ____СО _

G(, n, t) = JY(n, z)R (n, z, t) dz, R = £GK\\Kin\2. (9)

i=1

Здесь Р = | апр ^ — диагональная матрица 3-го порядка (а11 = J1 ((пг), = ^о Ц/)); ]п — положительные нули функций J1 (]п ) при

a22 = a33

Оптимальное конструктивное решение круглых многослойных биморфных пластин жестком и J0 (П ) при шарнирном закреплении (п = 0,1,2...); R = = Hk + R , Hk — трехкомпонентная (к = 1, 2, 3) стандартизирующая

вектор-функция; Y = [К1, К2, 0], K = [[, K2, K3 ], ^|П — положительные параметры, образующие счетное множество (I = 1,2,3...); 0,П , ||К|П||2 — квадрат нормы ядра преобразований.

В результате получаем расчетные соотношения для функций W, U, ф в виде спектральных разложений по найденной системе собственных функций К - К3, которыми являются линейные комбинации обычных и модифицированных функций Бесселя:

N (г , г, t ) = £«—1 P (п, г )

Hkа (, п, t )к (\ы, г )||к

■I—2

I=1

. (10)

п=0

Круговые частоты осесимметричных колебаний цилиндра

с (1) С11

Р(1)-

связаны с параметром Хт зависимостью ш|П =

Ъ ])

Алгоритм решения начально-краевых задач (1)-(7) подробно описан в работах авторов [19, 20].

Численный анализ результатов. Выводы. На основании представленного алгоритма и разработанного программного комплекса получены численные результаты расчета, которые позволяют путем подбора геометрических размеров и материала исследуемых конструкций оптимизировать их работу, т. е. добиться наиболее эффективного преобразования приложенной электрической нагрузки в механические перемещения.

Пример 1. Рассмотрим жесткозакрепленную биморфную кон-

—з

струкцию (Ъ = 14 -10 м), состоящую из двух пьезокерамических пластин состава ЦТС-19 (см. рис. 1, а), материал которых имеет следующие физические характеристики:

К, езз, е1з} = {—4,9; 14,9; 10,б} Кл/м2;

{8п, 833} = {7,73; 7,2б}-10—9 Ф/м; р = 7730 кг/м3;

{<$, С&\ С«, С«, с515)}={10,9; 9,1; б,1; 5,4; 2,4}-1010 Н/м2.

Т

Численные результаты расчета дают возможность сделать следующие выводы.

1. Для наиболее эффективного преобразования внешнего электрического воздействия в механические колебания на торцевых

электродированных поверхностях пьезокерамических пластин необходимо использовать систему разрезных кольцевых электродов (количеством и размерами электродов определяются нулевые значения функции Jx (jn)) при подключении соседних электродов в противо-

фазе. При сплошном электродном покрытии механические колебания в жесткозакрепленной конструкции не возбуждаются.

На основании этого вывода анализ напряженно-деформированного состояния и электрического поля биморфной пластины, работающей на первой резонансной частоте, проводится при использовании двух электродов на торцевых поверхностях с радиусом раздела a = 8,8 -10 м (R1 = a/Ъ = 0,628). Для этого электрическая нагрузка V (r, t) представляется в виде

V (r, t) = Vo [H (R _ r) _ H (r _ R )] sin pt,

где Vo — амплитудное значение интенсивности в безразмерной форме; Р — относительная частота вынужденных колебаний, Р =

= РЪ/р'1'/ С«

(Р — круговая частота вынужденных колебаний).

2. При проектировании изгибных преобразователей необходимо учитывать, что одним из способов повышения чувствительности прибора является уменьшение его толщины. Это приводит к снижению жесткости конструкции и увеличению амплитудных значений вертикальных перемещений. Однако в этом случае наблюдается увеличение аксиальной компоненты векторов напряженности Ez (r, z, t)

и индукции Dz (r, z, t) электрического поля (рис. 2). Этот факт необходимо учитывать, поскольку при больших значениях Ez (r, z, t)

происходит деполяризация пьезокерамического материала. В частности, образование в пьезокерамическом материале состава ЦТС-19 напряженности электрического поля более 300 кВ/м приводит к снижению численных значений коэффициентов диэлектрической проницаемости и пьезомодулей. В рассматриваемой системе оптимальная толщина h* = 0,2 -10_3 м (V0* = 20 В).

3. Сравнение численных значений аксиальной (см. рис. 2) и радиальной (рис. 3) компонент электрического поля позволяет сделать вывод, что при расчете пьезокерамических пластин с помощью прикладных теорий радиальными составляющими можно пренебречь, поскольку их численные значения существенно меньше значений соответствующих аксиальных величин. Кроме того, принимая во внимание, что в пределах электрода аксиальная компонента напряженности по радиальной координате практически не изменяется, на

основании полученных результатов можно для расчета сформулировать гипотезу о характере изменения напряженности электрического поля в виде простой зависимости

Ег (г, Г, г) = Ег (г, г)= ±ф-V(г),

Н1

где / (г) — многочлен, аппроксимирующий соответствующую функцию (см. рис. 2, кривая 1).

0,8

0,6

0,4

0,2

0

\ 2 / 1 / / /

/ / / У / /

/ 7

\ N ч / /

\ \ \ \

\ \ \ \

-400 -200

0

2/Й

0,8

0,6

0,4

0,2

/ 1' / / /'

1 /

/ //

\ \ /

\ \

\ \ \

200 400 -1 ■ 103 -500

0

500 1 ■ 103

{ ф (0, 0 • 300; Ех (0,2, 0 • 3; 0г(0, г, /)}/К0 а б

Рис. 2. Графики изменения амплитудных значений ф (г, г, г), ЕГ (г, г, г), (г, г, г) по высоте биморфной пластины при р = 0,8Хц:

а — Н = 0,5-10-3 м; б — Н = 0,25-10-3 м; 1 — ЕГ; 2 — ; пунктирная линия — ф,

— собственное значение, соответствующее первой частоте собственных осесимметрич-

ных колебаний

Пример 2. Рассмотрим шарнирно закрепленную биморфную конструкцию, состоящую из металлической подложки и двух пьезокера-мических пластин состава ЦТС-19 (см. рис. 1, б). Подложка

(Н2 = 10_3 м) изготовляется из различных сплавов (дюралюминий

имеет следующие физические характеристики: коэффициент Пуас-

10 2

сона V = 0,34; модуль упругости Е = 7,3 -10 Н/м ; плотность р = 2800 кг/м3; у латуни V = 0,35; Е = 9,8-1010 Н/м2; р = 8600 кг/м3).

Рис. 3. Графики изменения амплитудных значений радиальных компонент вектора электрического поля (напряженности Ег и диэлектрической проницаемости Бг) по

радиальной координате г:

1 — Ег; 2 — Бг (к1 = 0,5 • 10 3 м)

Такое конструктивное решение позволяет повысить прочностные свойства многослойной электроупругой системы, поскольку пьезоке-рамика является хрупким материалом.

В работе принимаются во внимание выражения для модулей упругости металлической подложки:

С(2) _ С(2) _ Е(1 ~с(2) _ с(2) _ ЕУ С11 _С33 _(1 + у)(1 -2у) С12 _С13 _(1 + у)(1 -2У)

С(2) _ Е

_ 2 (1 + V).

Работа электроупругой системы рассматривается на первой резонансной частоте. В этом случае для наиболее эффективного преобразования внешнего электрического воздействия на лицевых поверхностях конструкции выполняется сплошное электродное покрытие. В связи с этим электрическая гармоническая нагрузка V (г, г) представляется в виде

V (г, г)_ ^т рг.

На рис. 4-7 изображены графики, характеризующие изменение по пространственным координатам и времени составляющих механических и электрических полей напряжений (Р _ 0,8^п).

Оптимальное конструктивное решение круглых многослойных биморфных пластин W(0,0 ,t)/V0

l io4

5 • 10

-5 • 10J

-1 • 10

/ \ íf \ \ /Л\ / ' / \ \ / \ \ ' / 4

\J Л // \\ / Л Л / Л Л' У \ 1 чЧ_/

200

400

600

W(0,0,t)/V0 3 ■ 103

2- 103

1 • 10J

-1 • 10^

-2 • ÍO3

-3 • 10л

л А

' h \ 1 h \ i V \ -/ \ / N \ / \ / ХЛ1

/ \ ¡ Л 1 М ' Л \ ' М \ 1 У \ > \ \> \ / у \ / д

Л ' М ' / М ' \ \ 1 / * V \ А Л Л Л 'Л

\ V \ А * А w V

100

200 300

б

400

500

Рис. 4. Графики изменения перемещений W (0,0, /) во времени V.

— Нх = 0,2-10 3 м; б — ^ = 0,5-10 3 м (сплошная линия — подложка из дюралюминия;

пунктирная — из латуни)

Z, t)/V0

О

-50

-100

i У? // // у

2 х- у у / /

** *

-150

О 0,2 0,4 0,6 0,8 г

Рис. 5. Графики изменения амплитудных значений нормальных напряжений агг (г, г, /) / ^ по радиальной координате.

1 — г = - 0; 2 — г = + 0; пунктирная линия — г = 0

а

Рис. 6. Графики изменения амплитудных значений радиальной компоненты вектора перемещений и (г, г , г) по высоте пластины: 1 — г = 1; 2 - г = 0,3

Рис. 7. Изменения амплитудных значений аксиальной компоненты напряженности ЕГ (г, г , г) по высоте пластины:

1 — г = 0; 2 — г = 0,4; 3 — г = 0,8

На основании анализа результатов расчета можно сделать следующие выводы.

1. При заданных геометрических размерах конструкции физические характеристики материала подложки оказывают влияние на частотный спектр собственных колебаний (см. таблицу) и практически не оказывают влияния на амплитудные значения вектора пере-

мещений. На рис. 4 приведены результаты расчета при использовании в качестве материала подложки латуни и дюралюминия.

2. Графики изменения амплитудных значений нормальных напряжений агг (г, г, г) по радиальной координате показывают, что при

шарнирном закреплении пластины максимальные значения наблюдаются в центре пластины при г = 0, Н (см. рис. 5). При этом в области соединения двух элементов с разными физическими характеристиками значения напряжений различные.

3. Анализ представленных на рис. 6 графиков в координатах и (г, г, г)/ V) - 2 показывает, что гипотезу плоских сечений, применяемую в прикладной теории для тонких систем, можно использовать также при исследовании составных тонких пластин, имеющих различные физические характеристики по высоте сечения.

4. Амплитудные значения вектора напряженности электрического поля ЕГ (г, г, г) по толщине пьезокерамической пластины изменяются линейно, и такой характер не зависит от радиальной координаты. На рис. 7 приведены результаты расчета при различных

значениях г: 0; 0,4; 0,8. Причем наибольшие значения ЕГ (г, г, г)

наблюдаются в области соединения металлической и пьезокерамиче-ской пластин (г = Нъ Н + Н2).

5. На основании полученных результатов, как и в предыдущем примере, можно сформулировать гипотезу о характере изменения напряженности электрического поля. При этом функция / ( г ) является линейной (см. рис. 7).

Таблица

Частотный спектр собственных колебаний в зависимости от материала подложки

* 3 Толщина Н -10 , м Дюралюминий Латунь

Х12 Х13 Х12 Х13

0,2 0,057 0,296 0,716 0,059 0,312 0,756

0,5 0,072 0,373 0,888 0,082 0,427 1,020

В заключение следует отметить, что при действии гармонической электрической нагрузки допущение об установившемся режиме вынужденных колебаний, применяемое при исследовании большинства подобных динамических задач, можно использовать, когда частота вынужденных колебаний существенно меньше первой моды собственных колебаний. При высокочастотном внешнем воздействии вследствие наложения отраженных волн деформирования наблюдается более сложная зависимость (см. рис. 4), и в этом случае необходим построенный авторами алгоритм расчета.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Богородский В.В., ред. Подводные электроакустические преобразователи. Справочник. Ленинград, Судостроение, 1983, 248 с.

[2] Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer Verlag, 2010, 498 p.

[3] Джагуров Р.Г. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. Санкт-Петербург, Политехника, 1994, 608 с.

[4] Домаркас В.И., Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи. Вильнюс, Минтис, 1975, 255 с.

[5] Gabbert U., Tzou H.S. Smart Structures and Structronic Systems. London, Kluwer Academic Pub, 2001, 384 p.

[6] Новожилов Ю.В., Яппа Ю.А. Электродинамик. Москва, Наука, 1978, 352 с.

[7] Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Киев, Наукова думка, 1989, 279 с.

[8] Smits J.G., Dalke S.I., Cooney T.K. The constituent equations of piezoelectric bimorphs. Sensors and Actuators A, 1991, no. 28, pp. 41-61.

[9] Gohari S., Sharifi S., Vrcelj Z. New explicit solution for static shape control of smart laminated cantilever piezo-composite-hybrid plates/beams under thermo-electro-mechanical loads using piezoelectric actuators. Composition Structure, 2016, no. 145, рр. 89-112.

[10] Ватульян А.О. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложение. Изв. РАН. МТТ, 2007, № 4, с. 114-122.

[11] Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk Bimorph-Type Piezoelectric Energy Harvester. Journal of Power and Energy Engineering, 2015, no. 3, pp. 63-68. DOI: org/10.4236/jpee.2015.34010

[12] Петрищев О.Н. и др. Исследование параметров динамического напряженно-деформированного состояния асимметричных биморфных пьезокера-мических элементов. Ысник ЧДТУ, 2013, № 4, c. 38-48.

[13] Янчевский И.В. Минимизация прогибов электроупругой биморфной пластины при импульсном нагружении. Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. Харьков, 2011, вып. 16, с. 303-313.

[14] Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамиче-ской тонкой биморфной пластины. Изв. РАН. МТТ, 2013, № 2, с. 77-85.

[15] Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник Н.А. Распространение волн в электроупругих средах. Москва, Комкнига, 2003, 336 с.

[16] Снеддон И.Н. Преобразования Фурье. Москва, Изд-во иностранной литературы, 1955, 668 с.

[17] Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов, Изд-во Саратовского университета,1985, 174 с.

[18] Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины. Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия, 2011, № 8 (89), с. 142-152.

[19] Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multi-layer plate. Procedia Engineering,, 2016, vol. 153, pp. 662-666. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.219

[20] Шляхин Д.А. Уточненное решение динамической задачи электроупругости для биморфной пластины. ВестникКРСУ, 2016, т. 16, № 5, с. 108-113.

Статья поступила в редакцию 14.10.2018

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Шляхин Д.А., Ратманова О.В. Оптимальное конструктивное решение круглых многослойных биморфных пластин. Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 1. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-1-1844

Шляхин Дмитрий Аверкиевич — д-р техн. наук, профессор кафедры «Строительная механика и сопротивление материалов» Самарского государственного технического университета. e-mail: [email protected]

Ратманова Олеся Викторовна — ассистент кафедры «Строительная механика и сопротивление материалов» Самарского государственного технического университета. e-mail: [email protected]

Optimal design solution for circular multilayered bimorph plates

© D.A. Shlyakhin, O.V. Ratmanova Samara State Technical University, Samara, 443100, Russia

The article reports on the development of the mathematical model for calculating the bi-morph plates. It considers multilayered solid stiffened and hinged structures, in which the principle of the inverse piezoeffect is used. The authors have constructed closed solutions to the nonstationary axially symmetric problems of electroelasticity theory for multi-layered structures by means of the finite integral transformation method. Based on the analysis of the numerical calculation results the article presents practical recommendations on designing the piezoceramic transducers of resonance and nonresonance classes. We have developed an algorithm for optimizing the work of the considered structures by selecting their geometrical dimensions and the material used. This algorithm allows transforming the applied electric load into mechanical displacement most efficiently. In addition, the presented results make it possible to clarify the assumptions regarding the pattern of the electric field distribution that must be used when designing the bimorph structures of other configurations, the calculation of which is possible only with the help of the applied theories for thin plates.

Keywords: bimorph piezoceramic plate, nonstationary axially symmetric problem, finite integral transformations

REFERENCES

[1] Bogorodskiy V.V., ed. Podvodnye elektroakusticheskie preobrazovateli. Spravochnik [Submerged electroacoustic transducers. Reference book]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1983, 248 p.

[2] Sharapov V. Piezoceramic sensors. Springer-Verlag, 2010, 498 p.

[3] Dzhagurov R.G. Pezoelektronnye ustroystva vychislitelnoy tekhniki, sistem kontrolya i upravleniya [Piezoelectronic devices of computing tools, monitoring and control systems]. St. Petersburg, Politekhnika Publ., 1994, 608 p.

[4] Domarkas V.I., Kazhis R.-I.Yu. Kontrolno-izmeritelnye pezoelektricheskie preobrazovateli [Control-and-measuring piezoelectric transducers]. Vilnius, Mintis Publ., 1975, 255 p.

[5] Gabbert U., Tzou H.S. Smart Structures and Structronic Systems. Dordrecht, Kluwer-Academic Publ., 2001, 384 p.

[6] Novozhilov Yu.V., Yappa Yu.A. Elektrodinamika [Electrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 352 p.

[7] Grinchenko V.T., Ulitko A.F., Shulga N.A. Mekhanika svyazannykh poley v elementakh konstruktsiy [Mechanics of related fields in structural components]. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1989, 279 p.

[8] Smits J.G., Dalke S.I., Cooney T.K. The constituent equations of piezoelectric bimorphs. Sensors and Actuators A: Physical, 1991, no. 28, pp. 41-61.

[9] Gohari S., Sharifi S., Vrcelj Z. New explicit solution for static shape control of smart laminated cantilever piezo-composite-hybrid plates/beams under thermo-electro-mechanical loads using piezoelectric actuators. Composite Structures, 2016, no. 145, рр. 89-112.

[10] Vatulyan A.O. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela — Mechanics of Solids, 2007, no. 4, pp. 114-122.

[11] Tsaplev V., Konovalov R., Abbakumov K. Disk bimorph-type piezoelectric energy harvester. Journal of Power and Energy Engineering, 2015, no. 3, pp. 63-68. DOI: org/10.4236/jpee.2015. 34010

[12] Petrishchev O.N. Visnik Cherkaskogo derzhavnogo tekhnologichnogo universi-tetu — Bulletin of Cherkasy State Technological University, 2013, no. 4, pp. 38-48.

[13] Yanchevskiy I.V. Minimizatsiya progibov elektrouprugoy bimorfnoy plastiny pri impulsnom nagruzhenii [Minimizing the deflections of the electroelastic bimorph plate under impulsive loading]. Problemy vychislitelnoy mekhaniki i prochnosti konstruktsiy [Problems of computational mechanics and strength of structures]. Kharkov, 2011, no. 16, pp. 303-313.

[14] Shlyakhin D.A. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela — Mechanics of Solids, 2013, no. 2, pp. 77-85.

[15] Bardzokas D.I., Kudryavtsev B.A., Senik N.A. Rasprostranenie voln v elektrouprugikh sredakh [Wave propagation in electro-elastic media]. Moscow, Komkniga Publ., 2003, 336 p.

[16] Sneddon I.N. Fourier Transforms. New York, McGraw-Hill, 1951, 542 p. [In Russ.: Sneddon I.N. Preobrazovaniya Fure. Moscow, Izd. inostr. lit. Publ., 1955, 668 p.].

[17] Senitskiy Yu.E. Issledovanie uprugogo deformirovaniya elementov konstruktsiy pri dinamicheskikh vozdeystviyakh metodom konechnykh integralnykh preobra-zovaniy [The study of the elastic deformation of structural elements under dynamic loads using finite integral transform]. Saratov, Saratov State University Publ., 1985, 174 p.

[18] Shlyakhin D.A. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya — Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2011, no. 8 (89), pp. 142-152.

[19] Shlyakhin D.A., Kazakova O.V. A dynamic axially symmetric goal and its extended solution for a fixed rigid circular multi-layer plate. Procedia Engineering, 2016, vol. 153, pp. 662-666. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.08.219

[20] Shlyakhin D.A. Vestnik KRSU (Bulletin of Kyrgyz-Russian Slavic University), 2016, vol. 16, no. 5, pp. 108-113.

Shlyakhin D.A., Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Structural Mechanics and Strength of Materials, Samara State Technical University. e-mail: [email protected]

Ratmanova O.V., Assist. Lecturer, Department of Structural Mechanics and Strength of Materials, Samara State Technical University. e-mail: [email protected]