Оптимальный сбалансированный рост открытой трехсекторной экономики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

На3(11)2008

В. А. Колемаев

Оптимальный сбалансированный рост

V V 1

открытой трехсекторной экономики1

С помощью принципа максимума Понтрягина найдено оптимальное динамическое правило распределения трудовых, инвестиционных и материальных ресурсов между секторами открытой трехсекторной экономики по критерию максимума дисконтированного удельного непроизводственного потребления.

Трехсекторная модель экономики [Колемаев (1997)], [Колемаев (1998, 2002, 2005)] является обобщением замкнутой односекторной модели Солоу [Solow (1956)] в части учета макроэкономической структуры и внешних связей. Согласно этой модели материальный (нулевой) сектор производит предметы труда (сырье, энергоресурсы, полуфабрикаты и другие расходуемые материалы), фондосоздающий (первый) — средства труда (здания, сооружения, машины, оборудование, силовые устройства и другие инвестиционные товары производственного назначения), потребительский (второй) — предметы потреб-

Технологический уклад считается неизменным и заданным с помощью линейно-однородных неоклассических производственных функций секторов

гдеX, K, L, — выпуск в сопоставимых ценах, физический капитал и числозанятых в /-м секторе.

Аналогично модели Солоу предполагается, что время меняется непрерывно, лаг капиталовложений равен нулю, коэффициенты износа физического капитала секторов и темпа прироста числа занятых постоянны. Кроме того, предполагается, что коэффициенты износа одинаковы, а коэффициент квотирования импорта инвестиционныхтоваров и соотношение мировых цен на материалы и инвестиционные товары постоянны.

После создания односекторной модели экономического роста [Solow (1956)] Фелпс в работе [Phelps (1966)] нашел оптимальное правило экономического роста для этой модели, а Удзава в работе [Uzawa (1964)] установил такое правило для двухсекторной модели.

В настоящей статье найдено оптимальное правило динамического распределения трудовых и инвестиционных ресурсов в открытой трехсекторной модели. Ранее такое правило было найдено в 2002 году для замкнутой трехсекторной модели (см. Приложение 4 в [Колемаев (1998, 2002, 2005)]) в предположении равенства долей распределения трудовых и инвестиционных ресурсов, а в 2005 году и без такого предположения (см. Приложение 3 в [Колемаев (2005)]).

1 Исследование выполнено при поддержке грантов: РГНФ 08-02-00057a, РФФИ 07-06-12023 ОФИ.

ления.

X; = F (K ,, L i), / = 0,1,2,

15

Ne3(11)2008

1. Используемое в исследовании подмножество открытой трехсекторной модели

Приведем применяемое для исследования подмножество открытой трехсекторной модели экономики (полностью модель приведена в [Колемаев (2005)]). Это подмножество представлено в относительных показателях, и в нем используются следующие обозначения:

v — темп роста числа занятых (из предположения его постоянства следует, как и в модели Солоу, что L = L(t) = L(0)evt);

0; = L--доля /-го сектора в распределении трудовых ресурсов;

s/ — доля /-го сектора в распределении инвестиционных ресурсов;

ki = K--фондовооруженность /-го сектора;

Li

—

—- = F(k,- ,1) = fj(k,) — отраслевая производительность труда /-го сектора; Li

V

y 1 =—--удельный импорт инвестиционных товаров;

y2 = V2— удельный импорт потребительских товаров;

s ^ 1— коэффициент квотирования импорта инвестиционных товаров;

| z0 — удельный экспорт материалов;

§ q0 — мировая цена экспортируемых материалов;

§ q+, q+ — мировые цены импортируемых инвестиционных и потребительских товаров;

'§ a, — прямые затраты материалов на единицу выпуска /-го сектора;

Ц ^ — коэффициент износа физического капитала (одинаков для всех секторов);

* X = ^+v — коэффициент уменьшения фондовооруженности за счет износа физического капитала и роста числа занятых.

& V

s Удельный выпуск секторов

S X; = Х- =0 f ( k-, ), / = 0,1,2, (1)

iS L

® где x — народнохозяйственная производительность труда /-го сектора.

и о

^ Дифференциальные уравнения для фондовооруженности секторов

Ц ^ = -Xki + ^(x 1 + y i), ki (0) = k0, /=0,1,2. (2)

§ dt 0i g.

« Натуральные балансы

¡5

vo u >s

3

трудовой

+ 01 + 02 = 1, 0 <0< 1; (3)

¡a • инвестиционный

Л s0 + S1 + s2 = 1, 0 < S; < 1; (4)

s

c5 • материальный

(1-a 0) x 0 = a 1X1 + a 2x 2 + z0. (5)

16

Не3(11)2008

Внешнеторговый баланс $

If ■

'c(t)dt ^ max, (8)

if'

"x2(t)dt ^ max. (9)

-\

ф Макроэкономика

5

q о z о = q? у, + q 22 у 2. (6) is

Индустриальная безопасность

у 1 1. (7)

Таким образом, приведенное подмножество открытой трехсекторной модели отличается от полной модели в следующих аспектах:

1) из трех внешнеторговых балансов секторов выбран самый важный баланс (6) материального сектора;

2) опущены внутренние стоимостные балансы секторов;

3) удельный импорт потребительских товаров считается фиксированным, поэтому условие потребительской безопасности опущено.

Упрощение модели обусловлено трудностями решения полной задачи оптимального сбалансированного роста открытой трехсекторной экономики. По мере преодоления этих трудностей, можно надеяться, будет решена и полная задача. В связи с пренебрежением частью стоимостных балансов в названии статьи использован термин «оптимальный сбалансированный рост» вместо «оптимальный экономический рост».

Под оптимальным сбалансированным ростом понимается рост фондовооруженности всех секторов, сбалансированный по трудовым, инвестиционным и материальным ресурсам и оптимальный по критерию «максимум дисконтированного удельного потребления».

2. Постановка задачи

Аналогично работе Фелпса [Phelps (1966)] примем в качестве критерия динамической задачи максимум дисконтированного удельного потребления:

I! 00

но поскольку c(t) = x2(t) 2 у2, то при у2 = const задача сводится к максимизации дисконтированного удельного выпуска потребительского сектора:

Задача будет решаться с помощью принципа максимума Понтрягина [Понтрягин и др. (1969)] в той форме, как это представлено в [Интриллигатор (1975)]. Фазовые переменные — фондовооруженность секторов к0, к1, к2,уравнения движения — это уравнения (2) для фондовооруженности секторов.

Управляющие параметры — это доли распределения трудовых и инвестиционных ресурсов между секторами 00, 01, 02, 50,5,,52. Поскольку эти доли связаны тремя соотношениями

9 о + 01 + 0 2 = 1, (3')

5 о + 51 + 5 2 = 1, (4')

17

о

о

Не3(11)2008

(1-a 0) 0 0 f0( k 0) = a 101 f 1 (k 1) + a 2 0 2 f2 (k 2) + — У1 + — У2,

q 0 q 0

(5')

то свободных управляющих параметров только три. Выберем в таком качестве параметры

5-1, 5 2, 0 2.

В уравнении материального баланса (5') вместо 70 подставлено его значение, найденное из внешнеторгового баланса (6). Будем считать, что условие индустриальной безопасности выполняется как равенство:

У1 =41* 1, (7')

тогда уравнение материального баланса примет следующий вид:

(1-a 0) 0 0 f0( k 0) = (a 1 + b 1) 0f1( k 1) + a 2 0 2f2( k 2) + z ^

, q1 0 q+

где b1 = 4 1 — = const, z02 = — y2 = const.

q0 q0

Используя (3'), разрешим (5'') относительно 01:

(5'')

(1-0 2) (1 a 0)f0( k 0)-0 2 a 2f2( k 2) - z ^ (1-a 0)UM + (a 1 + b Д( k 1) .

(10)

!

о §

n >s

0

1

<ъ

Is &

>s g

|

u

0 a >s

1

<s

03

о

t

iB !5

vo u

3

Таким образом, задав управляющее правило в момент t по параметрам 51,52,02, по соотношениям (3'), (4'), (10) однозначно определяем значения других параметров распределения ресурсов, т. е. 50, 00, 01.

Уравнения для фазовых переменных при выполнении (7') примут следующий вид:

^ = -Xk0 + ^(1+41)01 f 1(k 1), k0(0) = k0 dt 0 0

dk

^ = -Xk 1 + S1O + 41 )f1( k 1 dt

k 1(0) = k 10

dk-, s-,

^ = Xk 2 + S-41 +41)0/1^1), k 2(0) = k dt 0 2

(11) (12) (13)

Решение задачи на максимум функционала (9) при выполнении дифференциальных уравнений (11)—(13) для фазовых переменных и соотношений (3'), (4'), (10) начинается с построения Гамильтониана

H = 6e-st 0 2 f2( k 2) с

-Xk 0 + + ч 1) f k 1

"Ф1

-Xk 1 + S1 (1 + ^ 1 )f1 (k 1

"Ф 2

-Xk2 + -Ч1 + 4 1)0 Uk 1

(14)

и дифференциальных уравнений для сопряженных переменных

d^ 0 = dH d^1 = dH d^ 2 dt dk 0' dt dk / dt

dH 'dk2'

0

2

18

Не3(11)2008

Имеем

— - Ф

дко - Ф0

дН

^Г - Ф о дк1

—Х + ^

0 о

1+^ 0 о

(1 + 41)1 (к 1)д01 + Ф 2

дк о

-41 +4^1 (к 1)

1 + ^

0 о.

д01 +011(к 1)

дк о ' /1(к 1)

1) ^ 0 2 дк о

+ Ф 1[-Х + 71(1 + 4^'(к 1)] +

Ф 2

7^(1 + 401 (к 1)

1 + ^ 0 о

д01+0 ьк!

дк 1 1 Ь1(к 1)

дН - бе—бГ 0 2 Ь'(к2) + ф ( дк2

-41 +4^1 (к 1) 02

( 01 д01

+ Ф 2

1 0 о дк 2

—Х + 741 + 41)1 (к 1)^-. 0 2 дк 2

03

г

I

г

I!

4

оо

(15)

д0, д0, д0, .... Найдем производные———используя выражение (1о): дко дк, дк2

д01 (1 — а о Ь'(ко )[(1 — 0 2 )(а 1 + ^ (к 1) + 0 2 а 2 1 (к2) — 2о2 ]

(1 — а о)0 о Ьо'(к о)

дко [(1 — ао)Ьо(ко) + (а1 + Ьл (к 1)]2 (1 — ао)Ьо(ко) + (а1 + Ь^Д 1)

501 - (а 1+Ь Ь к 1)[(1 — 0 2)(1 а о)Ьо( к о) — 0 2 а 2Ь2( к 2) — г т] дк 1 - [(1 — а о)М к о) + (а 1 + Ь Ь к 1)]2

д01 а 2 0 2 Ь2'(к 2)

(а 1 + Ь1) 0//( к 1)

(1—а о)Ьо( к о) + (а 1 + Ь Ь к 1)

дк 2 (1 — а о)Ьо(к о) + а + ЬДД 1)

д01 д01 д01

Подставим полученные выражения для производных-, -, -в уравнения (15) для

сопряженных переменных дко дк 1 дк2

ёф о ¿Г

ёф 1

л

Х — -о

1 + ^

0 о.

(1 — а о)Ьо'(к о)0

ф о —

0 о(1 — ао)Ьо'(к о)0

Ф 2-

(16)

(1-ао)Ьо(к о) — -1 (а 1 + ЬМк 1)

— (1 + 41) 0/(к 1)-0о-

0 о (1 — ао)Ьо(ко) + (а 1 + ЬХ(к 1)

Ф о + (Х — 51(1 + 41)Ь/(к 1))ф 1 —

-41+ 41)01 Ь1'(к 1)

(1 — а о )1 (к о)

(1 — а о)Ьо(ко) + (а1 + Ь1 )Ь (к 1)

Ф2

ёф 2 ёГ

1 + ^

0 о.

0 о а2 ь'(к 2)0

где

0 -

Фо + (Х + 52а2(к2 )0)Ф2 —бе —бГ022

(1 + 41 )1 (к 1) (1 — ао)Ьо(к о) + (а1 + ЬДД 1)'

(17)

(18)

(19)

Конкретное решение уравнений для сопряженных переменных определяется с помощью условия трансверсальности в момент времени Г1. Этот момент устанавливается как момент

\

19

о

2

2

о

Ne3(11)2008

перехода из заданного начального состояния системы (в нашем случае k0, kk0) в заданное конечное состояние (в нашем случае k0*, k,*, k2). Последнее, согласно Приложению4 в [Коле-маев (2005)], является фондовооруженностью секторов при решении следующей стационарной задачи:

02f2(k2) ^max,

(20)

=^к ; = 0,1,2, ' Х9,

я0 + + я2 = 1, 0 < Я,. < 1, 9 0 + 91 + 9 2 = 1, 0 < 9, < 1, (1-а о) 9 о 1о( к о) = (а 1 + Ь л)9л/1( к 1) + а 2 9 2^2( к 2) + г

Непосредственно момент времени t, определяется как момент, когда оптимальное (по критерию динамической задачи) решение уравнения для фондовооруженности фондосоз-дающего сектора

II *

^ = -Хк * +S1*(t )(1+^ 1)^1 (к 1*), к * (0) = к 0, dt

достигает оптимального стационарного значения

3 к 1*( = к 1*. |

§ Представим критериальный функционал (9) динамической задачи в виде двух слагаемых:

I

^ то t1 то t1

* 6 J е-6'х 2(t)dt = 6 j е-6'х 2(0 dt + 6 J е-6'х 2( t)dt = 6 j е-6'х 2(t)dt + е-6(1 х *,

§ 0 0 (1 0 £ * * *

* где х2 = 9212(к2). Тогда критериальная функция динамической задачи примет вид

5 '1

6

1 0

поэтому условия трансверсальности, согласно принципу максимума, сведутся кследующим о краевым условиям для сопряженных переменных:

и

0

л дк 0

и

1 ^1) = яТ7"(е 6(19212(к*)) = 0, (23) § дк1

I Ф 2 (t 1) = 1дг (е-6[19 212( к *)) = е-6[19 к 2). (24)

>5 дк *

и

3. Необходимые условия оптимальности

¡^ Согласно принципу максимума Понтрягина в каждый момент времени t, 0 < t < t,, управ-<§ ляющие параметры должны принимать значения, доставляющие максимум Гамильтониану (14) при фиксированных (заданных) значениях фазовых переменных (в нашем случае к0, к1, к2)

6 J е-stx 2( t)dt + е-st' 0 2f2( k *), (21)

>s 'Ф 0 (t 1) = ^r(e-6t10 2f 2( k *)) = 0, (22)

20

Не3(11)2008

и других управляющих параметров. Свободными управляющими параметрами, как уже от- ¡8

мечалось, служат 5,, 52,02, остальные параметры, задающие распределение трудовых и ин- |

вестиционных ресурсов( 5 0, 0 0, 0,), определяются по первымтрем с помощью трудового, ин- §

вестиционного и материального балансов (последний в нашем случае представлен в форме ^

(10)). <п

Необходимое условие оптимальности по параметру 5,

Параметр 5, линейным образом входит в Гамильтониан через коэффициенты при ф 0 (вместо 50 подставляем 50 = 1 — 5, — 52) и при ф

(1 + 4 > i

ф о , ф1

поэтому оптимальное управляющее правило по параметру s1 состоит в следующем:

Si( t), 0 о >01^ о, Si( t), 0 о <0^ о,

s*( t) =

(25)

где 5,(t), 5,(t) — минимальное и максимальное допустимые значения параметра 5, в момент времени t.

Необходимое условие оптимальности по параметру $2

Аналогично определяется правило по параметру 52:

'52 ( 0, 0 0 ф 2 >0 2 Ф 0,

5 2 ( 0, 0 0 ф 2 <0 2 Ф 0.

S2(t) =

(26)

Необходимое условие оптимальности по параметру 02

Зависимость Гамильтониана от параметра 02 нелинейная, поэтому надо исследовать производную

9H = Ье -f2, * г) +

Найдем теперь

7^(1 + 4 i)fi( * i

90,

1 + ^

0 о.

Ф о

Тг(1+4f* 1 02

90,

90,

(1-a о)fо( * о) + a f2 (* 2) (1-a о^о( * о) + (a 1 + b f*

и, подставив это значение в предыдущее выражение, окончательно получим

^ = 6e-6,f 2( * 2) - D

-^((1-a о^о( * о) + a ff2 (* 2 ))Ф о + ^((1-a 0)f0{ * о) - z ^ф 2

Оптимальное правило по 02 состоит в следующем:

02(t) =

Ы t), — < о,

90 2

Мt), — > о.

2 90,

ф 2.

(27)

(28)

о

э

2

э

21

Не3(11)2008

4. Исследование поведения сопряженных переменных

Решение уравнений для сопряженных переменных зависит от выбора управляющего правила. Поскольку в коэффициенты при переменных ф0, ф,, ф2 непосредственно входят управляющие параметры, оптимальное управляющее правило зависит от найденного решения ф0, ф,, ф2. Поэтому построение и правила, и решения должно происходить одновременно. Однако для удобства изложения эти части исследования описываются в разных разделах статьи.

Далее используется общий вид найденного оптимального правила. Оно состоит из этапов ускоренного и замедленного роста. На первом этапе ускоренным образом растет фондовооруженность фондосоздающего сектора, в то время как фондовооруженность материального и потребительского секторов остается на первоначальном уровне. На втором этапе, напротив, ускоренным образом растет фондовооруженность материального и потребительского секторов, в то время как фондовооруженность фондосоздающего сектора замедленным образом «подтягивается» к оптимальному стационарному значению.

Поведение переменных ф0, ф2

Сопряженные переменные ф0 и ф 2 удовлетворяют автономной подсистеме дифференциальных уравнений

i

0

1 §

п >s

0

1

<ъ

8 &

>s

£ £

U

о Q. >s

É те оз о

t

ÎB !5

VO U

= a 00 ф 0 + a 02 ф 2,

Ф o(f l) = 0,

dф 0 dt

dd^L = a20ф0 + a22ф2 — 6g(t), ф2(ti) = g(ti), dt

(29)

коэффициенты которой, согласно (16), (18), задаются выражениями

a 00 = X — s0

1 + ^

0 0.

(1 — a0)fô(k0)D, a02 =—^00(1 — a0УЖ)Р,

a20 =

1 + ^

0 0.

0 2 a2 f'(k 2 )D,

где

g(t) = e-6t02h(k2); D =

a 22 = X + s2 a 2 f'(k 2)D,

(1 + 4 1 )f (k 1)

(1 — a0 )f> (k 0) + a + b f (k 1)

(30)

Изменение коэффициентов системы (29) в интервалы времени между переключениями в значительной мере определяется поведением функций времени g, D, f0 (k0), f2(k2).

Функция g(t) = e—6t02(t)f2(k2(t)) убывает: на первом этапе пропорционально e—6t (02(t) = = 02, f2 (k2 (t)) = f2 (k0 )); на втором — убывание ускоряется, поскольку k2 (t) растет.

Функция D(t) = D(k0 (t), k 1(t)) на первом этапе растет (k0 (t) = k00, k 1 (t) растет), на втором — рост замедляется (k0 (t) растет быстрее, чем k 1 (t)).

Функции f0 (k0(t)), f2(k2(t)) на первом этапе постоянны (k0 (t) = k00, k2(t) = k20 ), на втором — убывают, поскольку k0 (t), k2 (t) растут.

Отсюда следует, что коэффициенты a00, a02 на первом этапе убывают, на втором — растут, а коэффициенты a20, a22, наоборот, растут на первом этапе и убывают на втором.

0

22

Не3(11)2008

Решение системы может быть найдено методом последовательных приближений, начи- ¡8

ная с ф 0(Г) = 0.

Если ф0 (Г) известно (например, для нулевого приближения ф0 (Г) = 0), то ф 2(Г) определяется по формуле

^ а 22 (т) Ст ^ а 22 (и) Си

ф2 (Г) = е 0 J (8д(т) - а20 (т)фо(т))е 0 Ст + д(Г,).

Г

Напротив, если ф 2 (Г) известно, то ф0 (Г) определяется по формуле

Г т

J а 00 (т) Ст Г1 а 00 (и) Си

ф0 (Г) = е 0 J (-а 02 (т))ф2 (т)е 0 Ст.

Г

Из (31) и (32) видно, что ф 0 (Г) > 0, ф 2(Г) > 0для Г е [0, ГД

00

(31)

(32)

Докажем теперь, что ф 2 (Г) < д(Г). В самом деле, ф 2 (Г,) = д(Г,), и пусть теперь в некоторой точке Г е [0,Г,) ф2(г) < д(Г), тогда

g(t -At) - ф 2 (t -At) = g(t) - ф 2 (t) + (ф 2 (t) - g '(t ))Af + o(At).

Имеем

ф 2 (t) - g '(t) = a 20 Ф 0 (t) + a 22 Ф 2 (t) - 6g( t) + 6g(t) - g(t) - g(t).

0 2 f'( k 2)

Поскольку a20 > 0, a22 > 0, в'2 <0(согласно рис.3), f2"(k2) <0 (ведьF2(K2,L2)— неоклассическая производственная функция), тоф2^) -g (t) > 0, поэтомуg(t - At) - ф2^ - At) < 0для любых t G [0,11).■

Применим этот же прием для доказательства ф 0(t) < g(t). Действительно, ф 0(t1) = 0 < g( 11). Пусть в некоторой точке t G [0,11] g(t) >ф0(t), тогда при a00 <0

g(t-At)-ф 0(t-At) = g(t)-ф 0( t) + (ф0 (t) - g '(t ))At + o(At),

ф0(t)-g'(t) = a00ф0(t) + a02ф2(t) + 8g(t)g(t)- f2 (k2)g(t) >

0 2 f'( k 2)

a 02 +6-01 - f2'(k 2]

0 2 f'( k 2

g(t).

Как видим, достаточным условием положительности разности производных является выполнение при а00 <0 неравенства

6>-( a 00 + a 02) =

S 0 A + — 0 0 0

0 0 0 2

(1-a 0)f0'( k 0) D-X.

(33)

Таким образом, при выполнении (33) ф 0(t) < g(t), t G [0,11].■

Поскольку a20 > 0, a22 > 0, то a20ф0 + a22ф2 < (a20 + a22)g, поэтомупри выполнении условия

6>a 20 + a 22, t G [0,11] (34)

23

Nb3(11)2008

сопряженная переменная ф 2 убывает на всем отрезке [0, tl ]. Убывание функции ф) не используется при построении оптимального правила, поэтому выполнение условия (34) не является обязательным.

Поведение ф0 ^) можно установить лишь при точном знании функции ф).

Поведение переменной ф,

Переменная ф1 удовлетворяет следующему линейному дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами

= а,офо + а 11ф1 + а,2ф2, ф1(t1) = а

Л

где коэффициенты а10, ап, а12 находятся непосредственно из (17), при этом а10 <0, а12 <0.

Это уравнение при известном управлении и известных функциях ф) и ф) имеет следующее решение:

t т

J а„( т) ёт -J а„( и) ёи

Фl(t) = е 0 ^ (-а 10 (т)ф 0( т) - а п( т)ф 2( т))е 0 ёт. (35)

t

Отсюда следует, чтоф ) >0 при ф0(t)>0, ф2(t)>0, t е [0,t1).

Поскольку в соответствии с оптимальным правилом к 1(t) непрерывно растет от начально-| го значения к10 до конечного значения к 1*, то 11(к 1) убывает (ведь 1, Ц)— неоклассическая § производственная функция), а ) растет на этапе ускоренного роста от $Д0)до $ДГ)и на § этапе замедленного роста от $ ДГ )до то коэффициент a11(t) = X — 5*(1 + ^ 1)11(к 1) изменяет-

>5

0

1

<ъ §

ся следующим образом: при0 < t <t1 является отрицательным;при t = t1,t1 <t равен нулю, т.е. а11(Г1) = 0; при t >Г1 становится положительным.

Из сказанного вытекает, что ф ) убывает при t е [0,Г1]. Кроме того, ф ) <ф0(t), ф 1(t) < ф) в левой окрестности точки t1, поскольку ф 1) < ф0 ^ 1), ф 1) < ф1). ¡а. Таким образом, на заключительной фазе переходного процесса между сопряженными переменными выполняются следующие соотношения:

>s £

§. ф,(г) <фо(t) <ф2(t) < g(t).

s

о

¡3 На этапе ускоренного роста и начальной фазе этапа замедленного роста соотноше-

a ния между сопряженными переменными могут меняться на противоположные, но g(t) оста-

jo ется мажорантой сопряженных переменных ф0, ф2 на протяжении всего переходного процесса:

№

0 фo(t) < g(t), ф2(t) < g(t), t g (0,t,). (36) §

¡S !5

vo u >s

1 I

5. Синтез оптимального управляющего правила

Недостаточно индустриально развитые экономики характеризуются следующими особенностями в распределении трудовых и инвестиционных ресурсов между секторами:

• недостаточное ресурсное обеспечение фондосоздающего сектора, что частично компенсируется равенством долей трудовых и инвестиционных ресурсов; <§ • переизбыток трудовых ресурсов в потребительском секторе вследствие более благоприятных условий труда по сравнению с секторами, выпускающими средства производства;

24

Не3(11)2008

• недостаток трудовых ресурсов в материальном секторе, что компенсируется большей ¡8

капиталоемкостью (соответственно, требуются большие капиталовложения). |

§

Формально эти особенности отражаются следующими соотношениями: ¡<

50 < 50°, 50 < 50, 50 > 50, 2

90 <е0, е0 <е0, е0 < 00, (37)

50 «00,

причем большинство неравенств имеют тип >> или <<.

Такое первоначальное распределение ресурсов существенно отличается от стационарного оптимального и будет смещаться в его сторону в результате реализации оптимального правила динамической задачи.

Рассмотрим формирование оптимального управляющего правила, проверяя в каждый момент времени t выполнение необходимых условий оптимальности (25), (26), (28).

Начальный момент времени (£ = 0)

;,(0) и

Поскольку, согласно (37), 00 >>00, а различие между ф ,(0)и ф 0(0) не такое существен-

ное, то

00ф,(0) >00ф0(0),

и, следовательно, согласно (25)

5,*(0) = 5,(0). (38)

Поскольку, согласно (37), 00 >> 00, а различие между ф0(0) и ф2(0) не столь существенное, то

00ф2(0) <00ф0(0) (39)

и, следовательно, согласно (26)

5 2(0) = 5 2(0). (40)

Если заменить в выражении (27) сопряженные переменные ф) и ф) на их мажоранту д^) = е02-2(к2), то получим следующее неравенство:

£ < е■(к *

4 к 2) 6-й-2 2

—2 ( к 2

-0-02 ((, а 0)-0(к0) + а 2-2 (к2)) + -4(1- а 0)-а(к0) - г02)

(41)

Если в начальный момент времени t = 0 содержимое квадратной скобки отрицательно, то дН

< 0, и согласно оптимальному правилу

t=0

0 2(0) = 0 2, (42)

д0

где 02 — минимально допустимое значение доли потребительского сектора в распределении труда, при котором удельное непроизводственное потребление за счет собственного производства устанавливается на минимально допустимом уровне

С = 0 2 — 2 ( к 20 ). (43)

-V

Макроэкономика

25

0

N93(11)2008

Итак, оптимальное правило по 02 в начальный момент имеет вид (42), если 1 /(к

6< й

0 -

0 ' 2 ( к 2 -

12 (к о:

5 0 5 0

-0ог 0 2((1-а 0)^0 (к 0) + а 212 (к 0)) + -М1-а 0)Мк 0) - 2 02). (44)

0 0(

0 02

Поскольку в начальный момент времени закупались за рубежом не только машины и оборудование, но и предметы потребления в объеме (далее этот объем считается фиксированным)

У 0 - 80. 2 0

у 2 — , 2 02,

Я 2

то общий размер удельного непроизводственного потребления составит

С + У 0. (45)

Высвободившиеся трудовые ресурсы в относительном объеме 02 — 02 (в абсолютном (00 — 02 )) перекачиваются в материальный и фондосоздающий секторы, при этом 0*(0) определяется по формуле (10) при к, — к,0, 02 — 02,а 00(0) — 1 — 0*(0) — 02.

Минимально допустимое значение доли потребительского сектора в распределении инвестиционных ресурсов

Х0 2 к 20

52(0) — —~ 2 2 (46)

52( 01* (0)^1 (к0) ( ;

II определяется из условия поддержания фондовооруженности потребительского сектора на § стационарном уровне, равном ее начальному значению:

5 к Е — к 0. (47)

Максимально допустимое значение доли фондосоздающего сектора в распределении $ инвестиционных ресурсов при уже заданной доле -2(0) потребительского сектора опреде-

0 к 2 — к 2

1 *

^ инвес1иционных ресурсов при у/1\е заданной доле — 2 (

<2 ляется из условия поддержания фондовооруженности материального сектора на стацио->5 нарном уровне, равном ее начальному значению: £

Л к Е — к 0, (48)

£

о так что

| — *(0) — )00(0)к0 , (49)

а 0 0*(0)4к 10), ( )

|

от оптимального происходит переключение по всем трем свободным управляющим пара-

5

Ц —1(0) — 1 — 5 0(0) — 5 2(0). (50)

00

0

¡5 Итак, в начальный момент времени в случае заметного отличия распределения ресурсов

1

метрам:

£ 5* (0) — 51(0) > 50, 5 2(0) — 5 2(0) < 5 0, 0 2(0) — 0 2 <0 0. (51)

ц л

| Этап ускоренного роста (0 < t <{)

£ На этапе ускоренного роста, который наступил после трех переключений в начальный о момент времени, система будет находиться до тех пор, пока будут выполняться необходимые условия оптимальности такого же типа, как и при t — 0:

26

N93(11)2008

е о( t)фl(t) >еп(г )ф о( t), g

I

е o(t )ф 2 ( t ) <е 2 ф o(t ), $

(t ) < 0. * ае 2 оа

Поэтому на рассматриваемом этапе оптимальное управление будет иметь вид

s*(t) = s,(t), s2(t) = s2(t), е2(t) = е2, (52)

при этом вфондосоздающий сектор поступает максимально возможный объем ресурсов, а в материальный и потребительский — минимально возможный, при котором их фондовооруженность находится на первоначальном уровне

k o(t) = k 0, k 2 ( t) = k 2 ,

откуда

Л ' ^ — 2 s (t) — Ak 0»0

е/,(kl), s0 — ëifi(ki

S 2(f) = s0(f) = s,(f) = 1- s 0( t) - s 2(t), (53)

g (f) = (1-9 2)(1-A 0)fo( k g) ~9 2 A 2f2( k ° ) - Z 0°2 (54)

1 1 (1-A o)f o( k 0) + (fli + b i)fi( k i) '

9o =9o(f)= 1-01 -92. (55)

Фондовооруженность фондосоздающего сектора растет ускоренным образом согласно уравнению

^ = -Xk 1 + s*( t)(1 + ^ 1 ( k 1)' k 1(0) = k g, (56) dt

решение которого имеет вид

k i(t ) = e -

k О + (1 + 4 i)jf s* ( f k i( T))e XT dr

(57)

Из соотношения (54) видно, что 0^)с ростом к 1 убывает, поэтому согласно (55) 00 (t) возрастает, т. е. происходит перелив труда из фондосоздающего сектора в материальный.

Несмотря на сокращение доли труда фондосоздающего сектора, его удельный выпуск будет возрастать. В самом деле, пусть за время Дt согласно уравнению (56) фондовооруженность сектора увеличится на Дк 1, тогда доля труда уменьшится на величину

Д01 =_(1-92)(1-g0)f0(k0)-92_С-Z002 (a 1 + ьi)f(ki)M 1 =__9i(-1 + Ьfk 1)Ak 1

1 [(1-a o)fo( k 0) + ( a 1 + Ь i)fi( ki)]2 1 1111 (i-a o)fo( ko) + ( a 1 + Ь f ki)

а удельный выпуск сектора получит приращение

' ( a 1 + Ь i)fi( k 1)

Дх i = fi( k i)A01 + 9 if'( k i)Ak 1 =9ifi'( k i)Ak 1

1-

(1-a o)fo( k 0) + ( a 1 + Ь i)fi( k u

которое, как видим, положительно.

27

-v

Макроэкономика

О

Ne3(11)2008

Поскольку на этом этапе фондовооруженность материального и потребительского секторов не изменяется, то согласно (53) 52(Г) убывает, 50 (Г) остается примерно постоянной, а 5, (Г) растет.

Однако из примерного постоянства 50 (Г) вытекает, что из 5,, 52 только 5, остается свободным управляющим параметром, так как

52 = 1 -50 -5,,

поэтому необходимые правила оптимальности по 5,, 5 2 (25), (26) перестают действовать и замещаются новым правилом только по 5,:

S*(t) =

S"(t), 0 2 ф ,(t) >0 i(t )ф 2 (t),

_ (58)

S ,(t), 0 2 Ф l(t) <0 ,(t)ф 2 (t).

Дальнейшее поведение системы зависит от того, какое из переключений: по 5, или по 02 — произойдет раньше.

Докажем, что переключение по 5, произойдет раньше. В самом деле, достаточным

дН г „

условием отрицательности-в любой момент Г этапа ускоренного роста является следую-

д0 2

щее неравенство (рассуждения такие же, как при обосновании этого условия в начальный | момент):

О f,'( k °

§ 6< D-^—j-

§ f2 (k 2°

>s

0

1

0 2 ((1 a °)f°(k °) + a 2f 2 (k °)) +a °)f°(k °) - z °2)

(59)

Неравенство (59) на протяжении всего этапа будет только усиливаться, поскольку

i,, k°° = const, k2° = const, а

<Ь 1 I

I D(k 1) =-^ f (k°)

& a i + b i + (1-a°)^

| ii° f1( k1)

j| растет быстрее, чем убывает содержимое квадратной скобки (ведь 0° (t) медленно растет,

о s2(t) медленно убывает, s°(t) ~ const, 02 = const). ■

u о

^ Этап замедленного роста (t < t < t,)

| На этапе замедленного роста происходит подтягивание «тылов»: материальный и потребительский секторы после стабилизации получают развитие, а фондовооруженность фон-

те

03

о

досоздающего сектора «дотягивается» до оптимального уровня. § Этап наступает после момента переключения по 5,, определяемого условием

¡5

VO и

'5

i и заканчивается переходом системы в оптимальное стационарное состояние в момент t1.

S

£ ф 1 (t 1) = °, ф 2(tJ > °.

о «Дотягивание» фондовооруженности фондосоздающего сектора от достигнутого на начало этапа уровня it1 = k 1 (f) осуществляется путем следующего выбора управления:

0 2 Ф,(Г) = 0,( ?)Ф 2 (П (60)

ы в оптимальное стационарное состояние в момент ,. Равенство (60) обязательно достижимо, поскольку ф,, ф2 — непрерывные функции и

28

N93(11)2008

s'At) = s,(f) = Ui(tf,, (i+ri(t)), ri(ti) = 0, n(t) >0, t€ [f,f,). (61) <8

(i + 1 i )rn (ki) §

<u §

Тогда уравнение (56) приобретает вид

ч

_l = \ki^i, ki(f) = ki, ki < k* 00 dt

и имеет следующее решение

t

t ) dr

ki(t) = kie f ,

ti

ц( t ) dr

ki(fi) = fie f = ki*,

откуда

r i k *

I ri(r)dr = -In-f^. (62)

•Л \ f

Точно так же осуществляется «дотягивание» фондовооруженности потребительского сектора от начального значения к0, которое сохранялось на всем протяжении этапа ускоренного роста, до оптимального значения к2*:

$ 2<0=(1+хк ^ к) (1+^ 2 а)). (63)

(1 + 41 )01^1( к 1)

Аналогично (62) находим

'г i k2

2 ( т)^т — -in kf (64)

•J. X k0

Функции л1 (t), л2(t) приближенно можно выбрать линейными:

(t —1, (t) 1 2

Л i ( t) =-, 1 = 1,2,

t-t 1

2 k * ' где л , (f ) = —-^ ln -f-, k2 = k20.

X(t 1 —f ) ki

Доля материального сектора в распределении инвестиционных ресурсов определяется по «остаточному» принципу:

S0(t) = 1— 5* (t) — S2(t).

Пока не произошло переключения по 02, распределение труда задается следующим образом:

е2(t) = 02(t) = - с

f2 ( k

(i-е

е*с ) —

(i-е 2 ) ( i a 0)f0( k 0)-е 2 а 2f2 ( k 2) - 2 02

(i-a 0)f0( k 0) + ( a i + b i)fi( k i)

30(t ) — i - е 2 ( t )-е 2( t ).

29

N93(11)2008

дН

На этом этапе 0) убывает, 0,(г) растет, отрицательное слагаемое в-, согласно (27),

д0 2

начинает быстро убывать, поскольку 12(к 2)убываетс ростом к 2 (этоособенно видно из поведения мажоранты (41)). При t = t,

дН

дёГ

= 8е—8(114к 2) —

(1 + 4^ к *

поэтому вследствие непрерывности

(1 — ао)Мк°) + (а 1 + Ь к 1) 02 дН

■((1 — ао)1о(к0) — ^02)е—6t112'(к2) >0,

д0

дН дё~

= о, Г < Г < 11.

(65)

Таким образом, на заключительной фазе этапа замедленного роста (при t > t) доля 02 должна принять свое максимально возможное значение

т =с

12( к2)

которое при t = t, достигает максимального стационарного значения

!

о §

>5

0

1

<Ъ

8 &

>5

Й |

и

0 о.

>5

1

те оз

0

1

¡В

и

3

;(t 1)=0 2 =-

14к0

т. е. на заключительной фазе этапа замедленного роста внутреннее удельное непроизводственное потребление поддерживается на уровне с*. Остальные доли распределения труда таковы:

(1 — 0 2а ))(1 — а о)1 о( к о) — 0 2 а 2 к2( к 2) — 2 0

04) = -

о

-о2

(1 — а о¥ о( к о) + (а 1 + Ь ДД к и

0оа) = 1 — 0° (t) — 0).

Замечание. При построении оптимального правила использовались ограничения (33), (44) на параметр дисконтирования

8 > —(аоо + ао2) = 0(1 — ао)1о'(ко)

-г( 0 о + 01) + ^ 0

— Х = 8„

8<00^

1,(*?)

50 50

-о 0 2(0 — ао)1о( ко) + а/2{ к?)) + -4(1 — аХ( О — 2°а

си = 8 2

Первое ограничение — достаточное условие для выполнения неравенства -фД) < д^), t € [о, t1], второе — достаточное условие для выполнения в начальный момент переключения по параметру 02 (с 02 на 02). Оба эти условия могут быть ослаблены, если использовать точное решение (фо, ф2) системы (29).

Для того чтобы убедиться в состоятельности выводов, полученных без использования точного решения, надо доказать, что ограничения (33), (44) в начальный момент времени приводят к непустому множеству значений параметра 8, иными словами, должно выполняться неравенство 8,° <82.

5

о

2

2

30

Не3(11)2008

Имеем

6 0 —6? =Х+ D

(1 — а ?

) МС

f 2 (k0)

f2'( k 0) — ( е 0 + 00)(1 — а ?)f0'( k ?

+ D

е 2

(1 а o)f?(k0) z|_f2,( k?) — е 0(1 — а ?)f?'( k?

f2 (k

\

31

03

<ъ

i

<u

1 00

Для стран с развитыми сырьевыми отраслями, но недостаточно развитыми обрабатывающими отраслями имеют место следующие соотношения:

fo(k0) > f2 (k0), f?'(k0) < f2'(k0).

Из этих неравенств вытекает, что содержимое первой и второй квадратных скобок в выражении 62 —60 положительно, поэтому60 >60.■

Итак, в результате синтеза получилось оптимальное правило, состоящее из двух этапов. На первом этапе — ускоренного роста — максимально быстрыми темпами развивается фондосоздающий сектор при фиксированной фондовооруженности материального и потребительского секторов. Момент? переключения по s, определяется из условия (60), после чего начинается второй этап — замедленного роста, на котором фондовооруженность каждого сектора «дотягивается» до оптимального стационарного уровня k 0*, k ,*, k 2. Момент f переключения по 02 находится по условию (65). Момент окончания оптимального переходного процесса — момент достижения фондовооруженностью фондосоздающего сектора оптимального стационарного значения k,* (фондовооруженность других секторов в этот момент также достигает своих оптимальных стационарных значений):

k i*( ti) = k i*,

где k,* — стационарное решение уравнения движения для k, при s, = s,*

—Xk * + Si*(1 + 41 )fi ( k i*) = 0.

На рис. 1-3 показано строение оптимального правила по управляющим параметрам s, , s2, 02, а на рис. 4 — изменение во времени удельного непроизводственного потребления.

Как видно из оптимального правила, оптимальный переходный процесс привел к росту фондовооруженности всех секторов при гармоничном распределении трудовых и инвестиционных ресурсов между ними. Особенно это проявилось в сокращении чрезмерной доли труда потребительского сектора, удельный выпуск которого, несмотря на это, заметно возрос за счет роста фондовооруженности. Следует также отметить, что динамика удельного потребления точно такая, как и в случае односекторной модели.

Согласно рис. 4 максимум дисконтированного удельного потребления равен

то

max6 J e — 6t 0 2 (t )f2 ( k "2(t))dt = (1— e — 6t~)ç + e — 6f c*, 0

где t — момент переключения по 02.

0

N93(11)2008

Рис. 1. Оптимальное правило поs1

!

о §

>5

0

1

<ъ &

>5 £

I

и

0 а

>5

1

те аз

0

1

¡В

и

¡8

Рис. 2. Оптимальное правило по 52

0, д

Рис. 3. Оптимальное правило по (

32

Не3(11)2008

03

<ъ

I

<ъ

I!

4

00

Рис. 4. Динамика удельного непроизводственного потребления за счет отечественного производства

В заключение заметим, что строение оптимального правила принципиально не изменится, если отказаться от условия y2 = const и ввести ограничение на потребительскую безопасность в форме равенства y2 = 42х2.

6. Решение стационарной задачи

В общем виде (20) стационарную задачу пока не удалось решить. Ниже приводится ее решение для случая, когда производственные функции секторов являются функциями Коб-ба-Дугласа

F. (к, L) = AiK °'Cra', i = 0,1,2,

тогда

f. (ki) = A,k22, i= 0,1,2. Учитывая, что стационарность фондовооруженности секторов

kE =

(1 + 41) Ai

X

1-Г s:

i = 0,1,2,

стационарные удельные выпуски секторов примут следующий вид:

х 0 = 9 0f 0( k E) = B 0 s

0J0 "0 "1 J1

91^1 (kE) = B19Д21

х, =

2f 2 (k E) = B 2 s Г 2 9 9 Г2 s1

(66)

где

=A

(1 + 41) A1 X

, i = 0,1,2.

(67)

33

N93(11)2008

Таким образом, в случае функций Кобба-Дугласа стационарная задача имеет следующий вид:

?2я 2а 2 0 1-22 0 22 я/

-»• тах, )0 +01 +02 = 1, 0, > 0, я0 + я1 + я2 = 1, я,. > 0,

(68)

(69)

(70)

(1-а 0) В 0Я 20 0220 0 20 я?-21 = (а 1 + ¿0 В10 я1-21 + а, В ,я

"2 0 ^2я1-21 + 2

2 2 2 2 "1 "Ч

(71)

Так сформулированная задача является классической задачей на условный экстремум (за исключением условий 0, > 0, я, > 0). Трудовой и инвестиционный балансы (69), (70) будем учитывать напрямую (0,, 02,я,,я2 — варьируемые переменные), а материальный баланс (71) включим в функцию Лангранжа

I = х2 + X [(1-а0)х0 - а + ¿1)Х1 - а 2х2 - 2 где под х0, х 1, х2 понимаются их выражения (66), а

= 1-0 1 -0 2 , я 0 = 1-я1 -я 2

Имеем

! о

>5

0

1

<ъ &

>5

Й |

и

0 а

>5

1

те аз

0

1

¡В

и >5

¡8

д1 21Х

" (1- -21)я1

д1 д01 X = 01 í 1 ~ - а

д1 дя 2 = X 1 ~ - а ,Х

д1 д0 2 = X í 1 ~ - а и

~ - а-

2 2 х 2 + (1-а 0)2 0х,

1-

1-2 1 я1

- (а + Ь1) х

= 0,

2 2 х 2 + (1-а 0) х 0

2 0---(1 -2 г

-(а1 + Ь1) х 1 = 0,

2 2 х 2 п „ 0х 0 --(1-а 0)-

= 0,

(1-2 2) ^-(1-а 0 )(1 2 0) х° = 0.

(72)

Из третьего и четвертого уравнений (72) получим

1-2 0 я0 1-2 2 я2

(73)

2 0 0 0 2 2 0 2

Найдя( а! + Ь Дх 1 из первого и второго уравнений (72) и приравняв другдругу найденные выражения, получим

1 -2 я. 1 - 2 _ я.

(74)

21 01 2 0 0 0

Таким образом, на траектории оптимального роста в пространстве управляющих пара-метров(0,я)должны быть равны отношения скорректированныхдолей секторов в распределении ресурсов:

0 0/(1-2 с

/(1-2 1) 0 2/(1-2 2

где под скорректированной долей ресурса понимается отношение этой доли к эластичности ресурса.

2 я

10

0

5

2

0

0

34

Не3(11)2008

Подставим соотношения (73), (74) в уравнения инвестиционного (70) и материального § (71) балансов:

е, „ е

-(1-51) 0 1 +— 0 +— ^10 2 = 0,

(1-а о)й 0 0 051-"1 = (а, + Ь,) В10 Д4 + а 2Р 2 0 25;-"1 + 2 о02,

3

<ъ

(75) | оо

где

1 — а ;

е,- =-L, I = 0,1,2; й, =

I = 0,2.

(76)

(77)

Присоединив к уравнениям (75), (76) уравнение трудового баланса (69), получим систему из трех линейных алгебраических уравнений относительно 00, 0^ 02. Разрешим (69), (75) относительно 00, 0!:

1— 5, —

и е 1

1 — 1--L 51

е 2

1 —

1—-

1 —

1 —-

(78)

Подставим эти значения в (76): 1—5, —

(1 — а 0)й 0

и е 1

1 — 51

е 2

1 —

1 —-

-51 а1 — (а 1 + Ь

е1 е1

1 1

1 —

1 —-

-51 а1 — а 2й 2 0 251 а1 = 2 02

и разрешим полученное линейное уравнение относительно 02:

(1 — а 0)й 0(1— 51)5^ — (а1 + Ь^ В1-1- 51—а1 — 2 02

2(51) = ■

[1 е 1

1 — 51

е 0

(79)

(1 — а 0)й 0

1 — [1 е 1 51

е 2

51 а1 + (а1 + Ь

1 1

е 1 е 1 1 + а 2й 2 е 1

51 " 1 — 1--L 51

[е 2 е 0 е 0

Таким образом, получили выражение для критериальной функции как функции только

0 2(51)5

1—а1

• тах.

Траектория (02(51),51) в пространстве управляющих параметров (00, 01, 02,50,51,52) является траекторией оптимального сбалансированного роста. Однако продвигаться по ней

а 2

вплоть до достижения локального максимума функции 02(51)511— а нецелесообразно,

\

35

0

2

0

5

0

2

е2 е0

0

5

5

0

21

е2 е0

5

5

0

0

0

N93(11)2008

поскольку это связано со все большими затратами средств производства на производство дополнительного рубля предметов потребления. При проведении численныхэксперимен-товсмоделью, результаты которыхописаны в последнем разделе, было принято, чтодвиже-

Дх 2

ние прекращается при-= 0,5, т. е. увеличение производства средств производства

Д х0 +Дх,

на 1 руб. приводит к росту производства предметов потребления на 0,5 руб.

7. Ретроспективный сценарий возможного развития экономики России

Применим полученные теоретические результаты к исследованию возможного пути развития экономики России с 1991 года до достижения оптимального стационарного состояния. Для пояснения результатов выполняемых расчетов в скобках приводятся соответствующие формулы.

На основе данных2 за 1960-1991 годы (в ценах 1983 года) были найдены следующие производственные функции секторов (1,.(к,) = А1к,а;):

X0 = 6,19 К00,46С54, Мк0) = 6,19 к00,4 X1 = 1,35 К268¿0'32, Цк 1) = 1,35 к°,68,

'0,49/0,51

(80)

X 2 = 2,71 К 2°,49 Г/', 12( к 2) = 2,71 к 2°,4

§ В результате агрегирования межотраслевых балансов за 1985-1987 годы были определе-

| ны следующие коэффициенты прямых материальных затрат по секторам (руб. материалов на

0 1 руб. продукции соответствующего сектора в ценах 1983 года):

т

'§ а 0 = 0,39; а 1 = 0,29; а 2 = 0,52.

1

* Расчет начальных значений

щ

^ Фактические значения фондовооруженности секторов за 1990 год были такими (тыс. руб.

& в ценах 1983 года на одного занятого):

О

|

к0 = 48,7; к0 = 16,6; к20 = 9,4. (81)

В 1989-1990 годы экономика Российской Федерации характеризовалась следующими фак-

§ тическими долями распределения трудовых и инвестиционных ресурсов между секторами: ¡а

е0 = 0,22; е,° = 0,16; 90 = 0,62 (1990 год);] I 012 I (82)

§ я0 =0,47; я? = 0,14; я0 = 0,39 (1989 год). I

0 §■

« Используя производственные функции (80), найдем расчетные значения отраслевой

| производительности труда секторов (/\(к°) = А1 (к,0)а;):

| Мк0) = 37,0(36,4), к0) = 9,1(10,6), (2(к0) = 8,1(7,7) (83)

| (в скобках приведены фактические значения отраслевой производительности труда).

1

Л; Сбор данных, их пересчет в сопоставимые цены, расчет производственных функций Кобба-Дугласа секто-

ров, агрегацию межотраслев< прикладной математики ГУУ.

® ров, агрегацию межотраслевого баланса России выполнила в 1999-2000 годы Л. А. Константинова, доц. кафедры

36

Не3(11)2008

Начальные значения удельных выпусков секторов (х0 =00(к0)) найдем, используя

у 0 = 2 0

уi + 2 01

0

0 У10

поэтому начальное значение коэффициента квотирования

"■■= х?

будет равно40 = 0,96.

Как видим, расчетная производительность материального и потребительского секторов оказалась несколько выше, чем фактическая, а расчетный показатель фондосоздающего | сектора — ниже фактического.

1!

среднеарифметическое фактической и расчетной отраслевой производительности секто- оо ров:

х? = 8,07; х? = 1,58; х0 = 4,9. (84)

Подставив эти значения в материальный баланс, получим начальное значение удельного экспорта материалов (70 = (1 — а0 )х0 — а1 х0 — а2х0):

2 0 = 1,91.

Учитывая, что в 80-х годах прошлого века выручка от экспорта материалов распределялась в пропорции 2:3 на импорт инвестиционных и потребительских товаров, получим

201 = 0,76; 202 = 1,15. (85)

Примем, что в это время соотношение мировых цен на импортные инвестиционные товары и экспортируемые материалы было примерно таким же, как и сейчас:

^ = 0,5

Я 0

(т. е. на 1 руб. материалов можно было купить на 2 руб. машин и оборудования).Тогда начальный удельный импорт инвестиционных товаров составит

У 0 = 1,52, (86)

Начальные переключения в соответствии с оптимальным управляющим правилом

Большая открытость экономики относительно импорта инвестиционных товаров (40 = 0,96) слишком рискованна, поэтому выберем коэффициент квотирования в соответствии со стандартом ЕС (поставка от рискованного поставщика не должна превышать трети потребности):

. 41 = 0,5,

от

отсюда о, =4, = 0,25. 1 1 Я

В начальный момент времени правая часть неравенства (44) равна 1,3, поэтому это неравенство выполнено при 8 < 1,3. Далее примем, что коэффициент дисконтирования равен 1, поэтому 02(0) = 02, и 02 будет удерживаться на этом уровне вплоть до момента Г.

Значение 02 (0) = 02 определим из условия сокращения удельного потребления на 8% (с = 0,92х 0)

7,9 0 2 = 4,6,

откуда 02 = 0,58.

=Х 37

Не3(11)2008

Значения 00 (0), 9*(0) определяем из трудового и материального балансов е 0 +9, = 0,42,

(1-ао)Ук0)00 -(а, + Ьк0)9, = а2 -0,58^2(к0) + гО2,

откуда 90(0) = 0,21, 9*(0) = 0,21.

Поскольку90 »90 »90, то90ф,(0) >90ф0(0), 90ф0(0) >90ф2(0), поэтому5*(0) = 5,(0), 52(0) = 52 (0). Найдем нижние значения 50 (0), 52(0):

5 0(0) = 5 0(0) = 5 2(0) = 5 2(0) =

Х9 0 (0)к 0

о+ч ,)9 \т,(к 0

Х9 2(0) к 0

(1+4 ,)9 2(0)1,( к 0

- = 0,164,

I

■ = 0,087,

I

о §

>5

0

1

<ъ §

&

>5 £

I

и

0 а

>5

1

те аз

0

1

¡В

и

¡8

откуда 51 (0) = 1 - 50 (0) - 52 (0) = 0,749.

Далее на протяжении всего этапа ускоренного роста доля фондосоздающего сектора в распределении инвестиционных ресурсов будет медленно возрастать. Таким образом, на этом этапе сектор будет получать «львиную» долю инвестиционных ресурсов() > 0,749).

Расчет оптимальных стационарных значений

Прежде всего по формулам (67) при Х = 0,05 (норматив Минэкономразвития) и по коэффициентам производственных функций (80), а также по формулам (77) находим

В 0 = 1266; В1 = 3471; В 2 = 773; е 0 = 1,17; е1 = 0,47; е 2 = 1,04;

= 0,4; -11 = 0,05; £1 = 0,45;

е2 е0

О 0 = 831;

е2 е0

а 1 + Ь 1)В 1 = 94; О2 = 523;

(1-а0)О0 = 507; —(а 1 + Ь 1)В 1 = 750; а2О2 = 272;

а 0 . = 1,44; — = 2,13; = 1,53.

1 -а 1 1 - а 1

1-а.

Подставим эти значения в выражение (79):

,(51) = ■

507(1-51)5144 - 7505?'13 - 1,15(1-0,6)51

507(1-0,5551)5144 + 9453 3 + 272(1-0,651)5153

затем по формулам (78) определим 90 (5-!), 9^ (5-!).

При каждом 5! значения удельных выпусков равны соответственно

х 0(51) = О 0 9 0 ( яХ^ = 831 9 0(51)51

(87)

х 1( 51) = В А^к1^1 = 3471 91(51)512,13,

х2 (51) = О292(51)51-а1 = 523 92 (5Х5

(88)

0

2

0

38

Расчеты по формулам (87), (88) дали результаты, приведенные в табл. 1.

Не3(11)2008

03

<ъ

Таблица 1 §

5

Расчетные стационарные удельные выпуски секторов (тыс. руб./чел. в ценах 1983 года)

и доли секторов в распределении труда в зависимости от 51

0 „(*,) •о(5,) 0,(5,) •ММ 0 2 (5,) Х2 (5,) Х2 *0 + •, Дх2 Дх 0 +Дх,

0,14 0,359 17,57 0,066 3,51 0,575 14,86 0,705 —

0,16 0,372 22,07 0,076 4,04 0,552 17,49 0,670 0,523

0,18 0,374 26,29 0,086 7,79 0,540 20,48 0,601 0,375

0,20 0,383 31,35 0,097 11,01 0,520 23,17 0,547 0,325

0,32 — — — — 0,362 33,37 — —

ч

оо

Как видно из таблицы, расчетный удельный выпуск потребительского сектора растет, достигая максимума при 51 & 0,32. Однако этот рост дается все более дорогой ценой: увеличение выпуска средств производства на 1 руб. сопровождается все меньшим ростом выпуска предметов потребления3. Если взять за нижнюю границу прироста предметов потребления 0,5 руб. на 1 руб. роста средств производства, то 5,* = 0,16. Как видим, отличие от начального значения 5° = 0,14 небольшое.

Ниже приводится полный перечень оптимальных стационарных значений параметров и переменных (в скобках указаны соответствующие начальные значения):

е0 = 0,37 (00 = 0,22), 50 = 0,32 (50 = 0,47),

,3( к 00 = 48,7),

к 0 =(

х 0 = 22,1 (х 0 = 8,1), Г0( к 0) = 51,08, Г0'( к 0) = 0,239,

01 = 0,08 (00 = 0,16), 5* = 0,16(50 = 0,14), к * = 337 (к 0 = 16,6), х* = 4,0 (х0 = 1,6), Ц к *) = 70,65, 4 к *) = 0,143,

02 = 0,55 (00 = 0,62), 5* = 0,52 (50 = 0,39),

(к 0 = 9,4),

к 2 = К

х* = 17,5 (х0 = 4,9), ^2( к 2*) = 25,37, ^2'( к 2*) = 0,117.

(89)

Как видим, многократно возрастает фондооснащенность потребительского и особенно фондосоздающего секторов, в то время как фондооснащенность материального сектора увеличивается всего в 2 раза. Это позволило бы более чем в 3 раза увеличить удельный выпуск предметов потребления (напомним, в их состав входит и вооружение), при этом ВВП возрос бы в 2,9 раза.

Продолжительность переходного процесса

Момент времени 11 окончания оптимального переходного процесса определяется по достижении фондовооруженностью фондосоздающего сектора оптимального стационарного значения к*.

Уравнение (12) для фондовооруженности сектора в нашем случае имеет вид

ёк.

^ = -\к 1 ёг 1

+ 51(0(1 + 4МкГ1, к 1(0) = к0

По этой причине соответствующие места в таблице остались незаполненными.

3

39

N93(11)2008

подстановкой к1 (г) = е хги(г) оно сводится к уравнению с разделенными переменными

^ = 5*(г)(1+ч,)Дех(1-а,)'и<\ и(0) = к0, которое имеет следующее решение:

поэтому

и{т) =

к 1а1 (г) =

(1-а 1)(1 + ч ОД /з*( т)е х (1-а1) т dт + (к

0 \ - а1

!

0

1

>5

0

1

<ъ &

>5

Й |

и

0 а

>5

1

те аз

0

1

¡В

и >5

¡8

(1-а 1)(1+ч ОД / 5* (т)е х(1-а1) т dт+ (к 0

Поскольку к 1(г 1) = к*, то из (90) получаем

(к 0)1-а1 е-х(1-а1)г1 = (к *)1-а1 - (1-а 1)(1+ч ,)А,е

Воспользовавшись теоремой о среднем, заменим

J 5*( т)е х(1-а1»т dт= Ьз* J е х ^т dт= Ьз

-х (1-а1

,-Х (1-а1

7

5 (т)е

Х(-а,) т

dт.

. е

Х(1-а1)Г1

-1

Х( 1 - а 1

(90)

(91)

(92)

Выражение (91) примет вид

(к

0 \1-а1 - Х(1- а1 )Г1

= (1- Ь)( к 1)|-а1 + (к 1)|-а1 е

1-а^ -Х(1- а1 )Г1

откуда

1п

к 0 1- а1

к *

- 1п( Ь -1)

Х( 1 - а 1

(93)

Используя данные (89), по формуле (93) при Ь = 1,45 получаем г 1 = 20 лет, т. е. столько занял бы сбалансированный переход от начального состояния (к00 = 48,7; к 10 = 16,6; к20 = 9,4) в конечное оптимальное стационарное состояние (к 0* = 98,3; к * = 337; к 2* = 108).

Определение момента переключения Г

Момент переключения по параметру з1 оценим косвенно, исходя из строения оптимального правила. До момента Г параметр з1 поддерживается примерно на одном и том же уровне 0,75. В момент переключения параметр принимает минимально возможное значение 5Дг) < з*, которое незначительно отличается от з*. Поэтому

Jз* (т)е х(1-а1)тdт= Jз*( т)е 00

Х(1- а1)

1

+ Jз*(т)е х(1-а1»тdт

1

1

-[0,75( е х(1-а1)Г -1) + 0,15( е х(1-а1 )г1 - е х(1-а1)г)] = [0,75( е 0016г -1) + 0,15( е 0'016г1 - е °'016г

Х(1-а У 0,016

0

0

0

0

г 1 =

40

Однако этот же интеграл, согласно выражению (92), равен

Не3(11)2008

03

<ъ

И 5

— -0,1б(е°,°16 '' - 1). $

0,016 £

При И = 1,45, t1 = 20 находим Г ^ 5. Ц

Таким образом, продолжительность этапа ускоренного роста составит примерно 5 лет. За это время за счет усиленных инвестиционных вливаний фондовооруженность фондосоз-дающего сектора вырастет до уровня

Г = к;(Г)=

а75(1 + ^ 1)Д-( е - -1) + (к0

1

0,32 .

е -0,25 = 118,3,

-V

ф Макроэкономика

41

Щ

х

увеличившись более чем в 7 раз по сравнению с первоначальным значением. За оставшиеся 15 лет до конца переходного процесса фондовооруженность должна была бы возрасти еще в 2,8 раза.

8. Выводы

В результате проведенного исследования на основе открытой трехсекторной модели экономики и с помощью принципа максимума Понтрягина было найдено оптимальное динамическое правило распределения трудовых и инвестиционных ресурсов между секторами открытой трехсекторной экономики. В качестве критерия использовался максимум дисконтированного удельного потребления.

Согласно оптимальному управляющему правилу переход экономической трехсекторной системы из первоначального состояния (к0 ,к 10,к0 ) в оптимальное стационарное состояние (к0,к1*,к2*) осуществляется в два этапа. На каждом этапе обеспечивается сбалансированность по трудовым, материальным и инвестиционным ресурсам.

Если в начальный момент времени состояние системы и распределение трудовых и инвестиционных ресурсов значительно отличались от оптимальных, то необходим этап ускоренного индустриального роста. Этап начинается стрех переключений: параметр 51 устанавливается на максимально возможном значении, 52 — на наименьшем, параметр 02 — на значении, при котором удельный выпуск предметов потребления уменьшится до минимально допустимого уровня с. Кроме того, в этот момент возможно переключение по коэффициенту квотирования импорта инвестиционных товаров ^ 1.

На этом этапе максимально возможные объемы трудовых и инвестиционных ресурсов направляются в фондосоздающий сектор, вто время как фондовооруженность материального и потребительского секторов остается на первоначальном уровне. В результате система переходит в промежуточное состояние (к0 ,/с1,к20).

Момент перехода ко второму этапу Г определяется из условия 02ф 1(Г) = 0,*(Г2(Г). На этом этапе — этапе замедленного индустриального роста — усиленным образом растет фондовооруженность потребительского сектора, фондовооруженность фондосоздающего сектора «подтягивается» до оптимального стационарного значения к1*, фондовооруженность материального сектора возрастает ровно настолько, чтобы обеспечить потребности в материалах фондосоздающего и потребительского секторов и экспорт в объеме, необходимом для обеспечения импорта инвестиционных и потребительских товаров.

На заключительной фазе этапа в момент Г > Г происходит переключение по параметру 02 со значения 02 до максимально возможного значения 02(Г), после чего продолжается его

Ne3(11)2008

е 2 (t) =

вплоть до достижения в момент t, оптимального стационарного

f2(k 2

уменьшение значения 02.

Момент окончания переходного процесса t, определяется как момент достижения фондовооруженностью фондосоздающего сектора своего оптимального стационарного значения к*, т. е. к,) = к*.

Применение полученных теоретических результатов позволило построить ретроспективный сценарий возможного индустриального развития экономики России в 19912010 годы. В основе сценария — производственные функции секторов, найденные по данным за 1960-1990 годы и отражающие сложившийся за этот период технологический уклад.

Согласно сценарию на этапе ускоренного индустриального роста (1991-1995 годы) произошло бы интенсивное развитие фондосоздающего сектора за счет перелива в него 75% инвестиционных ресурсов, в результате фондовооруженность сектора к концу этапа возросла бы более чем в 7 раз. Оставшиеся 25% инвестиционных ресурсов использовались бы лишь на поддержание фондовооруженности материального и потребительского секторов на первоначальном уровне.

На втором этапе замедленного индустриального роста (1996-2010 годы) произошло бы гармоническое развитие всех секторов. За эти 15 лет фондовооруженность фондосоздающего сектора возросла бы еще в 2,8 раза, материального — в 2 раза, потребительского —

§ более чем в 10 раз.

§ В целом за весь период (1991-2010 годы) осуществления индустриального сценария ВВП

§ возрос бы в 2,9 раза, а удельный выпуск предметов потребления — более чем в 3 раза.

*

>5

0

1

*

и

<8 мой поддержки государства.

Поскольку используемая модель основана на отсутствии лага капиталовложений, а оптимальное правило — на мгновенных переключениях, то реальные сроки осуществления сценария могут заметно возрасти. Учет финансовых ограничений также увеличивает сроки. Яснотакже, что такое масштабное развитие фондосоздающего сектора невозможно без пря-

Проведенное исследование со всей непреложностью показывает, что России нужна 2 была не шоковая терапия, а вторая индустриализация на базе новейших достижений науки и техники, т. е. то, что сейчас называют инновационным путем развития.

и Список литературы

а.

>s Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. 1

g матизации. М.: Копия-Принт, 1997.

Is Колемаев В. А. Математическая экономика. М.: Юнити, 1998, 2002, 2005. и

¡S !5

VO

0

>g ных процессов. М.: Наука, Физматгиз, 1969.

■с Phelps E. S. Golden Rules of Economic Growth. New York, W.W. Norton and Company, Inc., 1966.

1 Solow R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // Quarterly Journal of Economics. 1956.

g № 70. P. 65-94. с

О Uzawa H. Optimal Growth in Two-Sector Model of Capital Accumulation // Review of Economic Studies. 1964. №31. P. 1-24.

Колемаев В. А. Трехсекторная модель экономики // Сб. науч. тр. Международной академии инфор-

Колемаев В. А. Моделирование макроэкономических процессов и систем. М.: Юнити, 2005. ПонтрягинЛ. С., Болтянский В. Г., ГамкрелидзеР. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптималь-

c

42