Оптимальный алгоритм приема при использовании модели несущей в пространстве состояний со случайной матрицей выхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.397.13

Оптимальный алгоритм приема при использовании модели несущей в пространстве состояний со случайной матрицей выхода

Вадим Михайлович Советов, д. т. н., с.н. с., проф. каф. «Информационные системы», e-mail: [email protected]

Павел Александрович Медведев, аспирант, e-mail: [email protected]

ФГОУ ВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва

Синтезирована схема оптимального приема при представлении несущего сигнала динамической моделью в пространстве состояний, использовании вектора начального состояния в качестве информационного вектора и при случайной матрице выхода; показано, что оптимальный приемник представляет собой отдельные каналы для каждой гипотезы, где для вычисления максимума апостериорных вероятностей используется модифицированный фильтр Калмана, весовая матрица которого вычисляется с учетом матрицы ковариации выходной матрицы динамической модели и значения вектора состояния в каналах; доказано, что данный алгоритм может применяться для приема сигналов в условиях многолучевости, если матрица выхода динамической модели образует из вектора состояния вектор выхода, соответствующий сумме лучей.

The authors synthesized the scheme of optimum reception at representation of a bearing signal by dynamic model in space of conditions, use of a vector of an initial condition as an information vector and at a random matrix output it is shown that the optimum receiver represents separate channels for each hypothesis where for maximum calculation a posteriori probabilities the modified Kalman's filter is used, which weight matrix is calculated taking into account a matrix of a covariance of a target matrix of dynamic model and value of a vector of a condition in channels; it is proved that this algorithm can be used for receiving signals in multipath, if a random matrix output of dynamic model forms a vector of the output corresponding to the sum of beams.

Ключевые слова: динамическая модель, фильтр Калмана, оптимальный прием, пространство состояний, матрица переходных состояний, матрица выхода, оптимальная оценка, отношение правдоподобия.

Keywords: Dynamic model, Kalman’s filter, optimal reception, the state space, the matrix of transition states, the matrix of output, optimal estimation, likelihood ratio.

В настоящее время для организации локальных компьютерных сетей внутри зданий все большее применение находят беспроводные системы связи. Как известно, таким сетям свойственно явление многолучевого распространения сигналов, возникающего из-за отражения радиоволн от различных препятствий. На приемнике радиоволны складываются, и в результате изменяются фаза и амплитуда принимаемого сигнала, что приводит к уменьшению помехоустойчивости. Для приема сигналов в условиях многолучевого распространения обычно используют приемники, синтезированные для канала с аддитивным белым гауссовским шумом, при этом соответствующим образом изменяют пороги принятия решений. Иногда используют разнесенный прием. И в том и в другом случаях основой приемников является коррелятор, который требует жесткой синхронизации с несущей при когерентном приеме. Для уменьшения этих требований можно использовать представление несущей динамической моделью в пространстве состояний [1]. При таком представлении в качестве основы приемников выступает фильтр Калмана, который для осуществления оценки не требует синхронизации с

несущей. Используя такое представление, рассмотрим задачу оптимального приема сигнала в условиях многолучевого распространения.

Цель статьи : осуществить синтез оптимального приемника в условиях многолучевого распространения сигнала на основе представления несущей динамической моделью в пространстве состояний.

Дискретный сигнал можно представить динамической моделью в виде уравнения перехода состояний [1 - 4]:

х(к + 1) = Ах(к) (1)

и уравнения выхода

у (к) = Сх(к), (2)

где А - матрица перехода состояний (МПС), при умножении на которую вектора состояния х(к) на к-м шаге получается вектор состояния на (к+1)-м шаге; С - матрица выхода, определяющая связи переменных состояний с выходом системы.

Модель динамической системы в пространстве состояний, образующей гармоническое колебание, будет иметь вид [1]

1 k + 1 ' 0 1 ■ x1 (к)

1 ( k + 1 -1 2cosoT x2 (к)

у(к ) = [1 0]

x1 (к) с2 (к)

Здесь

0

-1

1

2cos oT

= A , где T - интервал дискре-

тизации.

Начальная фаза в и амплитуда колебания A будет зависеть от вектора начального состояния:

sin(e)

sin (oT + в)

,(0) = A

C(r) =

1 + -

sin oT

sin oT

где r - случайная задержка второго луча.

Предположим, что матрица С нормальная с математическим ожиданием и матрицей ковариации

E{C} = C и E{LL"} = Vl ,

где L1" = {C[,C2,...,CN}, C, - столбцы матрицы выхода.

Рассмотрим задачу оптимального приема такого сигнала в общем виде в случае двух гипотез H0 и H1 . Пусть начальный вектор x(0) представляет собой случайный вектор сообщения с детерминированными, но неизвестными значениями элементов, тогда

H0 : x0(k +1) = Ax0 (k); y(k) = Cx0 (k) + v(k),

к = 1,2,..., K,

H : x1(k + 1) = Ax1 (k); y(k) = Cx1 (k) + v(k),

k = 1,2,..., K .

При этом аддитивная помеха v(k) представляет собой белый шум с нормальным распределением и известными статистическими характеристиками

E{v(k)} = 0 ; cov{v(k), v(j)} = Vv (k)(k - j).

Решение о выборе той или иной гипотезы принимается по к наблюдениям:

?(к) = у(1), у(2),..., у (к).

Если векторный параметр х(к) не случаен и

его значение неизвестно, то можно воспользоваться обобщенным отношением правдоподобий [2]:

шахРг(У(к) | х(к), Н1)

лда)) =

x(k)

maxPr(Y(k) | x(k), H0)

x(k)

(3)

Для изменения частоты колебания на соt необходимо изменить элемент МПС a22 = 2cos otT .

Матрица выхода С может использоваться для моделирования искажений при прохождении сигнала через канал связи и также является случайной. В частном случае она может моделировать искажения, связанные с многолучевым распространением. Например, для двух лучей матрица выхода имеет вид

sin(oT - roT) sin roT

Согласно (3) сначала необходимо найти максимум условных вероятностей по допустимым областям значений х(к), а затем вычислить их отношение.

Вычислим правдоподобие для какой-либо гипотезы Н0 или Н при получении к наблюдений. По теореме умножения условная вероятность

рда )|х(к)) = )].

Рг(х(к))

Представим У(к) как объединение нового наблюдения у (к) и У(к -1) предыдущих наблюдений:

Рг(У(к )|х(к)) = РГ[Х(к >Р-1)1 . (4)

Рг(х(к))

Числитель выражения (4) запишем как

Рг[х(к), у (к), У (к -1)1 =

= Рг[у (к) | х(к )]Рг[х(к) | У (к - 1)]Рг[У (к -1)1.

Отсюда

Рг(У(к )|х(к)) =

= Рг[у(к) | х(к )]Рг[х(к) | У (к -1)1 Рг[У(к -1)1 Рг(х(к)) •

При равной вероятности гипотез получим обобщенное отношение правдоподобий (3) в виде

Л(У(к)) =

max Pr[y(к) | x(k), H1 ] Pr[x(k) | Y(k -1), H ]

. x(k)___________________________________________________

max Pr[y(k) | x(k), H0 ] Pr[x(k) | Y(k -1), H0 ]

x(k)

. (5)

Найдем плотность вероятности Рг[у(к) | х(к), Н01], где Н01 показывает, что может быть справедлива

гипотеза Н0 или Н1. Наблюдение у(к) связано с состоянием системы х(к) линейным уравнением у (к) = Сх(к) + у(к). (6)

Плотность вероятности Рг[у (к) | х(к), Н01]

будет нормальной, так как преобразование (6) ли-

нейное, а матрица выхода С и помеха v(k) нормальные. Поэтому для записи этой плотности вероятности необходимо найти лишь математическое ожидание и дисперсию. Среднее значение процесса

E{y(k) | x(k),Я„д} = E{[Cx(k) + v(k)] | x(k),H0 l] .

Для гипотезы H0 среднее значение процесса будет Cx0 (k), а для Hi будет Cxi (k) или короче

Cxo,i(k) .

Для нахождения дисперсии (6) вычтем математическое ожидание Cx0 i (k), соответствующее гипотезе:

Cxo4(k) - C4l(k) + v(k ) =

= (C - C)xo,i(k) + v(k) = ^o,i(k) + v(k), (7)

где C = C - C и C = C + C .

По определению дисперсия случайного вектора (6) равна

var[y (k )| xo,i(k)] =

= E{[Cxo,i(k) + v(k )][C xo,i(k) + v(k )]т }. Составим матрицу из векторов состояния:

" xo,i(k) o ... o

o xo,i(k) - o

Pr[y (k )| x(k), Ho,i] =

Xo,i(k) =

(8)

0 0 0 х0^к)

и представим первый член (7) как

СхоД(£) = ХоД(£)Ь , (9)

где Ь = Ь - Ь .

Тогда, с учетом независимости (9) и у(к), получим

уаг[у (к )| ХоД(к)] =

= Е([ХоД(к)Ь + у(к)][ХоД(к)]Ъ + у(к )]т } =

= Е(ХоД(к )Ь Ьт Х0тд(к)} + Е{у(к )у т (к)} =

= ХоД(к )Е{Ь Ьт }Хтд(к) + Уу (к) =

= ХоД(к )УЬ (к )Хтд(к) + Уу (к).

Отсюда плотность вероятности Рг[у(к) | х(к), Н0 х] будет иметь вид

(2п)”/2 {det[ Xo,i (k) VL (k )X o,i (k) + Vv (k)]}

i/2

Х еХМ - 2 [у (к) - Схо,1 (к )]т х

х[ХоД(к)Уь(к)Х0д(к) + Уу(к)]-1[у(к) -Сход(к)]}.

Теперь найдем плотность вероятности Рг[х(к) | У(к -1), Н01]. Она тоже будет нормальной

и, по определению, условное среднее значение запишется в виде

Е[х(к) | У (к -1), Нод] =

= хоД(к | к -1) = Мод(к -1),

где хо 1(к -1) - оценки, полученные при справедливости гипотез Н0 или Н1 на (к - 1)-м шаге.

Таким образом, условное среднее значение вектора состояния х(к) при получении (к -1) наблюдений представляет собой экстраполяцию оценки ход(к -1) на шаг вперед, т.е. ход(к | к -1).

Безусловное среднее при справедливости гипотезы Н0 равно х0(к), а при Н1 равно х1(к).

Условная дисперсия оценки вектора состояния х(к) при полученной последовательности У (к -1) равна экстраполяции на шаг вперед дисперсии ошибки оценки Ухо ;(к -1), т.е. Ухо ;(к | к -1):

уаг[х(к )| У (к -1), НоД] =

= УхоД (к | к -1) = АУхоД (к - 1)Ат.

Таким образом, плотность вероятности Рг[х01(к) | У (к -1)] будет иметь вид

Рг[х(к) | У (к -1), Н 0,1] = 1

(2ж)"/ 2[det Vx (k|k -1)]

V2

Х ехр(- ^[х(к) - х,,1 (к | к - 1)]т х хУх011 (к | к - 1)[х(к) - ^0,1(к | к -1)]}.

Используя полученные выражения, запишем обобщенное отношение правдоподобия (5) в виде

i

I det[Xo (k)Vl (k)X0 (k) + Vv (k)]det Vx0 (k j k -1) ] V2

Л^^)) = -!--------------------------------------------------> х

| det[Xl (k)Vl (k)X0 (k) + Vv (k)] det Vx (k j k -1) |

max

x( k)

exp і-i[y(k) - Cxl(k)]0 [Xl(k)Vl (k)X0(k) + Vv (k)]-1[y(k) - Cxl(k)]^

j

max

x( k)

exp і -2 [y (k) - Cxo (k)]0 [Xo (k) Vl (k)X0 (k) + Vv (k)]-1 [y (k) - Cxo (k)]

exp{- -[x(k) - xl(k j k -1)]0 Vx 1 (k j k - 1)[x(k) - xl(k j k -1)]}

exp {- 2 [x(k) - xo(k j k -1)]0 V- (k j k -1) [x(k) - xo(k j k -1)]

(10)

Обозначим

A j det[Xo (k)VL (k)Xo0 (k) + Vv (k )]det Vx0 (k j k -1) A “I det[Xl(k)Vl(k)X0(k) + Vv(k)]detVx1(kjk-1)

+ max - - [y (k) - Cxi (k)]0 х

x(k H 2

х [ Xl (k )Vl (k )X0 (k) + Vv (k )]-1 [y (k) - Cxl (k)] -

-2[x(k) -xl(k j k -1)]0 х хVx11(kjk - 1)[x(k) - xl(kjk -1)]}-

Выражения в фигурных скобках имеют одинаковый вид, поэтому для дифференцирования можно использовать любое из них. Запишем эти выражения в виде

Принятие решения осуществляется по отношению максимумов правдоподобий в (10). Воспользуемся известным приемом, при котором будем искать максимум логарифма правдоподобий.

Взяв логарифм с каждой стороны (10), получаем

1п Л (У (к)) = 1п А - 1п А +

1,

Vx

-2[y(k) -Cxo,l(k)]0 х

-max -T[y(k) - Cx0 (k)]т X

x(kH 2

x [Xo (k)VL (k)X0 (k) + Vv (k)]-1 [y(k) - Cxo (k)] -

- 2[x(k) - xo(k I k - 1)]T x xVX01(k|k - 1)[x(k) - xo(k|k -1)]}.

Для сравнения правдоподобий необходимо найти максимум выражений в фигурных скобках. Максимум вычисляется дифференцированием выражений в фигурных скобках по x(k) в области возможных значений и приравниванием результата к нулю. То есть сначала находим оценку вектора состояния x(k), соответствующую максимальному значению условных вероятностей (правдоподобий).

х[ Х01(£ )УЬ (к )Х0Д(£) + V (к )]-1 X х[у (к) - Сход(к)] -

- 2[х( к) - ХоД(к|к - 1)]т Ух011(к|к -1) х

х[х(к) - Хо,1(к | к -1)]} = 0. (11)

При дифференцировании используем правило [3]

Ух (ат Ь) = УХ (ат )Ь + УХ (Ьт )а,

где а и Ь - «-мерные векторы.

Второй член (11) соответствует условной вероятности Рг[х(к)| У(к -1), Н01], где х(к) из-за влияния помехи и случайных параметров матрицы выхода может принимать множество значений в области справедливости гипотезы. Продифференцировав по х(к), получим:

-2Ух {хт(к)У^(к|к- 1)х(к)--хотд(к|к - 1)Ух0д (к | к - 1)х(к) --хт (к )Ух0д (к | к - 1)х0Д(к|к -1) +

+х°°д(к | к -1)Ух011 (к | к -1)х0Д(к | к -1)} =

= У-д (к | к - 1)х0,1 (к | к -1) - Ух011 (к | к - 1)х(к) =

= У-д(к | к - 1)х0Д(к | к -1). (12)

Поскольку первый член (11) получается при вычислении условной вероятности Рг[у(к)| х(к), Н01],

х

Решив его относительно х0 1 (к), получим оп-

когда для заданной гипотезы Н01 состояние х0 1 (к) в каналах приема известно, то матрица ковариации [Хо,1 (к)Уь (к)Хтд(к) + У¥ (к)] при заданных Ну, Уь (к) и У¥ (к) также известна в каждом канале приема. Однако [у(к) - Сх01(к)] является случайной величиной, значение которой можно представить зависящей от значений х01 (к). Подставим в

у(к) - Сх01(к) (6) и получим Сх(к) - Сх01(к) + у(к) =

= У0,1 (к) + Сх(к), где у0д(к) = -Сх0,1(к) + у(к) не зависит от х(к) .

Тогда, дифференцируя первый член (11) по всем возможным значениям х(к) при

у (к) - Сх 0,1 (к) = у 0,1 (к) + Сх(к), получаем:

-2 Vх {[у0Д(к) + Сх(к)]т х

х[ Х0д(к )УЬ (к )Х0тд(к) + У¥ (к )]-1 х х[у 0,1 (к) + Сх(к )]} =

= 2 Ст [ Х0Д(к)Уь (к )Х0,1(к) + У¥ (к)]-1 х х[у 0,1 (к) + Сх(к)] -

- 2 Ст [ Х0Д(к)Уь (к)Х0,1(к) + У¥ (к)]-1 х х[у 0,1 (к) + Сх(к)] =

= -Ст [ Х0,1(к )УЬ (к )Х0,1(к) + У¥ (к )]-1 х х[у 0,1 (к) + Сх(к)].

Проведя в этом выражении обратную замену у 01(к) + Сх(к) на у (к) - Сх01(к), получаем

-Ст [ Х0,1 (к )УЬ (к )Х0,1 (к) + Уу (к) ]-1 х

х[у(к) - Сх0,1(к)]. (13)

Объединив (12) и (13), придем к уравнению

Ст [ Х0,1(к )УЬ (к )Х0,1(к) + У¥ (к )]-1 х

х[у (к) - Сх0,1(к)] - [Ух011 (к | к -1)х0,1(к | к -1) -

-У^(к|к - 1)х0Д(к) ] = 0, или

Ст [Х0Д(к)Уь (к)Х0,1(к) + У¥ (к)]-1 х х[у(к) - Сх0,1 (к)] - Ух-011 (к | к - 1)х0Д (к | к -1) = 0.

тимальную оценку х01 (к):

Ход(к) = {ст [Ход (к )УЬ (к )Х0тд (к) + Уу (к )] С + +У^)11(к|к -1)}-1 х

х {ст [ Ход (к )УЬ (к )Х0д (к) + Уу (к)] у (к ] ]

+Ух011(к|к - 1)Ход(к|к -1)}. (14)

Выражение (14) можно упростить с использованием леммы обращения [3]:

(А + ВБ° )-1 = А-1 - А-1В(І + Б° А-1В)-1 Бт А-1.

Проделанные вычисления показали, что в результате получается модифицированный алгоритм Калмана в виде

*од(к) = Аіо,1(к -1) +

+К о,1 (к )[у (к) - САХод(к -1)], (15)

Ухо1(к + 1|к) = АУхо1(к )Ат, (16)

Код(к) = Ухо1 (к | к - 1)Ст [Ход(к)УЬ (к)хо,1(к) + +Уу (к) + СУхо1(к|к - 1)Ст ]-1, (17)

Ухо1 (к) = [I - Ко,1 (к)С]Ухо1 (к | к -1). (18)

Сравнив полученный алгоритм с известным алгоритмом Калмана для детерминированной матрицы выхода [1, 2, 3], увидим, что он отличается

членом Хо(к)УЬ (к)Хо (к) в (17), который можно рассматривать как матрицу ковариации помехи, вызванной случайностью матрицы выхода. Следует отметить, что дисперсия данной помехи зависит от значения вектора состояния хо,1 в каждом канале прием.

Таким образом, обобщенное отношение правдоподобия (1о) можно записать как

1п Л( У (к)) = 1п Ао - 1п А1 + ітах,1 (к) - ітах,о (к) =

= 1п Ао - 1п А1 + іі1 (к | к -1) +

+К1(к )[у (к) - СІ1(к|к -1)]-

-іо( к | к -1) + К о( к) [у( к) - Сіо( к | к -1) ],

где вычисление оценок осуществляется по алгоритму (15) - (18) в соответствии с гипотезами. Решающее правило будет иметь вид

Ні

хтах,1(к) - хтах,о(к) > 1n^,

но

где п определяется стоимостью решений и значениями а и а •

Если А = А и отношение стоимостей решений равно единице, то решающее правило сводится к вычислению #1

Хшах,1(к) | Хшах,0(к)•

Как видно, для принятия решения необходимо выполнить алгоритм фильтрации (15) - (18) для различных гипотез и сравнить полученные результаты. При этом значения достаточной статистики вычисляются последовательно по мере поступления результатов наблюдений.

Таким образом, синтезирована схема оптимального приема при представлении несущего сигнала динамической моделью в пространстве состояний, использовании вектора начального состояния в качестве информационного вектора и при случайной матрице выхода. Показано, что оптимальный приемник представляет собой отдельные каналы для каж-

дой гипотезы, в которых для вычисления максимума апостериорных вероятностей используется модифицированный фильтр Калмана, весовая матрица которого вычисляется с учетом матрицы ковариации выходной матрицы динамической модели и значения вектора состояния в каналах. Данный алгоритм может применяться для приема сигналов в условиях многолучевости, если матрица выхода динамической модели образует из вектора состояния вектор выхода, соответствующий сумме лучей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Советов В. М., Коекин В. А. Оптимальный алгоритм приема при использовании модели сигнала в пространстве состояний // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т. 14. № 11. С. 22 - 28.

3. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ. М.: Связь. 1976.

4. Candy, J. V., Model-based signal processing. A JOHN WILEY & SONS, INC., Publication. 2006.

5. Советов В. М., Медведев П. А. Оптимальный алгоритм приема М-сигналов при использовании модели несущей в пространстве состояний // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2010. Т. 6. № 4. С. 7 - 11.

Поступила 02.12.2010 г.

Уважаемые коллеги!

Издательство Российского государственного университета туризма и сервиса выпускает следующие журналы, входящие в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, публикации в которых учитываются при защите диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук:

ЕЖЕКВАРТАЛЬНЫЕ НАУЧНЫЕ ЖУРНАЛЫ

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА И ТУРИЗМА (индексы 81607, 81607) - научно-практическое издание, обобщающее передовой отечественный и зарубежный опыт в сфере туризма и сервиса.

СЕРВИС PLUS (ИНДЕКСЫ 36945, 81641) - научное издание по актуальным проблемам теории и методологии сервиса: современные инновационные подходы и передовой опыт в сфере сервиса, результаты исследований отраслевых тенденций, региональные аспекты.

ВЕСТНИК АССОЦИАЦИИ ВУЗОВ ТУРИЗМА И СЕРВИСА (индексы 81617, 81617) - научное издание, целью которого является рассмотрение теоретических проблем и формирование методологических подходов. Журнал содержит рубрики, посвященные теории и практике сервисной и туристской деятельности, вопросам профессионального образования в сфере туризма и сервиса.

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ КОМПЛЕКСЫ И СИСТЕМЫ (индексы 18064, 42391) -

Рассматриваются научные, технические и технологические разработки в области преобразования, накопления и передачи электрической энергии; информационных систем, сетей и устройств различного назначения; машин, агрегатов и процессов; процессов и аппаратов химических технологий.

ЭЛЕКТРОННОЕ НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ Сервис в России и за рубежом. Цель данного научного издания - рассмотрение теоретических проблем и формирование методологических подходов, обобщение передового опыта в сфере сервиса и туризма. Журнал находится в открытом доступе на сайте Университета www.rguts.ru, а также на сайте Российской универсальной научной электронной библиотеке (РУНЭБ) www.elibrary.ru.

Контакты:

Тел./факс (495) 940-83-61, доб. 395. E-mail: redkollegiamgus @mail.ru Логачева Ирина Николаевна